Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Transcriptie

1 Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan dat T een endomorfisme op V is. (2) Bepaal kern en beeld van T en controleer a.d.h.v. de dimensiestelling. (3) Bepaal de matrixvoorstelling van T t.o.v. een geschikte zelfgekozen basis van V. (4) Ga na of T diagonaliseerbaar is. (5) Bepaal determinant en spoor van T en controleer a.d.h.v. een theoretisch resultaat. (6) Beschouw nu T als een endomorfisme op de reële n n matrices en bepaal in dat geval het spectrum van T. de vectorruimte V = { A = 0 a b 0 a 0 0 d c 0 0 c 0 d b 0 de afbeelding T : V V, A A T + A. (1) Toon aan dat T een endomorfisme op V is. R4 4 }; (2) Bepaal kern en beeld van T en controleer a.d.h.v. de dimensiestelling. (3) Bepaal de matrixvoorstelling van T t.o.v. een geschikte zelfgekozen basis van V. (4) Ga na of T diagonaliseerbaar is. (5) Bepaal determinant en spoor van T en controleer a.d.h.v. een theoretisch resultaat. (6) Beschouw nu T als een endomorfisme op de reële n n matrices en bepaal in dat geval het spectrum van T. de afbeelding T : R 4 [x] R 4 [x], p(x) x(p(x) p( x)). (1) Toon aan dat T een endomorfisme op R 4 [x] is.

2 (2) Geldt dit algemeen voor R n [x], n N? Leg uit. (3) Bepaal kern en beeld van T en controleer a.d.v.h. de dimensiestelling. (4) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T. (5) Ga na of T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (6) Zij nu B = ((x + 1) 3,x 2 1,x 4 1,x + 1,x 1) een basis voor R 4 [x]; bepaal dan m B (T). de afbeelding T : R 3 [x] R 3 [x], p(x) x(p(x) + p( x)). (1) Toon aan dat T een endomorfisme op R 3 [x] is. (2) Geldt dit algemeen voor R n [x], n N? Leg uit. (3) Bepaal kern en beeld van T en controleer a.d.v.h. de dimensiestelling. (4) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T. (5) Ga na of T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (6) Zij nu B = ((x 1) 2, (x + 1) 2,x 3 1, 1 + x 3 ) een basis voor R 3 [x]; bepaal dan m B (T). de afbeelding T : R 2 [x] R 2 [x], p(x) (x 1)p (x). (1) Ga na dat T een endomorfisme op R 2 [x] is. (2) Zij B = ((x 1) 2,x 1,x + 1) een basis voor R 2 [x], bepaal dan m B (T) door de matrixvoorstelling t.o.v. de standaardbasis te gebruiken. (3) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T 2 2T. (4) Ga na of T 2 2T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (5) Bepaal kern en beeld van T 2 2T en controleer a.d.h.v. de dimensiestelling. de afbeelding T : R 3 [x] R 3 [x], p(x) (2x + 1)p (x). (1) Ga na dat T een endomorfisme op R 3 [x] is. (2) Zij B = ((x + 1) 3, (x 1) 3,x 2 + 1,x 2 + x) een basis voor R 3 [x], bepaal dan m B (T) door de matrixvoorstelling t.o.v. de standaardbasis te gebruiken. (3) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T 2 + T. (4) Ga na of T 2 + T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (5) Bepaal kern en beeld van T 2 + T en controleer a.d.h.v. de dimensiestelling.

3 de afbeelding T : R 3 [x] R 3 [x], p(x) p(x + 1). (1) Ga na dat T een endomorfisme op R 3 [x] is. (2) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T. (3) Ga na of T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (4) Zij B = (x 1, (x 1) 2, (x 1) 3,x + 1) een basis voor R 3 [x], bepaal dan m B (T). (5) Wat wordt het minimaalpolynoom indien we T beschouwen als endomorfisme op R n [x]? (6) Is T inverteerbaar? de afbeelding T : R 4 [x] R 4 [x], p(x) p(2 x). (1) Ga na dat T een endomorfisme op R 4 [x] is. (2) Bepaal, zonder Maple, het minimaalpolynoom van T. (3) Ga na of T diagonaliseerbaar is en argumenteer a.d.h.v. twee diagonalisatiecriteria. (4) Zij B = (2 x, (2 x) 2, (2 x) 3, (2 x) 4, 2) een basis voor R 4 [x], bepaal dan m B (T). (5) Wat wordt het minimaalpolynoom indien we T beschouwen als endomorfisme op R n [x]? (6) Is T inverteerbaar? Vraag 2a (W/V algebra op 4 punten) Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur. (1) Zij u 0 een willekeurige vrije vector, dan is het endomorfisme T op V, met T(v) = u v diagonaliseerbaar. (2) Er bestaan geen anticommuterende matrices van oneven orde. (3) Zij Q C n n unitair. Dan geldt er dat eigenvectoren van Q, behorend bij twee verschillende eigenwaarden, onderling orthogonaal zijn. (4) Elke reëelsymmetrische, positief definiete matrix A kan worden geschreven als BB T met B een inverteerbare matrix. 1. Als twee inverteerbare matrices anticommuteren, dan zijn ze beide spoorvrij.

