Het wiskunde B1,2-examen

Transcriptie

1 Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl Alex van den Brandhof Vossiusgymnasium, Messchaersraa, 077 WS Amserdam alex@pyhagoras.nu He wiskunde B,2-examen Sinds de invoering van de nieuwe Tweede Fase in he middelbare onderwijs volgen alle leerlingen van he vwo één of meer wiskundevakken. Er zijn vier profielen waar de leerlingen ui kunnen kiezen: culuur en maaschappij, economie en maaschappij, nauur en gezondheid en nauur en echniek. Voor he profiel nauur en gezondheid is he vak wiskunde B bedoeld en voor he profiel nauur en echniek word he vak wiskunde B,2 gegeven. p donderdag 22 mei werden voor he vwo de examens wiskunde B afgenomen. Wa vonden de vwo-ers ervan? Ger Koole en Alex van den Brandhof inerviewden leerlingen van he Amserdamse Vossiusgymnasium over he examen. Ger Koole is hoofdredaceur van di blad en Alex van den Brandhof is wiskundeleraar aan he Vossiusgymnasium en eindredaceur van he wiskundeijdschrif voor jongeren Pyhagoras. Wiskunde B is onderdeel van de profielen Nauur en Techniek (NT) en Nauur en Gezondheid (NG). Beide bevaen wiskunde B, Nauur en Techniek evens wiskunde B2. Vossiusleerling Arie Peerson karakeriseer he verschil als volg: B2 is heel anders, hele andere wiskunde. He is creaiever. B is veel invullen, algemene handigheid. Je wee seeds waar je naar oe moe werken. Da is nie zo bij de wiskunde B2. Bij bewijsvragen moe je ech zoeken. De examens wiskunde B en B,2 vonden gelijkijdig plaas. Ze besaan respecievelijk ui zes en zeven opgaven, elk onderverdeeld in een of meerdere vragen. De examens hebben drie gemeenschappelijke opgaven (Zomerarwe, seoporose en Twee scharnierende vierkanen). Deze opgaven bevaen ypische B-vragen. De overige opgaven van he B,2-examen (Periodiek, Conflic ussen wee punen en een lijn, Twee ellipsen me een gemeenschappelijk brandpun, Consane booglenge) zijn karakeresieke B2- opgaven. We hebben enkele leerlingen NT en NG direc na afloop van he examen gevraagd wa zij van de examens vonden. De algemene eneur was posiief bij NT-leerlingen, alhoewel men he soms wel wa veel vond. NG-leerlingen vonden he beduidend moeilijker. Mareijn Willems (NT): He examen was wel e doen. Samir urahma (NT): Ik vond he veel. Armelle Verrips (NG): He was erg moeilijk. Hélène Smis (NG): Ik wis op alles wel wa in e vullen: een anwoord da zou kunnen kloppen. Bo Blanckenburg (NT): Er zaen een heleboel dingen in die je even moe zien. Als je nie he ene kleine sapje bedenk waar je mee moe beginnen, kan je he nie maken. Da is een beeje oneerlijk. Maaren van he Reve (NT): He examen was goed e doen, he was aanzienlijk gemakkelijker dan de schoolonderzoeken. Vicoria Lazic (NT): De bewijssommen waren goed e doen. Een foue vraag in he examen In de eerse opgave van he B,2-examen, Periodiek, is een fou geslopen in de eks boven de derde vraag. De Cenrale Examencommissie Vasselling pgaven (CEV) heef daarom besloen elke kandidaa voor deze vraag vijf punen e geven. Waren de sudenen ui he veld geslagen door deze misser? Jochem Kaas (NT): He verhaalje voor vraag drie is gewoon nie waar. De daaropvolgende erm is dan. Je kon de vraag verder wel maken. Samir urahma: Deze opgave viel wel mee, behalve he einde ervan. De weede opgave, Zomerarwe, kwam in beide examens voor. Anders dan vroeger beva he wiskunde B-examen conexrijke opgaven. Zomerarwe is daar een voorbeeld van. Helaas is de conex weinig realisisch: je verwach een differenieerbare funcie voor de groeisnelheid. Tevens is de formulering nie helder en kan o verwarring aanleiding geven. Doroa Hempel (NG): Deze opgave was een beeje onduidelijk, wan de ene vraag ging over de snelheid van he groeien van de planen, de andere over he gewich. Arie Peerson: He geal a vind je door e differeniëren en b kun je dan berekenen door nul in de vergelijking in e vullen. Bo Blanckenburg: Vraag ach bouwde voor op vraag zeven. Als je vraag zeven nie goed heb gedaan, kan je vraag ach ook nie doen, en dus vraag negen ook nie. Arie Peerson: Ik vraag me af of je vraag negen algebraïsch of numeriek moe doen. Deze hele opgave is lasig. Je moe goed opleen da je de juise formule gebruik. Flink wa rommelen. De opgave Conflic ussen wee punen en een lijn kwam alleen in he wiskunde B,2-

