Syllabus. Lineaire Algebra. dr. H.G.J. Pijls en dr. C.G. Zaal

Transcriptie

1 Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls en dr CG Zaal Im (L Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 4 augustus 2007

2

3 Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls en dr CG Zaal Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 4 augustus 2007

4

5 Inhoud Notatie iii hoofdstuk : Inleiding De vectorruimte R 2 2 De vectorruimte R Inproduct, uitproduct en volume 9 Het uitproduct van vectoren in R 3 4 Stelsels lineaire vergelijkingen 4 De eliminatie-methode van Gauss 8 5 Opgaven 24 hoofdstuk 2: Vectorruimten 27 Vectorruimten 28 2 Lineaire deelruimten 32 3 Basis en dimensie 37 4 Som en doorsnede van lineaire deelruimten 43 5 Opgaven 49 hoofdstuk 3: Lineaire afbeeldingen 5 Definities uit de verzamelingenleer 54 2 De matrix van een lineaire afbeelding, kern en beeld 56 Kern en beeld 58 3 Matrixrekening 62 De inverse van een (n n-matrix 66 4 De dimensieformule voor lineaire afbeeldingen 69 De rang van een matrix 7 Nogmaals: stelsels lineaire vergelijkingen 73 5 Coördinatentransformaties 76 6 Opgaven 82 hoofdstuk 4: Determinanten 85 Volumefuncties 87 Appendix: de determinant uitgeschreven 93 2 Het berekenen van determinanten 94 Vegen met kolommen en rijen 95 Ontwikkelen naar kolom of rij 95 3 De productregel en de regel van Cramer 98 De regel van Cramer 99 4 Opgaven 05

6 hoofdstuk 5: Eigenwaarden en eigenvectoren 09 Eigenvectoren en eigenwaarden 2 Het karakteristieke polynoom 4 De berekening van eigenwaarden en eigenvectoren 7 3 De stelling van Cayley-Hamilton 20 4 Complexe vectorruimten 23 Een verband tussen reële en complexe vectorruimten 26 Vectorruimten over een lichaam 27 5 Opgaven 30 hoofdstuk 6: Inproduktruimten 33 Inproduktruimten 34 Complexe inproduktruimten 35 De Gram-matrix 36 2 Eigenschappen van het inprodukt 39 3 Orthogonaliteit en orthonormaliteit 43 Het orthonormaliseringsprocédé van Gram-Schmidt 46 Orthogonaal complement en orthogonale projectie 48 4 Opgaven 52 hoofdstuk 7: Afbeeldingen op inproduktruimten 55 Zelfgeadjungeerde afbeeldingen 55 Symmetrische afbeeldingen 58 2 Unitaire en orthogonale afbeeldingen 59 Orthogonale afbeeldingen 62 3 De geadjungeerde afbeelding 68 De geadjungeerde op reële inproduktruimten 70 De spectraalstelling voor normale afbeeldingen 7 4 Opgaven 75 hoofdstuk 8: Toepassingen 8 De kleinste-kwadratenmethode 8 2 Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen 85 Homogene differentiaalvergelijkingen van de n-de orde 88 3 Markov-processen 90 hoofdstuk 9: Jordan-normaalvorm van een matrix 9 Defecte eigenwaarden 9 2 Jordan-normaalvorm 93 3 Jordan-normaalvorm van een lineaire afbeelding 97 4 Opgaven 204

7 Notatie N Z Q R C : de verzameling {, 2, 3, } der natuurlijke getallen : de verzameling {,, 0,, 2, 3, } der gehele getallen : de verzameling der rationale getallen (breuken : de verzameling der reële getallen : de verzameling der complexe getallen : de lege verzameling a A : a behoort tot A, a is element van A a / A : a behoort niet tot A {x A } : de verzameling van alle x A waarvoor geldt {x } : de verzameling van alle x waarvoor geldt A, #A : het aantal elementen of de cardinaliteit van A A B : A is een deelverzameling van B B A : B omvat A; A is een deelverzameling van B A B : de vereniging van de verzamelingen A en B A B : de doorsnede van de verzamelingen A en B A \ B : de verzameling van alle elementen van A die niet tot B behoren A B : het cartesisch product van A en B: A B = { (a, b a A, b B } A n : het n-voudig cartesisch product van A met zichzelf: A n = A } {{ A } = { (a,, a n a i A } n keer P Q : als P waar is, dan is Q waar; uit P volgt Q P Q : P is equivalent met Q; P en Q volgen uit elkaar; P is waar dan en slechts dan als Q waar is x : voor alle x geldt x : er is een x waarvoor geldt n i= x i : de som x + x x n n i= x i : het product x x 2 x n a v : de absolute waarde van een getal a R of a C : de lengte van een vector v <v, w> : het inprodukt van de vectoren v en w a b : het uitprodukt van de vectoren a, b R 3

8 Een aantal griekse letters α alpha ζ zêta ν nu τ tau β bêta η êta ξ ksi φ phi γ gamma θ thêta π pi χ chi δ delta λ lambda ρ rho ψ psi ɛ epsilon µ mu σ sigma ω omega Een aantal griekse hoofdletters Γ gamma Θ thêta Ξ ksi Φ phi delta Λ lambda Π pi Ψ psi Σ sigma Ω omega

9 HOOFDSTUK Inleiding De meetkunde van het platte vlak en de driedimensionale ruimte van de middelbare school vormt het vertrekpunt voor de lineaire algebra Hierin bestuderen we de meetkunde van het platte vlak, de driedimensionale ruimte én van hoger dimensionale ruimten Alle verschijnselen die we zullen tegenkomen, treden in essentie al op in het reële platte vlak R 2 of de reële driedimensionale ruimte R 3 ; deze zullen dan ook steeds weer opduiken als voorbeelden waaraan we houvast kunnen ontlenen In de eerste drie paragrafen wordt in het kort de vectormeetkunde van R 2 en R 3 behandeld In de laatste paragraaf bespreken we een methode om stelsels van meerdere vergelijkingen in meerdere onbekenden op te lossen, de zogenaamde Gauss-eliminatie Deze methode zal ook in latere hoofdstukken steeds weer opduiken De vectorruimte R 2 De verzameling R 2 bestaat uit alle kolomvectoren ( x x 2, met x en x 2 reële getallen: { ( R 2 x = x R, x 2 R} x 2 De getallen x, x 2 worden de componenten of coëfficienten van ( x x 2 genoemd Vaak willen we de vector ( x x 2 opvatten als een punt in het platte vlak we schrijven dan in plaats van ( x x 2 kortweg x x 2 x = x x2 x

10 2 Paragraaf : De vectorruimte R 2 De componenten van x R 2 zullen we vaak stilzwijgend noteren met x en x 2 Vectoren in R 2 kunnen we optellen: ( ( ( x y x + y + = x 2 y 2 x 2 + y 2 en vermenigvuldigen met een reëel getal λ: ( ( x λx λ = x 2 λx 2 Deze vermenigvuldiging heet scalaire vermenigvuldiging (een scalair is een reëel getal Meetkundig zien optelling en scalaire vermenigvuldiging er uit als volgt: 2(a+b b a+b a (a+b De verzameling R 2, tezamen met de hierboven gedefiniëerde optelling en scalaire vermenigvuldiging heet een vectorruimte Definitie Een lijn of rechte is de verzameling van alle punten ( ( ( x a b = + λ, x 2 a 2 b 2 waarbij λ heel R doorloopt Hier zijn ( a ( a 2 en b b 2 gegeven vectoren en is ( b ( b De vector a heet de steunvector, b heet de richtingsvector Een lijn l in R 2 noteren we met: of, in coördinaten, met: l : x = a + λb { x = a + λb l : x 2 = a 2 + λb 2 (λ R, (λ R We spreken van een vectorvoorstelling of parametervoorstelling van l Meetkundig ziet de vectorvoorstelling van een lijn er uit als volgt: a+2b a+b a a-b b 0

