2.1 Het differentiequotiënt

Transcriptie

1 hoodsk : Diereniëren. He dierenieqoiën Me een ncie kn je de onwikkeling n een grooheid beschrijen. Neem bijoorbeeld een schoonspringer die n de ienmeerplnk spring. Als je de lchwrijing erwrloos, kn je de onwikkeling n de grooheid h de posiie n de schoonspringer in meer beschrijen me de ncie: h 0 5 Me deze ncie, wrbij de ijd in seconde is, kn je op ieder willekerig ijdsip de posiie n de schoonspringer berekenen. Sel d je di n 0 doe oor iedere 0. seconde. Dn ind je oor 0 d h 0, oor 0. d h 9.8, enzooor. Hieronder is di grisch weergegeen. 0 h He zl k oorkomen d je geïneresseerd ben in de me wrin de nciewrde ernder op een zeker inerl. Zo zeg in he oorbeeld n de schoonspringer de erndering n de posiie in een bepld ijdsinerl ies oer de gemiddelde snelheid in d inerl. Je ind hieroor een wrde me he zogenmde dierenieqoiën: Δ h + 39

2 Wisknde in beweging Di qoiën gee de erndering n h op he inerl d begin op he ijdsip. In de igr is he dierenieqoiën ngegeen oor he inerl 0. d begin op 0.6: Deze snelheid n 7 m/s word gessocieerd me he ijdsip 0.6 s. Toch is he geen momenne snelheid de ece snelheid op he momen zel mr een benderde snelheid, nmelijk he gemiddelde op he inerl n 0. seconde d begin op 0.6. oeeningen.. Beschow he boensnde oorbeeld n de schoonspringer. Bereken me behlp n he dierenieqoiën de gemiddelde snelheid op de olgende inerllen:. n 0.0 o 0. c. n 0.8 o.0 b. n 0.0 o 0.4 d. n 0.0 o.0. He dierenilqoiën In he oorbeeld n de schoonspringer zl nrme je oor een kleiner inerl kies, de gemiddelde snelheid die je op d inerl bereken, dicher bij de momenne snelheid liggen. Beschow bijoorbeeld de siie wrbij de schoonspringer op he pn s om n de dikplnk e springen. Op d momen ds op he ijdsip 0, is zijn snelheid nl. Echer, bij oeening n de orige prgr ond je ls he 40

3 hoodsk : Diereniëren goed is oor he eerse inerl n 0. seconde een snelheid n m/s. Wnneer je n he inerl erklein o 0., word he dierenieqoiën: Bij een nog erdere erkleining n he inerl o 0.0, ind je: D begin er l seeds beer op e lijken. In he lgemeen geld d wnneer je op de momenne snelheid i wil komen, je he inerl o nl moe len nderen. He inerl word nie ech nl d zo problemen geen bij he dierenieqoiën, mr he word wel "oneindig" klein. De wiskndigen spreken hier n ininiesiml. Als he inerl wrdoor gedeeld word o nl nder, g he dierenieqoiën oer in he dierenilqoiën. De noie is in d gel ies nders: dierenieqoiën: dh dierenilqoiën d He dierenieqoiën word gessocieerd me een beplde wrde n, nmelijk de beginwrde n he inerl. Bij een inerl er grooe n 0., kn je ds oor iedere 0. seconde een dierenieqoiën beplen. Nder he inerl o nl, dn kn je oor iedere willekerige wrde n he dierenilqoiën irekenen. Je krijg dn ds een niewe ncie n. Deze ncie, die in he gel n de schoonspringer de snelheid oorsel, hee de geleide ncie o korweg de geleide..3 Anlyisch diereniëren He proces om de geleide n een ncie e beplen, hee diereniëren. Als je e mken heb me een ncieoorschri, kn je de geleide, ngedid ls, nlyisch beplen. Di kn geïllsreerd worden n de hnd n he oorbeeld n de schoonspringer wrbij oor de posiie de olgende ncie ws gegeen: h 0 5 4

4 Wisknde in beweging Je kn bij deze ncie oor een willekerig ijdsip he dierenieqoiën irekenen. Droe moe je en + beplen: 0 5 en He dierenieqoiën word hiermee: Wnneer je n he inerl o nl l nderen, l de erm 5 weg en ind je oor een ijdsip een dierenilqoiën er grooe n 0. Di geld oor elk willekerig ijdsip. Je kn ds een niewe ncie opsellen: 0 Di is de geleide n h. Me kn je n op ieder willekerig ijdsip de snelheid berekenen. Zo is op 0.8 seconde de snelheid 8 m/s. Vergelijk di resl me he nwoord bij oeening c n de orige prgr. snellere mnieren N is he gelkkig zo d je om de geleide e beplen nie seeds de hierboen ngegeen weg hoe e olgen. Bij he nlyisch diereniëren s je nmelijk een groo nl regels en echnieken er beschikking die he leen er een sk ngenmer op mken. Zo gelden de olgende drie bsisregels wrbij een consne is en n een willekerig reëel gel: bsisregel : 0 bsisregel : n n n bsisregel 3: g g 4

