Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen

Transcriptie

1 1 Inleiding Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen B.W. Kooi Afdeling Theoretische Biologie, Faculteit Biologie, Vrije Universiteit, De Boelelaan 187, 181 HV Amsterdam 1 december 23 Processen, zoals biochemische, worden wiskundig vaak beschreven met behulp van differentiaal vergelijkingen (van Leeuwen and Zonneveld, 21), zo ook de groet van tumoren en de cel-cyclus. In dit onderdeel van de cursus integratieve Tumor-Cel Biologie worden methoden behandeld voor het analyseren van modellen waarvan de wiskunde beschrijven met behulp van differentiaalvergelijkingen is. Als van een toestandsvariabele zijn beginvoorwaarde bekend is dan geeft de differentiaal vergelijking eenduidig op elk moment weer met welke snelheid die toestand verandert. Dat wil zeggen dat de veranderingssnelheid op de voorgeschreven manier afhangt van de waarde van de toestand op datzelfde moment. Een eenvoudig voorbeeld is de exponentiële groei met intrinsieke groeisnelheid r dn dt = rn met oplossing N(t) = N()ert. (1) De differentiaalvergelijking is lineair, en van eerste orde. Dat deze lineair is geeft dat de oplossing analytisch gevonden kan worden. De methode is eenvoudig namelijk probeer de oplossing N(t) = ae λt zonder eerst de beginvoorwaarden te beschouwen. Differentiëren geeft dan dn/dt = aλe λt = λn. Invullen in (1) levert meteen op dat λ = r de oplossing geeft als a = N() zodat ook aan de beginvoorwaarde wordt voldaan. Andere niet-lineaire differentiaal vergelijking ziet met ook vaak beschreven in de literatuur over tumor-groei, te weten de logistische en de Gompertz groei-vergelijking. De logistische vergelijking is dn dt = f(n) = rn( 1 N ) K met oplossing N(t) = N()e rt 1 + (e rt 1)N()/K. (2) Merk op dat als N > voor t geldt: N K. De oplossing N(t) is weergegeven in figuur 1. De functie f(n) hangt niet expliciet van de tijd af. Men noemt dat een autonome differentiaalvergelijking. Het Gompertz model is dn dt = f(t, N) = r e αt N. (3) De groeisnelheid neemt exponentieel af met de tijd. Dit is een niet-autonome vergelijking omdat de tijd t expliciet in de uitdrukking aan de rechterkant voorkomt f(t, N). Ook van deze vergelijking is de oplossing direct op te schrijven. Probeer daartoe de oplossing N(t) = K( N K )e αt. (4) Als t = dan hebben we N() = N en voor t geldt N K weer. Dus K heeft eenzelfde betekenis als hierboven bij de logistische groeivergelijking. Substitutie van deze vermeende 1

2 oplossing in de differentiaal vergelijking (3) laat zien dat het inderdaad een oplossing is waarbij het verband tussen K, r en N gegeven wordt door K = N e r /α, of te wel α = r ln( K N ). (5) Deze oplossing N(t) is ook weergegeven in Figuur 1. In plaats van α kunnen we ook K als primaire parameter kiezen. Vergelijking (4) geeft e αt = ln(n(t)/k) ln(n /K). (6) Dit weer substitueren in (3) geeft het autonoom systeem dn dt = α ln(n/k) N. (7) Een moeilijkheid hierbij is dat α en K aan elkaar gerelateerd zijn via de beginvoorwaarde zoals vastgelegd in (5). Hoewel de vergelijkingen (2) en (3) niet-lineair zijn, zijn toch analytische oplossingen bekend. In het algemeen moet men de oplossing van niet-lineair differentiaalvergelijkingen numeriek benaderen met simuleren. We merken op dat voor de logistische en de Gompertz groei-vergelijking er een unieke oplossing bestaat als de beginvoorwaarden gegeven zijn, d.w.z. op tijdstip nul is de grootte van de tumor populatie bekend. Beide modellen hebben de eigenschap dat als een tumor populatie nul is deze nooit meer positief kan worden, bijvoorbeeld N() = impliceert N(t) = voor t >. 2 Evenwichtspunten Als de toestand van het systeem onveranderd blijft zullen de afgeleiden aan de linkerkant van de gelijktekens in (2) nul zijn. De verkregen vergelijkingen worden de evenwichtsvergelijkingen genoemd. Onze eerste taak is deze op te lossen. Omdat de vergelijkingen niet-lineair zijn kan het een hele klus zijn om alle evenwichtspunten te vinden. Voor (2) valt het mee, de evenwichtspunten zijn: N = hetgeen betekent dat er geen tumor is, N = K waarbij de tumor volgroeid is en gelijk is aan de eindwaarde K. Ook de Gompertz vergelijking heeft twee evenwichtspunten, namelijk, gebruik makend van (7), N =, r = en N = K, r =. Is dat evenwichtspunt gevonden dan gaan we onderzoeken of dat evenwichtspunt stabiel is. Een heuristische definitie van stabiel is dat willekeurig kleine verstoringen van een systeem in de loop van de tijd weer moeten verdwijnen, dat wil zeggen dat voor t de oplossing naar het evenwichtspunt terug gaat. 3 Attractoren We beschouwen eerst de logistische groei-vergelijking (2). We gaan dit model analyseren waarbij we proberen uitspraken te doen zonder het stelsel voor heel veel mogelijke begintoestanden, d.w.z. de biomassa s op tijdstip nul, op te lossen. In de praktijk zou dit meestal numeriek moeten gebeuren omdat de oplossing vaak niet te schrijven is in de vorm van bekende 2