11 Hoofdstuk : Inleiding 3 Voorbeeld Uit de vectorvoorstelling van een lijn kunnen we een vergelijking afleiden Bijvoorbeeld, zij l de lijn met: l : ( x = x 2 ( 2 + λ We schrijven dit uit in coördinaten, en vermenigvuldigen de eerste vergelijking met drie: 3x = 6 + 3λ, x 2 = + 3λ Trekken we de tweede vergelijking van de eerste af, dan verdwijnen de termen met λ, en krijgen we 3x x 2 = 5 Dit is een vergelijking van de lijn l, dat willen zeggen, de punten op l voldoen aan deze vergelijking We zeggen: we hebben de parameter λ geëlimineerd Omgekeerd kunnen we uit een vergelijking een vectorvoorstelling afleiden Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking x + 2x 2 = 4 Herschrijf dit als: x = 4 2x 2 Bij elke waarde die we aan x 2 toekennen (bijv λ, hoort precies één waarde van x, namelijk x = 4 2λ Dit geeft de vectorvoorstelling ( x = x 2 ( 4 2λ = λ ( 3 ( 4 + λ 0 ( 2 ( De vergelijking x + 2x 2 = 4 beschrijft dus een lijn, met ( als vectorvoorstelling Voorbeeld 2 Beschouw nu twee rechten l en m in R 2 De doorsnede van l en m kan een punt, een hele lijn of leeg zijn Hoe bepalen we deze doorsnede? Als de lijnen gegeven worden door de vergelijkingen l : 3x x 2 = 5, m : x + 2x 2 = 4, (2 dan vinden we de doorsnede van l en m door het stelsel (2 op te lossen, als volgt Trek drie keer de onderste vergelijking van de bovenste af Dit geeft de vergelijking 7x 2 = 7, waaruit volgt dat x 2 = Met (2 volgt nu x = 2 De doorsnede van de twee lijnen is dus de vector ( 2 De doorsnede kunnen we ook bepalen door de vectorvoorstellingen van l en m te gebruiken We moeten dan beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk stellen: ( ( 2 + λ = 3 ( 4 + µ 0 ( 2 (3 Immers, links staat een vector van l, rechts een vector van m een oplossing van (3 is daarom een vector in de doorsnede l m De coördinaten van (3 bepalen twee vergelijkingen in λ en µ, met als oplossingen λ = 0 en µ = Vullen we deze waarden in (3 in, dan vinden we eveneens ( 2 als de doorsnede van l en m

12 4 Paragraaf : De vectorruimte R 2 Opmerking 2 In de literatuur komt men een veelheid van notaties tegen voor vectoren: v, v, v, v De bedoeling hiervan is tweeledig Ten eerste suggereren deze notaties dat een vector een object is met een richting; in de natuurkunde worden bv krachten voorgesteld door vectoren, omdat deze een richting (en grootte hebben Ten tweede onderscheidt een dergelijke notatie vectoren van bv reële getallen In de lineaire algebra praten we alleen máár over vectoren, daarom gebruiken we liever geen speciale notatie, terwijl we voor scalairen vaak griekse letters (λ en µ gebruiken Van elke vector in ( x x 2 in R 2 kunnen we een pijl maken door vanuit de oorsprong een lijnstuk te trekken naar het punt met deze coördinaten Maar omdat al deze pijlen in de oorsprong beginnen, wordt een vector bepaald door de coördinaten van het eindpunt ( alle krachten grijpen aan in de oorsprong ; voor ons is er wat dat betreft weinig verschil tussen een vector en een punt Wel zullen we vectoren vaak tekenen als een pijl Opmerking 22 Simon Stevin ( staat in de geschiedenisboeken meestal vermeld als uitvinder van een zeilwagen en als vestingbouwer voor Prins Maurits Hij was een veelzijdig man, die ook op het gebied van wiskunde veel geschreven heeft Hij was een der eersten, die vectoren gebruikte om krachten voor te stellen, hoewel hij de naam vector nog niet invoerde Deze werd voor het eerst gebruikt door de Engelse wiskundige W R Hamilton ( Vector is latijn en betekent drager (drager van kracht, snelheid Opgaven bij paragraaf ( ( Laat l de lijn zijn met vectorvoorstelling l : x = + λ 3 (i Bepaal van l een vergelijking, en maak van deze vergelijking weer een vectorvoorstelling Zij m de lijn in R 2 met vergelijking 2x + x 2 = 5 (ii Bepaal van m een vectorvoorstelling, en maak van deze vectorvoorstelling weer een vergelijking 2 Bepaal het snijpunt van de lijnen l en m in R 2 in de volgende 3 gevallen: (i l : 2x + ( y = 2 en ( m : x y = 0, ( ( (ii l : x = + λ en m : x = + λ, 2 4 ( ( (iii l : x + y = 4 en m : x = + λ 0

13 Hoofdstuk : Inleiding 5 2 De vectorruimte R 3 In Paragraaf hebben we de vectorruimte R 2 gedefiniëerd De vectorruimte R 3 bestaat uit kolomvectoren met drie coördinaten x, x 2 en x 3 : x 3 x x 2 x = x 3 x x 2 Deze vectoren kunnen we, net als vectoren in R 2, optellen en scalair vermenigvuldigen: ( x ( y ( x + y ( x ( λx x 2 x 3 + y 2 y 3 = x 2 + y 2 x 3 + y 3 en λ x 2 x 3 = λx 2 λx 3 De verzameling R 3, tezamen met de hierboven gedefiniëerde optelling en scalaire vermenigvuldiging heet de vectorruimte R 3 Definitie Een lijn of rechte in R 3 is de verzameling van alle punten x met vectorvoorstelling ( x x 2 x 3 = ( a a 2 a 3 waar a en b gegeven vectoren zijn en b niet de nulvector a heet de steunvector en b de richtingsvector + λ ( b Definitie Een vlak in R 3 is de verzameling van alle vectoren x met ( x x 2 x 3 = ( a a 2 a 3 + λ ( b waar λen µ beide heel R doorlopen Hier zijn a, b, c R 3 vaste vectoren, en mogen b en c geen scalair veelvoud van elkaar zijn De vector a heet steunvector, b en c heten richtingsvectoren De vectorvoorstelling van dit vlak V is: b 2 b 3 b 2 b 3 + µ, ( c c 2 c 3, V : x = a + λb + µc of in coördinaten uitgeschreven: x = a + λb + µc V : x 2 = a 2 + λb 2 + µc 2 x 3 = a 3 + λb 3 + µc 3 (λ, µ R, (λ, µ R

14 6 Paragraaf 2: De vectorruimte R 3 Meetkundig ziet zo n vectorvoorstelling er als volgt uit: a a+c a+b a+b+c c b b+c Voorbeeld 2 Uit de vectorvoorstelling van een vlak kan een vergelijking worden afgeleid We geven een voorbeeld: zij V het vlak met vectorvoorstelling ( x x 2 x 3 ( ( ( 2 = + λ + µ ( 2 In coördinaten uitgeschreven betekent dit: x = + 2λ + µ V : x 2 = λ µ x 3 = 2 + λ µ We kunnen λ en µ oplossen uit de eerste twee vergelijkingen Door deze bij elkaar op te tellen vinden we λ = x + x 2 2, en door twee keer de tweede vergelijking bij de eerste op te tellen, vinden we µ = x 2x Vullen we dit in de derde vergelijking in, dan vinden we x 3 = 2 + (x + x 2 2 ( x 2x 2 + 3, ofwel 2x + 3x 2 x 3 = 3 (2 Dit is een vergelijking van het vlak V, en deze hebben we gevonden door λ en µ te elimineren Omgekeerd is het mogelijk om uit (2 een parametervoorstelling af te leiden Dit gaat als volgt: bij elke keuze die we maken voor een waarde van x en x 2, bijv x = λ en x 2 = µ, hoort precies één waarde van x 3, namelijk x 3 = 3 + 2λ + 3µ Dit geeft een nieuwe vectorvoorstelling van het vlak V (vglk (: ( x x 2 x 3 ( λ = µ 3 + 2λ + 3µ = ( λ( µ( 0 3

