Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Transcriptie

1 Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk weinig zeggen, maar onder natuurkundigen is David J. Griffith ( The DJ voor intimi) een graag geziene gast. Met zijn losse, soepele, kindvriendelijke maar toch zeer gedegen manier van schrijven over natuurkunde, heeft hij via zijn standaardwerken over Quantum en Electro al menig jongens- en meisjeshart sneller doen kloppen. Soms (en zeker waar het wiskunde betreft) is zijn stijl misschien iets té soepel en kindvriendelijk en kan het gebeuren dat een student na het lezen van de uitspraak Uit de lineaire algebra weten we plotseling wordt overvallen door de paniekerige gedachte: Wacht eens even, wacht eens even DAT WEET IK HELEMAAL NIET!!. Gelukkig is daar de scoop om deze gaten in onze kennis op te vullen. Vandaag bewijzen we de intrigerende stelling die genoemd wordt in excercise 3.40 van Introduction to Quantummechanics en waar vele van onze lezertjes zich jarenlang het hoofd over hebben gebroken: Stelling 1: Als twee hermitische matrices commuteren, dan hebben ze een verzameling gemeenschappelijke eigenvectoren, die bovendien de ruimte opspannen. Met de ruimte bedoelen we hier dit keer niet het heelal, maar een eindig dimensionale, complexe vectorruimte waar deze matrices op werken. Ter herinnering: een operator A heet hermitisch als geldt <Av, Aw> = <v, w> voor alle vectoren v en w, waarbij <.,.> het inproduct op je ruimte is. Twee operatoren A en B commuteren als AB = BA. In het algemeen commuteren operatoren niet (denk bijvoorbeeld aan plaats en impuls in quantummechanica, of aan rotaties in 3 ), maar soms heb je geluk. Een eigenvector van een operator A tenslotte, is een niet-nul vector v die door A wordt afgebeeld op een veelvoud van zichzelf: Av = λv, met λ een (complex) getal dat de eigenwaarde (van A, behorend bij v) genoemd wordt. Een mooie eigenschap van hermitsche operatoren is dat hun eigenvectoren de ruimte opspannen ( The eigenvectors span the space, zoals de DJ dat zo kernachtig weet uit te drukken). Voor het gemak bewijzen we dat hier ook even. We beginnen met het volgende lemma: 1

2 Scoop vult de gaten Scoop februari 2003 Lemma 1: Een matrix A beeldt niet-nul vectoren af op0 det A = 0. Bewijs : De determinant van A is per definitie de inhoud van het beeld van een n-kubus met ribben 1 onder de afbeelding A (voorzien van een minteken wanneer de orientatie verandert). Het volume van zo n kubus kan pas 0 worden (en zal dat ook doen) als A de kubus plet, in de zin dat het beeld een lagere dimensie heeft dan het origineel. ( Oppervlakkigheid gaat ten koste van inhoud, zoals ze in de journalistiek zeggen.) Dit pletten gaat altijd gepaard met het op 0 afbeelden van niet-nulvectoren: denk bijvoorbeeld aan de projectie van een van de ribben op een overbodig wordende dimensie.) Lemma 2: Zij V een complexe vectorruimte en A : V V een lineaire afbeelding. Dan heeft A (minstens) een eigenvector. Bewijs: De redenering is vrij eenvoudig: we laten zien dat A minstens één eigenwaarde heeft, dan volgt de bijbehorende eigenvector vanzelf wel (al was het maar omdat het begrip eigenwaarde anders niets zou betekenen). Zoals algemeen bekend zijn de eigenwaarden van A oplossingen van de vergelijking det(a - λi) = 0 (I is de identeit). Dit is een gevolg van lemma 1: als v een niet-nul eigenvector van A is met eigenwaarde λ, dan is er geen ontkomen aan dat (A - λi)v = 0. De matrix (A - λi) beeldt dus een niet-nul vector op 0 af en moet volgens lemma 1 dus determinant 0 hebben. De eigenwaarden van λ zijn dus oplossingen van det(a - λi) = 0 en als V een eindig dimensionale vectorruimte is, is det(a - λi) een doodnormaal, vertrouwd, onschuldig polynoom (in λ). Nu komt de Hoofdstelling van de Algebra om de hoek kijken. Deze sympathieke stelling, die garandeert dat ieder niet-constante polynoom minstens één nulpunt heeft in, is de voornaamste reden dat na zijn uitvinding niet meteen is bijgezet in het kabinet der wiskundige rariteiten, maar hartelijk omarmd wordt door allerlei fysici en ander obscuur volk. Toegepast op ons geval betekent de stelling dat A altijd minstens één eigenwaarde (en dus vector) moet hebben. Dit bewijst het lemma, dat overigens (en uiteraard) niet geldt in het geval dat V slechts uit 1 punt (dat dan automatisch 0 moet heten) bestaat. Vervolgens zijn we geinteresseerd in het geval dat A hermitisch is. 2