2 66 NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 Leah Goudsmi (NG): Ik ben slech in wiskunde. Kansberekening vind ik he gemakkelijkse onderdeel. Bij kansberekening kan je alles invullen. De opgave Twee scharnierende vierkanen is ook wa slordig geformuleerd. Vraag 5 had als volg geseld moeen worden: Toon aan da de formule geld voor elke waarde van ussen 0 en 2 π. Arie Peerson: Deze opgave was goed e doen, voor de ekenvraag hoefde je geloof ik alleen maar e spiegelen, da was heel makkelijk. Leah Goudsmi: In elke opgave za wel een bewijsvraag. Bij deze opgave ook. He B-examen had daardoor een hoog B2-gehale. Doroa Hempel: De afgeleide nemen bij vraag 7 ging wel, maar ik kwam nie ui op 3. Samir urahma: Vraag 7 vond ik heel gemakkelijk. Bewijssommen De laase wee opgaven, Twee ellipsen me een gemeenschappelijk brandpun en Consane booglenge, waren ypische wiskun- Ger Koole, Alex van den Brandhof de B2-bewijssommen. De leerlingen waren opvallend posiief over deze opgaven. Samir urahma: pgave 8 was bes lasig, 9 vond ik wel meevallen. He zie er overigens wel ingewikkeld ui. Allemaal rare lijnjes. Bo Blanckenburg: Vraag 8 en 9 heb ik allebei wel goed. Die heb ik oevallig allebei gezien. Da is wel ve. Hoe meer lijnjes, hoe meer je kan prusen. Als je maar weinig lijnjes heb, raak je snel vas, als je he nie meeen zie. Mareijn Willems: Ik was nie op ijd klaar, daardoor heb ik vraag 9 nie kunnen maken. Maar ik wee nie of ik hem anders had gekund. Arie Peerson: Ik vond he jammer da er geen limieen in zaen, da hebben we uigebreid geoefend. He le ne Smis: De dingen die je kon conroleren, heb ik allemaal wel goed. Slechs wee van de leerlingen die hier aan he woord zijn gewees, zijn al ingeschreven voor een vervolgsudie. Twee leerlingen overwegen wiskunde e gaan suderen. k foo: Ger Koole examen voor en leverde weinig problemen op. Bo Blanckenburg: Di is ech peanus. Srik genomen is de eks bij de volgende gemeenschappelijke opgave, seoporose, ook nie juis geformuleerd. Doorda er bij een aanal vrouwen oseoporose geconsaeerd word, is hier sprake van een voorwaardelijke kans: er zijn zeker meer dan nul vrouwen me oseoporose. Me name bij vraag 3 heef di consequenies. Di was nie de bedoeling van de vraag. De examenkandidaen hebben zich hier echer nie door laen misleiden. Mareijn Willems: Ik heb somme fouen gemaak, ik wis de formule voor de binomiale verdeling nie meer. Hij sond wel op de formulekaar, maar da wis ik nie. Arie Peerson: De kansberekeningvraag over oseoporose vond ik lasig omda je jezelf heel moeilijk kan conroleren. Je heb geen idee of je he goed doe of nie. Doroa Hempel: pgaven me kansrekening zijn alijd wel e doen, maar vraag 6 was heel onduidelijk, ik wis nie wa die risicogroep beekende. He wiskunde B,2 examen De aula van he Vossiusgymnasium na afloop van he examen wiskunde B