15 Hoofdstuk : Inleiding 7 Voorbeeld 22 Heeft een lijn in R 3 vergelijkingen? In het vorige voorbeeld hebben we gezien dat één vergelijking in x, x 2 en x 3 een vlak bepaalt Eén vergelijking is dus te weinig om een lijn te bepalen, maar met meerdere vergelijkingen lukt dit wel Bijvoorbeeld, zij l de lijn met vectorvoorstelling ( ( ( x 2 2 l : x 2 = + λ x 3 5 In coördinaten uitgeschreven: x = 2 + 2λ, x 2 = λ, x 3 = 5 λ We kunnen λ elimineren door van de tweede vergelijking de derde af te trekken, dit geeft x 2 x 3 = 4 Door twee keer de tweede vergelijking bij de eerste op te tellen vinden we x + 2x 2 = 4 We vinden vergelijkingen van twee verschillende vlakken: V : x 2 x 3 = 4, V 2 : x + 2x 2 = 4, (3 Deze twee vlakken hebben een lijn gemeenschappelijk, namelijk l De vergelijkingen (3 beschrijven dus l als snijlijn van de vlakken V en V 2 In feite gaat er een hele waaier van vlakken door l, en elk tweetal verschillende vlakken uit die waaier heeft l als snijlijn V l V 2 Voorbeeld 23 In R 3 is de doorsnede van twee vlakken in het algemeen een lijn, maar kan ook een vlak zijn of leeg (als de vlakken samenvallen of evenwijdig zijn Voor de doorsnede van drie vlakken geldt iets dergelijks Hoe bepalen we nu de doorsnede? Bekijk bijvoorbeeld de volgende drie vlakken: V : x + x 2 + x 3 = 4, V 2 : x x 2 2x 3 = V 3 : 3x x 2 + x 3 = 2 (4 De doorsnede V V 2 V 3 bestaat uit alle punten die aan alle drie vergelijkingen voldoen Om de doorsnede te bepalen, moeten we dus het stelsel (4 oplossen De enige oplossing hiervan is (ga na: ( x x 2 x 3 = ( Conclusie: de doorsnede V V 2 V 3 bestaat uit één punt

16 8 Paragraaf 2: De vectorruimte R 3 Opgaven bij paragraaf 2 2 Bepaal een vectorvoorstelling van het vlak V door de onderstaande drie vectoren Bepaal ook een vergelijking van V 22 Ga na of de vector ( 2, 3 ( 3 2 en ( ( 2 in volgende vlak V ligt: 4 V : x = ( λ( + µ( Bepaal de snijlijn van de vlakken V : x x 2 + x 3 = 4 en W : x x 3 = 5 24 Bepaal de doorsnede V V 2 V 3 in de volgende twee gevallen: V : x + x 2 + 2x 3 = 0, V 2 : x x 2 = 0, V 3 : 3x + x 2 2x 3 = 0 V : x + x 2 =, V 2 : x 3x 2 + x 3 =, V 3 : x + x 2 + x 3 =

17 Hoofdstuk : Inleiding 9 3 Inproduct, uitproduct en volume De lengte van een vector in x R 3 geven we aan met x Deze kan berekend worden met behulp van de stelling van Pythagoras en is gelijk aan x = x 2 + x2 2 + x2 3 De afstand tussen twee vectoren x en y in R 3 is gelijk aan: x y = (x y 2 + (x 2 y (x 3 y 3 2 Definitie Het inprodukt of scalair produkt van twee vectoren x en y in R 3 (notatie: <x, y> is een getal in R en wordt gedefiniëerd als ( ( x y x 2, y 2 = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 3 y 3 Rekenregels voor het inproduct Het inprodukt van de vectoren x, y en z in R 3 voldoet aan: <x, y> = <y, x>, (symmetrie 2 <λx, y> = <x, λy> = λ<x, y>, (lineariteit 3 <x + y, z> = <x, z> + <y, z>, (distributiviteit 4 <x, x> = x 2 Deze rekenregels zijn vaak handig bij het berekenen van inproducten Het bewijs van bovenstaaande rekenregels is eenvoudig en volgt door uitschrijven Opmerking 3 (De meetkundige betekenis van het inproduct Met behulp van bovenstaande rekenregels kunnen we x y 2 als volgt berekenen: x y 2 = <x y, x y> = <x, x> 2<x, y> + <y, y> = x 2 + y 2 2<x, y> ( We kunnen x y 2 ook rechtstreeks berekenen Zij φ de hoek tussen de vectoren x en y, waarbij 0 φ π De eindpunten van de vectoren x en y noemen we A resp B Vanuit B laten we een loodlijn neer op OA, welke OA in C snijdt Dan is OA = x, OB = y, AB = x y B y O φ C x A

18 0 Paragraaf 3: Inproduct, uitproduct en volume Verder geldt dat BC = y sin φ en OC = y cos φ We kunnen nu x y 2 berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras: x y 2 = AB 2 = BC 2 + CA 2 = y 2 sin 2 φ + ( x y cos φ 2 = x 2 + y 2 2 x y cos φ (2 Vergelijken we de uitdrukkingen ( en (2 voor x y 2, dan vinden we <x, y> = x y cos φ Hiermee vinden we de meetkundige betekenis van het inproduct: Het inproduct <x, y> is gelijk aan het product van de lengte van x en de lengte van de projectie van y op x Bovenstaande formule kan gebruikt worden om de hoek tussen twee vectoren te berekenen, immers er geldt: <x, y> cos φ = x y Deze hoek is scherp als <x, y> positief is, stomp als <x, y> negatief is Verder zien we dat <x, y> = 0 precies betekent dat de vectoren x en y loodrecht op elkaar staan Toepassing 32 (De normaalvergelijking van een vlak Beschouw in R 3 een vlak V en laat d de afstand zijn van de oorsprong O tot V Zij n een vector van lengte die loodrecht staat op V en naar V toe wijst; n heet de normaalvector van V x n φ 0 V Een punt x ligt in V dan en slechts dan als de projectie van x op de rechte x = λn lengte d heeft In een formule: x V x cos φ = d <x, n> = d Schrijven we <x, n> = d uit in coördinaten, dan krijgen we x V ( x x 2, x 3 ( n n 2 n 3 = d x n + x 2 n 2 + x 3 n 3 = d De vergelijking n x + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d heet de normaalvergelijking van V Hierin is d de afstand van 0 tot V en zijn n, n 2, n 3 de coördinaten van de normaalvector n

