nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde

Transcriptie

1 Voor een profielwerksuk over de aarde nu In opdrach van: Vrije Universiei Amserdam Universiei van Amserdam Technische Universiei Delf Universiei Urech Wageningen Universiei Teksen: Gerard Heijmeriks Illusraies: Bar Groeneveld Foo s: Technische Universiei Delf, Universiei Urech, Wageningen Universiei, Universiei van Amserdam, Vrije Universiei Amserdam Onwikkeling en realisaie: PODIUM Bureau voor educaieve communicaie bv, Urech Vormgeving: Duoone grafisch onwerpers, Urech Drukwerk: Hooiberg, Epe Uigave: sepember 2001 c o l o f o n w w w. a a r d e. n u Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde

2 i n h o u d Wa is 2 Wa bied di boekje? 2 Onderwerpkeuze en sudies van de aarde 3 Lijs me onderwerpen die aansluien op wiskunde 3 Fracals in de geologie, chaos beschrijven me fracals,5,6 Mineralen en geseenen, bouwsenen van de aarde 7,8,9 He Aralmeer droog op, is deze ecologische ramp nog e suien? 10,11 Wa is De sie is een handig hulpmiddel bij he maken van je profielwerksuk voor he vak wiskunde. De sie bied een serie zeer afwisselende onderwerpen over de aarde, die op een heldere manier in beeld worden gebrach. Veel van deze onderwerpen sluien heel goed aan bij wiskunde B. Bij elk onderwerp krijg je een aanal aanknopingspunen zoals mogelijke uiwerkingen en een lijs me relevane sies en andere bronnen. Bovendien kun je via vragen sellen aan medewerkers van de vijf aardweenschappelijke opleidingen, die gespecialiseerd zijn in één van de onderwerpen van Wa bied di boekje je? In di boekje zijn drie onderwerpen uigewerk die ook op de sie saan: fracals in de geologie, mineralen en geseenen en he Aralmeer droog op. Deze onderwerpen sluien goed aan bij he vak wiskunde B en bieden bovendien onderzoeksmogelijkheden die je zelf kun uivoeren op of om de school. Bij elk onderwerp vind je onderzoeksvragen, deelvragen en experimenen die je kun gebruiken voor je profielwerksuk. Win een Expediie IJsland Suur je profielwerksuk over de aarde op en je maak kans op een avonuurlijke reis naar IJsland. Tijdens deze aardweenschappelijke reis ondek je geisers, vulkanen, glesjers en specaculaire waervallen. Alleen geschik voor eche avonuriers! Van de ingezonden profielwerksukken worden de ien bese beloond me deze prijs. Meer hierover lees je op Onderwerpen op de sie die aansluien op he vak wiskunde B Plaaekoniek De aarde in beweging Oliewinning Zoekoch naar he zware goud El Niño He voorspellen van een verwoesend weerfenomeen He Aralmeer droog op Is deze ecologische ramp nog e soppen? Fracals in de geologie Chaos beschrijven me fracals Mineralen en geseenen Bouwsenen van de aarde Zink Een waardevol meaal Drinkwaer ui grond, rivier of zee Hoe komen we aan voldoende waer? He klimaa Koukleumen of opwarmen Als je kies voor een profielwerksuk over de aarde Als je verder wil me fracals, mineralen en geseenen of he Aralmeer, dan vind je in di boekje volop mogelijkheden. Wil je ies anders, maar wél verder me een onderwerp over de aarde, dan surf je naar Op deze pagina vind je een overzich me alle onderwerpen die aansluien op he vak wiskunde B. Bespreek voor je aan je profielwerksuk begin alijd eers alles goed me je docen! Hij of zij kan je aan verschillende maerialen of bronnen helpen. Sudies van de aarde Wa zijn oorzaken en gevolgen van klimaaveranderingen of nauurrampen? Hoe maken we duurzaam gebruik van de grondsoffen die de aarde herberg? De aardbol is he werkerrein van de aardweenschapper, wereldvraagsukken zijn akenpakke. Toekoms, heden en verleden worden o op de bodem onderzoch. Aardweenschappelijke opleidingen worden in ons land door vijf universieien aangeboden. Iedere opleiding benader de aarde vanui een eigen invalshoek en me een eigen karaker. Waar je echer ook een aardweenschappelijke opleiding volg, cenraal saa he onderzoek naar de acivieien in, op en om onze aarde. Alle opleidingen hebben als doel e komen o nieuwe inzichen over de samenselling en werking van onze planee. Een opleiding aardweenschappen slui aan bij de profielen Nauur & Techniek en Nauur & Gezondheid. Aardweenschappen is een oegepase sudie; je kennis ui de vakken nauurkunde, scheikunde, biologie, wiskunde en soms aardrijkskunde vormen de bouwsenen. Wil je meer ween? Kijk dan op 2 3

