3 De duale vectorruimte

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "3 De duale vectorruimte"

Transcriptie

1 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen V W met hom K (V, W ). Lemma 3.2 De verzameling hom K (V, W ) is een vectorruimte over K indien voorzien van de gebruikelijke optelling van L, K hom K (V, W ) middels L + K : V W : v L(v) + K(v) en de gebruikelijke vermenigvuldiging met scalairen k K middels k L : V W : v k L(v) waarbij de + en de in de rechterleden de vectorruimtebewerkingen op W zijn. Als speciaal geval van deze definitie en dit lemma bekijken we de keuze W = K. Definitie 3.3 (Duale vectorruimte (V, K) van (V, K)) De vectorruimte hom K (V, K) noteren we met (V, K) of kortweg met V en noemen we de duale vectorruimte van V. Elementen uit de duale vectorruimte staan bekend onder een veelvoud van namen. Definitie 3.4 (Lineaire functionaal, covector, -vorm) Een element v V wordt afhankelijk van context ook wel een lineaire functionaal genoemd, of een covector, of een -vorm. 3. Voorbeelden en eerste oriëntatie We geven hier voorbeelden van elementen uit de duale vectorruimte, en daarnaast ook wat resultaten die we verderop in meer algemeenheid zullen bewijzen. Eerst bekijken we (K n ). Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (K n, K). Dan is voor iedere vast gekozen y K n de afbeelding l y : K n K : x y x () een lineaire functionaal op K n en daarmee dus een element van (K n ). Opmerking 3.6 In Voorbeeld 3.5 is l y (K n ). De matrix y is geen element van (K n ). Het is slechts de matrix van de lineaire afbeelding l y ten opzichte van de standaardbasis. Stelling 3.7 De afbeelding met l y als in Voorbeeld 3.5 is een lineaire bijectie. L : K n (K n ) : y l y (2) Bewijs. De lineariteit is eenvoudig na te gaan. Omdat er voor iedere y een x K n bestaat met y x, geldt dat l y = y =. Dus is ker(l) = {}, en is L injectief. Ook is L surjectief, immers, laat l : K n K gegeven zijn en laat z K n de matrix zijn van l ten opzichte van de standaardbases van K n en van K. Dan is dus l(x) = zx voor alle x K en dus geldt met y = z dat l = l y. Dus iedere l (K n ) is van de vorm l y voor zekere y.

2 Gevolg 3.8 Er geldt dat (K n ) = K n. In het bijzonder is dim(k n ) = n. Bewijs. De afbeelding L uit Stelling 3.7 is een lineaire bijectie en dus een isomorfisme. Opmerking 3.9 Het voorgaande kan geherformuleerd worden als dat (K n ) = {l y y K n }, (3) waarbij iedere l (K n ) precies één y K n bestaat zo, dat l = l y. Opmerking 3. Als K = R dan is l y (x) = y x = y, x het standaardinproduct op R n met een vast gekozen vector y R n. Ook als K = C is l y (x) = y x = y x = y, x het standaardinproduct op C n met een vast gekozen vector, alleen nu is dat met y. Lineaire functionalen op een eindigdimensionale vectorruimte laten zich beschrijven middels de combinatie van Stelling 3.7 en de coördinaatafbeelding horende bij een basis van V. Opmerking 3. In het vervolg zullen we een willekeurig element uit V vaak aanduiden met v. Dit is slechts een notatie, in het bijzonder is de asterisk hier geen bewerking op v. Stelling 3.2 Gegeven een vectorruimte (V, K) met basis = {v,..., v n }. Dan bestaat er voor iedere v V precies één y K n zodat v = l y co (4) waarbij l y de afbeelding K n K : x y x is. De toevoeging K n V : y v is lineair. Bewijs. Laat v : V K gegeven zijn en beschouw daarnaast de coördinaatafbeelding co : V K n. Zie nu het diagram in Figuur 3.. V K v co : K n K co l y Figuur 3. Factorisatie van een element v V. K n = v = l y : K n K De samenstelling v co is een lineaire afbeelding K n K. Volgens Stelling 3.7 bestaat er een unieke y K n zo, dat v co = l y, en dus zo, dat v = l y co. Omdat volgens Stelling 3.7 de toevoeging y l y lineair is, is de samenstelling y l y co = v dat ook. Gevolg 3.3 Er geldt dat V = K n, en in het bijzonder dat V = V. We eindigen deze sectie met enkele explicietere voorbeelden van lineaire functionalen. Een bekend element uit de duale van de ruimte van vierkante matrices is het spoor. 2