3 functies. Daarnaast zou de informatie die al die berekeningen op zouden leveren, moeilijk te verwerken zijn. Nog belangrijker is het feit dat het soms niet mogelijk is een eindig aantal beginvoorwaarden zo te kiezen dat niets over het hoofd gezien wordt. Bij biologische problemen is het vaak zo dat als er met positieve waarde N gestart wordt N(t) ook positief blijft. Ook is het vaak bijvoorbeeld op grond van behoudswetten, in te zien dat de oplossing altijd begrensd zal zijn, dat wil zeggen dat N(t) niet oneindig kan worden. Maar waar gaat de oplossing naar toe, het moet ergens blijven. De verzameling punten in het fase-vlak die uiteindelijk steeds ingenomen worden heten attractoren. Soms zijn er meerdere attractoren, en het hangt dan van de beginvoorwaarden af naar welke attractor de oplossing convergeert. Dit geldt ook voor de logistische groei-vergelijking met een extra term voor een constante afname die we in paragraaf 4.1 zullen behandelen. Bij lineaire differentiaalvergelijkingen is er overigens in het algemeen maar één evenwichtspunt dat gevonden wordt door een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen. Zijn de evenwichtspunten gevonden dan volgt een stabiliteitsonderzoek. Daarbij kijken we of een kleine verstoring vanuit het evenwichtspunt zal verdwijnen. Is dat het geval voor alle mogelijke, willekeurig kleine verstoringen van alle toestandsvariabelen, dan noemen we zo n evenwichtspunt stabiel. Het is natuurlijk ondoenlijk het stelsel vergelijkingen op te lossen voor alle mogelijke verstoringen en het asymptotisch gedrag te analyseren. Gelukkig kan dat ook gemakkelijker. Daartoe wordt het stelsel van gewone differentiaalvergelijken gelineariseerd rond het evenwichtspunt. Er kan bewezen worden dat onder algemene omstandigheden dat het niet-lineair stelsel dezelfde stabiliteitseigenschappen heeft als het gelineariseerd stelsel en voor lineaire stelsels geven de eigenwaarden meteen uitsluitsel over de stabiliteitseigenschappen. Als voorbeeld beschouwen we de logistische groei-vergelijking weer en bestuderen de twee evenwichten. We kijken nu even niet naar de oplossing ook gegeven in (2), en doen een stabiliteitsonderzoek van de twee evenwichtspunten N = en N = K. We beginnen met het evenwichtspunt N = en benaderen de parabool rn(1 N/K) met z n raaklijn door de oorsprong waarbij we N vervangen door x om te benadrukken dat het een benadering betreft dx dt = rx met oplossing x(t) = x()ert. (8) Voor elke waarde van x() > ontspoort de oplossing en convergeert naar oneindig en daarmee is het evenwichtspunt x = voor de gelineariseerde vergelijking (8), instabiel. Men kan aantonen dat dit ook geldt voor de oorspronkelijke niet-lineaire vergelijking (2). Vergelijking (8) kunnen we in dit geval ook heuristisch afleiden uit (2) door te stellen dat de kwadratische term in de logistische groei verwaarloosbaar klein is ten opzichten van de lineaire term. Dit proces wordt lineariseren genoemd en wordt wiskundig beschreven met de zogenaamde Taylorreeks ontwikkeling. Nu het evenwichtspunt N = K. We gaan weer lineariseren. We nemen nu x = N K, dan geeft de Taylor-reeks ontwikkeling van de functie f(n) in het punt N = K ( ) df f(n) = f(k) + (N K) + hogere orde termen. (9) dn K De benaderende differentiaalvergelijking voor N(t) waarbij we alleen de lineaire term behouden, wordt dan ( ) dx df dt = x = rx met oplossing x(t) = x()e rt. (1) dn K 3

4 De oplossing laat zien dat voor elke waarde van N() > de oplossing x(t) naar nul convergeert, met andere woorden het evenwichtspunt x = is stabiel. Ook nu weten we dat dat ook geldt voor het oorspronkelijke niet-lineaire vergelijking (2) voor N = K. Concluderend kunnen we zeggen dat een punt instabiel is als de afgeleide uitgerekend in dat evenwichtspunt positief is en stabiel indien de afgeleide negatief is. In het algemeen is dit ook uit te drukken met eigenwaarden. In N = is de eigenwaarde positief namelijk r en in N = K is de eigenwaarde negatief. Men kan nu laten zien dat als het reeël deel van beide eigenwaarden negatief is, dus α <, dat wil zeggen tr J <, het evenwichtspunt asymptotisch stabiel is. Is dat geval weten we zeker dat de oplossing uiteindelijke naar het evenwichtspunt convergeert ongeacht de beginvoorwaarden. Dit geldt onder zeer algemene voorwaarden ook voor het niet-lineaire stelsel als we dicht genoeg in de buurt van het evenwichtspunt starten. Maar hoe dicht is dicht genoeg? Die vraag is in het algemeen moeilijk te beantwoorden. Voor de logistische groei (2) geldt dat als een positief evenwichtspunt bestaat deze meteen uniek en voorts globaal aantrekkend is, dat wil zeggen dat waar ook gestart wordt met positief waarde er altijd convergentie is naar het positief evenwichtspunt N = K. De Gompertz niet-lineaire niet-autonome vergelijking (3) is ook equivalent met het volgend niet-lineair autonoom stelsel van twee differentiaalvergelijkingen dn = f(n, r) = rn, dt (11a) dr = g(n, r) = αr. dt (11b) We hebben nu naast een beginvoorwaarde N() = N ook r() = r. Dus de toestandsvariabele r is de momentane proportionele groeisnelheid die op t = gelijk is aan r en exponentieel afneemt in de tijd. Een stabiliteitsanalyse is nu ingewikkelder omdat er twee toestandsvariabelen zijn in plaats van één. Het evenwichtspunt kan nu op veel meer manieren verstoord worden, bijvoorbeeld alleen N veranderen, terwijl r = blijft. Dit geval kan men behandelen zoals hierboven. Dat geldt ook als we juist r laten veranderen en N = K nemen. Het kan nu gebeuren dat het evenwichtspunt stabiel is als we verstoringen van N beschouwen, maar instabiel bij verstoringen van r. Dan is het evenwichtspunt instabiel want daarvoor is het noodzakelijk dat alle mogelijke verstoringen uitdempen. Maar geldt nu dat als voor beide variabelen elk afzonderlijk het evenwichtspunt stabiel is, meteen geldt voor het evenwichtspunt? Helaas niet. Daartoe bestuderen we de gelineariseerde vergelijkingen. De gelineariseerde vergelijkingen voor de Gompertz vergelijking zijn ( dx ) ( ) ( ) ( ) ( dt x J11 J 12 x f ) ( ) f N r x = J = =, (12) dy y J dt 21 J 22 y y waarbij x(t) = N(t) N en y(t) = r(t) r de verschillen met de evenwichtswaarden zijn. De matrix J wordt nu de Jacobi-matrix of de Jacobiaan genoemd, in dit geval uitgerekend in het evenwichtspunt N = N, r = r. Er zijn twee evenwichtspunten, namelijk N =, r = en N = K, r =. Om de stabiliteit van beide evenwichtspunten te bepalen kunnen we gebruik maken van de resultaten die we voor het lineair stelsel van twee differentiaalvergelijkingen afgeleid hebben in de Appendix. g N g r N,r 4

