Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen

Transcriptie

1 Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept Emiel van Elderen April 8, 28

2 Inleiding In dit document zullen we ons bezig houden met het systematisch oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Deze stelsels vormen de basis voor een wiskundig vakgebied lineaire algebra. Het belang van lineaire algebra voor de toepassingen is, zeker door de enorme toename van de rekenkracht van computers, groot. Vanwege deze grote rekenkracht heeft het modelleren in vele wetenschappelijke disciplines (waaronder bijvoorbeeld mechanica en weersvoorspelling) de laatste decennia een enorme vlucht genomen. Wetenschappers en ingenieurs werken nu aan veel complexere problemen dan bijvoorbeeld in de periode van jullie geboorten. De voorbeelden die ik hier zal gebruiken zijn afkomstig uit de statica (zie ook het boek Statics and mechanics of materials SI edition van R.C. Hibbler). Let op: Statica is zeker niet het enige vakgebied waarop lineaire algebra van toepassing is! 2 Het 2-dimensionaal krachtenspel op een puntmassa Allereerst dit: De eenheden voor kracht, moment en lengte zijn resp. N, Nm en m. In het vervolg worden deze eenheden niet genoteerd. Ook maken we de afspraak dat alle variabelen uit R komen. Gegeven een puntmassa m waarop 3 krachten werken in de gegeven richtingen. (zie figuur ) Op m werken drie krachten F A, F B en F C. Gegeven is dat het systeem in statisch evenwicht is. Bepaal de krachten. De lengte van de rechthoek is en de hoogte is 5. F F A B m F C Figure : Krachtenspel op een puntmassa We kiezen de oorsprong O van het xy-assenstelsel in m, de x-as parallel aan basis van de rechthoek (rechts positief) en de y-as loodrecht op de x-as. (omhoog positief) We merken op dat de richtingen van de krachten voorgeschreven zijn door de vorm van de rechthoek. Zo kunnen we F A, F B en F C respectievelijk gelijk stellen aan het statisch evenwicht geldt F =. Dus F A + F B + F C =. Allereerst schrijven we F C voor: stel x 3 =, dus F C = vergelijkingen: 2x x 2x2 x 2, en x3. Vanwege Dit leidt tot het stelsel

3 2x + 2x 2 = x + x 2 = De oplossing van dit stelsel is eenvoudig ( uit het hoofd) te bepalen: x = 5, en x 2 = 5 en dus F A = 5, FB = 5. Dit stelsel () is een voorbeeld van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden. Een verkorte en handige notatie van () is: 2 2 (2) We kunnen de grootte (niet de richting) van F C onbepaald laten. Dit geeft het volgende stelsel: 2x + 2x 2 = (3) x + x 2 + x 3 = In de andere notatie: 2 2 Dit stelsel (3) is een voorbeeld van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden. De oplossing is niet zoals bij () uniek, er zijn meerdere oplossingen. We geven er twee: x =, x 2 =, x 3 = 2, dit komt overeen met F A = 2, F B = 2 en F C = 2 en x =, x 2 =, x 3 = 2, dit komt overeen met F A = 2, FB = 2 en F C =. 2 Tot slot stellen we dat de kracht F B langs de verticale middellijn werkt i.p.v. langs de diagonaal en dat F A = 2. Bepaal FB, en F C. Nu stellen we F B en F C respectievelijk gelijk aan x en. Dit geeft het volgende stelsel: x2 = 2 (5) x + x 2 = Dit stelsel is onoplosbaar, d.w.z. er zijn geen reële getallen x en x 2 te vinden die voldoen aan beide vergelijkingen. In bovenstaande hebben we te maken met eenvoudige lineaire stelsels die precies één, oneindig veel en geen oplossing(en) hebben. 3 Het 2-dimensionaal krachten- en momentenspel op een staafje We beschouwen een zeer eenvoudig apparaat nl. een staafje AB ( rigid ) in evenwicht waarop krachten en momenten werken. Het type verbinding, bijv. een roller of smooth pin (connection) bij de uiteinden A en B laten voorlopig in het midden. We zullen zien dat dit toch al een bewerkelijk, niet moeilijk, probleem oplevert en dat dus het aanbrengen van een overzichtelijk rekenschema wenselijk is. Beschouw figuur 2 zie blz 42 tabel 4- () (4) 2