19 Hoofdstuk : Inleiding Het uitproduct van vectoren in R 3 Allereerst geven we de formele definitie van het uitproduct van twee vectoren in R 3, daarna zullen we zien wat de meetkundige betekenis ervan is Definitie Het uitprodukt of vectorprodukt van twee vectoren x en y in R 3 is een vector in R 3, die we noteren met x y De definite van x y is: ( x x 2 x 3 ( y y 2 y 3 ( x2 y 3 x 3 y 2 = x 3 y x y 3 x y 2 x 2 y Deze definitie kunnen we als volgt onthouden Schrijf: a b c d = ad bc ( Het linkerlid heet een determinant x y De componenten van x y zijn de determinanten die we uit x 2 y 2 kunnen vormen door achtereenvolgens de eerste, de tweede en de derde rij weg te laten, voorzien van de tekens +,, + x 3 y 3 Rekenregels voor het uitproduct Het uitprodukt van vectoren x en y in R 3 voldoet aan: ( x y = y x, (het uitproduct is alternerend (2 (λx y = λ(x y = x (λy (lineariteit (3 (x + y z = x z + y z, (distributiviteit Deze rekenregels worden weer bewezen door uitschrijven Opmerking 32 (De meetkundige betekenis van het uitproduct Men gaat eenvoudig na dat <x y, x> = 0 en dat <x y, y> = 0 Dit betekent dat het uitproduct x y loodrecht staat op x en op y We berekenen de lengte van x y Uit de definitie volgt: x y 2 = (x 2 y 3 x 3 y (x 3 y x y (x y 2 x 2 y 2, en met enig rekenwerk kan men laten zien dat dit gelijk is aan Dit betekent dat We concluderen = (x 2 + x x 2 3(y 2 + y y 2 3 (x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 2 = x 2 y 2 <x, y> 2 x y 2 = x 2 y 2 x 2 y 2 cos 2 φ = x 2 y 2 ( cos 2 φ = x 2 y 2 sin 2 φ x y = x y sin φ

20 2 Paragraaf 3: Inproduct, uitproduct en volume Hieruit volgt dat de lengte van x y gelijk is aan de oppervlakte van het parallelogram opgespannen door de vectoren x en y x y < φ y x We concluderen: Het uitproduct x y staat loodrecht op x en y en heeft als lengte de oppervlakte van het door x en y opgespannen parallelogram Opmerking 322 De richting van x y is zodanig dat de vectoren x, y en x y (in deze volgorde dezelfde oriëntatie bezitten als de eenheidsvectoren e, e 2 en e 3 Dit betekent dat de draaizin van x naar y over de kleinste hoek gezien vanuit x y, dezelfde is als de draaizin van e naar e 2 over de kleinste hoek gezien vanuit e 3 (dus beide met de klok mee of beide tegen de klok in In de natuurkunde is het gebruikelijk om een zogenaamd rechts stelsel te gebruiken Dat zijn vectoren x, y en z waarbij de draairichting van x naar y over de kleinste hoek en de richting van z bij elkaar passen als de draaiende en de voortgaande beweging van een rechtse schroef (de kurketrekkerregel De vectoren x, y en x y vormen altijd een rechts stelsel Tenslotte berekenen we het volume van parallelepipedum in R 3 We tekenen twee vectoren x en y in een vlak V Verder beschouwen we een derde vector z, die aan dezelfde kant van V ligt als het uitproduct x y x y < z φ y 0 x Het volume van het door x, y en z opgespannen parallelepipedum is gelijk aan opp(grondvlak hoogte = x y hoogte De hoogte is gelijk aan z cos φ, waarbij φ de hoek is tussen z en x y Dus: Volume = x y z cos φ = <x y, z> x = z 2 y 2 x 3 y 3 z 2 x y x 3 y 3 + z 3 x y x 2 y 2, en voor de laatste uitdrukking voeren we de volgende notatie in

21 x y z = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ; Hoofdstuk : Inleiding 3 de laatste uitdrukking is ook een determinant, een 3 3-determinant, en gelijk aan: = x y 2 z 3 + x 3 y z 2 + x 2 y 3 z x y 3 z 2 x 2 y z 3 x 3 y 2 z Dit is het volume van het parallelepipedum op gespannen door x, y en z concluderen daarom: Het volume van het parallelepipedum opgespannen door x, y en z is gelijk aan <x y, z>; dit is de determinant van x, y en z Opmerking 323 Indien z en x y aan verschillende kanten van het vlak V liggen, dan is de hoek φ stomp en is cos φ negatief Het volume is geval gelijk aan <x y, z> Opmerking 324 Ook R 2 heeft een inproduct Het inproduct van twee vectoren x en y in R 2 wordt genoteerd met <x, y> en is gedefinieerd als ( ( x y, = x y x 2 y + x 2 y 2 2 Alles wat we over het inproduct op R 3 gezegd hebben, geldt ook voor dit inproduct, dat wil zeggen, het voldoet aan dezelfde rekenregels, heeft dezelfde meetkundige interpretatie en kan gebruikt worden om de normaalvergelijking van een lijn in R 2 te bepalen Daarentegen heeft R 2 geen uitproduct We Opgaven bij paragraaf 3 3 Bepaal de hoek tussen de lijn l : x = λ( 2 en het vlak 3x + x 2 + x 3 = 4 32 Bepaal de afstand van de oorsprong tot het vlak 2x + 2x 2 + x 3 = 9 33 Bepaal de afstand van het punt ( tot het vlak x x 2 + 2x 3 = 3 ( ( 2 34 Gegeven zijn de vectoren a en b met a = 2, b = 0 Bereken a b, a a en <a b, a> 3 ( ( Gegeven zijn de vectoren a en b met a = 3 en b = 6 Bereken a b en verklaar het antwoord 2 36 Toon aan dat de inhoud van het viervlak opgespannen door de vectoren x, y en z gelijk is aan 6 <x y, z> Bereken de inhoud van het viervlak met hoekpunten: ( ( ( ( 2 2 2, 4,,

22 4 Paragraaf 4: Stelsels lineaire vergelijkingen 4 Stelsels lineaire vergelijkingen Om de doorsnede van een aantal vlakken in R 3 te bepalen, moesten we steeds een stelsel vergelijkingen oplossen In deze paragraaf geven we een systematische methode om stelsels van meerdere vergelijkingen in meerdere variabelen op te lossen We beginnen met een voorbeeld Voorbeeld 4 Beschouw het stelsel x + 2x 2 3x 3 =, 2x + 5x 2 5x 3 =, x x 2 + 7x 3 = 43 Om dit stelsel op te lossen gaan we als volgt te werk: trek twee keer de eerste vergelijking af van de tweede, 2 tel de eerste vergelijking op bij de derde Dit levert een nieuw stelsel: x + 2x 2 3x 3 =, x 2 + x 3 =, x 2 + 4x 3 = 32 De onbekende x komt niet meer voor in de tweede en de derde vergelijking; we zeggen: x is geëlimineerd We gaan vervolgens de onbekende x 2 elimineren 3 Trek de tweede vergelijking af van de derde: x + 2x 2 3x 3 =, x 2 + x 3 =, 3x 3 = 2 Het stelsel (3 is gemakkelijk op te lossen: los x 3 op uit de derde vergelijking Vul deze waarde in de tweede vergelijking in en los daarmee x 2 op Vul de waarden voor x 2 en x 3 in de eerste vergelijking in en los x op Dit geeft: x = 2, x 2 = 4, x 3 = 7 Het bovenstaand proces is omkeerbaar: we kunnen het stelsel (2 terugkrijgen uit het stelsel (3 door 3 de tweede vergelijking bij de derde op te tellen, en het stelsel ( uit het stelsel (2 door 2 de eerste vergelijking van de derde af te trekken, twee keer de eerste vergelijking bij de tweede op te tellen Omdat het stelsel (2 een gevolg is van het oorspronkelijke stelsel is elke oplossing van het oorspronkelijke stelsel ook een oplossing van (2 Maar omdat bovenstaand proces omkeerbaar is, geldt ook het omgekeerde: elke oplossing van (2 is een oplossing van het oorspronkelijke stelsel De stelsels ( en (2 hebben dus dezelfde oplossingen Hetzelfde geldt voor de stelsels (2 en (3 Daarom hebben ( en (3 dezelfde oplossing: x = 2, x 2 = 4 en x 3 = 7 ( (2 (3 (4