5 In het punt N =, r = is de Jacobiaan ( ) r N α N=,r= ( ) = α. (13) Er zijn twee eigenwaarden λ 1 = en λ 2 = α. Dit punt is daarom niet stabiel maar ook niet instabiel, vaak labiel genoemd. Nu het tweede evenwichtspunt N = K, r =, de Jacobiaan is dan geëvalueerd in dit punt ( r ) N ( ) K α = α, (14) N=K,r= Weer hebben we de twee eigenwaarden λ 1 = en λ 2 = α en daarom is ook dit evenwichtspunt labiel. De eigenvectoren v i bij λ i zijn ( ) ( ) 1 K/α v 1 = v 2 = (15) 1 Merk op dat K en α gegeven is afhangt van de beginvoorwaarde zoals gegeven in (5) gerelateerd ijn aan de beginwaarde N. Dit toont aan waarom van stabiliteit geen sprake kan zijn als α de primaire parameter is. Immers dan moet de oplossing naar een vast punt convergeren voor willekeurige beginvoorwaarden in de buurt van dat punt. Anderzijds als K de primaire parameter is dan is één eigenwaarde nul en de andere α waarbij α afhankelijk is van de beginvoorwaarden. Vergelijking (5) geeft dat α > als N < K en α < als N > K. Er kan dus nog sprake zijn convergentie naar K als N < K, maar als N > K is er nooit convergentie naar K. Als r = is α = en is de oplossing N = N. met andere woorden, er is geen convergentie naar K. Als r is er echter wel convergentie naar N = K en r =. Dit laatste geldt niet alleen locaal maar ook globaal zoals nu afgeleid zal worden. De oplossing gegeven in vergelijking (4) geeft aan dat deze voor t naar N = K convergeert als N >. Beschouw daartoe de vergelijking (7) geschreven in de volgende vorm dn dt = 1 r ln(n /K) ln(n/k) N. (16) Als N > K dan geldt voor t = dat dn/dt > en blijft dn/dt > voor t >. Daarom blijft N toenemen in de tijd. Dat wil zeggen dat de oplossing naar oneindig gaat voor tijd naar oneindig. Dit was te verwachten, immers (5) geeft aan dat α < bij N > K. Nu als N < K. Ook nu is op t = de afgeleide dn/dt > en blijft deze groter dan nul omdat N niet groter dan K kan worden. Immers zodra N = K wordt de afgeleide nul en blijft die nul. Eénduidigheid van de oplossing geeft dat steeds moet gelden N < K. Met andere woorden de oplossing is stijgend en gaat naar N = K voor tijd naar oneindig maar bereikt die waarde nooit. 4 Bifurcatie theorie Tot nu toe hielden we de waarden van alle parameters onveranderlijk. We gaan nu de invloed van het veranderen van één of meerdere parameters op het lange-termijn gedrag onderzoeken. 5

6 Daartoe besturen we de logistische groei (2) met een constante tumor wegname. De parameters waarvan we de invloed op het asymptotisch gedrag willen onderzoeken worden vrije of bifurcatie parameters genoemd. Soms hebben deze parameters een fysiologische betekenis, zoals de intrinsieke groeisnelheid van de tumor. In dat geval vergelijken we eigenlijk steeds uit net iets andere soorten bestaande populaties met elkaar, of die nu in de natuur voorkomen of niet. Parameters kunnen ook onderdeel zijn van de beschrijving van de, soms door de mens te regelen, omgeving. In dat geval beschouwen we steeds dezelfde populaties, levend onder steeds iets andere omstandigheden. 4.1 Logistische groei met constante predatie Een populatie groeit logistisch en wordt weggenomen met een constante snelheid p dn dt = rn( 1 N ) p. (17) K Als p = hebben we de logistische groei-vergelijking weer terug en in de vorige paragraaf hebben we gezien dat er twee evenwichtspunten zijn N = en N = K waarbij de eerste instabiel en de laatste stabiel is. We willen nu het asymptotisch gedrag weten voor verschillende waarden van p >. Daartoe bepalen we eerst de evenwichtspunten. N = N = K ( 1 2 ± 1 4 p ). (18) rk We zien dat voor p < rk/4 er twee positieve evenwichtspunten N = K(1/2 ± (1/4 p/rk)) zijn. Voor de kritieke waarde p = rk/4 is er maar één evenwichtspunt N = K/2, maar voor p > rk/4 geen! Nu de stabiliteit van de positieve oplossingen. Als p rk/4 geeft lineariseren dn dt = r( 1 4p ) N, (19) rk Voor p < rk/4 is het evenwichtspunt N = K(1/2 + (1/4 p/rk)) stabiel en N = K(1/2 (1/4 p/rk)) instabiel. Bij de kritieke waarde p T = rk/4 is het evenwichtspunt N = K/2 op grond van dit resultaat niet stabiel en niet instabiel omdat de afgeleide nul is. Figuur 3 is een één parameter bifurcatie diagram waarbij N als functie van p getekend is. Het punt p T wordt een bifurcatie punt genoemd. Voor waarden rond dat punt is het asymptotisch gedrag verschillend. Voor p < p T zal er of convergentie optreden naar het stabiele evenwichtspunt als N() > K(1/2 (1/4 p/rk)) of de oplossing wordt uiteindelijk negatief als N() < K(1/2 (1/4 p/rk)). Dit laatste gebeurt ook voor alle beginvoorwaarden als p > p T. In dat geval is er geen evenwichtspunt, ook N = niet, want dan is er nog steeds afname door predatie. De oplossing zal negatief worden en op dat punt is de oplossing van (17) niet meer relevant vanuit een biologisch oogpunt. We moeten vergelijking (17) aanvullen met de eis dat deze alleen geldt zolang N en dat anders N = geldt. Als p = p T zien we dat als N() > 1/2 K de oplossing naar het evenwichtspunt gaat, hoewel uiteindelijk met snelheid nul. Als N() < 1/2 K daarentegen neemt de oplossing af en wordt uiteindelijk weer negatief. Figuur 4 geeft de oplossing N(t) bij twee beginvoorwaarden voor drie waarden van p, namelijk voor p =., p = p T =.25 en p =.5. Als de tumor-populatie logistische groeit en weggenomen wordt met een constante snelheid, dat laat deze analyse zien dat als de snelheid kleiner is dan een kritieke waarde de 6