4 F A F C = a M b A F B M B C A M = c B de lengte van de staaf is d en AC=l Figure 2: Krachtenspel op een staaf Op het staafje werkt in punt C een gegeven kracht F C = a b en gegeven moment M = c. (let op de locatie van M doet er niet toe!) Hierin zijn a, b en c elementen uit R. Gevraagd: De krachten en momenten in de uiteinden A en B. Zoals eerder gezegd is, is het type verbinding aan de uiteinden onbekend. Nu worden de verbindingen gekarakteriseerd door het feit dat ze al dan niet een kracht kunnen uitoefenen op de staaf, in welke richting en of ze moment kunnen leveren. (zie ). 3. voorbeeld We rekenen de krachten en de momenten uit als gegeven is dat de verbinding bij A een scharnier ( smooth pin, dus het uitgeoefende moment is ) is, de verbinding bij B een roller (dus bij B wordt alleen een verticale kracht omhoog uitgeoefend en er wordt geen moment uitgeoefend), F C verticaal naar beneden werkt met grootte, M =, l = 5 en d =. De oplossing: We kiezen de oorsprong van het xy-assenstelsel in A, de x-as parallel aan de staaf en de y-as loodrecht op x-as omhoog. Uit de gegevens volgt direct dat M A = en M B =, dat F A = x x 2 en F B = waarbij x x3, x 2 en x 3 de drie onbekenden zijn met x 3 positief. Het staafje bevindt zich in evenwicht dus F = en M =. Dit leidt tot het volgende stelsel: x = x 2 + x 3 = x 3 = 5 De oplossing van dit stelsel wordt gegeven door x =, x 2 = 5, x 3 = 5. Dit stelsel (6) is een voorbeeld van een lineair stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden. Een verkorte en handige notatie van (6) is: 5 (6) (7) 3

5 3.2 voorbeeld 2 Zie voorbeeld, maar nu kiezen we bij A voor een fixed support, d.w.z. een verbinding die in principe twee richtingen (x- en y-richting) een kracht en een moment op de staaf uitoefent. Ook. Het onbekende moment bij A stellen gelijk aan x x3 4. Uit x x 2 hier weer F A = en F B = F = en M = volgt: En de verkorte notatie: x = x 2 + x 3 = x 3 + x 4 = 5 5 (8) (9) Het stelsel (8) is een voorbeeld van een lineair stelsel van drie vergelijkingen in vier onbekenden. Het aantal oplossingen is oneindig groot. Geef zelf twee oplossingen. 4 Stelsels lineaire vergelijkingen In deze paragraaf wordt een waslijst van definities begrippen en een stelling gegeven die we in het voorgaande al zijn tegengekomen. Het is kort opgeschreven zonder illustraties. Het advies is om eerst vluchtig kennis te nemen van de eerste twee onderdelen waslijst van definities en een stelling en Oplossen van lineaire stelsels en daarna de voorbeelden uit het onderdeel voorbeelden te bestuderen. Meer over dit onderwerp is te vinden in Waslijst van definities en een stelling definitie Een lineaire vergelijking is een vergelijking van de vorm a x + a 2 x a n x n = b () waarbij a, a 2,..., a n en b reële constanten zijn. De getallen a, a 2,..., a n worden de coëfficiënten van de vergelijking genoemd en b de constante term. definitie 2 Een vector s, s 2,..., s n is een oplossing van de lineaire vergelijking () als vervanging van x door s, x 2 door s 2,..., x n door s n de vergelijking kloppend maakt. definitie 3 Een eindig stel (eventueel één) lineaire vergelijkingen, allemaal met de dezelfde variabelen, wordt een stelsel lineaire vergelijkingen, of kortweg, een lineair stelsel, genoemd. definitie 4 Een oplossing van een lineair stelsel is een vector die gelijktijdig oplossing is van alle vergelijkingen. definitie 5 De volledige oplossing, algemene oplossing of oplossingsverzameling van een lineair stelsel is de verzameling van alle oplossingen van het stelsel. 4