3 Fracals in de geologie Chaos beschrijven me fracals De mens is al eeuwen bezig me he beschrijven van nauurverschijnselen, me als doel de nauur om ons heen beer e leren begrijpen. De fracaalmeekunde en chaosheorie leveren ons daarbij een geheel nieuwe kijk op de wereld. Fracaalmeekunde is een nieuwe manier om complexe verschijnselen als bladeren, bomen, wolken, oceaangolven, bewegingen van moleculen in een vloeisof, he uidijen van he universum en sociaal-economische aspecen e modelleren en e beschrijven. De kuslijn van Noorwegen, me zijn vele fjorden en inhammen, is ook zo n complex verschijnsel. Ui onderzoek is gebleken da, als je de kuslijn opva als een kromme en coninue lijn, me behulp van de fracaalheorie veel informaie ui die kuslijn gehaald kan worden. De srucuur van een kuslijn, maar ook bijvoorbeeld van een wolk is een complex gegeven. Indien we een kuslijn of wolk zouden kunnen beschrijven me behulp van een wiskundige formule, dan word Onderzoeksmogelijkheden Hoe lang is de kuslijn van Noorwegen? De vraag Hoe lang is de kuslijn van Noorwegen heef berekking op de deelvragen: In hoeverre speel he begrip lenge een rol bij he beschrijven van de nauur? en In hoeverre speel he begrip dimensie een rol bij he Op he eerse gezich lijk he anwoord op de vraag erg eenvoudig. Je neem een landkaar, pak een meela en mee de kuslijn zo nauwkeurig mogelijk op. Hoe grooschaliger de landkaar, des e beer de schaing. Zo n kronkelige kuslijn is echer ook na herhaaldelijk uivergroen wederom een kronkelige lijn (zie afbeelding 1). Je kun op deze wijze nooi de exace lenge bepalen. Deze kan slechs worden benaderd me behulp van de Kromme van Koch. De Kromme van Koch: benadering voor de lenge van de kuslijn van Noorwegen De consrucie van de Kromme van Koch is eigenlijk heel simpel. We beginnen me een lijnsuk van lenge 1, de basis K 0 genaamd (zie afbeelding 2). Sel da de linkerbenedenhoek coördinaen (0,0) heef en de recherbenedenhoek (1,0). We delen deze in drie gelijke delen. De middelse lijn nemen we weg en we plaasen daarvoor in de plaas een gelijkzijdige driehoek. De lenge van een zijde is gelijk aan he weggenomen deel. We noemen deze de eerse orde benadering K 1. de complexiei aanzienlijk verminderd. Onderzoeksvraag In hoeverre speel wiskunde een rol bij he modelleren van de nauur? Welke onderwerpen ui he vak wiskunde B komen in di onderzoek erug? Discree analyse: rijen en convergenie van rijen Differeniaal- en inegraalrekening: algebraïsche echnieken Coninue dynamische modellen: modelleren Voorgezee meekunde: bewijzen in vlakke meekunde, afsanden en grenzen Combinaoriek en kansrekening Afbeelding 1 De kuslijn van Noorwegen: nooi een reche lijn Sarvragen 1. Hoe lang is he gebroken lijnsuk van K 1? Op elke nieuw lijnsuk passen we deze mehode weer oe. We verkrijgen de weede orde benadering K 2 en zo gaan we verder o in he oneindige. 2. Hoe lang is he gebroken lijnsuk van K 2? 3. Geef een uidrukking in n voor de lenge van he gebroken lijnsuk bij de n-de orde benadering K n. Indien we op deze manier in he oneindige doorgaan, krijgen we de Kromme van Koch K. Deelvragen die aansluien bij de onderzoeksvraag Deelvragen bereffende meekundige aspecen: - In hoeverre speel he begrip lenge een rol bij he - In hoeverre speel he begrip dimensie een rol bij he - In hoeverre speel he begrip ransformaie (zoals roaies, scalering en spiegelingen) een rol bij he - In hoeverre speel he begrip zelfgelijkvormig een rol bij he K 0 K 1 K 2 Andere deelvragen: - In hoeverre speel he begrip ieraie een rol bij he - Wa is de samenhang ussen complexe geallen en fracals? - Is he mogelijk om fracals e beschrijven me wiskundige formules? K 3 K Afbeelding 2 Principe van de Kromme van Koch 5