7 tumor kan verdwijnen maar ook een stabiele grootte kan aannamen en als behandeld wordt met een wegname-snelheid groter dan de kritieke waarde dan verdwijnt de tumor altijd dus onafhankelijk van de grootte aan het begin. 5 Minimum cascade model voor cel cyclus In (Goldbetter, 1997) wordt een minimale cascade model voor een mitotische oscillator beschreven. Daarbij speelt cycline een belangrijke rol. De naam cycline is afgeleid van het feit dat het periodiek verandert gedurende de cel cyclus. Cycline activeert zelf de activatie van de phophoryleerde vorm M + van cdc2 kinase door defosforilatie in de vorm M door phosphatase cdc25 (E 1 ) terwijl kinase wee1 (E 2 ) actieve cdc2 kinase M in M + inactiveert. Het enzym cdc2 kinase (E 3 ) zelf activeert door fosforilatie inactieve cycline protease X + in de actieve vorm X en is er inactivatie van X in X + door phosphatase (E 4 ). De actieve vorm van cycline protease X reguleert mede de afbraak van cycline, Daarnaast is er een eerste-orde proces cycline afbraak. Figuur 5 geeft een schema van de interacties in het minimum cascade model van Goldbeter (1997). In wiskundige termen is dit model: dc dt = v i v d X C K d + C k dc, dm (1 M) = V 1 dt K 1 + (1 M) V M 2 K 2 + M, dx dt = V (1 X) 3 K 3 + (1 X) V X 4 K 4 + X, (2a) (2b) (2c) met C V 1 = V M1 K c + C, V 3 = V M3 M. (21) waarbij de drie toestandsvariabelen C de concentratie cycline terwijl M en X de fractie actieve cdc2 kinase (een enzym dat een enzym van zijn precursor activeert) en de fractie actieve cycline protease (een enzym dat deelneemt aan de afbraak van cycline) zijn. Merk op dat vanwege het feit dat de som van de fracties actieve en niet actieve gelijk één de niet actieve fracties 1 M en 1 X zijn. De parameters hebben de volgende betekenis: v i is de constante snelheid van cycline synthese; v d maximum snelheid van cycline degradatie door protease X, dat maximum wordt bereikt wanneer X = 1; K d en K c zijn de Michaelis constanten voor cycline degradatie en cycline activatie van de phosphatase dat werkt op de gefosforileerde vorm van cdc2 kinase; k d eerste orde snelheidsconstante voor de degradatie van cycline. Verder zijn er de maximum snelheid en Michaelis constanten V i, K i, i = 1 4 voor de vier enzymen E i, i = 1 4 die betrokken zijn bij de twee cycli, namelijk de de phosphatase cdc25 (E 1 ) en de kinase wee1 (E 2 ) die inwerken op de activatie deactivatie van het cdc2 molecule, de cdc2 kinase (E 3 ) zelf en de phosphatase (E 4 ) die inwerken op de activatie deactivatie van cycline protease. Dit model is niet-lineair, vanwege de Michaelis-Menten termen, soms gecombineerd met eerste-orde massa-werkingstermen. Voor de evenwichtswaarden bestaan geen eenvoudige uitdrukkingen. Deze moeten numeriek bepaald worden. Dat houdt in dat alle parameters een waarde moeten hebben. We zullen hier waarden gebruiken die realistisch zijn voor snel delende cellen (met een delingstijd van ongeveer 3 min) van een amphibie-embryo. Als een 7