3 Voorbeeld 3.4 De lineaire afbeelding Sp : K n n K : A Sp(A) (5) waarbij Sp(A) staat voor het spoor van A, is een covector uit (K n n ). Daarnaast is voor gegeven vast gekozen v, w K n ook K n n K : A v Aw (6) een lineaire functionaal op K n n en daarmee een element uit (K n n ). Oneindigdimensionale vectorruimtes leveren doorgaans interessantere duale vectorruimtes. Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (C(I), R) van continue functies op het interval I = [a, b] met a, b R. Dan is de afbeelding I b a : C(I) R : f b a f(x)dx, (7) waar b a de Riemann-integraal is, een lineaire functionaal op C(I), en dus is Ib a C(I). Daarnaast is de functie-evaluatie e x : C(I) R : f f(x) (8) ook een element van C(I) voor iedere vast gekozen x I. In het bijzonder is ook T b a : C(I) R : f(a) + f(b) f (b a) 2 een element van C(I), het is immers een lineaire combinatie van e a en e b uit (8). (9) De lineaire functionalen I b a en T b a uit vorig voorbeeld zijn als volgt aan elkaar gerelateerd. Opmerking 3.6 Definieer de zogeheten interpolatie-afbeelding π : C(I) R[X] : f π(f) () die aan f C(I) toevoegt het unieke lineaire polynoom π(f) R[X] dat waarde f(a) aanneemt in a en f(b) in b. Zie ook Figuur 3.2. Het polynoom π(f) heet de lineaire interpolant van f. Het is eenvoudig na te gaan dat dan voor alle f C(I), T b a(f) = I b a(π(f)), () dus T b a(f) is een approximatie van I b a(f) berekend door π(f) te integreren in plaats van f zelf. Definitie 3.7 (Trapeziumregel) T b a(f) heet de trapeziumregel-approximatie van I b a(f). De trapeziumregel is een voorbeeld van een zogeheten kwadratuurformule. 3

4 f f(b) f(b) π(f) 2 (f(a) + f(b)) f(a) T b a(f) f(a) T b a(f) a b a b Figuur 3.2 De trapeziumregel T b a(f) = 2 (f(a) + f(b))(b a) benadert Ib a(f). 3.2 De duale basis van V behorende bij een basis van V Veronderstel dat (V, K) een vectorruimte is van eindige dimensie. In Sectie 3. zagen we dat V isomorf is met V. We definiëren nu een basis voor V, gegeven een basis van V. Definitie 3.8 (Duale basis) Zij (V, K) een vectorruimte met basis = {v,..., v n }. Laat voor iedere j {,..., n} v j : V K : v e j co (v). (2) Hiermee is = {v,..., v n } een basis voor V, de duale basis genaamd. Opmerking 3.9 In Figuur 3.3 zien we hoe v j wordt gedefinieerd in termen van Figuur 3.. V v j K co l ej v j = l ej co K n = Figuur 3.3 De functionalen v j V uit Definitie 3.8 in termen van l ej uit Voorbeeld 3.5. Opmerking 3.2 Met Definitie 3.8 laat de coördinaatafbeelding zich als volgt herschrijven, v (v) co : V K n : v.. (3) v n (v) In het bijzonder zien we dus dat voor alle v V, en tevens dat v = v (v)v + + v n (v)v n, (4) v j (v i ) = δ ij = { als i = j als i j. (5) Merk op dat de karakterisering van v,..., v n in (5) equivalent is met Definitie