6 stelling Een lineair stelsel heeft één oplossing, òf oneindig veel oplossingen, òf geen oplossingen. definitie 6 Een lineair stelsel met tenminste één oplossing is consistent. Een stelsel dat geen oplossingen heeft is inconsistent. definitie 7 Twee lineaire stelsels heten equivalent als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben. De algemene gedaante van een lineair stelsel van m vergelijkingen in n onbekenden is a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b n a m x + a m2 x a mn x n = b m () Hierin zijn x, x 2,..., x n de onbekenden, a, a 2,..., a nm de gegeven coëfficiënten (uiteraard elementen van R) en b, b 2,..., b n de gegeven reële constanten. De gebruikte verkorte schrijfwijze van het stelsel () is a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b n..... a m a m2 a mn b m Het getallenschema voor de verticale streep van (2) wordt de coëfficiëntenmatrix genoemd. Deze matrices worden aangegeven met een hoofdletter, bijvoorbeeld met een A. De kolom achter de verticale streep van het stelsel (2) wordt de constante vector genoemd en wordt aangegeven met een vette letter, bijv b. Dus het stelsel (2)kunnen noteren als A b. A b wordt in het vervolg de aangevulde matrix van het stelsel () genoemd. 4.2 Oplossen van lineaire stelsels Doel: het vinden van een snelle en efficiënte methode om lineaire stelsels op te lossen. Liefst m.b.v. een algoritme (recept en dus te programmeren). Strategie: We voeren een stelsel succesievelijk over in een nieuw equivalent stelsel dat eenvoudiger op te lossen is. Hierbij mogen we: Bij een vergelijking een veelvoud van een andere vergelijking optellen. Een vergelijking vermenigvuldigen met een getal ongelijk. Twee vergelijkingen omwisselen. Bovenstaande acties worden rij-operaties genoemd, het uitvoeren van deze operaties wordt vegen genoemd. Doe dit zo dat het nieuwe stelsel de volgende gedaante heeft: De eerste vergelijking bevat zoveel mogelijk onbekenden. (2) 5

7 De tweede vergelijking bevat tenminste één onbekende minder. enzovoorts. Los dit stelsel op middels terugsubstitutie. Een voorbeeld van een aangevulde matrix van een stelsel die aan deze criteria voldoet is:. (3) In de aangevulde matrix van (3) zijn de reële getallen op de plaatsen ongelijk, deze posities worden pivot posities genoemd en de getallen op deze plaatsen pivots. Aan de getallen op de posities worden geen eisen gesteld. 4.3 voorbeelden voorbeeld In dit voorbeeld beschouwen we een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. x 2x 2 = (4) x + 3x 2 = In de verkorte notatie: 2 3 We passen de voorgestelde strategie toe. We tellen de ste vergelijking bij de 2 de op. Het resultaat is: x 2x 2 = (6) x 2 = 9 Nu is stelsel (6) een eenvoudiger equivalent (aan (6)) stelsel dat door terugsubstitutie is op te lossen: x 2 = 9 en dus (we substitueren 9 voor x 2 in de eerste vergelijking) x = 7. Ga na dat de vector 7, 9 de unieke oplossing is van stelsel (4). Dit alles in de verkorte notatie: 2 3 Dit laatste komt overeen met stelsel (6). wordt 2 9 (5) voorbeeld 2 Een voorbeeld van een stelsel met drie vergelijkingen in drie onbekenden: x 2x 2 + x 3 = 2x 2 8x 3 = 8 4x + 5x 2 + 9x 3 = 9 (7) De oplossing: We starten met de bijbehorende aangevulde matrix van het stelsel (7) en vegen deze naar echelonvorm: 6