8 evenwicht bepaald is kan de Jacobiaan uitgerekend worden. Het teken van de reële delen van de eigenwaarden geven uitsluitsel over de stabiliteit van het evenwicht. Dat de oplossing niet altijd naar een evenwicht convergeert is te zien in Figuur 6 waar voor specifieke parameter waarden de oplossing na een inschakel verschijnsel blijft slingeren. Dit hebben we natuurlijk ook nodig als we de cel cyclus willen modelleren. Dus in principe heeft dit model gewenste eigenschappen waarbij uiteraard de periode van de populatie nog wel afhangt van de parameterwaarden. Voor de gekozen parameterwaarden is dat ongeveer 3 minuten. Eerst stijgt de concentratie cycline C ongeveer lineair als gevolg van de contante toevoer term v i in (2a) die blijkbaar veel groter is dan de som van de twee afbraak termen. De parameterwaarde voor k d is zo gekozen dat de niet-specifieke decompositie van cycline bij lage concentraties verwaarloosbaar is tijdens de interfase. Ook is de fractie actieve X zo laag dat de specifieke decompositie van cycline laag is. In Figuur 6 zijn de tijdsafgeleiden dc/dt, dm/dt, dx/dt in de onderste grafiek getekend. We zien dat M en X niet alleen klein zijn maar dat ook hun tijdsafgeleiden klein zijn. X neemt zeer langzaam toe, terwijl de fractie actieve cdc2 kinase M wat sneller toeneemt. Aan het begin van de mitose wordt ook cycline protease X snel actief. Als gevolg daarvan neemt de concentratie cycline C tijdens de mitose af. Deze neergang gaat door zodat cdc2 kinase sterk inactief wordt (dalende M) en even later ook cycline protease (dalende X). Als M klein geworden is, is X = een evenwichtswaarde voor vergelijking (2c) zodat X bijna nul blijft tot M weer toegenomen is. Blijkbaar zijn de waarden van de parameters zo dat een kleine M-waarde de evenwichtswaarde is voor vergelijking (2b). Met andere woorden M en X zijn klein en te gelijker tijd ook hun tijdsafgeleiden, of te wel zowel cdc2 kinase als cycline protease zijn beide weer inactief geworden. Dit punt geeft het eindpunt van de mitose weer, waarna alles weer van voren af aan begint met de lineaire toename van cycline waarbij dc/dt v i en klein blijven van X en in mindere mate M in de interfase. Toch zullen niet bij alle parameterwaarden oscillaties optreden. Figuur 7 geeft een één parameter bifurcatie diagram waar K 1 = K 2 de bifurcatie parameter is. Langs de verticale as zijn de evenwichtswaarden van C, M, X uitgezet. Er zijn drie punten aangegeven met H i, i = 1, 2, 3. In een kritieke punt waarin het reële deel van de eigenwaarden nul is, wordt een Hopf bifurcatie punt genoemd. Tussen H 1 en H 2 is het evenwichtspunt stabiel. Aan de éne kant van H 1 is het evenwichtspunt een instabiele spiraal en aan de andere kant een stabiele spiraal. Precies in het bifurcatie punt is het evenwichtspunt labiel, zie Figuur 8. Als dat evenwichtspunt instabiel is dan oscilleert de oplossing en worden in de Figuren 7 en 8 ook de minimum en maximum waarde van de toestandsvariabelen tijdens zo n periodieke oplossing aangegeven. Dus bij toenemende K 1, is het evenwicht eerst instabiel en wordt dan stabiel in H 1 maar wordt in H 2 -punt weer instabiel. Voorbij dit punt is de stationaire oplossing weer een stabiele cyclus. Bij verder toenemende K 1 blijft dit zo tot in punt T c waar deze cyclus samenvalt met een instabiele limiet cyclus, zie Figuur 8. Deze instabiele limiet cyclus verdwijnt bij afnemende K 1 in het derde Hopf bifurcatie punt H 3. Dit punt is ook een Hopfbifurcatie punt. Echter zoals de figuren laten zien is het lange termijn gedrag voor K 1 -waarden rond punt H 3 verschillend van die rond de punten H 1 en H 2. Dat kunnen we zien in Figuur 9 waar K 1 = 6 een waarde tussen H 3 en T c. Naast het stabiele evenwicht is er nu ook een stabiele limiet cyclus. Er zijn dus twee attractoren waarnaar een oplossing kan convergeren. Maar dat brengt met zich mee dat naar welke attractor de oplossing convergeert af moet hangen van de beginvoorwaarden. Elke attractor heeft een bazin van attactie. Dit is een gebied in de (drie-dimensionale) toestandsruimte waarvoor geldt dat als de beginvoorwaarden 8

9 binnen dat gebied liggen de oplossing naar de attractor convergeert. Bij twee attractoren wordt de ruimte dus opgesplitst in twee bazins en hangt het van de beginvoorwaarden af naar welke attractor de oplossin uiteindelijk naar toe gaat. Hier hebben we blijkbaar zo n geval en de onstabiele limiet cyclus er tussen in ligt precies op de scheidslijn van de twee bazins. Als we voor een waarde van K 3 = K 4 laten variëren en de andere parameters K 1 = K 2 vast houden krijgen we soortgelijke plaatjes. In Figuur 1 worden beide parameter paren gelijktijdig veranderd. Er is nu een gebied waar het evenwicht stabiel en een gebied waar oscillaties optreden, namelijk daar waar ten minste één van de constanten klein is. Deze gebieden worden gescheiden door een Hopf bifurcatie curve. 6 Opmerkingen We zien dat een autonoom één dimensionaal systeem niet kan gaan slingeren en een twee dimensionaal systeem kan dat wel. Een drie dimensionaal systeem kan chaos vertonen, waarbij er sensitiviteit ten opzichte van de beginwaarden optreedt. Dat betekent dat het systeem praktisch onvoorspelbaar is. En dat terwijl het systeem toch deterministische is, dat wil zeggen dat het toeval geen rol speelt in de modelformulering. De analyse van dat soort systemen kan ingewikkeld zijn waarbij het gebruik van computer-pakketten onmisbaar is. Referenties Goldbetter, A. (1997). Biochemical oscillations and cellular rhytms. Cambridge University Press, Cambridge. van Leeuwen, I. M. M. and Zonneveld, C. (21). From exposure to effect: a comparison of modeling approaches to chemical carcinogenesis. Mutation Research, 489: A Een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen We beschouwen eerste een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde m d2 x + kx =. (22) dt2 We nemen aan dat m >. Dit systeem is equivalent met een twee dimensionaal systeem met twee toestandsvariabelen x en v. We definieren daartoe v = dx/dt, dan levert dat op dx dt = v, dv dt = k m x. (23a) (23b) Evenals hierboven voor een lineaire vergelijking proberen we de oplossing x(t) = ae λt en v(t) = be λt. Dat geeft dx/dt = aλe λt en dv/dt = bλe λt. Substitutie levert de volgende twee vergelijkingen op: aλ = b, bλ = ka/m. (24a) (24b) 9