4 2. Zij A C n n hermitisch. Dan geldt er dat eigenvectoren van A, behorend bij twee verschillende eigenwaarden, onderling orthogonaal zijn. 3. Zij u 0 een willekeurige vrije vector, dan is heeft het endomorfisme T op V, met T(v) = u v een minimaalpolynoom met enkel lineaire factoren. 4. Een reëelsymmetrische, positief definiete matrix heeft enkel positieve eigenwaarden. (1) Zij u 0 een willekeurige vector in R n 1, dan behoort 0 tot het spectrum van uu T, met meetkundige multipliciteit n 1. (2) Voor willekeurige vierkante matrices A, B en C geldt dat tr(abc) = tr(cab). (3) Zij Q C n n unitair. Dan is Q een inproduct-behoudende transformatie op C n 1. ( ) 1 1 (4) Zij A =, dan is e 1 1 A = e2a. 2 (1) Zij u 0 een willekeurige vector in R n 1, dan bevat het spectrum van uu T slechts twee verschillende eigenwaarden. (2) Voor twee niet-singuliere vierkante matrices A en B geldt dat tr(b 1 AB) = tr(a). (3) Zij Q C n n unitair. Dan liggen alle eigenwaarden van Q op de complexe eenheidscirkel. ( ) 2 2 (4) Zij A =, dan is e 2 2 A = e4a Het stelsel { 2x = 1, ix = 1} heeft als kleinste kwadratenoplossing x = i Zij Q een reële (m n) matrix, waarvoor QQ T = I m. Dan is I n Q T Q een diagonaliseerbare matrix met spectrum {0, 1}. 3. Het endomorfisme T op R 3 waarvoor T(x,y,z) = (0,y,z) is diagonaliseerbaar. 4. Voor een normale matrix N geldt dat λ σ(n) als en slechts dan als λ σ(n ). 1. Het endomorfisme T op R 3 waarvoor T(x,y,z) = (x,y, 0) is diagonaliseerbaar. 2. Voor een normale matrix N geldt dat Nx = N x, voor alle x C n Het stelsel {ix = 1, x = 3} heeft als kleinste kwadratenoplossing x = i Zij Q een reële (n m) matrix, waarvoor QQ T = I n. Dan is I m Q T Q een diagonaliseerbare matrix met minimaalpolynoom z(z 1).

5 1. Zij W een eindigdimensionale deelruimte van de inproductruimte V. Dan is de beste approximatie in W van elk element van V uniek bepaald. 2. De eigenwaarden van een hermitische matrix zijn reëel. 3. Als de matrix A de eigenwaarde 1 bezit, dan bezit de matrix I A de eigenwaarde Zij A een reële, diagonaliseerbare (5 5) matrix met ρ(a) = 2 en tr(a) = 0, die bovendien een eigenwaarde met meetkundige multipliciteit 3 bezit, en waarvan tot slot de som van de elementen op elke rij gelijk is aan 1. Dan is het spectrum van A uniek bepaald. 1. Zij A een reële, singuliere, diagonaliseerbare (4 4) matrix met tr(a) = 1, die bovendien een eigenwaarde met meetkundige multipliciteit 2 bezit, en waarvan tot slot de som van de elementen op elke rij gelijk is aan -1. Dan is het spectrum van A uniek bepaald. 2. Als de matrix A de eigenwaarde 0 bezit, dan bezit de matrix I A de eigenwaarde Als W een eindigdimensionale deelruimte is van de inproductruimte V, dan kan elk element v V op unieke wijze geschreven worden als de som van een element uit W en een element uit W. 4. De eigenwaarden van een reëelsymmetrische matrix zijn reëel. Vraag 2b (W/V meetkunde op 4 punten) Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur. (1) Onder een orthogonale projectie blijft het scalair product van twee niet projecterende vectoren behouden als en slechts dan als één van beide evenwijdig is met het projectievlak. (2) Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking x 3 y = z is een rechte conoïde. (3) De wig van Wallis bezit oneindig veel singuliere punten. (4) Een niet-singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en de derde eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische paraboloïde. 1. De wig van Wallis is afwikkelbaar. 2. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y 4 z = x is een rechte conoïde. 3. Onder een orthogonale projectie blijft de orthogonale stand van twee niet projecterende vectoren behouden als en slechts dan als één van beide evenwijdig is met het projectievlak. 4. Een singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en de derde eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische cilinder.