8 , , Bij de overgangen tussen de aangevulde matrices hebben de volgende acties plaatsgevonden: De eerste vergelijking is 4-maal opgeteld bij de derde vergelijking zodat de -4 naar wordt geveegd. De tweede rij is 3-maal bij 2-maal de laatste rij opgeteld. Het laatste schema hoort bij het stelsel: x 2x 2 + x 3 = 2x 2 8x 3 = 8 2x 3 = 6 Nu geldt dat dit laatste stelsel (8) equivalent is met het stelsel (7). Dit laatste stelsel lossen we door terugsubstitutie op: Uit de laatste vergelijking volgt x 3 = 3, dan volgt uit de tweede vergelijking x 2 = 6 en dan volgt uit de eerste vergelijking x = 29. Dit is dus ook de oplossing van stelsel (7). Analyse : Als we de bovenstaande getallen schema s bestuderen dan zien we dat we zo danig vegen dat het aantal beginnullen van een rij steeds toeneemt van de eerste naar de tweede en van de tweede naar de derde rij. Het laatste getallenschema is een equivalente echelon vorm van het stelsel. Bijbehorende vergelijkingen zijn dan door terugsubstitutie op te lossen. Het eerste niet-nul element is de pivot van de eerste rij, 2 is dat van de tweede en 2 is dat van de derde rij. Elke kolom heeft een pivot. Opmerking: De vergelijkingen uit het deze voorbeelden kunnen we meetkundig interpreteren: De vergelijkingen uit het stelsel (4) zijn vergelijkingen van rechte lijnen in het x x 2 -vlak. De oplossing 7, 9 van dit stelsel komt dan overeen met de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen. Zo ook komen de vergelijkingen uit het stelsel (7) overeen met vlakken in de x x 2 x 3 - ruimte (zie hoofdstuk 2 van Stewart 3). Het gemeenschappelijke snijpunt van deze vlakken is de oplossing van het stelsel (4). voorbeeld 3 Dit is een voorbeeld van een stelsel met drie vergelijkingen in drie onbekenden dat inconsistent is: x 2 + 4x 3 = 8 2x 3x 2 + 2x 3 = (9) 5x 8x 2 + 7x 3 = De oplossing: Wederom starten we met de bijbehorende aangevulde matrix van het stelsel (7) en vegen deze naar echelonvorm: , 4 8, 4 8, Hierbij hebben de volgende acties plaatsgevonden: (8) 7

9 De eerste rij wordt verwisseld met de tweede rij. De eerste rij wordt -5-maal bij 2-maal de laatste rij opgeteld. De tweede rij wordt -maal bij de laatste rij opgeteld. Het laatste schema hoort bij het stelsel: 2x 3x 2 + 2x 3 = x 2 4x 3 = 8 = 5 Duidelijk is dat de derde vergelijking uit stelsel (2) geen reële oplossingen heeft en dus het stelsel inconsistent is en dat dus het originele stelsel (9) inconsistent is. voorbeeld 4 Een voorbeeld van een stelsel met drie vergelijkingen in drie onbekenden dat oneindig veel oplossingen heeft: x 2 + 4x 3 = 3 2x 3x 2 + 2x 3 = (2) 5x 8x 2 + 7x 3 = Het stelsel is bijna hetzelfde als vorige alleen is in de eerste vergelijking de 8 in een 3 veranderd. Daarom is het veegproroces hetzelfde als het vorige. De aangevulde matrix van het uiteindelijke resultaat is: En dus het uiteindelijke stelsel: 2x 3x 2 + 2x 3 = x 2 4x 3 = 3 = De laatste vergelijking uit (22) kunnen we weglaten, (dit betekent voor de aangevulde matrix dat we een complete nulrij kunnen weglaten) zodat we een stelsel krijgen van twee vergelijkingen in drie onbekenden, een onbekende teveel. Om de oplossingsverzameling van dit stelsel te bepalen is het handig om de variabele uit de niet pivot-kolom vrij te kiezen. Dus: Stel x 3 = λ met λ R. De andere variabelen zijn dan door terugsubstitutie in λ uit te drukken. Zo is x 2 = 3 + 4λ en 2x = + 3(3 + 4λ) 2λ = + λ. Dus x = 5 + 5λ. Uiteindelijk noteren we de oplossingsverzameling van stelsel (2) overzichtelijk met vectoren : x 5 5 x 2 = 3 + λ 4 (23) x 3 De oplossingsverzameling van (2) heeft zo gezegd één vrijheidsgraad (vanwege het feit dat we één variabele vrij kunnen kiezen, in ons geval is x 3 vrij gekozen) Tot slot als we kennis nemen van hoofdstuk 2 van het boek van Stewart (3), dan kunnen we de drie vergelijkingen uit stelsel (2) zien als vergelijkingen van drie vlakken die een gemeenschappelijke snijlijn hebben waarvan de vectorvoorstelling gegeven wordt door (23). 8 (2) (22)