5 We bewijzen nu dat inderdaad een basis is. Omdat we in Gevolg 3.3 al zagen dat dim(v ) = dim(v ) = n volstaat het om de lineaire onafhankelijkheid van aan te tonen. Lemma 3.2 De covectoren v,..., v n zijn lineair onafhankelijk. Bewijs. Laat α,..., α n K zodanig zijn dat α v + + α n v n = V, (6) waarbij het rechterlid het neutrale element van V is, oftewel de nulfunctionaal : V K : v K. Laat nu j {,..., n} en evalueer (6) in v j V. Wegens (5) is v j (v i ) = δ ij en dus impliceert (6) dat K = (v j ) = α v (v j ) + + α n v n (v j ) = α j v j (v j ) = α j. Omdat j willekeurig was, is α = = α n = en zijn v,..., v n dus lineair onafhankelijk. We kunnen vervolgens de bij horende coördinaatafbeelding co : V K n onderzoeken. Lemma 3.22 Zij V een vectorruimte met basis = {v,..., v n } en laat = {v,..., v n } de bij horende duale basis zijn voor V. Dan geldt dat v (v ) co : V K n : v., (7) v (v n ) oftewel, met andere woorden, dat voor alle v V. v = v (v )v + + v (v n )v n (8) Bewijs. Evalueer de beide lineaire functionalen in het linker- en rechterlid van (8) in v,..., v n met behulp van relatie (5) en concludeer gelijkheid. We illustreren de duale basis en Lemma 3.22 met twee voorbeelden. Voorbeeld 3.23 Beschouw R 2 voorzien van de standaardbasis ε = {e, e 2 }. De duale vectorruimte (R 2 ) bestaat volgens Stelling 3.7 uit alle afbeeldingen [ ] [ ] l y : R 2 x x R : [y, y 2 ], met y, y 2 R. We zien in het bijzonder dat l y = y e + y 2 e 2, waarbij x 2 e : R 2 R : x e x en e 2 : R 2 R : x e 2 x de individuele-coördinaatfunctionalen zijn. Het tupel {e, e 2 } is de duale basis ε voor (R 2 ). Merk op dat l y = l y (e )e + l y (e 2 )e 2, wat Lemma 3.22 illustreert. Het volgende voorbeeld speelt zich af in een polynoomruimte. x 2 5

6 Voorbeeld 3.24 Beschouw de vectorruimte (R[X] 2, R). Laat = {φ, φ, φ 2 }, waarbij φ : R R : X, φ : R R : X X, φ 2 : R R : X X 2. De duale basis = {φ, φ, φ 2 } voor (R[X] 2 ) bestaat per Definitie 3.8 en Opmerking 3.2 uit de individuele-coördinaatfunctionalen, die samen de coördinaatafbeelding co bepalen, φ ( ) co ( ) = φ ( ). φ 2 ( ) Beschouw nu de integratie-afbeelding I : R[X] 2 R : p p(x)dx. Dan is I (R[X] 2) en vertelt Lemma 3.22 dat I = I (φ )φ + I (φ )φ + I (φ 2 )φ 2 = φ + 2 φ + 3 φ2. Hiermee hebben we de integratie-functionaal I dus expliciet geschreven als lineaire combinatie van de individuele-coördinaatfunctionalen φ, φ 2, φ 3. Opmerking 3.25 In het voorgaande voorbeeld hebben we in feite niets anders laten zien dan dat a + bx + cx 2 dx = a + 2 b + 3 c (9) oftewel, we hebben de integraal uitgedrukt als lineaire combinatie van de coördinaten a, b, c. 3.3 De dubbelduale vectorruimte V en het natuurlijke isomorfisme In deze sectie bestuderen we de duale van de duale vectorruimte V, oftwel de dubbelduale vectorruimte V = (V ) van V. Volgens Definitie 3.3 is V = hom K (V, K) (2) en deze vectorruimte bestaat dus uit alle lineaire functionalen V K. Opmerking 3.26 Als V = R bestaat V = R uit de lineaire afbeeldingen van R naar R, en V uit de lineaire afbeeldingen, die aan dergelijke lineaire afbeeldingen scalairen toevoegen. Dus V lijkt doorgaans niet hetzelfde als V, tenzij we onze interpretatie van V subtiel herzien. Definitie 3.27 (Duale koppeling) Zij V een vectorruimte met duale V. Schrijf voor alle v V en v V v, v = v (v). (2) De afbeelding, : V V K heet de duale koppeling van het duale paar V, V. Opmerking 3.28 De uitdrukking v, v is geen inproduct. Als V een inproductruimte is, zullen we verschillende notaties nodig hebben voor inproduct en duale koppeling. 6

