Krommen in het platte vlak

Transcriptie

1 Krommen in he plae vlak 1 Een komee beschrijf een baan om de zon. We brengen een assenselsel aan in he vlak van de baan van de komee, me de zon als oorsprong. Als eenheid in he assenselsel nemen we de asronomische eenheid (da is de gemiddelde afsand van de aarde o de zon). In di assenselsel zijn op ijdsip de coördinaen van de plaas van de komee ( 3, ), waarbij he aanal jaren is gerekend vanaf 1 januari 000. a. Bereken de plaasen van de komee op 1 januari 1998, 1999, 000, 001 en 00 en sches de baan van de komee op ruijespapier b. Hoe zie je aan ( -3, ) da de baan symmerisch is in de x-as? c. Hoe ver is de komee van de zon verwijderd op 1 januari 00? Geef een formule voor de afsand A van de komee o de zon op ijdsip. Laa zien da A = ( 1) + 8. d. Wanneer is de komee he dichs bij de zon? Ten opziche van een assenselsel zijn de coördinaen van een bewegend pun op ijdsip : (+1, 1). a. Bereken een aanal punen van de baan en eken de baan. b. Bereken de gemiddelde snelheid van he pun gedurende he ijdsinerval [1,3]. c. Leg ui da he pun me consane snelheid beweeg. Wa is die consane snelheid? d. Schrijf de y-coördinaa als funcie van de x-coördinaa. De snelheid van een bewegend pun in de x-riching op ijdsip is x (), de snelheid van een bewegend pun in de y-riching op ijdsip is y (), 3 Een pun bevind zich op ijdsip in ( +1, 1). x = + 1 We schrijven ook wel. y = 1 a. Teken de baan van he pun. b. Schrijf y als funcie van x; wa is he domein van deze funcie? Krommen in he plae vlak 1

2 c. Bereken de gemiddelde snelheid gedurende he ijdsinerval [0,]. Bereken ook de gemiddelde snelheid in de x-riching en in de y-riching gedurende [0,]. Wa is he verband ussen deze drie? d. Bereken de snelheid in de x-riching en in de y-riching op ijdsip 1? Hoe groo is de snelheid op ijdsip 1? e. Bereken hoe groo de snelheid is op ijdsip 0 en op ijdsip 3. Een pun beweeg in de ijd. De plaasvecor van he pun is (x,y) = (f(), g()). De snelheid in de x-riching is f () en in de y-riching g (). De snelheidsvecor is (x, y ) = (f (), g ()). De grooe van de snelheid is ( f '( )) + ( g' ( )). 4 Op ijdsip is de plaasvecor (, +). a. Op welk ijdsip is de x-coördinaa minimaal en op welk ijdsip is de y-coördinaa minimaal? Bereken in welke punen de baan de x-as en y-as snijd. Teken de baan op ruijespapier. Conroleer de baan op de GR. b. Bereken de snelheidsvecoren op de ijdsippen -1, 0 en 1 en eken die op de juise plaas bij de baan. c. De baan is symmerisch en opziche van de lijn y=x. Hoe is di e verklaren ui de plaasvecor? d. Laa zien da elk mpun van de baan voldoe aan de vergelijking (x y) = 8(x+y). Hoe zie je aan deze vergelijking da de baan symmerisch is in de lijn y=x? Elk pun van de baan word maar één keer aangedaan. Me andere woorden: bij elk pun van de baan hoor maar één waarde van. e. Laa zien da = ¼ (y x). f. Vervang in de x-coördinaa van de plaasvecor door ¼(y x). Vind je dan de vergelijking (x y) = 8(x+y)? Een vergelijking van de baan is een formule die he verband aangeef ussen de eerse en de weede coördinaa van de punen (x,y) van de baan. In de plaasvecor worden de coördinaen x en y uigedruk in de ijd. Deze wee funcies heen de bewegingsvergelijkingen van he pun.