3 67 Wiskunde B,2 (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei uur Voor di examen zijn maximaal 86 punen e behalen; he examen besaa ui 9 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punen me een goed anwoord behaald kunnen worden. Voor de uiwerking van de vragen 0,, 5, 6, 8 en 9 is een bijlage oegevoegd. Als bij een vraag een verklaring, uileg of berekening vereis is, worden aan he anwoord meesal geen punen oegekend als deze verklaring, uileg of berekening onbreek. Geef nie meer anwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld wee redenen worden gevraagd en je geef meer dan wee redenen, dan worden alleen de eerse wee in de beoordeling meegeeld Begin

4 68 Periodiek Gegeven is de rij: u u 0 n = a + u = u n n In de volgende wee vragen kiezen we de sarwaarde a = 2. In figuur saa de webgrafiek van de rij bij deze sarwaarde. figuur y x p Bereken u, u 2, u 3 en u 4. 5p 2 5p 3 Bereken u Lich je anwoord oe. We kunnen ook andere sarwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heef de rij maar wee ermen: u 0 en u ; dan is de erm u 2 namelijk nie gedefinieerd. Behalve a = 0 zijn er nog wee sarwaarden waarbij één van de ermen in de rij u n gelijk is aan 0. De daaropvolgende erm in de rij is dan nie gedefinieerd. Welke wee sarwaarden zijn da? Lich je anwoord oe. In de res van deze opgave werken we me sarwaarden waarbij u, u 2 en u 3 wèl gedefinieerd zijn. Bij zo'n sarwaarde a kun je achereenvolgens u en u 2 bepalen. 6p 4 Toon langs algebraïsche weg aan da de uidrukking die je voor u 2 krijg kan worden vereenvoudigd o. a Nu je u 2 gevonden heb, kun je u 4 ook bepalen. 4p 5 Toon aan da u 4 = a Lees verder

5 69 Zomerarwe Een akker word op april ingezaaid me zomerarwe. De arwe word geoogs op 30 juli. In de 20 dagen ussen zaaien en oogsen groeien de planen nie seeds even hard. Aanvankelijk groeien de planen seeds sneller. Als de planen groer worden gaan ze elkaar meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg consan word. Tegen he einde van he groeiseizoen gaan de arweplanen seeds langzamer groeien. He gewich van de arweplanen in kilogrammen noemen we z. De ijd in dagen noemen we ; = 0 op april, = 20 op 30 juli. z' () is de snelheid waarmee z groei op ijdsip (in kg/dag). Biologen haneren voor de drie groeifasen wel he volgende model: 0,( 40) fase : exponeniële groei voor 0 < 40 geld: z () = 00 e fase 2: lineaire groei voor 40 < 00 geld: z ( ) = 00 fase 3: anende groei In figuur 2 saa de grafiek van z. voor 00 < 20 geld: z () = 00 e 0,2( 00) figuur 2 00 z' (kg/dag) (dagen) Bij elk ijdsip in fase is er een ijdsip 3 in fase 3 waarop de arweplanen even snel groeien als op. 4p 6 Bereken 3 exac als = 8. De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus z (0) = 30. 4p 7 0,( 40) Er zijn geallen a en b, zo da voor fase geld: z() = a e + b Bereken a en b. Rond de waarde van b af op wee decimalen. p elk ijdsip is he gewich e bepalen me z() = z(0) + z ( s)ds 0 6p 8 3p 9 Er geld: z(00) 70,68. Toon di aan. Bereken he gewich van de arweplanen op 30 juli Lees verder

