Tentamen Differentiaalvergelijkingen, (wi1 909TH) woensdag 1 februari 2017, uur.

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen Differentiaalvergelijkingen, (wi1 909TH) woensdag 1 februari 2017, uur. Het gebruik van een boek of telefoon is niet toegestaan. Het bijgesloten formuleblad mag wel worden gebruikt evenals een, bij het eindexamen VWO toegestane, rekenmachine waarop géén informatie is opgeslagen. Elk antwoord dient duidelijk gemotiveerd te worden. 1. Gegeven zijn de beginwaardeproblemen: y = y y(0) = 0 en y = y y(8) = 1 (1) Verder wordt voor a > 0 de functie f a : R R gegeven door: 0 (t < a) f a (t) = ( t a) 3 (t a) (2) Voor verschillende waarden van a > 0 is in Figuur 1 de grafiek van f a getekend. Figuur 1. Grafiek van f a (2) (a) Geef voor beide beginwaardeproblemen (1) aan of ze een oplossing hebben en of deze oplossing uniek is. Gebruik hierbij een existentie-en éénduidigheidsstelling. (2) (b) Toon aan dat voor alle a > 0 de functie f a een oplossing is van het eerste beginwaardeprobleem. U mag er daarbij van uitgaan dat de functies f a differentieerbaar zijn in a. (3) (c) Zijn er oplossingen y van het eerste beginwaardeprobleem die voldoen aan y(1) = 8? En die voldoen aan y(8) = 1? (Merk op: zo n y is van de vorm f a.) Zo ja, bepaal deze oplossingen. (1) (d) Bepaal de oplossing(en) van het tweede beginwaardeprobleem. Hint: dit kan met heel weinig rekenwerk. 2. Gegeven is het beginwaardeprobleem: y + 2y + 5y = δ(t 3π) y(0) = 0, y (0) = 1 (3) (5) (a) Los het beginwaardeprobleem (3) op. Laten f en g functies zijn op [0, ) waarvan de Laplace-getransformeerden bestaan. (3) (b) Toon aan: L{f(t)g(t)} is niet altijd gelijk aan L{f(t)}L{g(t)}. zie ommezijde

2 3. Gegeven is het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen: [ dx 2 1 = Ax + g(t) waarbij A = dt 3 2 ] en g(t) = [ e t t ] (4) (4) (a) Bepaal alle oplossingen van het bij (4) horende stelsel homogene differentiaalvergelijkingen. (5) (b) Bepaal de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen (4). 4. Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen: dx = (2 y)(2x y) dt (5) dy dt = (2 + x)(x 2y) (2) (a) Bepaal de vier kritieke punten van het stelsel differentiaalvergelijkingen (5). (4) (b) Bepaal bij elk kritiek punt het bijbehorende stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen en klassificeer twee van deze punten (type en stabiliteit). (4) (c) Klassificeer nu de, onder (b) gekozen, kritieke punten (type en stabiliteit) van het stelsel differentiaalvergelijkingen (5). 5. Gegeven is het warmtegeleidingsprobleem: u t = 4u xx (t > 0 en 0 x 10) (6a) u x (0, t) = 1, u x (10, t) = 1 (t > 0) (6b) u(x, 0) = 5 (0 x 10) (6c). (2) (a) Laat U de oplossing zijn van (6). Toon aan dat de functie W gegeven door W (x, t) = U(x, t) v(x) met v(x) = x 5 een oplossing is van het begin-randwaardeprobleem: w t = 4w xx (t > 0 en 0 x 10) (7a) w x (0, t) = 0, w x (10, t) = 0 (t > 0) (7b) w(x, 0) = x (0 x 10) (7c). (2) (b) Toon aan dat de fumcties w n met w n (x, t) = e ( nπ 5 ) 2 ( t nπx ) cos 10 n = 0, 1, 2,... oplossingen zijn van de partiële differentiaalvergelijking (7a) en de randvoorwaarden (7b). (Hiervoor hoeven geen oplossingen te worden bepaald!) (4) (c) Bepaal de algemene oplossing van het randwaardeprobleem (7a),(7b) en vervolgens van het probleem (7) door gebruik te maken van de beginvoorwaarde (7c). (Hint: gebruik de meegeleverde integratietabel.) (2) (d) Bepaal de oplossing van het warmtegeleidingsprobleem (6) Cijfer: (aantal behaalde punten + 5)/5 met afronding op halve cijfers.

3 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tabel van Laplace getransformeerden f(t) F(s) = L{f(t)} = 0 f(t) e st dt s (s > 0) 2. e at 1 (s > a) s a a 3. sin(at) s 2 + a 2 (s > 0) 4. cos(at) 5. t n (n N) 6. t p (p > 1) 7. sinh(at) 8. cosh(at) 9. t sin(at) 10. t cos(at) s s 2 + a 2 (s > 0) n! s n+1 (s > 0) Γ(p + 1) s p+1 (s > 0) a s 2 a 2 (s > a ) s s 2 a 2 (s > a ) 2as (s 2 + a 2 ) 2 (s > 0) s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 (s > 0) 11. t n e at n! (s a) n+1 (s > a) 12. u a (t) e as 13. u a (t)f(t a) e as F (s) 14. e at f(t) F (s a) 15. f(at) 16. t 0 f(t τ) g(τ) dτ 17. δ(t a) e as s (s > 0) 1 a F ( s ) (a > 0) a F (s)g(s) 18. f (n) (t) s n F (s) s n 1 f(0) s n 2 f (1) (0) f (n 1) (0) 19. ( t) n f(t) F (n) (s)

4 Integratietabel f(x) F(x) = f(x) dx 1. x e ax ax 1 a 2 e ax + C (a 0, C R) 2. x n e ax x n (n N) a eax n x n 1 e ax dx (a 0) a 3. x sin(ax) x a cos(ax) + 1 sin(ax) + C (a 0, C R) a2 4. x cos(ax) 5. x n sin(ax) (n N) xn a cos(ax) + n a 6. x n cos(ax) (n N) x a sin(ax) + 1 cos(ax) + C (a 0, C R) a2 x n a sin(ax) n a x n 1 cos(ax) dx (a 0) x n 1 sin(ax) dx (a 0)

5 (?) bx) ow Fa.yi = ^ Co O) V I ^ ^1 D'ï' 9 ^ r r CD D-C^TH. Ca 2^ Q > O

6 1 1-4 oh. I I ^ J L I I.!> I I C-t) 12. )

7 (V) U ) dol = (X't r "2- -> o It <1 > o] %.^\^ 1.^H toe e>efaik/o ^ I I L O O I 1 >J L-fJ rt ft \ Cc ^ 1 I o '7^ C-/r-i)e ^' - 'Idt veil Cc. c-^t

8 J _1 J _ I, J J I _~lé-jj J Lr3J L-3j L"'L ;_ljj.j.!._l J_. J_JJJJ L..iJ L_ = =^ Co ^ TIU Lay fö <ÉF=^ v^^è <dny? i 0 u LC

9 eor^. iva'su^k^ie.'n ^^SJLÜJ^VOA^ bon. Is _ I. I _!. J I I I I

10 U3 L-XjC) 6- CLOS. ^jo 2^ ^ "roc (- ''^^- ^ - L~ ) c o s A 2 CL03/ to trx A Co^x-^io^ Jo / Cfc^O, CoC^e^o)XT ÖÖ 4 2L cv, C03/r) srx 10,0 lo i O 1.0

11 Ho Z 0 rx-\ v Ci A tic - Ha icy