3 x en y zijn dan uigedruk in, de zogenaamde parameer. Daarom noem men de banen ook wel parameerkrommen. Vandaar de naam "par" op de GR. 5 Een kogel word afgeschoen me een kanon Hij verlaa de loop in (0,0). Na seconden is de kogel in he pun (80, 80 5 ). De afsanden op de assen zijn in meers. (Voor he gemak hebben we voor d valversnelling 10 m/s genomen..) Teken de baan op de GR. a. Me welke snelheid word de kogel afgeschoen en onder welke hoek? b. Bereken de groose hooge van de kogel en zijn snelheidsvecor op da momen. c. Op welk momen ref de kogel de grond? Onder welke hoek en me welke snelheid? Hoe ver word de kogel weggeschoen? d. Bereken een aanal punen van de baan en eken de baan op ruijespapier. Bereken ook de snelheidsvecoren op de ijdsippen, 4 en 6 en eken die op de juise plaas bij de baan. To nu oe hebben we de kogelbaan bekeken waarbij de kogel werd afgeschoen onder een hoek van 45 en me een afvuursnelheid van 80 m/s. Handhaven we de afvuurhoek, maar veranderen we de afvuursnelheid in v m/s, dan is de kogel op ijdsip op plaas (v, v 5 ). e. Druk he aanal meers da de kogel word weggeschoen ui in v. 6 De baan van een pun word gegeven door x = 3 en y = 3 3. Teken de baan op de GR. a. Bereken de wee ijdsippen waarop he pun in de oorsprong is. Bereken de snelheidsvecoren op die ijdsippen. b. Op welke momenen is de snelheidsvecor horizonaal en op welke momenen vericaal? c. Hoe kun je aan de bewegingsvergelijkingen zien da de baan symmerisch is in de x-as? d. Elk pun van de baan, behalve (0,0), word een keer aangedaan. Druk he ijdsip waarop he pun in (x,y) is, ui in x en y. Geef een vergelijking van de baan. Krommen in he plae vlak 3

4 1 7 Teken op de GR de baan me x = en y = a. Bewijs da -1 x 1. b. Bewijs da -1 y < 1. c. To welk pun nader (x,y) als nader o oneindig? En als nader o min-oneindig? d. Bewijs da elk pun (x,y) van de baan op afsand 1 van de oorsprong lig. Geef een vergelijking van de baan. 8 We bekijken hieronder zes krommen. Teken elk van de krommen in een assenselsel. Conroleer je ekeningen acheraf op de GR (bij de vierde kromme kan da nie). Geef van elke kromme een vergelijking. Zeg ook welke waarden x en y in de vergelijking kunnen aannemen. a. x = cos, y = sin, 0 π b. x =, y =, - c. x =, y = 1 d. x = cos, y = sin 4

5 e. x = f(), y = 3 f(), 0 5, waarbij f een of andere funcie is. f. x = + 1, y = K is de kromme: x = sin, y = sin. a. Teken K op de GR. b. Toon aan da K zichzelf loodrech snijd in (0,0). 10 De asroïde K is de kromme: x = cos 3, y = sin 3. a. Teken K op de GR. y ' b. Laa zien da = - an, als geen geheel veelvoud x' van 1 π is. c. In welke punen beweeg he pun zich evenwijdig aan de lijn y = -x? d. Onder welke hoeken onmoe K de x-as en de y-as? e. Laa (cos 3 a, sin 3 a) een pun zijn van K, waarbij a geen geheel veelvoud van 1 π is. De raaklijn in da pun snijd de x-as en de y-as. Bereken de afsand ussen de wee snijpunen. f. Sel een vergelijking op van de kromme. 11 De Archimedische spiraal K is de kromme : x = cos, y = sin, 0. a. Teken K op de GR. b. Bereken de afsand van he pun van K o (0,0), uigedruk in. c. Druk de grooe van de snelheid op ijdsip ui in. Krommen in he plae vlak 5

6 1 Spiraal K is de kromme: x = + cos, y = sin a. Teken k op de GR. b. K lig ussen wee lijnen in. Geef een vergelijking van deze lijnen. c. Op welke ijdsippen is de raaklijn aan K vericaal? 13 Ellips K is de kromme x = 3 cos, y = sin. a. Teken K op de GR. b. K is een "opgereke" cirkel: een ellips. Hoe moe je de eenheidscirkel vermenigvuldigen om K e krijgen? c. Toon aan da de snelheid op ijdsip is: sin. In welke punen is de snelheid minimaal, in welke maximaal? 14 Biljaren 1 Van een biljarbal word op elk momen ussen 0 en de plaas op he biljar gegeven me behulp van de x- coördinaa en de y-coördinaa als funcie van. In de figuur hierboven zie je in he rooser linksonder de grafiek van x als funcie van, nie zoals je gewend ben, maar een kwar slag gedraaid. Rechsboven saa de grafiek van y als funcie van. In he rooser linksboven (he biljar) moe de baan van de bal komen. Hoe je de posiie van de bal op he biljar op = H kun ekenen, zie je in de figuur. H H a. Teken de baan van he kogelje op ruijespapier. 6