10 Dit zijn twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden a en b. In het algemeen is de oplossing de triviale, namelijk a = b =. Maar we wisten al dat dat een oplossing was. We zijn op zoek naar niet-triviale oplossingen. Daartoe geven we λ een speciale waarde, namelijk λ 2 = k/m. Dan liggen a en b niet afzonderlijk vast, we mogen één kiezen en de andere wordt dan wel door het stelsel vastgelegd. Als we a = 1 nemen dan geldt b = λ. Stel dat k <. Er zijn twee oplossingen λ = ± k/m en de algemene oplossing van het stelsel (23) is x(t) = a 1 e k/m t + a 2 e k/m t, (25a) v(t) = a 1 k/m e k/m t a 2 k/m e k/m t. (25b) De twee parameters a 1 en a 2 worden vastgelegd door de beginvoorwaarden: x() = a 1 + a 2 en v() = k/m(a 1 a 2 ). Als bijvoorbeeld de beginvoorwaarden x() = 1 en v() = zijn, dan is de oplossing met a 1 = a 2 = 1/2: x(t) = 1/2(e k/m t + e k/m t ), (26a) v(t) = 1/2 k/m(e k/m t e k/m t ). (26b) Maar nu wat als k > en m >? De vergelijking is nu die van een massa-veer systeem waarbij m de massa en k de veerstijfheid zijn. Indien de vergelijking (22) een realistische beschrijving zal kunnen geven dan moeten beide parameters positief zijn. Men definieert vaak de hoeksnelheid ω = k/m. Nu heeft de vergelijking λ 2 = k/m geen reële oplossing, immers de wortel uit een negatief getal bestaat niet in het rijk van de reële getallen. Maar wel als we zogenaamde complexe getallen toelaten. Men definieert dan i = 1 waarbij i de imaginaire eenheid is. In het algemeen kunnen complexe getallen altijd beschreven worden als z = a + ib waarbij z complex is en a en b reëel zijn. Dit geeft λ = ±iω, dus het reële deel is nul, zo n getal noemt met zuiver imaginair. De algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen (23) is nu x(t) = a 1 e iω t + a 2 e iω t, v(t) = iω ( a 1 e iω t a 2 e iω t). (27a) (27b) We kunnen dit resultaat in gebruikelijker termen uitdrukken door gebruik te maken van de relatie: e iθ = cos θ + isinθ waarbij θ een reeël getal is (denk weer aan z = a + ib). Dus de oplossing kan ook geschreven worden met enkel reële getallen: x(t) = cos(ω t), v(t) = ω sin(ω t). (28a) (28b) Door substitutie in het stelsel (23) is na te gaan dat dit inderdaad de oplossing is en dat bovendien aan de beginvoorwaarden voldaan wordt. Merk op dat deze oplossing een slingering voorstelt met hoeksnelheid ω en met een amplitude van 1. De variabele v is overigens in dit voorbeeld de tijdsafgeleide van de verplaatsing x en dus een snelheid. De beginvoorwaarde geeft dus een uitwijking x() = 1 en snelheid v() = op tijdstip t =. We zien dat een slingering ontstaat als de λ s imaginair zijn. Bij reële λ is er geen sprake van slingerend gedrag. Of de oplossingen uitdempen of juist opslingeren is nog niet duidelijk. Maar waar zou het naar toe moeten convergeren voor toenemende tijd t? Hiervoor komt 1

11 eigenlijk alleen de triviale oplossing x(t) = en v(t) = in aanmerking, immers als we deze oplossing substitueren in het stelsel differentiaalvergelijkingen dan zien we dat het een oplossing is als we de begin condities niet meerekenen. Maar wanneer is er nu convergentie naar dit punt? Om een antwoord te vinden bestuderen we een algemener lineair stelsel vergelijkingen waarbij de twee toestandsvariabelen x en y worden genoemd ) ( ) ) x ( dx dt dy dt = J y = ( ) ( J11 J 12 x J 21 J 22 y. (29) We proberen weer de volgende oplossing ( ) ( x a1 e = λt ) y a 2 e λt. (3) Substitutie in (29) geeft ( ) ( ) (J11 λ)a = 1 + J 12 a 2 J 21 a 1 + (J 22 λ)a 2. (31) De oplossing a 1 = a 2 = is weer de triviale oplossing waar we niet in geïnteresseerd zijn. Opdat een niet-triviale oplossing bestaat moet λ aan een voorwaarde voldoen. Namelijk het moet de oplossing van de volgende vierkantsvergelijking zijn Er zijn twee oplossingen, namelijk λ 2 (J 11 + J 22 )λ + J 11 J 22 J 12 J 21 =. (32) λ 1,2 =.5(J 11 + J 22 ) ±.25(J 11 + J 22 ) 2 (J 11 J 22 J 12 J 21 ), (33) en de beide waarden worden eigenwaarden genoemd. Men definieert vaak de volgende grootheden van een vierkante matrix zoals J, namelijk het spoor (trace in het engels), tr J, de determinant, det J, en tenslotte de discriminant, disc J Dit vereenvoudigt de vergelijking (33) tot en de oplossing (33) tot Dit levert meteen de volgende verwantschappen op tr J = J 11 + J 22, (34) det J = J 11 J 22 J 12 J 21, (35) disc J =.25 (tr J) 2 det J. (36) λ 2 tr J λ + det J =, (37) λ 1,2 =.5(tr J ± disc J). (38) tr J = λ 1 + λ 2, (39) det J = λ 1 λ 2. (4) 11

12 We nemen vooralsnog even aan dat de uitdrukking onder het wortelteken, de discriminant, positief is (reële oplossingen), dus disc J >. We hebben stelsel (31) nog steeds niet opgelost. Als λ gelijk aan één van de twee eigenwaarden is dan ligt de verhouding tussen a 1 en a 2 vast door (31). De eerste vergelijking van (31) geeft voor λ = λ i de verhouding van de twee onbekenden x en y. In vector-notatie krijgen we ( ) ( ) J12 J12 v 1 = en v λ 1 J 2 =. (41) 11 λ 2 J 11 De vector v i wordt de eigenvector bij λ i genoemd. Er geldt dus ) ( ) x = J = λ i v i. (42) y Stel nu even dat ( dx dt dy dt ( ) x() y() = c i v i, (43) waarbij c i een willekeurig getal is. Dan is de oplossing ( ) x(t) = c i e λit v i. (44) y(t) Met andere woorden, als we starten met x en y in een behaalde verhoudingen aangegeven met v i, i = 1, 2, dan blijft die verhouding bestaan en het tijdsafhankelijk deel is e λit. Op deze manier hebben we door substitutie van een probeer-functie (3) de oplossing van het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen gevonden als de verhouding tussen x() en y() zo gekozen worden dat de verhouding tussen x(t) en y(t) voor alle t dezelfde blijft. We hebben een situatie als bij het vinden van de oplossing van één differentiaalvergelijking. Nu bij algemene beginvoorwaarden nog. Men kan laten zien dat de oplossing te schrijven is als ( ) x(t) = c y(t) 1 e λ1t v 1 + c 2 e λ2t v 2, (45) waarbij λ 1 en λ 2 eigenwaarden en v 1 en v 2 de bijbehorende eigenvectoren van de matrix J zijn. De constanten c 1 en c 2 worden op de volgende manier vastgelegd door de beginvoorwaarden x() en y() ( ) ( ) c1 (J12 y() (λ = 2 J 11 )x())/(λ 1 λ 2 ). (46) ((λ 1 J 11 )x() J 12 y())/(λ 1 λ 2 ) c 2 Merk op dat we stiekem aangenomen hebben dat λ 1 λ 2. Als disc J < proberen we in (33) de wortel uit een negatief getal trekken. Er zijn twee complex toegevoegde eigenwaarden λ = α+iβ en λ = α iβ. De twee complexe eigenvectoren worden aangegeven met v en v. De oplossing is nu ( ) x(t) = c y(t) 1 e λt v + c 2 e λt v, (47) 12