7 De charme van de notatie v, v en van het hele concept van duale koppeling is, dat het een perfecte symmetrie suggereert tussen wat v doet met v, en omgekeerd, wat v doet met v. Opmerking 3.29 Het is gebruikelijk om v (v) en dus v, v te lezen als v geëvalueerd in v. De symmetrie in de notatie v, v moedigt echter aan om dit ook te lezen als v geëvalueerd in v. Dit interpreteert v als lineaire functionaal V K : v v, v, als element van V. In Figuur 3.4 illustreren we de symmetrie tussen de gebruikelijke werking van V op V en de hier nieuw te beschouwen werking van V op V. v v 2 v v 2 v n v (v) = v, v = v(v ) v : V K : v v, v v n v : V K : v v, v Figuur 3.4. Dualiteit: het symbool v is zowel een element van V, als een element van V. We gebruiken in Figuur 3.4 voor de lineaire functionaal V K : v v, v uit de vectorruimte V hetzelfde symbool v als voor het element v uit V. De motivatie hiervoor is dat we voor de lineaire functionaal V K : v v, v standaard het symbool v gebruiken. Opmerking 3.3 Om de vraag te beantwoorden of het gebruik van het symbool v voor de afbeelding V K : v v, v geen mathematische inconsistentie oplevert, zullen we aantonen dat iedere v V op deze manier precies één element uit V voorstelt, en omgekeerd, dat ieder element uit V voor is te stellen middels precies één element uit V. In de volgende stelling gebruiken we daarom vooralsnog niet het symbool v maar H(v). Stelling 3.3 (Natuurlijk isomorfisme) Zij V, V een duaal paar met duale koppeling, : V V K. Laat H : V V de afbeelding zijn die aan v V de lineaire functionaal H(v) : V K : v v, v (22) uit V toevoegt. Dan is H een lineaire bijectie tussen V en V, het natuurlijke isomorfisme. Opmerking 3.32 We schrijven H(v)(v ) voor de functionaal H(v) V geëvalueerd in v. Het alternatief is om de duale koppeling tussen V en V te gebruiken, maar dat is wellicht verwarrend. In het bijzonder is dus H(v)(v ) = v, v. Bewijs. We bewijzen eerst de lineariteit van H. Laat α, K en v, w V. Dan geldt voor alle v V dat H(αv + w)(v ) = v, αv + w = α v, v + v, w = αh(v)(v ) + H(w)(v ), 7

8 en dus zijn H(αv + w) en αh(v) + H(w) gelijk als afbeeldingen op V. Vervolgens laten we zien dat H injectief is. Veronderstel hiertoe dat H(v) =. Dit betekent dat H(v)(v ) = v, v = K voor alle v V, en dus in het bijzonder voor de elementen v,..., v n van de duale basis van V horende bij een gekozen basis = {v,..., v n } van V. Dus is v j, v = v j (v) = voor alle j {,..., n}, en volgt met behulp van Opmerking 3.2 dat co (v) = en dus is v =. Dus is H injectief, en omdat dim(v ) = dim(v ) = n is H bijectief. Opmerking 3.33 Als we het symbool v gebruiken voor zowel het element uit V als voor het element V K : v v, v uit V dan valt te verdedigen dat V = V. 3.4 Het isomorfisme van Riesz In Opmerking 3.9 zagen we dat iedere lineaire functionaal l op R n op precies één manier kan worden geschreven als het nemen van het inproduct met een vast gekozen y R n. We bewijzen nu een overeenkomstig resultaat voor iedere eindigdimensionale inproductruimte. Opmerking 3.34 Ter onderscheid van de duale koppeling noteren we een inproduct als (, ). Stelling 3.35 (Riesz) Laat (V, R, (, )) een inproductruimte zijn van dimensie n N. Dan is voor iedere u V de afbeelding een element uit V. Definieer nu l u : V R : v (u, v) (23) J : V V : u l u (24) dan is J een lineaire bijectie en dus een isomorfisme, het Riesz-isomorfisme genaamd. Bewijs. De lineariteit van l u en van J volgen eenvoudig. Om injectiviteit van J te bewijzen, merk op dat l u (u) = (u, u) = u 2 en dus volgt uit een inproductaxioma dat l u = u =. Dus ker(j ) = {} en is J injectief. Gevolg 3.3 laat zien dat dim(v ) = dim(v ) = n en dus is J zelfs bijectief. We concluderen dat J een isomorfisme is. Opmerking 3.36 In de overeenkomstige Stelling 3.7 was nog niet bewezen dat dim(v ) = dim(v ) en dus moest daar de surjectiviteit van L nog expliciet worden bewezen. Frigyes Riesz (88-956) 8