10 voorbeeld 5 Tot slot de oplossingsverzameling van een stelsel van één stelsel van drie variabelen: Beschouw x + x 2 + x 3 = (24) We gaan dit stelsel net zo behandelen als de voorgaande stelsels: De aangevulde matrix is:. Er is één pivotkolom de eerste en twee niet pivot kolommen. De variabelen behorende bij de niet pivot kolommen kiezen we vrij; x 2 = λ en x 3 = µ, waarbij λ en µ elementen zijn van R. Dan x = λ µ. Dit alles in vectornotatie geeft: x x 2 = + λ + µ (25) x 3 Dus de oplossing van de vergelijking (24), die correspondeert met een vlak, is de vectorvergelijking (25), die voorstelt de (parameter-) vectorvoorstelling van hetzelfde vlak. Zie hoofdstuk 2 uit Stewart (3). 5 Toepasingen uit de statica De voorbeelden en 2 uit de derde paragraaf zijn twee mechanische systemen, de eerste is een een bepaald mechanisch systeem omdat de oplossing uniek is en de ander is een onderbepaald mechanisch systeem om dat er oneindig veel oplossingen zijn. Beschouw nu de figuur (2) uit paragraaf 3. Dit is min of meer de algemene twee-dimensionale situatie van een kracht-en momentenspel op starre staaf. Stel we generaliseren dit naar het drie dimensionale geval dan krijgen we het volgende: De gegevens: De staaf met lengte, plaatsen we langs de positieve x-as. Punt C(5,,) waar F C aangrijpt ligt in het midden. De kracht in C en het moment M (nu een drie dimensionale vector) op de staaf geven we door F C = a b c en het moment M = d e f waarbij a, b, c, d, e en f, willekeurig gegeven getallen zijn uit R. Dus, misschien ten overvloede, F C en M zijn geen variabelen van het probleem. Gevraagd: De krachten en momenten in de eindpunten A en B van de staaf. De oplossing: Allereerst gaan we er van uit dat de verbindingen bij A en B moment en kracht kunnen leveren x x 4 x 7 in willekeurige richtingen. We stellen F A = x 2, F B = x 5,M A = x 8, en M B = x 3 x x 6 x 9 x. Bij dit simpele probleem hebben we al te maken met 2 variabelen! x 2 In evenwicht moet gelden dat de vectorsommen F en M t.o.v. punt A beide zijn. Dit is een lineair stelsel van 6 vergelijkingen en 2 onbekenden, waarvan de aangevulde matrix gegeven wordt door 9

