Stelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten

Transcriptie

1 Zij K = R of C, n N, A R n n. Zoek differentieerbare functies y : R K n zodanig dat ẏ(t) = Ay(t), t R. Opmerking: De oplossingen vormen een lineaire deelruimte (ga na!). Deze heeft dimensie n. De algemene oplossing is dus te schrijven als y(t) = c k y k (t), waarbij {y 1,..., y n } een lineair onafhankelijk stelsel van oplossingen is. 1/17

2 Veronderstel nu A diagonaliseerbaar, en zij {v 1,..., v n } een basis voor K n bestaand uit eigenvectoren van A, i.e. Av k = λ k v k, k = 1,..., n, oftewel A v 1... v n = v 1... v n λ 1..., } {{ } V } {{ } V λ n } {{ } D i.e. A = V DV 1, en met z(t) = V 1 y(t) i.e. ż k = λ k z k, dus z k = c k e λ kt, en ż = V 1 ẏ = V 1 V DV 1 y = Dz, y(t) = V z(t) = c k v k e λ kt }{{} modes (algemene oplossing). 2/17

3 Complexe eigenwaarden: Zij λ k / R een complexe eigenwaarde van A met eigenvector v k. (Dan v k / R n!) Dan is ook λ k λ k eigenwaarde van A met eigenvector v k. (Ga na!) Dus v k e λ kt en v k e λ k t = v k e λ kt zijn twee lin. onafhankelijke basisvectoren voor de oplossingsruimte. In plaats daarvan kunnen we ook kiezen voor de reële basisvectoren 1 2 (v ke λkt + v k e λkt ) = Re(v k e λkt ), 1 2i (v ke λkt v k e λkt ) = Im(v k e λkt ). 3/17

4 Beginwaardeproblemen: Zij verder y 0 R n, t 0 R gegeven. Zoek een functie y : R R n zodanig dat ẏ = Ay, y(t 0 ) = y 0. Oplossing: Bepaal de vrije constantes c k in de algemene oplossing zodanig dat c k y k (t 0 ) = y 0. 4/17

5 Inhomogene stelsels: Verder I R interval, f : I R n continu. Zoek functies y : I R n zodanig dat ẏ(t) = Ay(t) + f(t), t I. (I) Stelling: Zij y p : I R n een (zgn. particuliere) oplossing voor (I) en y h de algemene oplossing van het homogene stelsel ẏ h = Ay h. Dan is y(t) = y p (t) + y h (t), t I, (Ga na!) de algemene oplossing van het inhomogene stelsel (I). 5/17

6 Vinden van een particuliere oplossing: Variatie van parameters : Zij {y 1,..., y n } een basis voor de oplossingsruimte van het homogene stelsel. Ansatz: c 1 (t) y p (t) = c k (t)y k (t) = y 1 (t)... y n (t). met c 1 (t),... c n (t) : I R te bepalen. } {{ } Y (t) } c n (t) {{ } c(t) 6/17

7 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). 7/17

8 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). Dan: ẏ P (t) = ċ k (t)y k (t) + c k (t)ẏ k (t) 8/17

9 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). Dan: ẏ P (t) = = ċ k (t)y k (t) + c k (t)ẏ k (t) ċ k (t)y k (t) + A c k (t)y k (t) } {{ } y p(t) 9/17

10 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). Dan: ẏ P (t) = = ċ k (t)y k (t) + c k (t)ẏ k (t) ċ k (t)y k (t) + A c k (t)y k (t) } {{ } y p(t) ċ k (t)y k (t) = Y (t)ċ(t) = f(t) 10/17

11 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). Dan: ẏ P (t) = = ċ k (t)y k (t) + c k (t)ẏ k (t) ċ k (t)y k (t) + A c k (t)y k (t) } {{ } y p(t) ċ k (t)y k (t) = Y (t)ċ(t) = f(t) ċ(t) = Y (t) 1 f(t) 11/17

12 Ansatz: y p (t) = c k (t)y k (t). Dan: ẏ P (t) = = ċ k (t)y k (t) + c k (t)ẏ k (t) ċ k (t)y k (t) + A c k (t)y k (t) } {{ } y p(t) ċ k (t)y k (t) = Y (t)ċ(t) = f(t) ċ(t) = Y (t) 1 f(t) c(t) = Y (τ) 1 f(τ) dτ + d, d R n. (vectorwaardig integraal) 12/17

13 DVen en stelsels van hogere orde Enkele vergelijking: Truc: eerste orde stelsel: ẏ = ẏ 1 ẏ 2. ẏ n = u (n) + a n 1 u (n 1) a 1 u + a 0 u = f y 1 := u, y 2 := u,... y n := u (n 1) } a 0 a 1... a n 2 {{ a n 1 } A y f 13/17

14 DVen en stelsels van hogere orde Enkele vergelijking: Truc: eerste orde stelsel: ẏ = ẏ 1 ẏ 2. ẏ n = u (n) + a n 1 u (n 1) a 1 u + a 0 u = f y 1 := u, y 2 := u,... y n := u (n 1). 0 1 Merk op: A heeft karakteristiek polynoom } a 0 a 1... a n 2 {{ a n 1 } A y + P (λ) := λi A = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a f 14/17

15 DVen en stelsels van hogere orde Algemene oplossing voor de homogene vergelijking: Als P n verschillende nulpunten λ k C heeft dan u h (t) = c k e λkt. (De eigenvectoren van A hoeven hiervoor niet berekend te worden. P is rechtstreeks af te lezen uit de vergelijking!) 15/17

16 DVen en stelsels van hogere orde Algemene oplossing voor de homogene vergelijking: Als P n verschillende nulpunten λ k C heeft dan u h (t) = c k e λkt. (De eigenvectoren van A hoeven hiervoor niet berekend te worden. P is rechtstreeks af te lezen uit de vergelijking!) Particuliere oplossing voor de inhomogene vergelijking: via variatie van parameters of via ansatzmethodes als in geval van orde 2 16/17

17 DVen en stelsels van hogere orde Algemene oplossing voor de homogene vergelijking: Als P n verschillende nulpunten λ k C heeft dan u h (t) = c k e λkt. (De eigenvectoren van A hoeven hiervoor niet berekend te worden. P is rechtstreeks af te lezen uit de vergelijking!) Particuliere oplossing voor de inhomogene vergelijking: via variatie van parameters of via ansatzmethodes als in geval van orde 2 De methode van herschrijven als eerste orde stelsel werkt ook voor stelsels van DVen van hogere orde. 17/17