4 In hoeverre speel he begrip dimensie een rol bij he meen van de kuslijn van Noorwegen? De kuslijn van Noorwegen is nie helemaal een eche lijn, de dimensie van de kuslijn is namelijk groer dan 1. Da wil zeggen da de kuslijn ook een bepaalde oppervlake heef. Een lijn heef dimensie 1, een oppervlak heef dimensie 2. Je zou zeggen da de Kromme van Koch dimensie 1 heef, omda deze louer en alleen besaa ui een verzameling lijnsukjes. Omda de kromme echer uiers kronkelig loop en een oneindig proces beref, zorg deze och enigszins voor vlakvulling. De Kromme van Koch, ook al besaa deze geheel ui lijnsukjes, heef een dimensie ussen de 1 en 2. Noem d de dimensie, v de vergroing of verkleining en n he aanal kopieën. Indien we een lijnsuk (dimensie 1) me facor 2 vermenigvuldigen zien we 2 idenieke lijnsukken (zie afbeelding 3a). Indien we een vierkan (dimensie 2) me facor 2 vermenigvuldigen zien we idenieke vierkanen (zie afbeelding 3b). In he algemeen geld: v d log n =n, ofwel d= log v Toon aan da de Kromme van Koch een dimensie van ongeveer 1,26 heef. Afbeelding 3a Een lijnsuk vermenigvuldigd me facor 2 Mineralen en geseenen Bouwsenen van de aarde Di onderzoek gaa over krisallen. He mees bekend zijn de ijskrisallen die je s morgens soms op de ramen van je huis zie als he hard gevroren heef of de krisallen waar een sneeuwvlok ui is opgebouwd. Krisallen komen echer overal voor, ze vormen namelijk ook de basis van mineralen en geseenen. Een mineraal is een nauurlijke (nie-organische) verbinding me vase chemische en fysische eigenschappen. Een mineraal da je dagelijks ee is keukenzou. Alle mineralen hebben, in de fijnse vorm, een krisalvorm me een kenmerkende srucuur. De geomerie van een krisal word bepaald door de wijze waarop de aomen van de samensellende chemische elemenen zich rangschikken in he krisalrooser. Me andere woorden: de krisalvorm is de uiwendige verschijning van de inwendige aoomsrucuur van een mineraal. De vorm en grooe van krisallen van één en dezelfde sof kunnen in principe oneindig variëren, maar och blijken er een aanal regelmaigheden in e zien. Zo zijn krisallen onder e verdelen in verschillende klassen en groepen. Deze zijn ingedeeld op basis van wiskundige principes. Afbeelding 3b Een vierkan vermenigvuldigd me facor 2 Onderzoeksvraag Classificeren van krisallen gebeur op grond van symmerische eigenschappen van da krisal. Maak een beschrijving van deze symmerieën me behulp van de wiskunde. Welke onderwerpen ui he vak wiskunde B komen in di onderzoek erug? Voorgezee meekunde: bewijzen in de vlakke meekunde, afsanden en grenzen Informaie op inerne hp:// onzeend veel links over fracals hp://fracals.iua.u-bordeaux.fr/sci-faq/learn.hml handige links over fracals hp://library.hinkques.org/2622/full/index.hml classificaie van fracals hp://library.hinkques.org/1270/nescape/discover/index.hml goede en degelijke uileg over fracals hp://simone.neuro.kuleuven.ac.be/fracals/classificaie.hml classificaie van fracals hp:// wiskundige achergrond bij fracals hp://hyperexbook.com/chaos/ complexe geallen en fracals hp://home.wxs.nl/~philip.van.egmond/wiskunde/dim1-n.hm een prima uileg over gebroken dimensies Deelvragen die aansluien bij de onderzoeksvraag - Wa is een krisalgroep in wiskundige ermen gezien? - Hoe speel