11 Commentaar: a b c d e + 5c f 5b. De eerste drie rijen uit (26) zijn afkomstig van F A + F B = F C. 2. Rij vier t/m zes uit (26) zijn afkomstig van M A + M B +,, F B + 5,, F C + M = Ofschoon de matrix niet helemaal een echelon vorm is, is wel in te zien dat het aantal vrijheidsgraden 6 is. Vaak kan extra informatie over bijvoorbeeld de verbindingen bij de punten A en B extra lineaire vergelijkingen opleveren. Stel i De verbinding bij A is een ball-socket -verbinding (zie ) ii De richting van de kracht F B is evenwijdig aan, 2, 3 Aan matrix (26)worden dan vijf extra rijen toegevoegd horende bij de vergelijkingen i x 7 =, x 8 = en x 9 = (M A = ) ii x 5 = 2x 4 en x 6 = 3x 4 (vanwege de voorgeschreven richting van de kracht bij B) De aangevulde matrix is dan: a b c d e + 5c f 5b 2 3 Commentaar: Deze aangevulde matrix hoort bij een lineair stelsel met vergelijkingen en 2 onbekenden, derhalve zal de oplossingverzamelijng geen of oneindig veel oplossingen bevatten. (waarom?) Door dit voorbeeld krijg je ook inzicht in de werkwijze van computerprogramma s bij het doorrekenen van constructies. De oplossingsverzameling van de aangevulde matrix (27) bepalen we met Maple. 2 voor de uit werking van,, F B en 5,, F C zie hoofdstuk 2 3 (26) (27)

12 6 Oplossen van lineaire stelsels met Maple 6. De vectorvergelijking Ax = b We hebben gezien dat we een stelsel kort kunnen noteren met een aangevulde matrix die we kort noteren als A b. Hierin is A de coëffiëntenmatrix en b de bekende vector van het gegeven stelsel. In de lineaire algebra komt dit overeen met een matrix vector vergelijking Ax = b. Dit is een vergelijking van het type ax = b die we allemaal in de brugklas behandeld hebben gekregen. De vette x is de vector x, x 2,..., x n waarbij x, x 2,... enz. de onbekenden zijn. Het is deze notatie vorm waarmee het pakket Maple werkt. We geven de definitie van deze notatie en twee voorbeelden De definitie (betekenis) van de matrix- vector vermenigvuldiging Ax is definitie 8 De vermenigvuldiging tussen en vector matrix A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn x x n x 2 x =. is gedefinieerd als Ax = a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n (28) a m x + a m2 x a mn x n Dus uitkomst van Ax is een vector! Een paar voorbeelden: voorbeeld 6 A = voorbeeld 7 B = en d = en k = 3 4 s t u dan is Ad = dan is Bk = 2 9 s + t + 2 u s + 2 t + 3 u Als we nu Ax = b uitschrijven dan volgt m.b.v. (28),

13 a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2. a m x + a m2 x a mn x n b n De vectorvergelijking (29) is afgezien van de haken niets anders dan het stelsel (), dus het oplossen van Ax = b is dus niets anders dan het oplossen van (). b (29) 6.2 Het oplossen van stelsels met Maple We behandelen hoe we in maple e.e.a. invoeren 3 i. Om met Maple berekingen uit te voeren zoals eerder beschreven moet allereerst het commando with(linearalgebra); ingevoerd worden. 3 ii. Een matrix M als voeren we in als M:=Matrix(,, 3, -,,,,,, -2,, -, 4,, 8, -); iii. Een vector v voeren we in als v:=vector(,,, ); iv Voor de oplossingverzameling matrix-vector vergelijking M x = v gebruiken we het commando LinearSolve(M, v); v. Door de coëfficienten matrix A te vermenigvuldigen met een oplossing uit iv, een vector, kunnen we de uitkomsten controleren. het maple-commando Multiply(M,w); berekent het matrix-vector product van de matrix M met de vector w Op hierna volgt de letterlijke maple-sheet waarmee je aan de slag kunt gaan! 3 zie glossary bij mathematics-linear-algebra overview 2

