Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Transcriptie

1 Wiskunde A1,2 (nieuwe sijl) Examen VWO Voorbereidend Weenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 28 mei uur Voor di examen zijn maximaal 90 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punen me een goed anwoord behaald kunnen worden. Voor de uiwerking van de vragen 2, 3, 5 en 18 is een bijlage oegevoegd. Als bij een vraag een verklaring, uileg o berekening vereis is, worden aan he anwoord meesal geen punen oegekend als deze verklaring, uileg, o berekening onbreek. Gee nie meer anwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld wee redenen worden gevraagd en je gee meer dan wee redenen, dan worden alleen de eerse wee in de beoordeling meegeeld Begin Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

2 Vogels die voedsel zoeken Vogels die voedsel zoeken op de grond veronen vaak een karakerisiek paroon van lopen en silsaan. In iguur 1 is di paroon voor wee vogelsooren schemaisch weergegeven. iguur 1 50 seconden soor II soor I cenimeers He paroon van soor I hee de volgende drie kenmerken: 1 he silsaan duur elkens 2 seconden; 2 ussen wee sops leg de vogel elkens 20 cm a; ussen wee sops loop de vogel me een snelheid van 4 cm per seconde. 4p 1 Lees ui iguur 1 a wa deze drie kenmerken zijn van he paroon van soor II. Om van een andere vogel (soor III) di paroon e bepalen, is zo n vogel gedurende een reeks van 24 keer lopen-en-silsaan geobserveerd. De vogel sond in oaal 180 seconden sil. De agelegde asand was in oaal 480 cm. He geheel duurde 420 seconden. 5p 2 Teken in he assenselsel op de bijlage een graiek zoals iguur 1 van he paroon van deze vogel voor en minse 45 seconden. Gee een oeliching. Vogels die hun voedsel in bomen en sruiken zoeken, doen da vaak bij voorkeur op een speciieke hooge. Gedurende een winer zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In abel 1 saa de verdeling over verschillende hooges van 400 waarnemingen bij pimpelmezen. abel waarnemingen bij pimpelmezen hooge in meers <1,5 1, >15 aanal waarnemingen p 3 Toon aan da de waargenomen hooges bij benadering normaal verdeeld zijn; maak gebruik van he normaal waarschijnlijkheidspapier op je bijlage. Lees ui je ekening a hoe groo he gemiddelde en de sandaardawijking van deze verdeling zijn. Gee beide anwoorden in dm nauwkeurig. Lich je werkwijze oe Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

3 De hooges waarop boomklevers en glanskoppen werden waargenomen, waren ook bij benadering normaal verdeeld. Per soor saan he gemiddelde en de sandaardawijking van deze waargenomen hooges in abel 2 in meers vermeld. abel 2 4p 4 soor gemiddelde hooge sandaardawijking boomklevers 10,0 4,0 glanskoppen 4,5 1,5 Een onderzoeker le bij elk van beide vogelsooren op de relaieve requenie van de waarnemingen ussen 6,0 en 8,0 meer. Onderzoek me een berekening o deze wee relaieve requenies even groo zijn Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

4 Energiebronnen Hou was vroeger de belangrijkse energiebron. In he begin van de negeniende eeuw werd de rol van de belangrijkse energiebron overgenomen door kolen. De laase jaren is he aandeel van olie en gas in he oale energieverbruik seeds groer geworden. In he boek Energie, een economisch perspecie beseden de schrijvers Th. v.d. Klunder en H. Peer aandach aan de onwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken daarbij de variabele voor he aandeel van een energiebron zoals da zich in de loop van de ijd onwikkeld hee en opziche van he oale energieverbruik. Di aandeel is een geal waarvoor geld da 0 < < 1. Hierbij beeken = 0 da deze energiebron helemaal nie gebruik word en = 1 da uisluiend van deze energiebron gebruik gemaak word. In he boek saa een abeelding zoals in iguur 2. Door nie maar ui e zeen en 1 bovendien op de vericale as een aangepase schaalverdeling e gebruiken, worden de meese graieken reche lijnen. Figuur 2 saa ook op de bijlage. iguur kolen 10 0 olie gas 10-1 hou kernenergie jaar 3p 5 In welk jaar leverde hou 50% van he oale energieverbruik? Lich je anwoord oe. 4p 6 Me iguur 2 hebben de aueurs inormaie willen geven over he belang van verschillende energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is da daarbij nie maar word 1 gebruik. Da kan omda bij elke waarde van precies één waarde van hoor. Immers, 1 als oeneem van 0 o 1, dan sijg voordurend. 1 Toon die laase bewering aan me behulp van de ageleide van Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