symmerie een rol in he classificeren van groepen? Onderzoeksmogelijkheden Inroducie Krisallen zijn gelijkvormige driedimensionale objecen die worden begrensd door nauurlijk gevormde plae vlakken, de krisalvlakken. Indien je de hoek mee ussen wee krisalvlakken bij meerdere krisallen van dezelfde sof, blijk deze consan. Krisallen veronen verschillende vormen van symmerie. Ze kunnen symmerisch zijn en opziche van een vlak, en opziche van een lijn of en opziche van een pun, maar combinaies komen uieraard ook voor. Op grond van deze symmerieën worden krisallen Afbeelding 1 Rangschikking van de ionen van keukenzou onderverdeeld in 32 krisalklassen, die gegroepeerd worden in 7 krisalselsels, e ween: kubisch, hexagonaal, rigonaal, eragonaal, orhorhombisch, monoklien en riklien. Een voorbeeld van een kubisch krisal is keukenzou (NaCl). In afbeelding 1 zie je de rangschikking van de ionen van keukenzou. He recherplaaje laa zien da di krisal symmerisch is en opziche van he gearceerde vlak, maar he is nie moeilijk om ook andere symmerieën e herkennen. Een kubische verschijningsvorm is dan ook de vorm me he groos mogelijke aanal symmerieën. Een riklien krisal daarenegen heef een srucuur die slechs symmerisch is en opziche van één pun, namelijk he cenrum. 6

5 Symmerie in groepering van krisallen Bekijk de verzameling van gehele geallen: Z = {,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,..}. Sel da we hierop de operaie opellen uivoeren. 1. Neem ui deze verzameling eens drie willekeurige geallen, zeg a, b en c. Geld (a+b)+c= a+(b+c)? 2. Is er een geal, zeg e, ui deze verzameling waarvoor geld: e+a= a+e= a voor een willekeurige a ui Z? Zo ja, welk geal is da dan? 3. Neem een willekeurig geal, zeg a, ui Z. Is er bij da geal a een b ui Z zoda a+b= b+a = e, waarbij e he geal ui opgave b is? Bovensaande verzameling Z me de opelling hee een groep. Een groep is een verzameling me een bewerking die voldoe aan drie eigenschappen, namelijk de associaiviei, da wil zeggen da he nie uimaak in welke volgorde je de bewerking loslaa op de elemenen (zie 1). Een groep heef een zogenaamd ideniek elemen (zie 2). De derde eigenschap is da elk elemen van de groep een inverse heef ( zie 3).. Is Z een groep als je naar de bewerking vermenigvuldigen kijk? Op de websie hp://ruby.chemie.uni-freiburg.de/ Vorlesungen/symmerie_2_5_1.hml saa een overzich van de verschillende krisalklassen, ingedeeld naar symmerie. 5. Bekijk deze indeling en probeer een anwoord e formuleren op de onderzoeksvraag en de deelvragen. Transformaie en de groepering van krisallen Bekijk de (ficieve) weedimensionale krisallen van afbeelding 2. Je zou kunnen zeggen da deze wee krisallen oaal verschillend zijn, maar als we gaan kijken naar de symmerieën en in he bijzonder naar de ransformaies die de krisallen op zichzelf afbeelden, zal blijken da ze hezelfde zijn, als groep gezien.. Toon aan da s 2 s 13=r. Is s 2 s 13= s 13 s 2? 5. We kunnen evens achereenvolgens een roaie en een spiegeling oepassen, bijvoorbeeld s 13 r, waarbij je eers r en daarna s 13 uivoer. Toon aan da s 13 r = r s 13 = s 2 en s 2 r = r s 2 = s 13. De vlieger kan geheel beschreven worden me behulp van de roaie r en de wee spiegelingen s 13 en s 2. We zeggen ook wel da de groep (me als operaie he samensellen van de ransformaies) van de vlieger ui vier elemenen besaa, namelijk r, s 13,s 2 en e (= nies doen), me als relaies: r 2 = s 13 2 = s2 2 = e, s 13 r = r s 13 = s 2 en s 2 r = r s 2 = s Zijn de ficieve krisallen ui afbeelding 2 verschillend als groep gezien? 