14 6.2. De letterlijke Maple-sheet Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen in vorm "Ax = b" met behulp van Maple. (zie glossary bij mathematics-linear-algebra overview) We behandelen i. Hoe we een matrix invoeren, ii Hoe we een vector invoeren, iii Hoe we een matrix vector vergelijking oplossen en iv. Hoe we door matrix-vectorvermenigvuldiging een oplossing uit iii kunnen we controleren. De maple-commando s die hier behandeld worden zijn: with(linearalgebra), LinearSolve(M, v), Matrix, Vector, LinearSolve, Multiply De commando s werken alleen in de omgeving with(linearalgebra). > with(linearalgebra): Invoeren van een matrix mbv Matrix: > M:=Matrix(,, 3, -,,,,,, -2,, -, 4,, 8, -); Invoeren van een vector mbv Vector: > v:=vector(,,, ); Het oplossen van het stelsel Mx = v > LinearSolve(M, v); Met het onderstaande commando Multiply wordt het matrix-vector product uitgerekend van matrix M en vector w, hierbij is w de oplossing van Mx = v. Hiermee controleren we het antwoord. > w:=linearsolve(m, v);multiply(m,w); Hieronder lossen we een stelsel Ax = b op van twee vergelijkingen met drie onbekenden waarvan de oplossingsverzameling oneindig veel oplossingen bevat.: > A:=Matrix(,,2,,2,3);b:=Vector(, );x:=linearsolve(a, b); De uitvoer is wat klungelig genoteerd. We hebben hier te maken met vrijheidsgraad en oneindig veel oplossingen Tot slot een voorbeeld van een inconsistent stelsel. > C:=Matrix(,, 2,2);d:=Vector(, 3);x:=LinearSolve(C,d ); > De oplossing van stelsel behorende bij de aangevulde matrix van (27) Allereerst de ingevoerde maple sheet inclusief resultaten: Maple-sheet horende bij vergelijking (27) van paragraaf 5. > restart:with(linearalgebra):activeren van de lineaire algebra commando s Invoeren van de coefficienten matrix M: > M:=Matrix(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,-,,,,,,,,,,,3,,-,,,,,,): > evalm(m);dit commando evalueerd matrices en vectoren. 3

15 2 3 evalm(v);(invoeren van de bekende vector, en evaluatie met commando evalm) > v:=vector(-a,-b,-c,-d,-e+5*c,-f-5*b,,,,,): -a, -b, -c, -d, -e + 5 c, -f - 5 b,,,,, (Bepalen van de oplossngs verzameling) > w:=linearsolve(m, v):evalm(w); t3 4 a 2 t3 4 b 3 t3 4 c t3 4 2 t3 4 3 t3 4 d 3 t3 4 e + 5 c 2 t3 4 f 5 b Mooier genoteerd als a, b, c,,,,,,, d, e+5c, f 5b+λ, 2, 3,, 2, 3,,,,, 3, 2 4

16 We controleren: Voor lambda; = en zien dat het klopt: > v:=vector(-a,-b,-c,,,,,,,-d,-e+5*c,-f-5*b):(v is een oplossing voor > lambda = ) > g:=multiply(m,v):(matrix-vectorvermenigvuldiging van matrix M met vector v) > evalm(g);(evaluatie van het resultaat). -a, -b, -c, -d, -e + 5 c, -f - 5 b,,,,, We controleren: Voor lambda; = en zien dat het klopt: > v2:=vector(-a-,-b-2,-c-3,,2,3,,,,-d,-e+5*c+3,-f-5*b-2): g:=multiply(m,v2):evalm(g); > -a, -b, -c, -d, -e + 5 c, -f - 5 b,,,,, Uit de maple sheet blijkt dat de oplossingsverzameling van (27) gegeven wordt door a, b, c,,,,,,, d, e + 5c, f 5b + λ, 2, 3,, 2, 3,,,,, 3, 2 Dus voor λ = hebben we de volgende krachten en momenten op de staaf: a d F A = b 2, F B = 2, M A = en M B = e + 5c + 3 c 3 3 f 5b 2 Reken na of er inderdaad in deze situatie evenwicht is! Tot slot merken we op dat het oplossen van stelsels een uitstekend rekenmechanisme is om constructies door te rekenen en en om ideeën over producten te modelleren, je kunt ermee analyseren, niet synthetiseren (ontwerpen)! 7 Opgaven Opgave. Gegeven het stelsel x + 7x 2 = 4 2x 9x 2 = 2 a. Geef de aangevulde matrix van dit stelsel. b. Veeg de matrix uit a. naar echelon vorm. c. Geef de oplossingsverzameling van dit stelsel. d. Controleer je antwoord met Maple. 4 Opgave 2. Dezelfde vragen maar nu voor het stelsel 5 x 5x 2 + 4x 3 = 3 2x 7x 2 + 3x 3 = 2 2x + x 2 + 7x 3 = 4 antwoord opgave : 2 5 antwoord opgave 2: inconsistent 5