23 Hoofdstuk : Inleiding 5 Deze oplossingsmethode staat bekend als de eliminatie-methode van Gauss of Gausseliminatie In deze syllabus gebruiken we ook de benaming veegmethode Hierbij wordt het gegeven stelsel stapsgewijs omgevormd of gereduceerd tot een stelsel, waarbij de onbekende x alleen in de eerste vergelijking, de onbekende x 2 alleen in de eerste en de tweede vergelijking voorkomt, etc Bij elke stap verandert de oplossingsverzameling niet Stelsels met dezelfde oplossingsverzameling noemen we equivalente stelsels Als we het voorbeeld analyseren, dan zien we dat we alleen de coëfficienten van het stelsel manipuleren, met de onbekenden doen we niets Daarom is het handig om bij de veegmethode de matrix-notatie in te voeren: Voorbeeld 42 In plaats van het stelsel vergelijkingen ( schrijven we het volgende rechthoekig getallenschema op: (5 43 Zo n rechthoekig getallenschema heet een matrix We gaan nu de eerste kolom schoonvegen mbv de eerste rij: trek twee keer de eerste rij af van de tweede en tel de eerste rij bij de derde op Dit levert de matrix Vervolgens trekken we de tweede rij af van de derde: (6 32 (7 2 De matrices (5, (6 en (7 corresponderen met de stelsels (, (2 en (3: we zien dat we helemaal geen informatie verliezen We kunnen nog verder vegen: veeg de tweede kolom helemaal schoon met de tweede rij door twee keer de tweede rij van de eerste af te trekken; dit geeft een nul op de bovenste plaats van de tweede kolom Veeg daarna de derde kolom schoon met behulp van de derde rij: deel de derde rij door drie, trek één keer de derde rij van de tweede af en tel drie keer de derde rij bij de eerste rij op Het resultaat is de matrix: (8 7 Het met deze matrix corresponderende stelsel vergelijkingen is het stelsel (4 We lezen dus aan de matrix (8 rechtstreeks de oplossing van het stelsel ( af

24 6 Paragraaf 4: Stelsels lineaire vergelijkingen We gaan de veeg- of eliminatiemethode beschrijven in zijn algemene vorm Eerst wat terminologie: Een lineaire vergelijking in de onbekenden x, x 2,, x n is een vergelijking van de vorm a x + a 2 x a n x n = b, (9 waarbij a,, a n en b reële getallen zijn De getallen a,, a n heten de coëfficienten We noemen a x, a 2 x 2,, a n x n en b de termen van de vergelijking, b heet wel de constante term Alle vergelijkingen uit de vorige paragrafen waren lineair; voorbeelden van nietlineare vergelijkingen zijn: sin x + e x2 =, x 2 + x 2 x 3 x 4 = Een stelsel lineaire vergelijkingen is een collectie van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden: a x + a 2 x a n x n = b, a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2, (0 a m x + a m2 x a mn x n = b m De x,, x n zijn de onbekenden De getallen a,, a mn en b,, b m heten de coëfficienten van het stelsel Het kan voorkomen dat een stelsel helemaal geen oplossing bezit als dit zo is, noemen we het stelsel strijdig Een enkele vergelijking die strijdig is noemen we vals Een valse vergelijking heeft de vorm 0x + 0x x n = b met b 0 De vergelijking 0x + 0x x n = 0 heet de nulvergelijking De nulvergelijking legt geen beperking op aan de onbekenden x, x 2,, x n elke keuze voor x, x 2,, x n R is een oplossing

25 Hoofdstuk : Inleiding 7 De coëfficienten-matrix van het stelsel (0 is de matrix a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn ( De matrix heeft afmetingen m bij n, dwz heeft m rijen en n kolommen; dit heet een (m n-matrix Het element a ij staat op de i-de rij en de j-de kolom De uitgebreide coëfficiënten-matrix is de matrix a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn b b 2 b m (2 Bij de veegmethode voeren we een stelsel over in een ander stelsel met behulp van rij-operaties In de praktijk passen we deze operaties toe op de coëfficienten-matrices Definitie De bij de veegmethode toegestane elementaire rij-operaties zijn: een rij met een scalair α 0 vermenigvuldigen, 2 het verwisselen van twee rijen, 3 een scalair veelvoud van een rij optellen bij een andere rij De bovenstaande elementaire rij-operaties voeren een stelsel lineaire vergelijkingen over in een nieuw stelsel vergelijkingen Elke oplossing van het oorspronkelijke stelsel is ook een oplossing van het nieuwe stelsel Maar we kunnen het oorspronkelijke stelsel weer afleiden uit het nieuwe stelsel met behulp van de volgende inverse rij-operaties: de rij met de scalair /α vermenigvuldigen, 2 het verwisselen van dezelfde twee rijen, 3 hetzelfde scalaire veelvoud van de ene rij van de andere rij aftrekken Elke oplossing van het nieuwe stelsel is daarom een oplossing van het oorspronkelijke stelsel We concluderen dat de beide stelsels dezelfde oplossingsverzameling hebben Het oorspronkelijke stelsel en het nieuwe stelsel zijn dus equivalent Op deze belangrijke eigenschap berust de veeg-methode: De elementaire rij-operaties voeren een stelsel lineaire vergelijkingen over in een ander stelsel met dezelfde oplossingverzameling

26 8 Paragraaf 4: Stelsels lineaire vergelijkingen De eliminatie-methode van Gauss De veegmethode werkt in het kort als volgt: de coëfficienten-matrix wordt door herhaald toepassen van elementaire rij-operaties in een eenvoudiger vorm gebracht, nl in trapvorm dit heet het reduceren van het stelsel Het gereduceerde stelsel is equivalent met het oorspronkelijke stelsel en de oplossingsverzameling ervan kan rechtstreeks aan de gereduceerde matrix afgelezen worden We geven nu de precieze beschrijving We gaan uit van de uitgebreide coëfficientenmatrix (2 Zoek de eerste kolom in de uitgebreide coëffcienten-matrix die een getal α 0 bevat, zeg dat dit de j-de kolom is (als alle kolommen nul zijn, dan zijn we al klaar Na eventueel verwisselen van rijen bereiken we de situatie: j-de kolom 0 0 α (3 2 We vegen nu de j-de kolom schoon met de eerste rij Het element α op de plaats (, j (eerste rij, j-de kolom heet de spil van deze veegoperatie We delen de eerste rij door α en krijgen de matrix: j-de kolom (4 3 Laat nu de eerste rij en de eerste j kolommen even buiten beschouwing en pas de stappen ( en (2 toe op het resterende deel van de matrix Veeg dan met de spil van deze stap ook de plaatsen boven de spil schoon Herhaald toepassen van deze regels voert de uitgebreide coëfficiënten matrix tenslotte over in een matrix van de vorm j -de kolom j 2 -de kolom j 3 -de kolom (5 De matrix (5 heet een gereduceerde (rijtrapmatrix of echelon-matrix Hiermee is het veeg-algorithme beëindigd Omdat we in het veeg-algorithme alleen elementaire rij-operaties toepassen, heeft het gereduceerde stelsel dezelfde oplossingsverzameling als het oorspronkelijke stelsel Deze oplossingsverzameling gaan we bekijken in een tweetal voorbeelden