5 Aan de hand van iguur 2 kunnen we voor hou, he aandeel van hou in he oale energieverbruik, de volgende ormule aleiden: hou = 3,03 0,96 1 hou In deze ormule is in jaren me = 0 op 1 januari p 7 He verband ussen hou en kan ook in een direce vorm worden weergegeven: hou = hou Sel me behulp van de gegeven ormule voor een ormule in een direce vorm 1 voor hou op. hou Dergelijke ormules in direce vorm zijn ook op e sellen voor olie en gas, he aandeel van olie respecievelijk van gas in de oale energievoorziening. Deze ormules zien er als volg ui: olie 0,0023 1,05 = en gas 1 + 0,0023 1,05 0,0008 1,05 = 1 + 0,0008 1,05 5p 8 Op zeker momen leverden, volgens deze ormules, olie en gas samen 25% van he oale energieverbruik. Onderzoek in welk jaar da he geval is. De olievoorraden raken uigepu en he kolenverbruik hee veel milieuproblemen o gevolg. Daarom verwach men da he gasverbruik in de komende ijd zal blijven oenemen. Al jaren sijg he gasverbruik jaarlijks me 3,5% en men gaa ervan ui da di in de komende ijd nie zal veranderen. Deze sijging beeken da de huidige gasreserves oereikend zijn o he jaar Om er voor e zorgen da de wereld na 2050 nog voldoende gas kan blijven gebruiken, moeen nieuwe voorraden worden ondek. Om een indruk e geven van wa da laase beeken, is in he boek De grenzen voorbij de volgende iguur opgenomen. In deze iguur 3 gee elk vierkan en elke rechhoek de verbruike o benodigde hoeveelheid gas voor een bepaalde periode aan. iguur 3 vóór De hoeveelheid gas die nog ondek moe worden om ook in de periode de wereld van gas e kunnen voorzien. 5p 9 Leg me behulp van een berekening ui hoe een jaarlijkse sijging van he gasverbruik me 3,5% in iguur 3 is e herkennen Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

6 Jongen o meisje In 1988 vond he Onderzoek Gezinsvorming plaas. Hierbij werd onder andere de gezinssamenselling onderzoch (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoor). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de oekoms samengeseld zullen zijn. Daarbij beperken de onderzoekers zich o een voorspelling over de gezinnen van vrouwen die geboren zijn in De resulaen saan in abel 3. abel 3 3p 10 3p 11 Verwache uieindelijke gezinssamenselling van vrouwen geboren in 1960 % van alle % van vrouwen vrouwen me kinderen geen kinderen 18,5 1 kind (oaal) 15,2 18,7 1 jongen 7,9 9,7 1 meisje 7,3 9,0 2 kinderen (oaal) 40,1 49,2 2 jongens 10,1 12,4 1 jongen en 1 meisje 20,9 25,6 2 meisjes 9,1 11,2 3 kinderen (oaal) 18,2 22,3 3 jongens 2,5 3,0 2 jongens en 1 meisje 7,3 9,0 1 jongen en 2 meisjes 6,3 7,7 3 meisjes 2,1 2,6 4 o meer kinderen (oaal) 8,0 9,8 uisluiend jongens 0,5 0,6 uisluiend meisjes 0,5 0,6 Een gezin me zowel jongens als meisjes noem men een gemengd gezin. Hoeveel procen van alle in 1960 geboren vrouwen zal volgens abel 3 uieindelijk een gemengd gezin hebben? Lich je anwoord oe. In abel 3 saa in de recherkolom he geal 18,7. Laa zien hoe di geal ageleid kan worden ui de gegevens in de kolom me opschri % van alle vrouwen. Neem in he vervolg van de opgave aan da onder geboore word versaan de geboore van één kind, dus geen wee- o meerlingen. Ui bevolkingssaisieken van Nederland en andere Wes-Europese landen vana de 18e eeuw is duidelijk da er seeds ies meer jongens dan meisjes geboren worden. Daarui is gebleken da de kans op een jongen bij elke geboore ongeveer 0,51 is. 7p 12 In he verleden hebben velen gezoch naar de acoren die he krijgen van een jongen dan wel een meisje zouden kunnen beïnvloeden. Een van de acoren die mogelijk van belang zijn, is de hormoonspiegel in he bloed van de ouders. Een aanwijzing hiervoor vormen de gegevens die men hee verkregen over geboores die o sand kwamen na oediening van hormonen. Bij 900 van dergelijke geboores kwam 412 keer een jongen er wereld. Onderzoek o je op grond hiervan mag concluderen da bij dergelijke geboores de kans op een jongen kleiner is dan 0,51. Neem hierbij een signiicanieniveau van 1% Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