13 waarbij c 1 en c 2 twee complexe constanten zijn vastgelegd door de beginvoorwaarden x() en y(). De oplossingen en de beginvoorwaarden zijn uiteraard reeel en daarmee zijn ook deze twee complexe constanten complex geconjugeerd. Daarnaast geldt altijd bij complexe e-machten en sinussen en cosinussen e iβt = cos(βt) + i sin(βt), e iβt = cos(βt) i sin(βt) Dit alles gecombineerd met c = c 1 en c = c 2 geeft ( ) x(t) = 2Re ( ce βt v ), (48) y(t) We definiëren verder nog v = u 1 +iu 2 en v = u 1 iu 2 en c = d 1 +id 2. Dus α, β, u 1, u 2, d 1, d 2 zijn allemaal reeël. Dan ( ) x(t) = 2e αt( (d y(t) 1 cos(βt) d 2 sin(βt)u 1 ) (d 2 cos(βt) + d 1 sin(βt)u 2 ) ), (49) Dus, als het reeël deel van de eigenwaarden negatief, dat wil zeggen α < of J 11 + J 22 <, het evenwichtspunt asymptotisch stabiel is. Is dat geval weten we zeker dat de oplossing uiteindelijke naar het evenwicht convergeert ongeacht de beginvoorwaarden. Andersom geldt dat als het reeël deel van de eigenwaarden positief is de oplossing explodeert en het evenwicht instabiel is. In het algemeen zal de verhouding x en y in de tijd veranderen maar deze oplossing (49) voor algemene beginvoorwaarden laat zien dat we toch conclusies kunnen trekken over asymptotisch gedrag op grond van de situaties zoals boven beschouwd waarbij met speciale verhoudingen gestart werd aangegeven met v i, i = 1, 2. We concluderen dat als beide eigenwaarden negatief reëel zijn, op oplossing naar de triviale oplossing x =, y = convergeert, anders worden de toestands variabelen onbeperkt groot als de tijd naar oneindig gaat. De triviale oplossing x =, y = wordt dan een stabiele knooppunt genoemd. Waar ook gestart wordt de baankromme in het fase-vlak (x, y) gaat naar de oorsprong, dat wil zeggen naar de triviale oplossing x =, y =. Als beide eigenwaarden positief reëel zijn dan is het een instabiele knooppunt. De baankromme s verwijderen zich van de oorsprong. Is één eigenwaarde negatief en de ander positief dan noemt men zo n punt een zadelpunt. In beide laatste gevallen kan de oplossing onbegrensd groeien maar er is een vaste combinatie van x en y waarbij als daarmee begonnen wordt de baankromme toch naar de oorsprong gaan. Als de eigenwaarde zuiver imaginair zijn blijft de oplossing slingeren en de baankromme vormt een gesloten kromme rond de oorsprong. Er is dan geen convergentie naar dat zogenaamde centrumpunt. Nu nog als de eigenwaarden complex zijn waarbij zowel de reële delen als imaginair delen niet nul zijn. Merk overigens op dat deze eigenwaarden altijd hetzelfde reële deel hebben en dat hun imaginaire delen tegengesteld van teken zijn, zie vergelijking (38). Zo n punt wordt een spiraalpunt genoemd. Als de reële delen negatief zijn dan is het een stabiel spiraalpunt en als ze positief zijn dan een instabiel spiraalpunt. In het eerste geval gaat de baankromme altijd spiraliserend naar de oorsprong, terwijl de baankromme in het tweede geval zich er juist spiraliserend ervan verwijdert. We hebben een criterium waaronder de oplossing naar de oorsprong convergeert. Als de eigenwaarden een negatief reëel deel hebben dan is er altijd convergentie naar de triviale 13

14 oplossing. Wat maakt deze triviale oplossing zo bijzonder? En het bestaan van de λ s hangt af van het lineair zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen. Wat nu te doen bij nietlineaire differentiaalvergelijkingen? In dat geval worden de vergelijkingen gelineariseerd en (in)stabiliteit van dit gelineariseerd systeem impliceert (in)stabiliteit van oorspronkelijk stelsel Als het reëel deel van de eigenwaarden negatief is dan is het evenwichtspunt asymptotisch stabiel. In dat geval weten we zeker dat de oplossing uiteindelijke naar het evenwichtspunt convergeert ongeacht de beginvoorwaarden. Dit geldt onder zeer algemene voorwaarden als we dicht genoeg in de buurt van het evenwichtspunt starten. Maar hoe dicht is dicht genoeg? Die vraag is in het algemeen moeilijk te beantwoorden omdat er meerdere oplossing kunnen zijn zoals we in paragraaf 4.1 zullen zien. Maar wat als het evenwichtspunt instabiel is? Dan is er tenminste één eigenwaarde van de Jacobiaan met een positief reëel deel. Dit geeft aan dat een kleine verstoring steeds groter wordt (zie (47) als t ). Maar vaak weten we dat de oplossing begrensd is. Vanwaar deze schijnbare tegenspraak? Omdat we ons even beperkt hebben tot het gelineariseerd systeem. Als de afwijking vanuit evenwichtspunt groot genoeg wordt is de lineaire benadering niet meer van toepassing en blijkbaar zorgen de niet-lineaire effecten ervoor dat de oplossing begrensd blijft. Maar waar gaat de oplossing dan naar toe. In het algemeen niet naar het evenwichtspunt, zeker niet als dat afstotend is, d.w.z. dat alle eigenwaarden positief reële delen hebben. Als er ook eigenwaarden zijn met negatief reeël deel dan is het mogelijk dat de oplossing uiteindelijk toch naar het evenwichtspunt in dit geval een zadelpunt, terugkeert. We gaan daar niet verder op in. De oplossing moet ergens naar toe gaan. Vaak is dat een éénduidige periodieke oplossing, of te wel een gesloten baan in het fase-vlak rond het instabiel evenwichtspunt. Evenals een evenwichtspunt kan een periodieke baan in het algemeen ook asymptotisch stabiel of instabiel zijn. We hebben hier met een uitzondering te maken. De limiet cyclus is namelijk labiel, dat wil zeggen dat als we een ander beginvoorwaarde nemen die niet op de limiet cyclus ligt, dan de oplossing een andere periodieke baan in het fase-vlak rond het instabiel evenwichtspunt. De periodieke oplossingen van het eenvoudig model voor de cel-cyclus in 5 zijn wel stabiel. 14

