Figuur 1: Laag-doorlaat. /j Res +1. b) Veronderstel de tijdsconstante van 2 seconden. Ret inputsignaal U1 (t), in Volt, is de functie:

Transcriptie

1 1. Gegeven is het volgende laagdoorlaat filter Figuur 1: Laagdoorlaat filter. beschreven met de differentiaal vergelijking: met de capaciteit C = F en een nog te bepalen weerstand R. a) Geef de overdrachtsfunctie G (s) = ~:~:~en bereken de weerstand R zodanig dat de tijdsconstante gelijk is aan 2 seconden. (10 p) Overdrachtsfunctie G (s) = 'i R = 2 /0 JL. /j Res +1 ) =: Rc Berekening / motivering: R C U" Ci:):;= ~ 1lt) LA2 (t) 2 r<. c s. U2~) = U't (?) Uz.( ) t( f<.c/( s7's 1 C A2.. 0'/ R +1 ~ + 1 ~ ~ ~) :: b) Veronderstel de tijdsconstante van 2 seconden. Ret inputsignaal U1 (t), in Volt, is de functie: 1),1 (t) = 0 voor t < 0 en U1 (t) = 5 voor t 2: 0 Schets zo nauwkeurig mogelijk de tijdsresponsie van het outputsignaal U2(t) in het interval t E [0, 10] s. In de grafiek, geef de steadystate waarde en de tijdsconstante aan. (8p) Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober

2 ~~"? AO i (r) c) Veronderstel de tijdsconstante van 2 seconden. Het inputsignaal Ul(t) is de functie: Ul(t) = 0 voor t < 0 en Ul(t) = 2t voor t 2: 0 Schets zo nauwkeurig mogelijk de tijdsresponsie van het outputsignaal U2(t). (8 p)./ ~_._/././ /' d) Veronderstel de tijdsconstante van 2 seconden. Het inputsignaal Ul (t) is de volgende sinusfunctie: Ul(t) = 10 sin(0.5t) De steady state output U2 (t) is ook een sinusfunctie, wel met een andere amplitude en fase. Bereken deze amplitude en fase en geef de formule voor U2 (t). (12 p) Berekening / motivering: A fl O.S 'J' +1\ O taln I 1 s (,Vj ( Q. St + L. G ( O SJ) A f2 ;1 1 Tr 4 2 Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober 2008

3 2. Gegeven is het volgende openius systeem: G(s) s a) Schrijf dit systeem in de control canonical fonn. Geef de 0 t! matrices Ae, Be, Ce, Dc: (1 0 c 'l\ Dc (0 J S) (, , 13 = (1) (4 p) b) De control canonicalform is een van de oneindig veel mogelijke toestandsrepresentaties van (1). Toon aan dat het onderstaande toestandsmodel een andere toestandsrepresentaties is van overdrachtsfunctie (1). x(t) (12 25) O x(t) + (2) 0 u(t) (2) 0 2 A Berekening := / motivering: S 2.+ S + ~ 2. yet) = ( ) x(t) (12 p) c (sr A ')1 B g+1 0 C; 0) ( O.S) O S_ (1 2,s) G(?) = ~ CCO+1 (~~) 2~S) G(s) : 1:. (os OS) (.s 21~) (2) ~+ 2. ~2.( S + S Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober

4 c) Systeem (2) wordt geregeld door middel van een toestandsregelaar u(t) = K x(t). Bereken de feedback versterkingsvector K = [k1 k2] zodanig dat de geslotenlus polen gelijk zijn aan 1 en 2. (18 p) Berekening / motivering: Ge.We", st:: S1 :: 1, ~::: 2 ~ ~+1) (.s+2) '" s2.+"3s +2. (4) c,;".sfokia ("os karah;/r;; I::~ke po b 'loom; de.~ (s:r f\ + B 1<) _.. """'~... :. ~.... otej. (S (tf) +1 en + (b j.) ~elljk vall) S&:/f~V1; k2 '" 2Ltf ~ > k1 = 1 2 ~b) s : 21.:2) '" t t (1t e/... ) S ;. S" t ~..2l,~ Oe.' f(ec t. h te<:. V, e ::.5" t ~k2. "'".. 1< ~ (~ t) """",'~,,,,,; COv.trole.: c(el ( S;112 '2.. ;: (~+3)s +2 ~ :tis~1(s) '" ole!: ( s_+; S'l tr~ gs ~.2:: ~ f f) (: t 2) 4 Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober 2008