27 Hoofdstuk : Inleiding 9 Voorbeeld 42 Beschouw het stelsel x + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4, x 2 + x 4 = 3, x + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 8 In matrix-taal verloopt de veegprocedure als volgt: (6 Het teken geeft aan dat de matrices links en rechts van dit teken uit elkaar ontstaan door één of meer elementaire rij-operaties toe te passen Het omcirkelde element geeft de spil van de veeg-operatie aan De laatste rij van het gereduceerde stelsel correspondeert met de valse vergelijking 0x + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = Het gereduceerde stelsel heeft daarom geen oplossingen en omdat het oorspronkelijke stelsel daarmee equivalent is, geldt daarvoor hetzelfde In dit voorbeeld is de oplossingsverzameling dus leeg Voorbeeld 422 Beschouw nu het stelsel x + 2x 2 + 3x 3 = 3, x x 2 2x 3 = 2, x + 4x 2 + 5x 3 = 5 De veegprocedure verloopt als volgt: gebonden variabelen vrije variabele ( De gereduceerde matrix correspondeert met de vergelijkingen x + x 3 = en x 2 + x 3 = (8 De (bij de spillen horende variabelen x en x 2 kunnen met behulp van deze vergelijkingen uitgedrukt worden in de variabele x 3 Daarom heet x 3 de vrije variabele x en x 2 worden soms de gebonden variabelen genoemd We kunnen de oplossingsverzameling parametriseren door x 3 willekeurig te kiezen, zeg x 3 = λ (deze λ is de vrij te kiezen parameter Met behulp van (8 volgt x = λ en x 2 = λ

28 20 Paragraaf 4: Stelsels lineaire vergelijkingen De oplossingsverzameling is daarom gelijk aan: x x 2 = λ λ = + λ x 3 λ 0 Dit is een vectorvoorstelling van een lijn: er zijn dus meerdere oplossingen één voor elke waarde van λ De oplossingsverzameling is een lijn in de x, x 2, x 3 -ruimte: x 3 x 2 x oplossingsverzameling Deze twee voorbeelden laten zien hoe de oplossingsverzameling van een gereduceerd stelsel er uit ziet In het algemeen hebben we het volgende: Als het gereduceerde stelsel een valse vergelijking bevat, dan heeft het oorspronkelijke stelsel geen oplossingen Als het gereduceerde stelsel géén valse vergelijking bevat, dan worden alle oplossingen verkregen door aan de vrije variabelen willekeurige waarden toe te kennen de gebonden variabelen kunnen dan hierin uitgedrukt worden In het bijzonder is het stelsel oplosbaar Gebruik makend van het begrip rang, geven we hiervan een iets andere formulering Eerst de definitie: Definitie Op elke (m n-matrix kunnen we het veeg-algorithme toepassen het resultaat noemen we de gereduceerde matrix De rang van een (m n-matrix is het aantal niet-nul rijen in de bijbehorende gereduceerde matrix Het bovenstaande zegt dat een stelsel lineaire vergelijkingen geen oplossingen heeft, precies dan als het gereduceerde stelsel een valse vergelijking bevat Valse vergelijkingen kunnen we als volgt herkennen: ze geven een nulrij in de gereduceerde coëfficientenmatrix, maar een niet-nulrij in de gereduceerde uitgebreide coëfficientenmatrix Vandaar de volgende herformulering: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft geen oplossingen dan en slechts dan als de rang van de coëfficientenmatrix kleiner is dan de rang van de uitgebreide coëfficientenmatrix De oplossingsverzameling van een oplosbaar stelsel wordt geparametriseerd door n r vrij te kiezen parameters, waar n het aantal onbekenden is, en r de rang van de coëfficientenmatrix

29 Hoofdstuk : Inleiding 2 Een belangrijk gevolg van de eliminatiemethode is het onderstaande lemma, dat gaat over oplossingen van zogenaamde homogene stelsels lineaire vergelijkingen: Definitie Een lineair stelsel vergelijkingen heet homogeen als b = b 2 = = b m = 0 Een stelsel dat niet homogeen is, heet inhomogeen Het volgende stelsel vergelijkingen is homogeen: x 3x 2 2x 3 = 0, 2x + x 2 + x 3 = 0 (9 Dit stelsel heeft een voor de hand liggende oplossing, namelijk de nuloplossing x = x 2 = x 3 = 0 Dit heet de triviale oplossing Een niet-nul oplossing van een homogeen stelsel wordt daarom een niet-triviale oplossing genoemd Het volgende Elementaire lemma zegt dat wanneer het aantal variabelen groter is dan het aantal vergelijkingen, élk homogeen stelsel een niet-triviale oplossing heeft: Elementair Lemma 43 Elk homogeen stelsel lineaire vergelijkingen dat meer variabelen dan vergelijkingen heeft, bezit niet-triviale oplossingen Bewijs Pas de eliminatie-methode van Gauss toe op een dergelijk stelsel Het aantal gebonden variabelen (de rang van het stelsel is hoogstens gelijk aan het aantal vergelijkingen Omdat het aantal variabelen gróter is, zijn er dus vrije variabelen Door één van deze vrije variabelen een niet-nul waarde te geven, krijgen we een niet-nul oplossing Voorbeeld 43 Het stelsel (9 is homogeen en heeft twee vergelijkingen en drie onbekenden Pas de eliminatiemethode toe: ( ( ( 0 0 / /7 0 0 De rang is twee, x en x 2 zijn gebonden variabelen, x 3 is de vrije variabele Door x 3 = λ te zetten, krijgen we alle oplossingen: x x 2 = /7λ 5/7λ = λ /7 5/7 x 3 λ Zetten we λ = 7, dan krijgen we de niet-triviale oplossing: 5 7

30 22 Paragraaf 4: Stelsels lineaire vergelijkingen Opmerking 44 Het is niet altijd nodig om de uitgebreide coëffientenmatrix te vegen naar een gereduceerde trapvorm Wanneer we alléén willen weten of een stelsel oplosbaar is, dan is het voldoende de matrix in bovendriehoeksvorm te brengen Beschouw het volgende stelsel: 7x + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 7x 5 = 3, 2x 2 + x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 7, 6x 2 + 7x 3 + x 4 + x 5 = 3, 7x + 4x 2 + 4x 3 + 5x 4 + 0x 5 = 9 Een verkorte veegprocedure verloopt als volgt: De laatste rij correspondeert met de vergelijking 0x + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 3, dus is het stelsel onoplosbaar Merk op dat de laatste matrix in trapvorm, maar niet in gereduceerde rijtrapvorm is, omdat op de spillen geen enen, en boven de spillen geen nullen staan Opmerking 45 Uit de periode van de Han dynastie in China ( v Chr stammen de Negen Boeken over de Kunst van de Wiskunde, waarin reeds stelsels vergelijkingen door omvorming van een coëfficienten-matrix opgelost werden, bijvoorbeeld: 3x + 2y + z = 39, 2x + 3y + z = 34, x + 2y + 3z = 26 (B L van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilisations, Springer Verlag, 983, p Opmerking 452 De hier beschreven oplossingsmethode voor stelsels lineaire vergelijkingen werd in zijn volle algemeenheid voor het eerst gepubliceerd in 80 door Carl Friedrich Gauss, in een artikel over de storingen van Pallas, één van de grootste planetoïden van ons zonnestelsel (Verzameld werk VI, p 3 24, en VII, p Vandaar de benaming Gauss-eliminatie

