Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria

Transcriptie

1 Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf

2 Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de onderwerpen vaststellen waarvoor binnen het ONBETWIST-project toets-items en toetsen vervaardigd zullen worden. Tevens zullen we een raamwerk voor toetsen beschrijven waarin de diverse aspecten die bij het construeren van een toets van belang zijn aan de orde komen. De volgende vier aspecten van de toetsing komen aan bod: de wiskundige inhoud die wordt getoetst: de kennisdomeinen de niveau's van vaardigheden en de moeilijkheidsgraad van de vragen, het type vraagstelling, samenstelling van toetsen. We sluiten af met een overzicht aan bronnen en studiematerialen waaruit we kunnen putten bij het contrueren van toets-items en toetsen. Kennisdomein Lineaire Algebra We geven een overzicht van de onderwerpen binnen het domein van de Lineaire algebra. Dit overzicht behandelt is modulair opgebouwd. De volgorde van onderwerpen is niet strikt lineair, maar modulair opgebouwd. Vectormeetkunde in vlak en ruimte vectoren in R2 en R3 lijnen in R2 vectorvoorstelling vergelijking

3 lijnen in R3 vectorvoorstelling twee vergelijkingen vlakken in R3 vectorvoorstelling vergelijking inproduct lengte van vectoren en afstand tussen punten hoek tussen vectoren uitproduct normaalvector en loodlijn toepassingen snijden van vlakken en lijnen in R3 afstand van punt tot lijn en vlak vectoren in C2 en C3 lijnen en vlakken in C2 en C3 unitaire inproduct Matrices en vectoren matrix als rechthoekig schema met getallen matrixbewerkingen: optelling van matrices matrixvermenigvuldiging transponeren van een matrix rekenregels voor samenstelling van verschillende matrixbewerkingen definitie symmetrische, orthogonale, Hermitsche en unitaire matrix Stelsels lineaire vergelijkingen omzetten van een stelsel lineaire vergelijkingen naar de vergelijking Ax=b het veegalgoritme tot de rijgereduceerde trapvorm

4 aflezen van algemene oplossing uit rijgereduceerde trapvorm van (A b) veegalgoritme gezien als voorvermenigvuldiging met elementaire matrices de inverse van een matrix berekenen van de inverse van een vierkante matrix A door middel van vegen van (A I) toepassing van de inverse bij de bepaling van de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen Decomposities van matrices Vectorruimten diagonaal en bovendriehoek matrices LU-decomposities vergelijkingen oplossen met LU-decompositie axiomas van vectorruimten (alleen vectorruimten over de lichamen R en C worden behandeld) voorbeelden van vectorruimten, met name niet alleen Rn noemen, maar ook andere vectorruimten zoals bijvoorbeeld functieruimten of de ruimte van polynomen lineaire deelruimten lineaire onafhankelijkheid van vectoren opspansels van vectoren basis; coördinaten ten opzichte van een basis dimensie toepassing op matrices en stelsels lineaire vergelijkingen: kolommenruimte van matrix A en existentie van een oplossing voor het stelsel Ax = b nulruimte van matrix A en uniciteit van oplossing voor het stelsel Ax = b rang van een matrix bepaling van kolommenruimte, nulruimte en rang door middel van vegen dimensiestelling basisovergang: overgangsmatrix tussen twee bases gelijkvormigheid van matrices

5 Determinanten definitie van determinant met behulp van definiërende eigenschappen: lineair afhankelijk van eerste rij verwisseling van teken bij rijverwisseling determinant van eenheidsmatrix is 1 afgeleide eigenschappen als twee rijen van de matrix gelijk zijn, dan is de determinant gelijk aan 0 determinant verandert niet als een veelvoud van ene rij wordt opgeteld bij een andere rij als een vierkante matrix A singulier is, dan det(a) = 0 det(ab) = det(a) det(b) det(a T ) = det(a) berekening van determinanten ontwikkeling naar rij en kolom cofactoren Regel van Sarrus voor 3 x 3 -geval Regel van Cramer oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen, waarvoor het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden berekenen van de inverse van een matrix Berekeningen met behulp van LU-decompositie Eigenwaarden en eigenvectoren begrip van de betekenis van de definitie van eigenwaarden en eigenvectoren karakteristieke vergelijking berekening van eigenwaarden en eigenvectoren diagonaliseerbaarheid geometrische en algebraische multipliciteit van eigenwaarden, en het verband met diagonaliseerbaarheid reële vs.\complexe eigenwaarden