9 Definitie 3.37 (Riesz-representant) Het unieke element v V zo, dat (v, w) = v (w) voor alle w V heet de Riesz-representant van v in V. Voorbeeld 3.38 Opmerking 3.9 laat zien dat y de Riesz-representant van l y is. Voorbeeld 3.39 Beschouw voor zekere a < b het standaardinproduct (q, r) = b a q(x)r(x)dx op de vectorruimte (R[X] n, R) van polynomen van graad ten hoogste n. De Riesz-representant van de integratie-afbeelding I b a (R[X] n ) gedefinieerd door I b a : R[X] n R : r b a r(x)dx is het polynoom R R : X. Immers, I b a(r) = (, r) voor alle r R[X] n. Voorbeeld 3.4 Op de ruimte (R n n, R) definiëren we het inproduct (X, Y ) = Sp(X Y ). De Riesz-representant van de lineaire functionaal Sp : R n n R : Y Sp(Y ) is de identiteitsmatrix I R n n. Immers, Sp(Y ) = Sp(I Y ) = (I, Y ) voor alle Y R n n. Het volgende voorbeeld is wellicht wat verrassender. Voorbeeld 3.4 Laat A GL n (R) gegeven zijn met A = A. Definieer voor alle y, z R n, (y, z) A = y Az. (25) Dan is (, ) A een inproduct op R n. Beschouw nu het stelsel Ax = b van lineaire vergelijkingen voor gegeven b R n. Omdat geldt dat (x, z) A = x Az = x A z = (Ax) z = b z (26) is de oplossing x van Ax = b de Riesz-representant van de lineaire functionaal z b z. Het Riesz-isomorfisme J is een lineaire afbeelding tussen vectorruimtes, en dus kunnen we de matrix J van J beschouwen ten opzichte van bases en. Lemma 3.42 Zij (V, R, (, )) een inproductruimte met basis = {v,..., v n }. Schrijf = {v,..., v n } voor de bijbehorende duale basis van V. Dan is (v, v )... (v n, v ) J =.. (27) (v, v n )... (v n, v n ) de matrix van het Riesz-isomorfisme J : V V ten opzichte van en. 9

10 Bewijs. Per definitie is J de matrix waarvoor geldt dat co (J (v)) = J co (v) (28) voor alle v V, zoals afgebeeld in Figuur 3.5. Dus is de j-de kolom van J co (J (v j )) = J (v j )(v ). J (v j )(v n ) = (v j, v ). (v j, v n ) gelijk aan, (29) waar we gebruik maakten van Lemma 3.22 en de definitie van J uit Stelling In Figuur 3.5 vatten we één en ander schematisch samen. Definitie 3.8 van duale basis = {v,..., v n }, Opmerking 3.2 over de vorm van co in termen van v,..., v n, Lemma 3.22 voor de coördinaten ten opzichte van, en bovenstaand Lemma 3.42 voor de matrix van het Riesz-isomorfisme ten opzichte van en. v = = {v,..., v n } = {v,..., v n } J n V V n v j, v v v = v, v j v j j co co j= j= co (v) = v, v. v n, v R n J = R n (v, v )... (v n, v ).. (v, v n )... (v n, v n ) co (v ) = v, v. v, v n Figuur 3.5 Matrix van het Riesz-isomorfisme ten opzichte van basis en duale basis. Opmerking 3.43 De coördinaatvector co (J (v )) van de Riesz-representant J (v ) van v kan dus worden uitgerekend als oplossing x van het stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de matrix J is als in Lemma J x = co (v ), (3) Voorbeeld 3.44 Beschouw nogmaals Voorbeeld 3.39, met voor het gemak de expliciete keuzes n = 2 en verder a = en b =. We gaan de Riesz-representant p = J (I ) van I uitrekenen. Kies hiertoe = {, X, X 2 }. De coördinaten van I ten opzichte van hebben we reeds uitgerekend in Voorbeeld Dan geeft Lemma 3.42 dat J co (p) = co (p) = 2 3 = co (I ). (3) Hieruit volgt dat co (p) = e R 3 en dus dat p = I, in overeenstemming met Voorbeeld 3.39.