5 3. Gegeven is het volgende openius systeem: 1 G(8) 8( ) Voor dit systeem wordt een regelaar D( 8) ontworpen in de geslotenius configuratie zoals aangegeven in figuur 2. R(s) + E(s) ( D(s) U(s)Eyes) Figuur 2: Blokschema van de gesloten Ius. a) Veronderstel een proportionele regelaar D( 8) = Kp, met Kp > O. Geef de gesloten Ius karakteristieke vergelijking in de rootlocus vorm en schets de bijbehorende root locus. Geef de richting van stijgende Kp aan. Bespreek hoe de stabiliteit van het geslotenius systeem wordt be"invloed door Kp. (14 p) Karakteristieke vergelijking: 1+ ~ Ilf ~C ~L 12.s t1) 1+ jl:.. /..C ) =0 =0 Rootlocus: 1 Is het geslotenius systeem stabiel voor aile Kp > O? Motiveer uw antwoord. /'l{te., \loor {.(~ >' l<p\ll1~ iv\ he. h ~<?..~t:~r ha.(t vlg1k cl.t II ert CXe. fo (~h ~o~)ev, 4: ~ e"&:r~n. Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober

6 b) Veronderstel nu de volgende regelaar D(s) = Kp(s + 0.5)(s + 2), met Kp > O. Geef de geslotenlus karakteristieke vergelijking in de rootlocus vorm en schets de bijbehorende root locus. Geef de richting van stijgende Kp aan. Bespreek hoe de stabiliteit van het geslotenius systeem wordt be"invloed door Kp. (14 p) Karakteristieke + vergelijking: 1+ I..{.. L ~ j =0 G+O.S) {E.!~L. = 0 S (s;:1+251~1) Rootlocus: Is het geslotenlus systeem stabiel voor aile Kp > O? Motiveer uw antwoord. ffes '0 te~ :V~ fo/~ In (C"" ke.v ~ he( (( v(ok _ I I, ~,0 LJ V'C 6 Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober 2008

7 c) Gegeven is de regelaar D(s)=3s+1 s Bereken de overdrachtsfunctie Ge(s) = ~~;~en de steadystate waarde ess voor r(t) = 2t (dwz een ramp, met het Laplace beeld: R(s) = 2/S2). NB: de steadystate waarde is gedefinieerd als ess = limt+ooe(t). (12 p) Ge(s) E(s) = R(s).$~ t 2.s3+S2 Sit 1'"2s "+ 3s +1 Berekening / motivering:. :SS+1.. $1(s~l5+1) " _._~~ ss :::0 1 t~l~e It r~j(n 2 s!?(s) p{s) G(S) D~) rolmfj e~v), t;'li\ te~v'c fo'r U\1, VOov ~~st.cevv) 2G(s) _ 0 5 R~) ~ Schriftelijk tentamen Systeem en Rege1techniek, 30 oktober

8 4. Gegeven is het volgende openius systeem: 50 G(s) = (s + 3)(S2 + 4s + 4) a) Ontwerp een PD regelaar D(s) = Kp(l + TdS) zodat het geregelde systeem aan de volgende eisen voldoet: een crossover frequentie van We = 4rad/ s een fase marge van PM = 60 Laat alle stappen uit je berekening zien. (28 p) Berekening / motivering:!;;o so G fiw) :::. ~ I "J Jw TW (,J'wt17.. QJ ~ ~. Co ~ we '" (61,61,)J 42 1w2 +(10LU _LP5) j }..~._~'"" (? 4 A IIf =;. J'<? ;e A 2 ~ ~ Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober 2008

9 b) Hieronder is een Nyquistplot weergegeven van KpG(s) met Kp = 1 voor positieve w. Maak de Nyquistplot compleet voor alle waarden van W E (00,00). Geef de richting van stijgende w aan. Pas het Nyquist criterium toe. Is het geslotenius systeem stabiel? (8 p) 3'" ' '\,, "~.',,,,....,... :.. ", z= 0 : : 0.5 (!)c. 0 :::.::: E I p= 0 N= 0 Stabiel? :7tt o Re K GUm) p c) Schets de Nyquistplot van KpG(s) met Kp = 3 voor alle waarden vanw E (00,00). Pas het Nyquist criterium toe. Is het geslotenius systeem stabiel? (8 p) 12~"""" :0 8 2' CJo.. ~ 0 E z= 2 p= 0 N=2 Stabiel? fje. e , 4 2 o Re K GUw) p 2 Fo1e", ('", R H P Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober

10 5. Gegeven is de volgende overdrachtsfunctie: G(8) = 50(8 + 2)2 82(8 + 5) Teken de asymptotenbenadering van het Bode diagram van G(s). Schrijf de overdrachtsfunctie eerst om in een gesehikte vorm. Bereken dan de frequenties van de kantelpunten (breakpoints). Teken vervolgens nauwkeurig de asymptoten voor zowel de magnitude als de fase plot. Label de assen. (24 p) Frequenties van de kantelpunten: _ ~O {'T t1)2. (jcfl) 2 ( ~ +1) o (2x fool) I 2 (2x ~'rc» I S (1x fooof) <l.l ~ ~o ~o t::: 01) "3.... ~ /f L...:. 2.0: o\~/~e:. 2 z ~ Frequency [rad/s] C 7 g ~ 110 :1 It Frequency [rad/s] Einde tentamen vraagstuk Ib Id2a 2b 3b 4b Ie 2c 3e 4c 4a 3a 5 I a 10 Schriftelijk tentamen Systeem en Regeltechniek, 30 oktober 2008