6 70 Conflic ussen wee punen en een lijn Gegeven zijn een lijn k en wee punen A en B op gelijke afsand van k en aan dezelfde kan van k. Zie figuur 3. Deze figuur saa ook wee keer op de bijlage. figuur 3 A B k We verdelen he vlak waar A, B en k in liggen volgens he naase-buur-principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn confliclijnen. He pun D is he drielandenpun, da is he pun op gelijke afsand van A, B en k. 4p 0 4p Teken in de figuur op de bijlage he drielandenpun D. Lich je werkwijze oe. Teken in de figuur op de bijlage de confliclijnen. Lich je werkwijze oe. seoporose seoporose of boonkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen opreed en vererger naarmae men ouder word. Bij he ouder worden maak he lichaam minder bo aan dan er afgebroken word. He gevolg is da boen poreuzer worden en de kans op bobreuk dus oeneem. In deze opgave beperken we ons o de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. nderzoek wijs ui da op de 4 vrouwen aan oseoporose lijd. Bij mannen is da op de 2. 3p 2 7p 3 4p 4 Bij een conrole op oseoporose onder 00 aselec gekozen vrouwen word bij een aanal vrouwen oseoporose geconsaeerd. Bereken de kans da di aanal 30 is. Bij een conrole onder vijf aselec gekozen mannen en vijf aselec gekozen vrouwen word bij een aanal van hen oseoporose geconsaeerd. Bereken de kans da di aanal 2 is. In 998 besond in Nederland de risicogroep voor 55,6% ui vrouwen. Bereken hoeveel procen van de oseoporose-paiënen ui de risicogroep vrouw was Lees verder

7 7 Twee scharnierende vierkanen Twee vierkanen, beide me zijde, hebben he hoekpun gemeenschappelijk. He onderse vierkan lig vas. He bovense vierkan word om gedraaid; is de draaihoek in radialen. In figuur 4 zijn ussen de begin- en eindsand drie ussensanden geekend. m de wee vierkanen is seeds een zo klein mogelijke rechhoek geekend, me wee zijden langs he vase vierkan. figuur 4 De oppervlake R van de omhullende rechhoek is een funcie van de draaihoek. Voor elke waarde van ussen 0 en π geld: ( ) ( sin )( sin cos ) 2 R = In figuur 5 en op de bijlage is de siuaie geekend voor een waarde van ussen 0 en 2 π. figuur 5 4p 5 Toon de juisheid van de formule aan voor elke waarde van ussen 0 en 2 π. Er zijn ussen de begin- en de eindsand wee posiies van de vierkanen waarvoor R() maximaal is. In figuur 6 en op de bijlage is één van die posiies geekend. figuur 6 4p 6 Teken in de figuur op de bijlage de andere posiie van de vierkanjes waarvoor R() maximaal is. Lich je werkwijze oe. 3p 7 Toon me behulp van differeniëren aan da R (0) = 3. Le op: de laase vragen van di examen saan op de volgende pagina Lees verder

8 72 Twee ellipsen me een gemeenschappelijk brandpun Twee ellipsen hebben he brandpun F gemeenschappelijk; de andere wee brandpunen zijn F 2 en F 3. De ellipsen snijden elkaar in een pun P. Zie figuur 7. Deze figuur saa ook op de bijlage. figuur 7 F F 2 P = F 3 De raaklijnen in P aan de wee ellipsen maken vier hoeken me elkaar. De hoek ussen de wee halve raaklijnen die geheel buien de ellipsen liggen, noemen we α. 6p 8 Bewijs da geld: F 2 PF 3 = 2α. Consane booglenge 6p 9 Twee cirkels c en c 2 snijden elkaar in de punen A en B. A en B verdelen c in wee bogen: de ene boog lig binnen c 2, de andere boog lig buien c 2. p de boog van c buien c 2 liggen de punen X en Y. De lijnen AX en BX snijden c 2 nog in de punen P en Q. De lijnen AY en BY snijden c 2 nog in de punen P 2 en Q 2. Zie figuur 8. Deze figuur saa ook op de bijlage. Bewijs da de bogen P Q en P 2 Q 2 even groo zijn. figuur 8 c Y P A X B Q 2 Q c 2 P 2 Einde Lees verder