6 speciale eigenschappen van symmetrische matrices eigenwaarden en eigenvectoren zijn reëel eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar symmetrische matrices zijn diagonaliseerbaar Inproductruimten abstract inproduct en norm voorbeelden, bv. in functieruimten symmetrische matrix t.o.v. Basis positief definiet Euclidische ruimte afgeleide begrippen van het inproduct norm afstand hoek eenheidsvector eigenschappen ongelijkheid van Cauchy-Schwarz driehoeksongelijkheid orthogonaliteit orthogonaal en orthonormaal stelsel orthonormale basis procedure van Gram-Schmidt orthoplement orthogonale projectie toepassing orthogonaliteit in functieruimtes kleinste kwadraten Lineaire afbeeldingen

7 lineaire afbeelding lineaire transformatie samenstellen injectief en surjectief voorbeelden schaling, rotatie in het vlak projectie op deelruimte differentiaaloperatoren in functieruimten kern nulliteit beeld rang dimensiestelling inverteerbaarheid matrix van een afbeelding matrix van een afbeelding afbeelding bij een matrix samenstellen van afbeeldingen en matrixvermenigvuldiging inverse afbeelding en inverse matrix eigenwaarden, eigenvectoren, eigenruimtes van een afbeelding Jordan normaalvorm Cayley-Hamilton basistransformaties matrixrepresentaties van lineaire afbeelding bij basistransformatie gelijkvormigheid van matrices spoor en determinant toepassing: ontkoppelen stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen Orthogonale, symmetrische en Hermitsche lineaire afbeeldingen

8 orthogonale afbeelding orthogonale matrix voorbeelden rotatie spiegeling draaispiegeling symmetrische afbeelding symmetrische matrix orthogonale diagonaliseerbaarheid toepassing op kwadratische en bilineaire vormen symmetrische matrix bij kwadratische vorm basistransformatie en hoofdassenvorm definietheid unitaire afbeeldingen unitaire en Hermitsche matrices Hermitsche vorme Toepassingen

9 Opzet van toetsen en kwaliteitscriteria Niveau van vaardigheden en moeilijkheidsgraad In de literatuur zijn diverse beschrijvingen, alle min of meer gebaseerd op de Bloom taxonomie, bekend van het bevragen van diverse niveau's aan vaardigheden. Voor het NKBW raamwerk is de internationaal breed geaccepteerde indeling van PISA (Program of International Student Assessment) van de OECD als uitgangspunt gekozen (PISA, 2002). In het Framework PISA 2003 worden de volgende drie niveau's onderscheiden: [A] Reproductie Op dit niveau wordt kennis van veel geoefende strategieën in bekende situaties bevraagd: beheersing van de regels en definities en standaardalgoritmen. Voorbeeld: Bepaal de oplossingen van het stelsel x+3y-2z=3 2x-y+z=4 x+y+z=1.

10 [B] Verbindingen Op dit niveau is/zijn (denk) stappen nodig voordat de bekende aanpakken van niveau A kunnen worden toegepast: het gebruik van bekende strategieën in een minder bekende situatie. Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A=(1,1,2), B=(1,3,1), C(3,1,1) en D=(-2,0,1). Bepaal de afstand tussen de twee lijnen $AB$ en $CD$. [C] Reflectie Op dit niveau is geen pasklare strategie voorhanden: het bepalen van een eigen strategie in een minder bekende situatie. Voorbeeld: Zij V de vectorruimte van alle oneindig vaak differentieerbare functies. Zij D:V--> V de lineaire afbeelding met D(f)=f' voor alle f in V. Stel f,g,h zijn in V met D(f)=f+3g-2h D(g)=2f-g+h D(h)=3f-2g-h. Bevat de deelruimte van V opgespannen door f,g, en h een functie die constant ongelijk 0 is? Zo ja, druk deze functie uit in f,g en h. Ook binnen ONBEWIST project zullen we gebruik maken van deze indeling. Het is dus nodig om binnen een niveau van bevraging ook de moeilijkheidsgraad te benoemen. De discussie over complexiteit van een opgave is al opgepakt in NKBW1en NKBW2. Daar is geconstateerd dat het niet eenvoudig is om complexiteit eenduidig te definiëren. Wij hebben gekozen voor moeilijkheidsgraad (met trapjes 1-4). Bij PISA wordt de moeilijkheidsgraad van een opgave