3 Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Lemma 3: Stel dat v een eigenvector is van een hermitische operator A en dat w een vector is die loodrecht staat op v. Dan staat Aw ook loodrecht op v. Bewijs: <Av, Aw> = <v, w> = 0 want A was hermitisch, maar aan de andere kant is <Av, Aw> = <λv, Aw> = λ<v, Aw>. Dus λ<v, Aw> = 0 en dus <v, Aw> = 0. (Als λ = 0, zou moeten gelden <v, v> = <Av, Av> = <λv, λv> = <0, 0> = 0, dus die mogelijkheid valt af.) Hiermee kunnen we de volgende al eerder aangekondigde stelling bewijzen: Stelling 2: Als A een hermitische operator is op een eindig dimensionale vectorruimte V, dan spannen zijn eigenvectoren de ruimte op. Bewijs: Stel v is een eigenvector van A en w een willekeurige vector. Lemma 3 zegt dat als w loodrecht op v staat, Aw dat ook doet. Als W nu de deelruimte van V is die bestaat uit alle vectoren die loodrecht staan op v, dan is A dus niet alleen op te vatten als afbeelding van V naar V, maar ook als afbeelding van W naar W. Sterker nog: als W W ' de deelruimte van V voorstelt die bestaat uit de vectoren die loodrecht staan op alle eigenvectoren van A, dan is A ook een afbeelding van W naar W. Maar volgens lemma 2 betekent dit dat A een eigenvector in W zou moeten hebben. Deze eigenvector staat loodrecht op alle eigenvectoren van A, inclusief zichzelf. Dit is natuurlijk onzin, wat betekent dat de ruimte W uitsluitend uit de nulvector kan bestaan. In andere woorden: buiten de nulvector zijn er geen vectoren die loodrecht op alle eigenvectoren van A staan, dus de eigenvectoren van de hermitische operator A spannen de ruimte op. Nu terug naar de stelling die we eigenlijk wilden bewijzen, over commuterende hermitische matrices. De clou zit hem in het begrip Eigenruimte. Als v 1 en v 2 twee verschillende eigenvectoren van B zijn die allebei toevallig dezelfde eigenwaarde λ hebben, dan ziet men eenvoudig in dat iedere lineare combinatie µ 1 v 1 + µ 2 v 2 óók een eigenvector van B met eigenwaarde λ is. Alle eigenvectoren met een bepaalde eigenwaarde λ vormen samen dus een deelvectorruimte E λ, die de eigenruimte van λ genoemd wordt. 3

4 Scoop vult de gaten Scoop februari 2003 Stel nu dat A en B twee hermitische, commuterende matrices zijn op een vectorruimte V en dat v een eigenvector is van B met eigenwaarde λ. We bekijken wat operator B doet met de vector Av. We vinden: B(Av) = (BA)v = ABv = Aλv = λ(av). In andere woorden: Av is een eigenvector van B met eigenwaarde λ. Maar dat was v zelf ook al! A beeldt eigenvectoren van B met eigenwaarde λ dus af op eigenvectoren van B met eigenwaarde λ, dus in plaats van als afbeelding van de gigantische ruimte V naar zichzelf, kunnen we A ook opvatten als een afbeelding van de veel kleinere, beschaafdere, ja misschien zelfs wel 4- of 5-dimensionale ruimte E λ naar zichzelf. Omdat A nog steeds hermitisch is, heeft hij (volgens stelling 2) een basis van eigenvectoren die de hele ruimte E λ opspannen. En omdat deze eigenvectoren van A elementen van de eigenruimte E λ van B zijn, zijn het zeker ook eigenvectoren van B. Het zijn dus gemeenschappelijke eigenvectoren. Dit grapje kunnen we vervolgens herhalen voor iedere eigenruimte E λ van B. Omdat de eigenvectoren van B de ruimte opspannen, iedere eigenvector in een ruimte E λ ligt en iedere E λ wordt opgespannen door een verzamelingetje gemeenschappelijke eigenvectoren van A en B, volgt vervolgens dat de ruimte V inderdaad een basis heeft van gemeenschappelijke eigenvectoren. We kunnen dus allemaal met een gerust hart gaan slapen; the DJ had weer eens gelijk. Het oneindig-dimensionale geval Een interessante vraag is natuurlijk wel, of dit ook in oneindig dimensionale vectorruimtes werkt. Oneindig dimensionale vectorruimtes zijn immers de ruimtes waar het in de quantummechanica om draait. Helaas is het antwoord in het algemeen: nee. Om een tegenvoorbeeld te construeren kunnen we het beste zo dicht mogelijk aan de bron beginnen: bij lemma 2. Het is immers in het bewijs van lemma 2 dat we gebruiken dat V eindig dimensionaal is (wanneer we stellen dat de eigenwaarden van A nulpunten zijn van een polynoom). Lemma 2 stelt dat iedere operator op een eindigdimensionale vectorruimte minstens 1 eigenvector heeft. Op een oneindig-dimensionale hoeft dit niet te gelden. Neem bijvoorbeeld de vectorruimte van alle continue functies van 4