31 Hoofdstuk : Inleiding 23 Opgaven bij paragraaf 4 4 Los de volgende stelsels vergelijkingen op: (i 3x + 4y = 2, 5x + 7y = 3 (ii 5x 2y = 2, 0x 4y = 4 42 Los de volgende stelsels vergelijkingen op: (i u 2v + w = 2, (ii 2u + v w =, 3u + v 2w = 5 x + y + z + 4t = 6, 2x + 3y + 4z + 9t = 6, 2x + 3z 7t =, 3x + 4y t = 2 43 Bepaal alle oplossingen van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen: x + x 2 2x 3 = 2, 2x + x 2 3x 3 = 2, 4x 2x 2 2x 3 = 4, 6x x 2 5x 3 = 2, 7x 3x 2 4x 3 = 6 44 Ga na of de volgende stelsels vergelijkingen oplosbaar zijn (i (ii (iii 2x + 3x 2 5x 3 = 6, 3x + 3x 2 = 0, x x 2 + 6x 3 = 8 2x + 3x 2 5x 3 = 4, x x 2 + 6x 3 = 2, 4x + 6x 2 0x 3 = 4 x + 3x 2 6x 3 = 0, 6x + 3x 2 x 3 = 0, 3x 2x 2 + 6x 3 = 0

32 24 Paragraaf 5: Opgaven 5 Opgaven 5 Het is in het algemeen mogelijk dat een lijn geparametriseerd wordt door verschillende vectorvoorstellingen In deze opgave wordt nagegaan wanneer dat kan Zij x = a + λb een parametervoorstelling van de lijn l in R 2 of R 3 (i Zij a l een vector en b een scalair veelvoud van b, b (0, 0 Bewijs dat x = a + λb ook een vectorvoorstelling van l is (ii Laat x = a + λb ook een vectorvoorstelling van l zijn Bewijs dat a l en dat b een scalair veelvoud is van b 52 Laat a en b twee verschillende vectoren zijn Laat zien dat x = a + λ(b a een vectorvoorstelling is van de lijn die door a en door b gaat 53 Bepaal alle oplossingen de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: (i x + x 3 + x 4 + x 5 = 2, 2x + x 2 + x 3 + 7x 4 2x 5 = 5, x + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 = 2, 3x + x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 2x 5 = 6 (ii x + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 2, x + 2x 2 + 6x 3 + 6x 4 = 5, 2x + 4x 2 + 6x 3 + 6x 4 = 2 54 Los simultaan de volgende twee stelsels vergelijkingen op (i 2x + 3x 2 = 4, x + x 2 = 7 (ii 2x + 3x 2 = 5, x + x 2 = 2 Hint Beide stelsels hebben dezelfde coëfficienten-matrix Passen we de veegmethode toe om deze stelsels op te lossen, dan gebruiken we beide keren dezelfde rij-operaties Veeg daarom in één keer de volgende matrix: (

33 Hoofdstuk : Inleiding Los simultaan de volgende twee stelsels vergelijkingen op (i (ii 5x 2 5x 3 4x 4 = 5, 2x 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 5, 3x 2x 2 x 3 + x 4 = 5 5x 2 5x 3 4x 4 = 4, 2x 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 6, 3x 2x 2 x 3 + x 4 = 2 56 Gegeven is dat het volgende stelsel lineaire vergelijkingen oplosbaar is: 3x 5x 2 + 7x 3 =, 4x 6x 2 + 8x 3 = 2, 5x 8x 2 + x 3 = α, 6x 9x 2 + 2x 3 = 8 Bereken α en bepaal de oplossingsverzameling van het stelsel 57 Bepaal alle oplossingen van de volgende stelsels lineaire vergelijkingen bij de verschillende waarden van α R: (i x + 3y = 7, 2x + αy = 4 (ii x + 4y + z = 6, 2x + y + z = 0, x + 3y + αz = 5 58 (Zie Elementair Lemma 43 (i Maak zelf een homogeen stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden dat precies één oplossing heeft (ii Maak een homogeen stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden dat méér dan een oplossing heeft (iii Maak een homogeen stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden dat precies één oplossing heeft

34

35 HOOFDSTUK 2 Vectorruimten In Hoofdstuk hebben we kennis gemaakt met de ruimten R 2 en R 3 Op analoge wijze kunnen we R 4 invoeren door te stellen R 4 = { x x 2 x 3 x 4 x, x 2, x 3, x 4 R Van de ruimte R 4 kan men zich geen concrete voorstelling maken Maar R 4 komt bijvoorbeeld wel voor in de natuurkunde, in het ruimte-tijd model In plaats van x, x 2, x 3 en x 4 worden dan de traditionele coördinaten x, y, z en t gebruikt Met vectoren in R 4 kunnen we rekenen, als volgt: x x 2 + x 3 x 4 y y 2 y 3 y 4 x + y = def x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 } en λ x x 2 x 3 x 4 λx = def λx 2 λx 3 λx 4 (λ R Hiermee is het mogelijk om bijv lijnen en vlakken in R 4 te definiëren De ruimten R 2, R 3 en R 4 zijn voorbeelden van vectorruimten essentieel is dat er steeds een optelling en een scalaire vermenigvuldiging is In dit hoofdstuk introduceren we het begrip vectorruimte op axiomatische wijze we beginnen met de axioma s voor een vectorruimte, waaruit we dan stellingen afleiden Het voordeel van deze methode is dat de afgeleide stellingen waar zijn in elke vectorruimte, niet alleen in R 2, R 3 en R 4, maar ook bijvoorbeeld in R 5, R 6 en R 7, et cetera

36 28 Paragraaf : Vectorruimten Vectorruimten Definitie Voor elk natuurlijk getal n definiëren we de ruimte R n als de verzameling kolomvectoren bestaande uit n reële getallen Dus { x } R n x 2 = x, x 2,, x n R x n De optelling en de scalaire vermenigvuldiging in R n zijn coördinaatsgewijs gedefinieerd: x y x + y x λx x 2 y 2 x 2 + y 2 x 2 λx 2 + = en λ = x n y n x n + y n x n λx n Een vector x in R n heeft n coëfficienten, die we meestal stilzwijgend noteren met x, x 2,, x n, dus: x = De nulvector van R n is de kolomvector die uit louter nullen bestaat Voor deze vector schrijven we kortweg 0 Met 0 kan dus twee dingen bedoeld worden: het getal 0 R of de nulvector 0 R n, uit de context moet blijken welke bedoeld wordt De tegengestelde van de vector x R n is de vector: x x 2 x n x x 2 x n Deze vector noteren we met x De volgende vectoren e =, e 2 =,, e n = heten de eenheidsvectoren van R n 0 0 Met deze definities voldoen de vectoren van R n aan een aantal eenvoudige regels, zoals bijvoorbeeld: x + y = y + x, x + 0 = x en x + ( x = 0 Een aantal van deze regels zullen we isoleren en als axioma s voor het begrip vectorruimte kiezen In het bijzonder zal R n aan deze axioma s voldoen en dus een vectorruimte vormen