11 Opmerking 3.45 Als in Lemma 3.42 orthonormaal is, is J = I, de identiteitsmatrix. In dat geval geldt kennelijk co (J (v)) = co (v), oftewel, v = n α j v j J (v) = j= n α j v j. (32) In dat geval kan de Riesz-representant v = J (v ) van v het eenvoudigst worden bepaald. We geven nu een voorbeeld waaruit blijkt dat als de vectorruimte V geen eindige dimensie heeft, de representatiestelling van Riesz niet zonder meer geldig blijft. Voorbeeld 3.46 Beschouw de inproductruimte (C(I), R, (, )) van continue functies op het interval I = [, ], voorzien van het standaardinproduct (f, g) = j= f(x)g(x)dx. (33) We bekijken weer de lineaire functionaal I C(I). Net als in Voorbeeld 3.39 geldt ook hier dat (, g) = I (g) (34) voor alle g C(I). Dus I heeft een Riesz-representant in C(I). Bekijk nu echter de functieevaluatie in x =, ε : C(I) R : g g(). (35) Deze functionaal is lineair en dus ε C(I). Veronderstel nu dat er een f C(I) bestaat met de eigenschap dat (f, g) = ε (g) voor alle g C(I). (36) Dan is f niet de nulfunctie. Omdat f continu is, bestaat er een niet-leeg open interval K = (a, b) [, ] zo, dat f(x) voor alle x K. Laat nu g(x) = (x a)(b x) voor alle x K en g(x) = voor alle x [a, b]. Zie Figuur 3.6. f g a K b f(x)g(x) > op K f(x)g(x) = op I \ K (f, g) > ε (g) = Figuur 3.6 Voor iedere f C(I) is er een g C(I) met g() = en (f, g). Dan is g C(I) met ε (g) =. Ook is f(x)g(x) = voor alle x K. Omdat voor alle x K óf f(x)g(x) >, óf f(x)g(x) < is (f, g). Uit deze tegenspraak volgt dat er geen f C(I) bestaat zo, dat (f, g) = ε (g) voor alle g C(I). Opmerking 3.47 Dualiteit heeft in oneindig veel dimensies veel meer onverwachte wendingen dan in eidig veel dimensies. De representatiestelling van Riesz, maar bijvoorbeeld ook het natuurlijk isomorfisme hoeven daar niet meer van toepassing te zijn. Functie-evaluatie heeft wel een Riesz-representant op iedere polynoomruimte (R[X] n, R).

