Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009

Transcriptie

1 Tentamen Signalen en Systemen : 3BB3, 10 maart 009 Omerkingen ij het tentamen - O het tentamen mag een (grafisch) rekenaaraat geruikt woren - Geruik van aner materiaal zoals oeken, aantekeningen of lato is niet toegestaan - Er woren taellen uitgeeel ij het tentamen - Als U een tael geruikt geef an ij Uw antwoor altij het taelnummer + formulenummer - Alle 10 genummere onerelen tellen even zwaar voor het eincijfer - Een * etekent een convolutie en geen vermenigvuliging Ogave 1 L Vin C R Vuit Bovenstaan schema met r=1 kohm moet ienst oen als tweee ore Butterworth filter met cut-off frequentie 100 ra/s Beaal e waares voor L en C Ogave Met onerstaane systeem is het mogelijk om twee signalen tegelijkertij te versturen over een communicatiekanaal mv ezelfe raagfrequentie ω f(t) c(ωt) + Communicatie kanaal c(ωt) LPF (t) g(t) LPF y(t) sin(ωt) sin(ωt) Νeem aan at ω veel groter is an e maimale frequentie van e signalen ω ma is en at LPF een ieaal laagoorlaatfilter is met een afkafrequentie van 3/ ω ma Beaal e functies (t) en y(t) Beenk at: c a+sin a=1 c a-sin a=ca ca sina = sina

2 Ogave 3 Beaal e Lalace transformatie G(s) van g(t) πt te g( t) = c( t) u(π t) + + e t g( t) = 0 t < 0 t 0 π ( t) t > 0 Ogave 4 Bewijs zoner geruik te maken van tael 7 at e Lalace getransformeere van t c(t) gelijk is aan (s -1)/(s +1) Geruik van tael 73, e efinitie van e Lalace integraal is toegestaan Ogave 5 Beaal e imulsresons van een systeem gegeven oor e ifferentiaalvergelijking: y' '' ' + y' ' + y = ' ' Ogave 6 Beaal e inverse Lalace transform van: (i) Re(s) > 0 (ii) Re(s) < - (iii) - < Re(s) < 0 s + 1 G = als: s( s + )

3 Geeelte regeltechniek We gaan e regelaar van een cruise-control ontweren Een cruise-control roeert e snelhei van een auto constant te houen terwijl e omstanigheen (ergo, ergaf) veraneren De regelaar ekrachtigt het gaseaal, en e itie van het gaseaal is evenreig met e stuwkracht van e auto De itie van het gaseaal noemen we (t), en e kracht F s ie e motor o e auto uitoefent is aarmee recht evenreig: Fs = ( t) Er is een wrijvingskracht ie recht evenreig is met e snelhei v(t) O t=0 staat e auto stil Ogave 7 Lei af at e overrachtsfunctie H(s) van het systeem gelijk is aan: V H = =, waarij V(s) e Lalace-getransformeere van e snelhei van e P auto is, P(s) e Lalace-getransformeere van e stan van het gaseaal, a e evenreigheisconstante van e wrijvingskracht, m e massa van e auto, en e evenreigheisconstante tussen e stan van het gaseaal en e kracht ie e motor uitoefent Ogave 8 Voeg een P-regeling toe met constante Bereken an e cle-loo overrachtsfunctie Wat is e einwaare als e gewenste snelhei een stafunctie van 0 m/s naar v s ij t=0 is? Teken het Root-Locus iagram van it systeem Ogave 9 Geruik nu een zuivere integrerene regeling met integratietij i Bereken e cleloo overrachtsfunctie Bereken e einfout en leg uit of e gevonen waare al of niet overeenkomt met Uw verwachting Ogave 10 Geruik nu een PID-regelaar met ifferentiatietij, integratietij i, en roortionaliteitsconstante Bereken e cle-loo overrachtsfunctie Leg uit of e kans o cilleren gerag wel of niet toeneemt als we e ifferentiatietij verhogen

4 Antwooren 1) (oek vooreel 65) L = 1414 H en C=707 µf ) oek ogave 630 (t)=1/f(t) en y(t)=1/g(t) πs 3) G( s) = (1 e ) s /( s + 1) + s /( s + π ) + 1/ s ( s π ) 4) Uit Lalace integraal e at 1/(s-a) Met c(t) = ½(e it +e -it ) volgt c(t) 1/(s-i)+1/(s+i)= s/(s +1) met tael 739: tc(t) = -/s s/(s +1) = (s -1)/(s +1) 5) tael 713: h(t) = tc(t) 6) s + 1 1/ 1/ G = = + s( s + ) s s + (i) ½(1-e -t )u(t) (ii) ½(-e t )u(-t) (iii) ½(-u(-t)-e -t u(t)) v 7) ifferentiaalvergelijking wort: m = ( t) av Na Lalace wort it t V V ( ) = P, wat levert: H = = P CG 8) Hcl = = = De einwaare haal je uit e CG + v s einwaarestelling: lim h( t) = lim s H = t s 0 s a +

5 Root-locus: a + m 1 CG is 9) Hcl = = = De einwaare haal je uit e CG 1 is( ) + is vs einwaarestelling: lim h( t) = lim s H = 1, en e einfout is us 0 t s 0 s i s + is + 1 CG ( 1) is i s + is + 10) Hcl = = = 1 + CG i s + is + 1 is( ) + ( i s + is + 1) is Een toenemene ifferentiatietij rijft e iscriminant van e noemer naar eneen waaroor ie kleiner an nul kan woren Het antwoor is us: ja