37 Hoofdstuk 2: Vectorruimten 29 De abstracte definitie van een vectorruimte begint met een verzameling van wiskundige objecten, waarvan we de elementen op de een of andere manier bij elkaar op kunnen tellen en scalair kunnen vermenigvuldigen We zeggen dan dat er een optelling en een scalaire vermenigvuldiging bestaat dit betekent dat voor elke v en w de som v + w bestaat, en voor elke λ R het scalaire veelvoud λv Definitie Een verzameling V voorzien van een optelling en een scalaire vermenigvuldiging heet een vectorruimte, als de volgende eigenschappen gelden: (V v + w = w + v voor alle v, w V, (commutativiteit (V2 (u + v + w = u + (v + w voor alle u, v, w V, (associativiteit (V3 er is een element 0 V zó dat v + 0 V = v voor alle v V, (V4 bij elke v V is er een element v V zó dat v + ( v = 0 V, (V5 λ(µv = (λµv voor alle λ, µ R en v V, (V6 λ(v + w = λv + λw voor alle λ R en v, w V, (distributiviteit (V7 (λ + µv = λv + µv voor alle λ, µ R en v V, (distributiviteit (V8 v = v voor alle v V De elementen van de vectorruimte V heten vectoren en de getallen λ R heten scalairen De vector 0 V heet de nulvector of het nulelement van de vectorruimte, deze geven we meestal gewoon aan met 0 Met het symbool 0 kan dus zowel de nulvector 0 V V als het getal 0 R worden bedoeld, uit de context moet blijken welke bedoeld wordt De vector v uit (V4 noemen we de tegengestelde van v In plaats van v + ( w schrijven we ook v w Opmerking Uit de axioma s kunnen we weer nieuwe eigenschappen afleiden Beschouw bijvoorbeeld 0 v dit is weer een vector in V, en volgens onze axioma s geldt: 0 v = 0 v + 0 V = 0 v + (v + v = (0 v + v + ( v = (0 v + v + ( v = (0 + v + ( v = v + ( v = v + ( v = 0 V We concluderen dat 0 v altijd de nulvector is, voor elke v V Opmerking 2 We hebben al een paar keer gesproken over de nulvector, terwijl de axioma s niet uitsluiten dat er meer dan één nulvector zou kunnen zijn Maar aannemende dat a en b beide nulvectoren zijn, volgt uit (V3: Kies resp v = b en v = a, dan: v + a = v en v + b = v b + a = b en a + b = a Maar b + a is gelijk aan a + b (V, zodat a = b Conclusie: Er is precies één nulvector

38 30 Paragraaf : Vectorruimten Opmerking 3 Eveneens hebben we gesproken over de tegengestelde, terwijl de axioma s niet uitsluiten dat een vector v meer dan één tegengestelde zou kunnen hebben Gelukkig heeft elke vector maar één tegengestelde (Opgave 5 Bovendien kennen we deze al: ( v is tegengestelde van v, want voldoet aan axioma (V4: v + ( v = v + ( v = ( v = 0 v = 0 Conclusie: De tegengestelde van v is ( v Voorbeeld 2 De ruimte R n voldoet aan alle axioma s (V (V8, R n is dus een vectorruimte Ons ruimtelijk voorstellingsvermogen is beperkt tot drie coördinaten, terwijl R n er n heeft Om ons toch een voorstelling van R n te vormen, kiezen we van deze n coördinaten er drie, welke we tekenen, de overige coördinaten laten we buiten beeld : e 6 e 3 e 5 e 2 e 4 e Voorbeeld 22 Zij C = { a + ib a, b R } de verzameling der complexe getallen Complexe getallen hebben een coördinaatsgewijze optelling en een scalaire vermenigvuldiging: (a + ib + (c + id = (a + c + i(b + d en λ(a + ib = (λa + i(λb Met deze definities voldoet C aan alle axioma s (V (V8, is dus een vectorruimte Voor z = a + ib noemen we a het reële en b het complexe deel van z De vectorruimte C lijkt veel op R 2 : in plaats van een eerste en tweede coördinaat is er een reële en complexe coördinaat z z 2 z + z 2 i z 2 α+β β α 0 - z Vectoren in R 2 kunnen we niet vermenigvuldigen, complexe getallen daarentegen wel: (a + ib(c + id = (ac bd + i(ad + bc

39 Hoofdstuk 2: Vectorruimten 3 Met deze definitie geldt i 2 = Omgekeerd ontstaat de bovenstaande definitie vanzelf door in (a + ib(c + id eerst alles formeel uit te vermenigvuldigen en daarna i 2 = te substitueren Elk niet-nul reëel getal x R heeft een omgekeerde /x Voor compleze getallen geldt hetzelfde: als z = a + ib C en z 0, dan is a 2 + b 2 0 We kunnen dus definieren: z = a a 2 + b 2 i Met deze definitie geldt dat z z = (ga na b a 2 + b 2 Voorbeeld 23 Beschouw de verzameling van alle oneindige rijtjes reële getallen ( x, x 2, x 3, Met coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging is dit een vectorruimte: ( x, x 2, x 3, + ( y, y 2, y 3, = ( x + y, x 2 + y 2, x 3 + y 3,, Deze vectorruimte geven we aan met R λ ( x, x 2, x 3, = ( λx, λx 2, λx 3, Opmerking 3 De grondlegger van de abstracte theorie van vectorruimten is Hermann Günther Grassmann, die in zijn Ausdehnungslehre een algebra bestudeerde, waarvan de elementen niet gespecificeerd, dus abstracte grootheden waren Op deze elementen definieerde hij formele operaties als optelling, scalaire vermenigvuldiging en vermenigvuldiging Zijn werk bevat de axioma s van vectorruimten, maar omdat er ook nog een vermenigvuldiging in het spel was, voldeden zijn structuren aan de eigenschappen van wat we tegenwoordig een algebra noemen De eerste uitgave van de Ausdehnungslehre verscheen in 844, maar was zeer moeilijk leesbaar en werd daarom niet erg gewaardeerd Grassmann produceerde daarom een meer leesbare versie, die in 862 verscheen Pas na de dood van Grassmann ( worden zijn ideeën overgenomen door andere wiskundigen, maar het duurt nog een tijd voordat abstracte vectorruimten opduiken in de leerboeken voor het eerst in het beroemde boek Moderne Algebra van B L van der Waerden (J Springer, Berlijn, 93 Opgaven bij paragraaf Bewijs dat λ 0 = 0 voor alle scalairen λ R 2 Zij V een vectorruimte en a, b, c V Bewijs dat: a + c = b + c a = b 3 Zij V een vectorruimte Bewijs dat ( x = x 4 Zij V een vectorruimte, v V en λ R Bewijs dat: λ v = 0 λ = 0 of v = 0 5 Bewijs dat een vector slechts één tegengestelde kan hebben Dat wil zeggen, als v en v 2 beide tegengestelden van v zijn, bewijs dan dat v = v 2 6 Zij V een vectorruimte Bewijs dat 0 = 0 en bewijs dat als v = v voor v V dan v = 0

40 32 Paragraaf 2: Lineaire deelruimten 2 Lineaire deelruimten Een vlak V in R 3 door de oorsprong heeft de volgende eigenschap: sommen en scalaire veelvouden van vectoren in V liggen weer in V Bovendien gelden de axioma s (V (V8 voor de optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren in V een vlak door de oorsprong is daarom een vectorruimte We zien dat R 3 heel veel vectorruimten bevat: elk vlak door de oorsprong is er één dit motiveert de volgende definitie Definitie Een deelverzameling U van een vectorruimte heet een lineaire deelruimte als voldaan wordt aan: (D0 0 U, (D v, w U v + w U, (D2 v U λv U voor λ R (U is gesloten onder de optelling (U is gesloten onder scalaire vermenigvuldiging De condities (D en (D2 geven U een optelling en een scalaire vermenigvuldiging (afkomstig van de omringende ruimte, die voldoen aan de axioma s (V (V8 Vandaar: Een lineaire deelruimte van een vectorruimte is een vectorruimte Opmerking 2 In plaats van (D en (D2 uit de definitie kan men ook eisen: (D3 v, w U λv + µw U voor λ, µ R De conditie (D3 is equivalent met (D en (D2 samen Voorbeeld 22 0 de éénpunts deelruimte {0}, alle lijnen door de oorsprong, 2 alle vlakken door de oorsprong, 3 de hele ruimte R 3 zelf De lineaire deelruimten van R 3 zijn: De lineaire deelruimten {0} en R 3 heten triviale deelruimten, omdat op triviale wijze voldaan wordt aan de axioma s (D0 (D2 Elke vectorruimte V heeft de triviale deelruimten {0} en V