7. Probeer nu voor andere krisalgroepen vergelijkbare beschrijvingen e maken. arde Informaie op inerne hp:// piig maar zeer duidelijk geschreven hp:// ech een mus hp:// goede inroducie hp:// deze sie is noodzakelijk, ook verkrijgbaar op PDF hp:// :8000/quanen/grdars.hml een prima aanvulling Afbeelding 3 Afbeelding 2 Twee ficieve (weedimensionale) krisalvormen, behorend o één groep Bekijk de vlieger hiernaas (afbeelding 3). De hoekpunen zijn genummerd. De afgebeelde posiie noeren we als he origineel e. We gaan kijken naar de ransformaies die deze vlieger op zichzelf afbeelden. De eerse ransformaie die de vlieger op zichzelf afbeeld is een roaie, egen de klok in, over 180. Deze roaie beeld de hoekpunen 1, 2, 3, respecievelijk af op 3,, 1, 2. We noeren deze roaie als: r= Je lees di als: 1 gaa naar 3, 2 gaa naar enzovoors. 1. Wa gebeur er indien we nogmaals een roaie over 180 uivoeren? We kunnen di noeren als r r ofwel r 2. Na wee keer roeren heb je eigenlijk nies gedaan. Je krijg he origineel e erug. 2. Geef r 2 en r 112. Wa kun je zeggen over r n indien n is even of oneven? Er zijn nog meer ransformaies die de vlieger op zichzelf afbeeld, zoals spiegeling. Noem de spiegeling door de lijn door de hoekpunen 2 en s 2 en door de lijn door 1 en 3 s Geef s 2 en s 13. Wa kun je zeggen over s n 13 indien n is even of oneven? We kunnen ransformaies ook samensellen door bijvoorbeeld wee spiegelingen acher elkaar ui e voeren, zoals s 2 s 13, waarbij je eers s 13 en daarna s 2 uivoer. 8 9

6 He Aralmeer droog op Is deze ecologische ramp nog e suien? Al he waer op aarde maak deel ui van de hydrologische cyclus. Door de zon verdamp he oppervlakewaer. Een deel van he amosfeerwaer val in de vorm van neerslag erug naar beneden en dring in de ondergrond of word via rivieren naar zee gevoerd. Grondwaer kan eeuwen in de ondergrond verblijven voor he weer aan de oppervlake kom om opnieuw e verdampen. De gehele kringloop begin opnieuw. 10 Er word aangenomen da de gehele cyclus van waer op de aarde in een permanen dynamisch evenwich blijf. Maar ook op kleinere schaal kan er zo n evenwich besaan. He evenwich van de waercyclus binnen een afgebakend gebied noem men ook wel een waerbalans. Di is he evenwich ussen de waeraanvoer en de waerafvoer van he gebied. De waerbalans kan ook worden versoord. De versoring van he equilibrium ofwel evenwich word door nauurverschijnselen zoals aanhoudende drooge of overmaige neerslag veroorzaak. Maar ook door de mens word di evenwich versoord. In Nederland bijvoorbeeld vind de afvoer van een deel van he regenwaer via de riolering plaas. Di waer heef dus geen kans om in de grond door e dringen, wa een daling van he grondwaerpeil o gevolg heef. Tegenwoordig probeer men daarom regenpijpen vaker af e koppelen van he riool, zoda he waer och direc in de bodem erechkom. Ook drinkwaerwinning, indusriewaerwinning, inensieve drainage en beregening dragen bij aan verdroging. Een versoring van he evenwich door de mens me zeer ernsige gevolgen vind plaas in Cenraal-Azië. Hier lag ooi een enorm zoewaermeer, he Aralmeer. Tegenwoordig is er weinig waer e vinden. He waerpeil is gedurende de winigse eeuw dramaisch gezak me als gevolg da enorme sukken zijn drooggevallen en da he waer da overbleef e zou is geworden. Een van de belangrijkse oorzaken van he uidrogen van he meer is de grooschalige irrigaie die word oegepas ui de wee belangrijkse voedende rivieren Amu Darya en Syr Darya. De waerbalans is daardoor oaal versoord. Onderzoeksvraag Maak een simulaie van de waerbalans van he Aralmeer. Welke onderwerpen ui he vak wiskunde B komen in di onderzoek erug? Differeniaal- en inegraalrekening: oplossen van differeniaalvergelijkingen Coninue dynamische modellen: modelleren Deelvragen die aansluien bij de hoofdvraag - Me welke variabelen moe je rekening houden indien je een waerbalans gaa simuleren? - Wa moe er veranderen in de waerhuishouding van he Aralmeer wil he meer nie helemaal verloren gaan? Onderzoeksmogelijkheden