11 eenvoudig bepaald aan de hand van de gemiddelde score en deze wordt dus pas bepaald nadat de toets is afgenomen. Voor de toetsconstructie hebben wij gekozen om een moeilijkheidsgraad vooraf vast te leggen. Hierbij maken we gebruik van de expertise van de opsteller van de vragen. Deze moeilijkheidsgraad kan echter aan de hand van bijvoorbeeld resultaten uit afgenomen toetsen aangepast worden. Het lijkt op zijn plaats om te benadrukken dat de drie niveaus A, B en C op zich geen binding hebben met moeilijkheidsgraad. Een opgave in de categorie C kan minder moeilijk zijn (of worden gevonden) dan een opgave in de categorie A of B. Type vraagstellingen Uiteraard is de vraagvorm van belang: een open vraag die om een eigen uitwerking vraagt toetst vaak andere vaardigheden dan een multiple choice vraag (m.c.). Binnen het VO en HO zijn bij wiskunde multiple choice vragen ongebruikelijk. Mede daarom worden de toetsen zoveel mogelijk in de open vraagvorm gesteld. Echter, door de beperkingen, die digitale toetsing met zich meebrengt, zien we ons genoodzaakt zowel open vragen als ook multiple choice vragen op te stellen. Voor zover mogelijk streven ernaar, beide varianten van de opgaven aan te bieden. De toetsen Binnen het project ONBETWIST streven we ernaar dat docenten zelf toetsen kunnen samenstellen uit een grote collectie van items. De redatie zal een aantal voorbeeldtoetsen samenstellen. Hierbij streven naar toetsen waarin de drie niveaus A, B en C op gelijke wijze en met vergelijkbare moeilijkheidsgraad vertegenwoordigd zijn. Ook is een spreiding van de moeilijkheidsgraad gewenst. Afhankelijk van de doelgroep kan deze variëren van 1 t/m 3 tot 2 t/m 4.

12 Bestaande materialen Boeken Enkele internationaal gangbare leerboeken die de stof redelijk overdekken en waarnaar verwezen kan worden zijn: Howard Anton, Elementary Linear Algebra, editie 9, Wiley, Howard Anton, Chris Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications, editie 9, Wiley, Bernard Kolman, David Hill, Elementary Linear Algebra, editie 8, Pearson Education, Bernard Kolman, David Hill, Elementary Linear Algebra with Applications, editie 9, Pearson Education, David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, editie 3, Pearson Education, Dictaten en Tentamens De verschillende partners hebben een aantal dictaten en oude tentamens ter beschikking, waarin een groot aantal opgaven te vinden is. Voor een deel kunnen deze opgaven omgezet worden tot toetsopgaven die binnen het project gebruikt zullen worden. Online materiaal Binnen het Telmme-project ( is reeds een groot aantal interactieve opgaven op het gebied van de lineaire algebra gemaakt. Deze opgaven worden aangeboden via de e-learning omgeving Ze zijn vervaardigd in het MathDox format. De door ons gekozen onderwerpen worden voor een

13 (groot) deel overdekt door de in Telmme aanwezige opgaven. De opgaven in Telmme zijn echter veelal oefenopgaven, maar zullen deels omgezet kunnen worden naar toetsopdrachten. Een collectie MapleTA opgaven is beschikbaar op Deze opgaven zijn vrij beschikbaar en kunnen gebruikt worden binnen het project. Ook op de WIMS server is een aantal toetsen te vinden waarin de gekozen onderwerpen aan bod komen. Deze toetsen kunnen als inspiratie dienen. Verder bieden verschillende repositories materialen die mogelijk bruikbaar zijn: etc. Het betreft hier echter losse documenten.