15 1.8 Gompertz logistisch.6 N(t) t Figuur 1: De tumor-grootte x(t) als functie van de tijd t voor logistische groei-vergelijking (2) en Gompertz groei-vergelijking (4). De beginvoorwaarde is x() =.1 en de parameter waarden zijn K = 1 en r = 1 voor logistische groei en r = 1 voor Gompertz groei. 15

16 tr J zadel instabiele knoop instabiele spiraal det J stabiele spiraal zadel stabiele knoop Figuur 2: Classificatie van evenwichtspunten van een stelsel van twee lineaire differentiaalvergelijkingen. Merk op dat tr J = Re λ 1 + Re λ 2 en det J = λ 1 λ 2. Op de gebogen gestreepte lijn is disc J =.25 (tr J) 2 det J =, dat wil zeggen, tr J = ± 4 det J. Rechts van deze lijn zijn de eigenwaarde toegevoegd complex en links van de lijn zijn de beide eigenwaarden reéel. In het linker halfvlak is één eigenwaarde negatief en daarmee het evenwichtspunt een zadelpunt. Voor het rechter halfvlak weten we alleen dat de reële delen van beide eigenwaarden positief (instabiel evenwichtspunt) of beide negatief (stabiel evenwichtspunt) zijn. Voor een knooppunt zijn de eigenwaarden reëel en er geldt disc J > en hebben bovendien hetzelfde teken. Voor een spiraalpunt zijn de eigenwaarden toegevoegd complex en er geldt disc J <. Dus in het rechter-boven halfvlak is er instabiliteit en in het rechter-ondervlak stabiliteit. Als tr J = zijn de eigenwaarden in het rechter halfvlak zuiver imaginair en dan heet het evenwichtspunt een centrumpunt zoals bij het voorbeeld van een massa-veer systeem zonder demping. 16

17 p T 1.75 N p Figuur 3: Eén-parameter bifurcatie diagram voor populatie model met logistische groei en constante tumor wegname. De vrije parameter is p. Getrokken lijn geeft stabiele evenwichtspunten en gestreepte instabiele. De waarden voor de vaste parameters zijn r = 1 en K = 1. 1 p =. p =.25 p =.5.75 N t t t Figuur 4: De tumor grootte als functie van de tijd voor p =., p =.25 en p =.5, steeds voor twee beginvoorwaarden x() =.4 en x() =.6. De waarden voor de vaste parameters zijn dezelfde als in Figuur 3, namelijk r = 1 en K = 1. 17

18 v i Cyclin k d cdc25 v d V 1 M + V 2 M wee1 X + cdc2-kinase V 3 V 4 phosphatase X Figuur 5: Het minimum cascade model van Goldbeter (1997). 18

19 1..8 C, M, X.6.4 C M.2 X t.2 X dc/dt, dm/dt, dx/dt. -.2 C M t Figuur 6: De toestandsvariabelen C, M, X (boven) en hun tijdsafgeleiden dc/dt, dm/dt, dx/dt (onder) als functie van de tijd t. De gebruikte parameter waarden zijn K 1 = K 2 = K 3 = K 4 =.5, v i =.25 µm/min, v d =.25 µm/min, K d =.2 µm en k d =.1 min 1. De beginvoorwaarden zijn C() =.1 µm, M = X =.1. Voorts zijn de maximum snelheidsconstanten V M1 = 3, V 2 = 1.5, V M3 = 1 en V 4 =.5, terwijl K c =.5 µm. 19

20 H 1 H 2 H 3 T c 1.8 C C, M, X M X K 1 Figuur 7: Eén-parameter bifurcatie diagram voor Goldbeter model waarbij K 1 = K 2 gevarieerd wordt. Getrokken lijnen zijn een evenwichtswaarden of maximum en minimum waarden gedurende een limiet cyclus. De gebruikte parameter waarden zijn K 3 = K 4 =.2 en alle andere zoals gegeven in Figuur 6. De gestreepte lijn geeft een instabiel evenwicht aan. De punten aangegeven met H zijn zogenaamde Hopf bifurcatie punten. Bij variatie van de bifurcatie parameter K 1 over dit punt verandert het evenwichtspunt van stabiel naar instabiel (of andersom) en ontstaat (of verdwijnt) een periodieke oplossing rond het instabiel evenwichtspunt. In het punt T c komen twee limiet cycli (één stabiel en één instabiel) bijelkaar en verdwijnen gezamenlijk als K 1 verhoogd wordt. 2

21 H 1 H 2 H T c C K 1 K 1 Figuur 8: Details van het één-parameter bifurcatie diagram 7 voor twee intervallen voor K 1 rond bifurcatie punten. Getrokken lijnen zijn een stabiele evenwichtswaarden of maximum en minimum waarden gedurende een stabiele limiet cyclus. De gestreepte lijnen geven instabiele evenwicht of een instabiele limiet cyclus aan. De punten aangegeven met H zijn Hopf bifurcatie punten. In het punt T c komen twee limiet cycli (één stabiel en één instabiel) bijelkaar en verdwijnen gezamenlijk als K 1 verhoogd wordt. 21

22 X M C Figuur 9: Banen van de twee limiet cycli voor K 1 = 6 die rond het stabiel evenwichtspunt bestaan. De binnenste cyclus is instabiel en de buitenste limiet cyclus stabiel. 22

23 1 K3 = K stabiel evenwicht H instabiel evenwicht/oscillaties K 1 = K 2 Figuur 1: Twee-parameter bifurcatie diagram voor Goldbeter model. Getrokken lijn is nu de Hopf bifurcatie curve H die dit parameter vlak in twee gebieden scheidt, te weten rechts-boven evenwichtsgedrag en links-onder slingerend gedrag. 23