Inroducie Modellen worden gebruik om ingewikkelde problemen ui de werkelijkheid e kunnen besuderen. Een model sel je in saa een probleem op een wiskundige manier op e lossen, waarbij gebruik word gemaak van compuers. He modelleren me behulp van compuers leid o uikomsen die je vervolgens moe inerpreeren om uispraken e doen over he oorspronkelijke probleem. Om een simulaie e kunnen maken, dien je allereers een wiskundig model e hebben da alle variabelen en sarwaarden die je nodig heb beva. Di model kun je vaak beschrijven door middel van enkele differeniaalvergelijkingen. Indien he gaa om eerse-orde-vergelijkingen kunnen we deze op een algebraïsche manier oplossen. Indien we e maken hebben me vergelijkingen van hogere orde, kunnen we gebruik maken van een compuer en de daarbij behorende sofware. He model kun je zelf in allerlei vormen gieen. Sommige vormen zijn nuig om een overzich e krijgen en sommige zijn nuig bij he programmeren. Sarvragen Afbeelding 1 geef je een overzich van de waerkringloop op de aarde. 1a. Welke variabelen zorgen voor de waeroevoer op aarde? 1b. Welke variabelen zorgen voor de waerafvoer? 2. Er word aangenomen da de waerkringloop in een dynamisch evenwich blijf. Geef me behulp van de bij vraag 1 genoemde variabelen een vergelijking van de waerbalans op aarde. Uiwerking Er zijn verschillende manieren om de waerbalans van de aarde e vangen in een vergelijking. Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking: dh = (R + M + D) - (O + V + T) Hier geld: dh = de verandering van de hoeveelheid waer op aarde op ijdsip R = de hoeveelheid neerslag M = de hoeveelheid waer opgevangen door mis D = de hoeveelheid waer door smeling van sneeuw en ijs O = de hoeveelheid waer die onderaards word afgevoerd V = de hoeveelheid waer die word verdamp T = de hoeveelheid waer die door ranspiraie verloren gaa Voor de waerbalans in he Aralmeer besaan ook dergelijke vergelijkingen. Hierbij kun je de facor M verwaarlozen. De facor D kun je vervangen door de insroom van waer ui de wee rivieren. Tevens dien je rekening e houden me de facor die door de mens word bepaald, namelijk irrigaie. De inpu (per variabele) die je nodig heb om een correc model e maken, vind je via links van Opgave Een meer is gevuld me 10 6 m 3 waer. Laa Z() he zougehale van he waer op ijdsip zijn. Op =0 is he zougehale gelijk aan 0gr/m 3. Per seconde sroom 500m 3 waer via een buis he meer in. Neem aan da he zougehale van he waer in de buis consan 70g/m 3 is. Neem verder aan da er per ijdseenheid evenveel waer ui he meer sroom. We kunnen van he zougehale Z() een model maken. Laa de verandering van he zougehale op een bepaald ijdsip zijn. 1. Leg ui waarom de volgende differeniaalvergelijking he bovensaande model beschrijf: dz() = 0, Z() 2. Toon aan da Z() = 70-30e -0,0005 de oplossing is van deze differeniaalvergelijking. 3. Wa kun je zeggen over he zougehale in he meer na verloop van ijd? Handige sofware Bekijk eens de volgende websie: hp:// Wiskundige modellen en differeniaalvergelijkingen oegepas in een aanal vakgebieden. COACH5 is een veelgebruik programma op scholen waar je goed mee kun experimeneren, maar he is ook mogelijk om er mee e modelleren. Meesal heef de secie nauurkunde di programma wel ergens op een compuer saan. STELLA is een programma da bijzonder geschik is voor als je minder goed ben me formules. He programma help je me he maken van formules door verschillende iconen me elkaar e verbinden. Overige nuige sies hp:// voor he oplossen van allerlei differeniaalvergelijkingen hp://o- wiskundige modellen om een simulaie e maken Eén van groe problemen van he Aralmeer is verziling van he waer. Ondersaande opgave gaa over he zougehale van een ficief meer. dz() Afbeelding 1 De waerkringloop op aarde 11