12 Voorbeeld 3.48 Beschouw de vectorruimte (R[X], R) van lineaire polynomen voorzien van het standaardinproduct (q, r) = q(x)r(x)dx. We bepalen de Riesz-representant van de evaluatie-functionaal ε : R[X] R : p p(). Hietoe kiezen we de basis = {, X} voor R[X]. We vinden middels Lemma 3.22 dat co (ε ) = Vervolgens berekenen we expliciet de matrix met als gevolg dat co (J (ε )) = J = [ ε () ε (X) [ ] = ] [ ] [ [J co (ε ) = 2 ]. (37) (38) ], (39) en dus dat r = J (ε ) = 2 + X. En inderdaad, met p(x) = a + bx vinden we dat (r, p) = 2 (a + bx)dx = 2 (ax + 2 bx2 ) = a = p() = ε (p). (4) Dit bevestigt dat r de Riesz-representant is van ε (R[X] ). 3.5 De duale L van een lineaire afbeelding L Laat (V, K) en (W, K) vectorruimtes zijn over een lichaam K. Dan induceert iedere lineaire afbeelding L : V W op natuurlijke wijze een zogeheten duale afbeelding L : W V. Definitie 3.49 (Duale afbeelding en pull-back) Voor iedere L hom K (V, W ) definiëren we de duale afbeelding L hom K (W, V ) middels L : W V : w w L. (4) De functionaal L (w ) heet de pull-back van w in V onder L. Het is eenvoudig na te gaan dat L goedgedefinieerd en linear is. V V w L L K W w W L : W V : w w L L Figuur 3.6 Definitie van de duale afbeelding L en de pull-back w L van w. 2

13 Opmerking 3.5 In de context van complexe inproductruimtes gebruikten we de notatie L voor de geadjungeerde van een lineaire afbeelding L : V W. Dit is de afbeelding zo, dat (v, L (w)) V = (L(v), w) W (42) voor alle v V en w W. Hier is (, ) V het inproduct op V en (, ) W het inproduct op W. Ondanks dat we de duale van een afbeelding L ook met L aanduiden, is dit niet hetzelfde. Opmerking 3.5 De asterisk in L is een bewerking : hom K (V, W ) hom K (W, V ). Voorbeeld 3.52 Laat L : R R : x 2x. Dan beeldt L een functionaal w op R af op de functionaal v = L (w ) gedefinieerd door Deze v is dan de pull-back van w onder L. v : R R : x w (2x). (43) Voorbeeld 3.53 Laat (C(I), R) de vectorruimte van continue functies op I = [a, b] zijn. Beschouw de lineaire afbeelding π : C(I) R[X] : f π(f), (44) waarbij π(p) de lineaire interpolant is van f, oftewel, het unieke polynoom in R[X] dat waarde f(a) aanneemt in a en waarde f(b) in b. Laat vervolgens I b a : R[X] R : g b a g(x)dx. (45) Dan is Ia b (R[X] ) en is L (Ia) b gelijk aan de lineaire functionaal Ia b L, die we herkennen als T b a : C(I) R : f b a π(f)(x)dx = (f(a) + f(b)) (b a), (46) 2 oftewel, de trapeziumregel T b a (C(I)) is de pull-back van I b a onder π. Zie Figuur 3.7. C(I) C(I) T b a π R R[X] I b a (R[X] ) π (I b a) = T b a π Figuur 3.7 Relatie tussen I b a en T b a via de duale π van de lineaire-interpolatieafbeelding. De duale L van een lineaire afbeelding is zoals gezegd niet gelijk aan de geadjungeerde. Wel kunnen we het volgende onmiddellijk inzien. Vergelijk dit met Opmerking 3.5. Stelling 3.54 Laat L hom K (W, V ) de duale zijn van L hom K (V, W ). Dan geldt voor alle v V en w W, L (w ), v V = w, L(v) W (47) waarbij, V de duale koppeling tussen V en V en, W die tussen W en W is. 3