7 Lenevoordeelweken Een supermark houd elk jaar in de lene een acie onder de naam Lenevoordeelweken. Tijdens die acie onvang iedere klan bij en minse 50 euro aan boodschappen wee krasloen. Op elk kraslo saa één vakje. Als men da openkras, word de abeelding van een kievisei, een lammeje, een narcis o een vogelverschrikker zichbaar. De klan moe direc aan de kassa, voorda hij de supermark hee verlaen, de wee opengekrase krasloen inleveren. Wanneer op beide krasloen dezelde abeelding saa, win de klan een egoedbon. De kans op een egoedbon hang a van de verdeling van de vier abeeldingen over de krasloen. 3p 13 Neem aan da de vogelverschrikker op 10% van de krasloen voorkom en de andere drie abeeldingen elk op 30% van de krasloen. De krasloen liggen, in willekeurige volgorde, op een sapel bij de kassa. Een klan hee zojuis wee krasloen onvangen. Bereken de kans da de klan me deze wee krasloen een egoedbon win. De eigenaar van de supermark wil nie e veel egoedbonnen weggeven. Daarom onderzoek hij o een andere verdeling van de abeeldingen over de krasloen gunsiger is. Hij gaa er daarbij van ui da de vogelverschrikker me een kans k op de krasloen voorkom en de overige drie abeeldingen elk me een kans 1 1 k. Daarmee kan hij 3 3 uirekenen hoe groo de kans is da een klan me wee krasloen een egoedbon win. Die kans is gelijk aan: P(egoedbon me wee krasloen) = 1 k k + 5p 14 4p 15 5p 16 Toon aan da de ormule voor P(egoedbon me wee krasloen) juis is. Me behulp van deze ormule kan de eigenaar nu onderzoeken voor welke waarde van k de kans op een egoedbon zo klein mogelijk is. Voer di onderzoek ui. De eigenaar van de supermark overweeg de mogelijkheid om elke klan die en minse 50 euro aan boodschappen beseed, nie wee, maar drie krasloen e geven. De klan win dan een egoedbon wanneer en minse wee keer de vogelverschrikker op deze drie krasloen voorkom. Verondersel da de vier abeeldingen in gelijke mae verdeeld zijn over de krasloen. Bereken de kans da een klan in deze siuaie een egoedbon win Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

8 Aardbeien Seizoensgebonden rui en groenen zijn maar een beperk deel van he jaar verkrijgbaar in de winkel. Aardbeien zijn daar een voorbeeld van. De prijs van aardbeien is ahankelijk van vraag en aanbod. Als er weinig aanbod is, zullen liehebbers van aardbeien meer willen bealen voor aardbeien: de prijs sijg. Die hogere prijs ze aardbeienelers eroe aan om een jaar laer meer aardbeien op de mark e brengen: he aanbod is dan hoger. Da leid eroe da de prijs weer zak. En zo ze di proces zich voor. Di proces kan in een wiskundig model worden weergegeven: Q v a v = 2P + 40 (vraagvergelijking) Q = c P + d (aanbodvergelijking) Q 1 a = Q (evenwichsvergelijking) v a Hierin zijn Q en Q de gevraagde, respecievelijk de aangeboden hoeveelheden in he jaar, uigedruk in miljoenen kg. P is de prijs per kg in he jaar, uigedruk in euro. Neem eers c = 1 en d = 10. Verder is gegeven da P 0 = 4. 4p 17 Bereken P 2. In ondersaande iguur 4 zijn de graieken geekend, die bij he beschreven model horen (me c = 1 en d = 10). In deze iguur saa de prijs langs de horizonale as en de hoeveelheid langs de vericale as. Deze iguur saa, vergroo, ook op de bijlage. iguur 4 Q a en Q v Q v Q a O P 0 P 4p 18 4p 19 Teken in de iguur op de bijlage de webgraiek in he model van P 0 o en me P 3. Gee daarbij P 1, P 2 en P 3 op de P-as aan. He model zal uieindelijk in de evenwichsprijs sabiliseren. Bij die evenwichsprijs hoor een evenwichshoeveelheid. Bereken de evenwichsprijs en de bijbehorende evenwichshoeveelheid Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook

9 In de Europese Unie wil men maaregelen nemen om he aanbod beer e regelen. Doel van deze maaregelen is da aardbeienelers op den duur een beere prijs krijgen voor hun produc. Men sree naar een evenwichsprijs van 12 euro. Di beeken voor he model da de vraagvergelijking en de evenwichsvergelijking nie veranderen. De aanbodvergelijking verander echer wel: c en d hoeven nie meer gelijk e zijn aan 1 respecievelijk 10. 5p 20 In he jaar da de maaregelen van krach worden is P = 6. Di leid in he jaar erop a o Q = 13. Neem aan da de evenwichsprijs van 12 euro inderdaad bereik gaa worden. Sel de nieuwe aanbodvergelijking op. Einde Lees verder Voor alle eindexamens, zie Voor de perece voorbereiding op je eindexamen, zie ook