5 Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten [-1, 1] naar en bekijk de operator f ( x) xf ( x) (de plaatsoperator in quantum-mechanica). Deze vriendelijke figuur heeft duidelijk geen eigenvectoren buiten de nul-functie: stel f is een eigenvector met eigenwaarde λ (dus xf ( x) = λf ( x) voor alle x [ 1,1 ]) en a λ. Dan volgt uit invullen van x=a, dat af ( a) = λf ( a) zodat f(a) = 0. Maar als f(a) = 0 voor alle a λ, dan is wegens continuiteit ook f(λ) = 0, zodat f gelijk is aan de nulfunctie. Helaas is deze operator niet hermitisch. Het standaard inproduct op 1 deze ruimte is natuurlijk < f, g >= f ( x) g( x) dx. Stel f(x) = 1 voor alle 1 x, dan is <f, f> = 2 terwijl < xf ( x), xf ( x) >= 2 / 3 < f, f >. Dus f is niet hermitisch. Om een geschikt tegenvoorbeeld voor de stelling te geven, zullen we de zaken (zoals wiskundigen altijd graag doen) iets abstracter moeten bekijken. Definitie: De vectorruimte l 2 bestaat uit oneindige rijtjes reële getallen (a 1, a 2, a 3, a 4, ) met de eigenschap dat a i 2 <. Hierop is als volgt een inproduct gedefinieerd: als a = (a 1, a 2, a 3, a 4, ) en b = (b 1, b 2, b 3, b 4, ) dan is <a, b> = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + De lezer mag zelf nagaan dat dit inderdaad een vectorruimte is, en dat de inproducten altijd eindige getallen opleveren. l 2 is de natuurlijke generalisatie van de ruimtes ook uit rijtjes getallen met dit inprodukt. n : deze bestaan immers Op deze l 2 definieren we de operator T met de volgende werking: T(a 1, a 2, a 3, a 4, ) = (0, a 1, a 2, a 3, a 4, ). T is hermitisch: < Ta, Tb >=< a, b >= a i b i. i= 1 Bovendien heeft T geen eigenvectoren, buiten de nulvector. Stel namelijk dat a wél een eigenvector van T is, dus Ta = λa. Als λ 0 zien we dat 0 = λa 1 dus a 1 = 0. Maar omdat a 1 = λa 2 volgt dat a 2 = 0 en zo verder. Uiteindelijk vinden we dus dat a = (0, 0, 0, ). In het geval dat λ = 0 volgt dit ook: in dat geval is Ta = (0, 0, 0, ) dus a = (0, 0, 0, ). Alle eigenvectoren van T zijn dus gelijk aan de nulvector. Hiermee is T een tegenvoorbeeld tegen lemma 2. En omdat 5

6 Scoop vult de gaten Scoop februari 2003 de nulvector in zijn eentje nooit een hele oneindig dimensionale vectorruimte op kan spannen, is hij ook een tegenvoorbeeld tegen stelling 2. Om nu te bewijzen dat de stelling 1 niet geldig is in l 2, hebben we alleen nog maar een hermitische operator nodig die met T commuteert. Onder het motto waarom moeilijk doen als het ook flauw kan nemen we hiervoor de identiteitsoperator I. I en T zijn twee commuterende hermitische operatoren op een hilbertruimte, maar hun gemeenschappelijke eigenvectoren spannen allerminst de ruimte op: hun enige gemeenschappelijke eigenvector is namelijk (0, 0, 0, ). Het feit dat de gebruikte hilbertruimte eindige dimensie heeft is dus van wezenlijk belang. Wat deze stelling dan met quantummechanica te maken heeft, waar alles toch om oneindig dimensionale hilbertruimtes draait, is dan ook een gapend gat in mijn kennis. 6