6 (1) Spiegelen van de vrije vector v t.o.v. de vectorrechte met richtingsvector u, levert als beeld de vector v + 2(u v)u op. (2) Het oppervlak met vergelijking xy = z heeft twee richtvlakken die onderling orthogonaal zijn. (3) Het schroefoppervlak bezit oneindig veel singuliere punten. (4) Er bestaan oneindig veel 4 4 matrices waarvoor geldt dat A 2k = I voor alle k N. (1) Spiegelen van de vrije vector v t.o.v. de vectorrechte met als richtingsvector de eenheidsvector u, levert als beeld de vector v + 2(u v)u op. (2) Het oppervlak met vergelijking xy = z heeft twee stellen beschrijvende met elk hun eigen richtvlak. (3) Het schroefoppervlak is afwikkelbaar. (4) Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices waarvoor geldt dat A 2k+1 = A voor alle k N. 1. Voor twee vrije vectoren a en b geldt dat a (a b) = (a b)a a 2 b. 2. Een niet-singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en de derde eigenwaarde gelijk aan 0, is een omwentelingsparaboloïde. 3. Het trapoppervlak heeft oneindig veel singuliere punten. 4. Een omwentelingsoppervlak dat de omwentelingsas niet snijdt, kan enkel singuliere punten vertonen als de roterende kromme singuliere punten heeft. 1. Het trapoppervlak is afwikkelbaar. 2. Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een gladde boog, kan enkel singuliere punten vertonen in de snijpunten met de omwentelingsas. 3. Voor twee vrije vectoren a en b geldt dat (a b) b = (a b)b b 2 a. 4. Een singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en de derde eigenwaarde gelijk aan 0, is een omwentelingscilinder. 1. De kromme met parametervoorstelling (sin(t) sin(αt), cos(t) sin(αt), cos(αt)), t R, zal enkel dan gesloten zijn als α Q. 2. Een kwadriek met twee gelijke, van nul verschillende, eigenwaarden is een omwentelingskwadriek. 3. Er bestaan oneindig veel 4 4 matrices waarvoor geldt dat A 3 + A 2 + A = I.

7 4. Het gemengd product van drie van vectoren is nul als en slechts dan als ze lineair afhankelijk zijn. 1. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices waarvoor geldt dat A 6 + A 4 + A 2 = I. 2. Zij α Q, dan stelt de parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), sin(αt), sin(t) cos(αt)), t R, een gesloten kromme op een sfeer voor. 3. Het gemengd product van drie lineair onafhankelijke vectoren is gelijk aan het georiënteerd volume dat door deze vectoren wordt opgespannen. 4. Een omwentelingskwadriek heeft minstens twee gelijke, van nul verschillende, eigenwaarden. Vraag 3 (op 6 punten) het vlak α met cartesiaanse vergelijking 2x + 3y z = 5; de cirkel met middelpunt in (3, 2, 7) en straal 1, gelegen in het vlak α; de rechte door het punt (1, 1, 0) en met richtingsvector (1, 0, 2). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die deze gegevens in een standaardpositie brengt. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling te geven van de het omwentelingsoppervlak dat ontstaat door rotatie van de gegeven cirkel rond de gegeven rechte. (3) Bepaal nu ook de cartesiaanse vergelijking van dit oppervlak. het vlak α met cartesiaanse vergelijking 3x + 2y z = 5; de cirkel met middelpunt in (2, 3, 7) en straal 1, gelegen in het vlak α; de rechte door het punt (1, 1, 0) en met richtingsvector (0, 1, 2). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die deze gegevens in een standaardpositie brengt. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling te geven van de het omwentelingsoppervlak dat ontstaat door rotatie van de gegeven cirkel rond de gegeven rechte. (3) Bepaal nu ook de cartesiaanse vergelijking van dit oppervlak.

8 Vraag 3 (op 6 punten) De kwadriek met vergelijking 64x y z 2 4xy 20xz + 10yz 104x 64y 80z 346 = 0 (1) Reduceer deze kwadriek tot standaardvorm. (2) Bepaal nu, met behulp van de gebruikte transformatieformules, een parametervoorstelling van de kwadriek. (3) Is dit een omwentelingskwadriek? Zo ja, bepaal de omwentelingsas. De kwadriek met vergelijking 85x y z 2 20xy 4yz + 10xz 80x 104y 64z 346 = 0 (1) Reduceer deze kwadriek tot standaardvorm. (2) Bepaal nu, met behulp van de gebruikte transformatieformules, een parametervoorstelling van de kwadriek. (3) Is dit een omwentelingskwadriek? Zo ja, bepaal de omwentelingsas. de rechte s door P(5 2, 5 2, 2), met richtingsvector u(1, 1, 4); 2 2 de rechte r door Q(6 2, 0, 1), met richtingsvector v( 1, 1, 1). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s. (3) Toon aan dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het? de rechte s door P(2, 5 2, 5 2), met richtingsvector u(4, 1, 1); 2 2

9 de rechte r door Q(1, 6 2, 0), met richtingsvector v(1, 1, 1). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s. (3) Toon aan dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het? de rechte s door P(2, 3, 5), met richtingsvector u(1, 4, 1); de rechte r door Q(1, 1, 6), met richtingsvector v( 1, 1, 1). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking nu ook door de beschrijving van het oppervlak als meetkundige plaats. de rechte s door P(5, 3, 2), met richtingsvector u(1, 4, 1); de rechte r door Q(6, 1, 1), met richtingsvector v(1, 1, 1). (1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking nu ook door de beschrijving van het oppervlak als meetkundige plaats.