5 hoodsk : Diereniëren 43 Bij opelling, ermenigldiging en deling n ncies kn je gebrik mken n respecieelijk de som/erschilregel, de prodcregel en de qoiënregel: som/erschilregel: ± ± prodcregel: + qoiënregel: De prodcregel geld ook oor ermenigldigingen n drie o meer ncies: w w w w + + Verder is oor een nl "specile" ncies de geleide bekend. Voorbeelden n dergelijke ncies me bijbehorende geleiden ind je hieronder. rcn rccos rcsin cos n sin cos cos sin ln 0, ln log e e + >

6 Wisknde in beweging oorbeeld.3.. Bepl de geleide n de olgende ncies:. 3 Gebrik bsisregel : 3 b. Deze ncie kn je schrijen ls: Gebrik n bsisregel : c. 3 Gebrik bsisregel 3. Neem g Omd: g olg: 3 6 d. + Neem en + en gebrik de qoiënregel. Omd: en olg: De posiie s in meer n een pn word oor > 0 seconde gegeen door de ncie : s 3 ln Je kn n zowel de posiie s ls de snelheid op ieder willekerig ijdsip berekenen. Bijoorbeeld oor seconde ind je de posiie door oor d ijdsip de nciewrde in e llen: s 3 ln meer In de prkijk kom je k egen d oor he ncieoorschri en de nciewrde dezelde leer word gebrik. In pls n s 3 ln word dn geschreen: s s 3 ln. In he lgemeen zl di nie o erwrring leiden. 44

7 hoodsk : Diereniëren Voor de snelheid moe je eers de geleide beplen. Neem 3 en w ln en gebrik de prodcregel: 3 3ln + 3ln + 3 Voor : 3ln+ 3 3 m/s keingregel Soms kom he oor d een ncie "ersrengeld" is in een ndere ncie. Di is bijoorbeeld he gel bij de ncie k cos. De ncie is dr ersrengeld in de cosinsncie. Ook oor he diereniëren n een dergelijke ncie is een hndige regel beschikbr, de keingregel genmd. Formeel zie deze er ls olg i: k g k g In woorden: bij een ersrengeling n ncies bepl je de geleide door eers de "biense" ncie e diereniëren en deze erolgens e ermenigldigen me de geleiden n de meer nr binnen gelegen ncies. De meerodsormen in de orige zin geen l n d de ersrengeling zich nie o wee ncies hoe e beperken. In de ncie: k cos is de ncie ersrengeld in de ncie die hr o de weede mch erhe. Deze ncie is op hr ber weer ersrengeld in de cosinsncie. oorbeeld.3.. Bepl de geleide n de olgende ncies:. k cos Herken: g cos, wrbij Omd: g sin en olg: k g sin sin Hierboen s d eers de biense ncie de cosinsncie gedierenieerd word en d he resl drn ermenigldigd word me de geleide n, de binnense ncie. Hier worden en w gebrik in pls n en omd binnen de cone n di rgsk de snelheid oorsel. 45

8 Wisknde in beweging b. k 3 + Herken: g, wrbij 3 + Omd: g en 6 + olg: k g c. s cos Herken hier drie ncies: de biense is de cosinsncie, de middelse is de kwdreerncie en de binnense is. De geleide n de biense, ml de geleide n de middelse, ml de geleide n de binnense word ds: s sin 8 sin. De posiie n een bewegend pn in meers word gegeen door de ncie: 6 e Je kn me de geleide n deze ncie de snelheid op ieder willekerig ijdsip berekenen. Om die geleide e beplen moe je zowel de prodcregel ls de keingregel gebriken: 6 e + 6 e 4 e 6 4 Je ind n oor bijoorbeeld 0 en respecieelijk: 0 0 e m/s 8 e m/s 46

9 hoodsk : Diereniëren oeeningen.3. Bepl de geleide n de olgende ncies zols d n he begin n deze prgr werd gedn ds door in he dierenieqoiën de noemer o nl e len nderen:. h b. y g 3 +. Bepl de geleide n de ondersnde ncies me de rekenregels oor diereniëren: b. g 3 + c. h φ φ cos φ 3. Hieronder is oor drie pnen, y en z de posiiencie in meer gegeen. Bereken oor elk n de pnen de snelheid op en seconde.. 3 b. y ln c. z 3 / Bepl de geleide n de ondersnde ncies:. + + b. g ln + c. h e ln d. s e ln e. r φ nφ. 3 g. y sin h Hieronder is oor wee oorwerpen de posiie s in meer ls ncie n de ijd in seconde gegeen. Bereken oor elk n de oorwerpen de snelheid op seconde.. s e 3 b. s rcn 47