17 Opgave 3. Gegeven is dat een massa m zich bevindt in de oorsprong O en is opgehangen aandriestaafjes a waar langs krachten werken. Naast deze krachten werkt op m een extra kracht F = b c. Er is statisch evenwicht. a. De richtingen van de drie staafjes zijn 2, 3 moeten de reële getallen a, b en c voldoen en 7 8 b. De zelfde vraag maar nu zijn de richtingen van de drie staafjes c. Welke staafjes bij b (er is evenwicht) kunnen door geknipt worden? 6. Aan welke voorwaarde(n) 2 3, en Opgave 4. Gegeven een horizontale staaf AB (zie ook figuur (2)met lengte van 6m, het gewicht van de staaf is kg. De verbinding bij A is een fixed Support en de verbinding bij B is een smooth contacting surface. Gevraagd de krachten en de momenten in punt A en B. a. Geef een bijbehorend lineair stelsel b. Geef de bij a. horende aangevulde matrix. c. Hoeveel oplossingen heeft het stelsel. d. Geef de oplossing als de grootte van de kracht bij B N is. 7 Opgave 5. Zie opgave 4. alleen i,p.v. een fixed Support kiezen we bij A een smooth pin verbinding (scharnier). Is het systeem bepaald(?) en zo ja, geef dan de momenten in de punten A en B. 8 Opgave 6. Gebruik eventueel Maple. Beschouw figuur 3. De constructie bestaat uit twee staven AB en BC. De lengte tussen A en C is 6 m en tussen B en C 2 m. In C werkt een uitwendige kracht F = F N, in D werkt een kracht van N naar beneden en in E werkt een kracht van 6 N naar beneden. Gevraagd worden F A, F B (kracht vanuit verbinding B op staaf AB, F B2, (kracht vanuit verbinding B op staaf BC, F C, M A, M B (moment vanuit verbinding B op staaf AB), M B2 (moment vanuit verbinding B) op staaf BC en M C. a. Geef een bijbehorend lineair stelsel zonder dat er informatie gegeven wordt over de verbindingen. b. Geef een bijbehorend lineair stelsel als de verbindingen bij B fixed support -, C een roller - en A een smooth pin - verbinding zijn. Geef de oplossing. Laat ook zien de resultaten dezelfde zijn als we het geheel, en terecht, zien als star lichaam. c. Hetzelfde als bij vraag b. maar nu zijn alle verbindingen smooth pin.(is dit een dit een bepaald systeem?) d. Hetzelfde als bij vraag b. maar nu bij C een roller, bij A en B smooth pin. Laat zien dat dit een strijdig stelsel oplevert, 6 antwoord opgave 3a: geen voorwaarden, opgave 3b: a + 2b c =,opgave 3c. één van de drie 7 antwoord opgave 4c: opgave, 4d:F A = 9 N, FB =, MA = 24Nm, M B = Nm 8 antwoord opgave 5: F A = 5 N, FB = 5, MA = Nm, M B = Nm

18 M B F B D E F D = FE = 6 F A F C C M A A M F = F C Figure 3: Een constructie van twee staven B References R.C. Hibbeler: Statics and mechanics of materials SI edition, Pearson Education,Published Prentice Hall (24), ISBN David C. Lay: Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, ISBN James Stewart: Calculus, Early Transcendentals, Thomson, ISBN