7 Als je de formules van de wee coördinaa-funcies ken, kun je he resulaa op de GR conroleren. Er geld: x = 11 1 en y = b. Teken de baan op de GR. 15 Biljaren De biljarbal is nu anders gesoen. a. Hoe vaak raak de bal de rand als 0 < < 4? Teken de plaasen waar de bal de band raak en vermeld de bijbehorende ijdsippen. b. Teken de baan van de bal op ruijespapier. De formules voor x en y zijn: x = en y = 1 1. c. Conroleer de baan me de GR. Krommen in he plae vlak 7

8 De kromme van opgave 9 is een Lissajousfiguur. Een Lissajousfiguur onsaa door een pun aan wee onderling loodreche harmonische bewegingen e laen deelnemen. Lissajous-figuren kun je zichbaar maken op he scherm van een oscilloscoop door op de ingangen voor de horizonale en vericale signalen sinusvormige spanningen e zeen. Lissajous-figuren kunnen echer ook me mechanische middelen geekend worden. Door een leeglopend vaaje me fijn zand aan een lange slinger e hangen. Neem een blikje me een klein gaaje in de bodem. Hang he op zoals hiernaas geekend is. Vul he blikje me zou. Geef he een duwje in een schuine riching en bekijk he zouparoon da onsaa. Jules Anoine Lissajous ( ), een Frans nauurkundige, deed onderzoek naar rillingen, een populair onderwerp in die ijd. Hij maake rillingen zichbaar, bijvoorbeeld door een vibrerende semvork in he waer e houden of door een lichbundel e laen schijnen op een spiegel die aan een rillende semvork was vasgemaak. We bekijken nog enkele voorbeelden van Lissajousfiguren. 16 De Lissajousfiguur hiernaas is opgesloen in he vierkan me hoekpunen (1,1), (1,-1), (-1,-1) en (1,-1). De beweging onsaa door een pun e laen deelnemen aan egelijkerijd uigevoerde rillingen in de x- en de y-riching. Je krijg de hele figuur in he ijdsinerval [0,π]. Ui he aanal keren da de rand geraak word, kun je he aanal periodes van de rillingen in de x- en de y-riching bepalen. a. Doe da. b. Zoek een parameervoorselling van de baan en conroleer je formules me de GR. (He is he gemakkelijks om (0,0) als sarpun (=0) e kiezen). Bij lasershows word ook gebruik gemaak van Lissajousfiguren. Een simulaie kun je vinden bij: hp://home.soneraplaza.nl/mw/prive/beco/lasershow.hm 8

9 17 Nie alijd is de Lissajousfiguur zo specaculair. x = sin Gegeven is de parameervoorselling. y = cos a. Teken de baan op de GR. b. Je krijg een deel van een parabool. Door y e schrijven als 1 sin, kun je meeen een vergelijking van de baan opschrijven. Doe da. 18 Je kun ook 3D - Lissajousfiguren maken. Hiernaas saa er een. Een parameervoorselling van de baan is x = sin y = sin. z = sin 3 De beweging is opgesloen in een kubus. a. Geef de coördinaen van de hoekpunen van de kubus. Probeer je voor e sellen hoe de aanzichen in de drie asrichingen er ui zien. b. Maak de drie schesen hierbij en conroleer he resulaa me de GR. Bij één complee rondgang word de buienkan van de kubus ien keer geroffen. c. Bepaal de coördinaen van de refpunen op he bovenvlak exac. Op he Inerne vind je allerlei sies waar je kun experimeneren me Lissajous-figuren. Bijvoorbeeld hp:// ous_oscilloscoop.hm Overzichsvragen We bekijken vier bewegingen. Zeg hoe de baan er ui zie. Druk de grooe van de snelheid in ui. Geef een vergelijking van de baan. a. x = 1 + en y = + 3 b. x = 1 + sin en y = + 3 sin c. x = 1 + cos en y = + 3 sin d. x = 1 + cos en y = + 3 sin Krommen in he plae vlak 9