14 Bewijs. Er geldt per definitie van duale koppeling en van L dat w, L(v) W = w (L(v)) = (w L)(v) = L (w )(v) = L (w ), v V. (48) Dit bewijst de bewering. De matrix van L blijkt eenvoudigweg de getransponeerde te zijn van die van L, indien we V en W voorzien van de duale bases van die van V en W. Stelling 3.55 Laat V = {v,..., v n } een basis zijn van V en W = {w,..., w k } een basis voor W. Laat L hom K (W, V ) de duale zijn van L hom K (V, W ). Dan is (L ) V W waarbij V en W de duale bases van V en W zijn. = (L W V ), (49) Bewijs. Per definitie van de beide matrices geldt voor alle w W, en tevens dat voor alle v V, co V (L (w )) = (L ) V W co W (w ) (5) co W (L(v)) = L W V co V (v). (5) Laat nu i {,..., k} en j {,..., n} gegeven zijn. Dan geldt dat e i (L ) V W e j = e i (L ) V W co W (w j ) = e i co V (L (w j )) = L (w j ), v i V, waar de tweede gelijkheid (5) gebruikt en de derde gelijkheid Lemma Idem vinden we e j L W V e i = e j L W V co V (v i ) = e j co W (L(v i )) = w j, L(v i ) W, waarbij de tweede gelijkheid (5) gebruikt en de derde Opmerking 3.2. Stelling 3.55 geldt dat w j, L(v i ) W = L (w j ), v i V vinden we dat Omdat wegens e i (L ) V W e j = e j L W V e i. (52) Dit bewijst de bewering. 3.6 De annihilator van een deelverzameling van V Het begrip annihilator in de duale vectorruimte is gerelateerd aan het begrip orthogonaal complement in een inproductruimte. Definitie 3.56 (Annihilator) Zij (V, K) een vectorruimte en S V. Dan heet de verzameling S = {v V v (s) = voor alle s S} (53) de annihilator van S in V. In het bijzonder geldt dus dat v S als en alleen als S ker(v ). 4

15 Opmerking 3.57 Als v nul is op S, is v ook nul op de deelruimte van V opgespannen door de elementen van S. In het bijzonder is S dus een lineaire deelruimte van V, ook als S dat niet is. Tot slot is eenvoudig in te zien dat V = {} en {} = V. Annihilatoren worden uiteraard kleiner naarmate de te annihileren verzameling groter wordt. Lemma 3.58 Laat (V, K) een vectorruimte zijn met duale V. Dan geldt S T V T S V. (54) Bewijs. Als v (t) = voor alle t T dan is v (s) = voor alle s S. De omgekeerde implicatie in (54) is niet geldig. De Canadese band Annihilator (984) Voorbeeld 3.59 Beschouw de deelverzameling {e } R 3. Ieder element van (R 3 ) is te schrijven als l y : R 3 R : x y x, en l y (e ) = als en alleen als e y =. Dus, {e } = {l y : R 3 R : x y x e y = }. (55) Merk op dat {e } ook gelijk is aan het opspansel van {e 2, e 3 }, waarbij ε = {e, e 2, e 3 } de duale basis is van de standaardbasis ε = {e, e 2, e 3 }. Het voorgaande voorbeeld illustreert het aangekondigde verband tussen orthogonale complementen en annihilatoren. Dit verband wordt expliciet gemaakt middels het Riesz-isomorfisme. Stelling 3.6 Zij (V, R, (, )) een inproductruimte en S V. Dan geldt waarbij J : V V het Riesz-isomorfisme is. span(s) = J (S ), (56) Bewijs. Laat v S. Dan is v (s) = voor alle s S. Per definitie van Riesz-representant is J (v ) de vector uit V waarvoor geldt dat (J (v ), v) = v (v) voor alle v V, (57) en dus staat J (v ) loodrecht op alle s S en daarmee ook loodrecht op alle lineaire combinaties van vectoren uit S. Dus J (v ) span(s). Omgekeerd, laat w span(s), dan geldt in het bijzonder dat (w, s) = voor alle s S, en dus is J (w) : V R : v (w, v) (58) een element is van S. Dit bewijst de bewering. 5

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies

Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies Jan Brandts 1 Continue stuksgewijs lineaire functies en hun nodale basis Allereerst definiëren we wat we bedoelen

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van

Nadere informatie

Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren

Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Dualiteit. Raymond van Bommel. 6 april 2010

Dualiteit. Raymond van Bommel. 6 april 2010 Dualiteit Raymond van Bommel 6 april 2010 1 Inleiding Op veel manieren kan meetkunde worden bedreven. De bekendste en meest gebruikte meetkunde is de Euclidische meetkunde. In dit artikel gaan we kijken

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Opgaven Inleiding Analyse

Opgaven Inleiding Analyse Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Voortgezette Lineaire Algebra Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Inhoud Hoofdstuk I. Complexe vectorruimten en inwendige producten 5 I.1. Vectorruimten 5 I.2. Hermitische producten 8 I.3. Inwendig-productruimten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Complexe functies 2019

Complexe functies 2019 Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie