Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Transcriptie

1 Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid, dus 0 g is de groeifaor, dus g gewih in mg in halve uren d Ja Na uur is de eginhoeveelheid aangegroeid o 600 mg en per uur is de groeifaor V-a De groeifaor is 0, en de eginhoeveelheid is 0 0 A() 0, 0,0 De groeifaor is 0,0, dus de hoeveelheid neem per ijdseenheid af me 0% ladzijde V- oename % groeifaor,; afname % groeifaor 0,6; oename 0,% groeifaor,00; afname 0,0% groeifaor 0,; oename 00% groeifaor ; oename 0% groeifaor,; afname 60% groeifaor 0,; afname 0% kan nie V- groeifaor, oename %; groeifaor 0, afname,%; groeifaor oename 00%; groeifaor 0, afname 0,%; groeifaor 0 oename 00% V-a L() L () 600 0, Opgelos moe worden: L () 600 0, 00 Di kun je doen me de rekenmahine voer iny 600, 0 en Y 00 Plo de grafieken en epaal me inerse he snijpun Je vind, Di in 00 word de maimale apaiei ereik V-6a Na uur is er nog 00, 0 0 mg over Afname per uur is 0% groeifaor per uur is 0,0 groeifaor per uur is 00, 0, afname per uur me,% 60 Wolers-Noordhoff v

2 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Beginhoeveelheid is 0 mg, groeifaor 0,0, dus Z () 0 00, 0 Z d Na uur is er nog 0 00,, mg over V-a De groeifaoren zijn: 00 0, ; 0 0, ; 0 0, ; 60 0, De groeifaoren zijn seeds ongeveer hezelfde, dus is er sprake van een eponeniële afname De groeifaor per jaar is dus 0, d N () 00 0, e Opgelos moe worden 00 0, 00 me de rekenmahine vind je, 0 Dus in he waalfde jaar na, in zal he aanal voor he eers onder 00 komen ladzijde a De vermenigvuldigingsfaor is seeds Dus ij de pijljes moe een saan He aanal verzonden sms-erihen word elk jaar me vermenigvuldigd De groeifaor is dus De eginhoeveelheid is 6, miljoen De funie word dan: A () 6,, me A ()in miljoenen en 0 in 00 00, da is he aanal sms-erihen is dan A( ) 6,, miljoen d lijkaar is 0 a Wanneer je naar rehs gaa is he seeds keer, naar links is he dan seeds keer In 00 werden er dus, miljoen erihen verzonden Blijkaar is jaar in jaren 0 aanal A in miljoenen 0,,6, 6, d Bij hoor he jaar 00 He aanal erihen is dan van da in 00 Dus lijkaar is e Bij hoor he jaar 000 He aanal erihen is dan van da in 00 Dus lijkaar is Wolers-Noordhoff v 6

3 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde a Er word seeds me vermenigvuldigd, dus ij de pijljes moe he geal saan 0 f( 0) 0 f() d e f eeken da je wee keer me vermenigvuldigd he eeken da je drie keer me vermenigvuldigd he eeken da je eers wee keer en vervolgens drie keer, dus in oaal vijf keer, me vermenigvuldigd he Dus g 6 h ; ladzijde a ; ; ; ; 6 6 () () 6 ; () 6 6 ; + ; p p ; 0 a De eginhoeveelheid is 06, Er is sprake van een afname me % per uur, dus de groeifaor per uur is g 0, De formule is dus P () 06, 0, Twee uur voor he lazen was zijn promillage dus 06, 0, 0, Opgelos moe worden 06, 0, 0, Voer in Y 0, 6 0, en Y 0, Inerse geef 0, Hij mag dus pas om ongeveer uur rijden en had dus uur moeen wahen alvorens e gaan rijden + 6 f () Dus a a Om de eginhoeveelheid en de groeifaor e epalen moe de funie in de vorm f () g saan f () 0, 0, 0, 0, 6 6 0, De eginhoeveelheid is dus 6 Zie opdrah a a d + N () N () + N () ( ) + N () () () () ladzijde 0 a Beginhoeveelheid 000 algen Per dag keer zo groo, dus de groeifaor per dag is 6 Funievoorshrif: N () 000 me in dagen Wolers-Noordhoff v

4 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde De groeifaor per halve dag is dus, d Wanneer je één keer me g vermenigvuldigd kom je ij ui Dus is g e De groeifaor per halve dag is g geef de siuaie na dag, dus wee halve dagen Je moe dus wee keer me g vermenigvuldigen Er geld dus 000 g g 000 f Ui opdrah e volg dus da g g g g 0 N() a Per week wee keer zoveel, dus de groeifaor per week is He funievoorshrif is dan: A () 00 me in weken Groeifaor per week is groeifaor per dag is, 0 Een dag is he de deel van een week De groeifaor per dag is dan a Toename me % per halve dag groeifaor is, per halve dag Groeifaor per halve dag, groeifaor per uur,, 0 Groeifaor per uur, 0 oename me,%, % per uur a Toename per emaal me 60% groeifaor per uur,60 groeifaor per uur 60,, 66 oename per uur me 6,6% Afname per jaar me % groeifaor per jaar 0,6 groeifaor per jaar 06, 0, afname per jaar me,% Rene per maand,% groeifaor per maand,0 groeifaor per jaar, 0, rene per jaar,% a Groeifaor per jaar is 6 6 Groeifaor per jaar groeifaor per jaar per jaar Groeifaor per jaar is oename per jaar me 00% d Wanneer de groeifaor per jaar is, is de waarde voor 0 dus 6 He funievoorshrif is dan f () e Groeifaor per jaar groeifaor per maand is, 06 Een formule word dan g () 06, me in maanden a De groeifaor per 0 jaar is,, 06, 0 De groeifaor per 0 jaar is,06 groeifaor per jaar is, 06, 00 Groeifaor per jaar is,00 de formule voor de evolkingsgrooe is dan A (), 00,, me 0 in 0 geef in waren er volgens de formule van eponeniële groei A( ),, 00, miljoen mensen Eponeniële groei lijk dus e kloppen d Je moe dus een epalen zoda, 00 me de rekenmahine 6 De evolking is dus na 6 jaar verdueld, da is in 06 Dus nie voor he jaar 00 Wolers-Noordhoff v 6

5 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a Verduelen per half uur groeifaor per half uur is groeifaor per minuu 0, 0 Groeifaor per half uur is groeifaor per 0 minuen, mg op 0, dus op 0 is er dan 0 6, mg De 60 mg zijn dus me, mg overshreden 6a Per ijdseenheid is de groeifaor, dus per ijdseenheid is de groeifaor ijdsip 0 hoeveelheid 6 0, 0, a Groeifaor per uur is groeifaor per uur is, 0 groeifaor per dag, 0 Groeifaor per dag is,0 groeifaor per week is 0,, Nee, de groeifaor per week is, Na één week is de oppervlake dus, m ladzijde a De eginhoeveelheid krijg je voor 0 f( 0) De eginhoeveelheid is dus nie Wanneer de groeifaor zou zijn, moe f( ) keer worden dus 6 Maar f( ) De groeifaor is dus nie 0 f() De eginhoeveelheid is dus en de groeifaor Je kun groeifaor en eginhoeveelheid alleen duidelijk aflezen wanneer de formule van de vorm f () g is De funie moe dus eers in die vorm worden geze f () ( ) De groeifaor is dus en de eginhoeveelheid a + f () ( ) 6 De eginhoeveelheid is dus 6 en de groeifaor is + h (), 6,, 6, 6,, 6, (, 6 ) 0, 00 De eginhoeveelheid is dus en de groeifaor 0,00 p () 0, 0, 0, 0, (, 0 ) 0, De eginhoeveelheid is dus 0 en de groeifaor, 0a Toename me 60% per half jaar, dus de groeifaor per half jaar is,60 6 groeifaor per maand is dan 60,, 0 He funievoorshrif word dan A () 000, 0 In de formule kom he geal,6 voor da wijs erop da de groeifaor per half jaar geruik is Maar er saa in de eponen nie, maar 6 een half jaar heef 6 weken 6 is dus he 6 se deel van een half jaar, een week 0, 6, Wolers-Noordhoff v

6 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde + 6 He funievoorshrif f () 6, 0 is dus juis me de ijd in weken Deze funie geef de groei redelijk weer, maar de eginhoeveelheid is e laag a Groeifaor per uur is 0,0 dus is de groeifaor per uur 00, 0, 6 P () 0, 6 me in uren na he oedienen van he geneesmiddel He is he eerse deel van ondersaande grafiek De res van ondersaand grafiek geef he verloop van o 60 uur d Om 00 uur de volgende ohend is er nog 0% van de ml over, dus nog 0, ml daar kom een nieuwe injeie van ml ij De eginhoeveelheid word nu dus, ml en de formule P (), 0, 6 me < < De grafiek is he weede deel van ondersaande grafiek e Weer uur laer is er nog 0% van, ml, dus, ml over en word he funie voorshrif P (), 0, 6 me < < De grafiek is he derde deel van ondersaande grafiek Vlak voor de vierde injeie, dus na uur is er nog 0% van, ml over, dus nog, ml Vlak na de vierde injeie is er dus, ml geneesmiddel in he lihaam y in ml y, y,,, y 0, 0, in uren ladzijde a 000, de druk ij he egin afname me % per kilomeer g 0, 0 P( 0) 000 0, mar h Opgelos moe worden 000 0, > 0 Me de rekenmahine geef di 0< h <, a 0, me de rekenmahine ( ) ea Wolers-Noordhoff v 6

7 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde ladzijde a 0 me de rekenmahine geef di,, 0, 0, me de rekenmahine geef di 6, 0, 0, me de rekenmahine geef di, a () ( ) 6 6 6a y 0 0 0, 0, 0,6 0, 0 0, 0,6 0, 0, f () g () ( ) ( ) ( ) + ) + He snijpun van f en g is dan (, ) ( 0, ;, ) f () g (), } a 0 0, < me de rekenmahine geef di de oplossing 0, ; 0, me de rekenmahine geef di de oplossing ;, } 00 0, 00 me de rekenmahine geef di de oplossing ; 0, 0] d 0, < 0, me de rekenmahine geef di de oplossing 0, ; a Er is geen gemeenshappelijk grondal Voor en kun je grondal geruiken, maar voor kan di nie () me de rekenmahine geef di de oplossing, () heef als oplossing [, ; a Afname me % per meer, dus de groeifaor is 0, per meer De eginhoeveelheid is 00% m Bij deze vraag hor de ongelijkheid 00 0, > 0, 0000 Oplossen me de rekenmahine geef m < 0 Dus op groere diepen dan 0 meer is geen planaardig leven meer mogelijk ladzijde 6 0a De groeifaor per jaar is dan 600 6, 00 De groeifaor per jaar is dan , De formule die he aanal zeehonden eshrijf is Z 00, me 0 in 0 en in jaren 66 Wolers-Noordhoff v

8 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde 6000 N in aanal zeehonden in jaren De grafiek klop redelijk 00 is he aanal zeehonden is dan Z( ) 00, 060 d De formule word, me 0 in 00, Z 00, me in jaren opgelos moe worden 00, 060 me de rekenmahine geef di, Dus in he jaar 00 is he aanal weer hezelfde als in a () () a 6 () + + a 6 0 a a, a a ladzijde a Bij een herder werd 000 Bq gemeen, zijn gewih was 0 kg Da is dus 000 6, Bq/kg 0 Bij de rendieren was da 00 Bq/kg De verhouding ussen een herder en een rendier is dan 6, : 00 : 00 Ui de grafiek lijk da in 6 ij de herders 000 Bq werd gemeen, dus 000 6, Bq per kg Bij de rendieren was da in 6 00 Bq/kg 0 In 6 was de verhouding ussen een herder en een rendier dus 6, : 00 : 00 In 6 werd er 000 Bq gemeen In was da 6000 Uigaande van een eponenieel proes geef da een groeifaor van , per jaar, dus 000 0, 0, per jaar Een groeifaor van 0, per jaar lijk redelijk e passen d De groeifaor ij de rendieren is ook ongeveer 0, e Voor de herders geld dus Bq() 000 0, me 0 in 6 en in perioden van jaar, Voor geld dan, Dus Bq(,) 000 0, 00 In he lihaam van de herders zou dan nog ongeveer 00 Bq aanwezig zijn, ongeveer Bq/kg f De grafiek is e kor om eh eponenieel gedrag e kunnen ekijken Op grond van he voorgaande kun je he wel verondersellen He maimum val ongeveer in me 000 Bq, Me dezelfde groeifaor per jaar, 0,, moe opgelos worden 000 0, 00 Di geef, Dus na ongeveer jaar weer op he niveau van Wolers-Noordhoff v 6

9 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 0 T-a Elk kwarier verdueling, dus om 00 uur, na kwarier, werd er mg gemeen H () 00 uur is kwarier eerder dus Er was oen mg aeriën T-a () () , 000 0, 0 0 T-a Groeifaor per dag, groeifaor per week, 66, oename me 60% per week Groeifaor per dag, groeifaor per uur,, oename % per uur 6 Groeifaor per dag, groeifaor per kwarier, ~, 006 oename 0,6% per kwarier 0, 0, 0, T-a N (),,,,,,, (, ), De groeifaor is dus, per uur en de eginhoeveelheid Zie a + T-a , ( ) ( ) ( ) ( + ) d ( ) + e ( ) 00 0 T-6 Plo seeds eide leden van de ongelijkheid en epaal he snijpun he anwoord vind je me da snijpun en de grafiek a, < 00 oplossing ;, 00,, > oplossing 6, ; n < 0, oplossing ; 6, + d < 0 oplossing ;, e 0, > 0 oplossing ;, ladzijde T-a De groeifaor per jaar is 6 groeifaor per jaar is, 6 6 De groeifaor per kwaraal is, april 00 is kwaralen na januari He perenage dvd-spelers was oen dus 6, % d Opgelos moe worden 6, 0 me de rekenmahine geef di 0,, dus in he se kwaraal na januari, da is in he se kwaraal van 00 6 Wolers-Noordhoff v

10 Hoofdsuk - Eponeniële funies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde m T-a S, 0, m De and is nog voldoende op spanning S, 0, >, Oplossen van de ongelijkheid me de rekenmahine geef m < 66, d De and moe dus elke 66, 0 dagen worden opgepomp T-a De oom evae op he momen van serven 000 0, , 00 mg C Dus na 0 jaar is di gehalveerd o 0,000 mg C na 60 jaar is di weer gehalveerd o 0,000 mg C Na nog eens 0 jaar is er nog deel over, dus na 0 jaar deel verdwenen wil zeggen da er nog deel over is () dus na 0 60 jaar is er deel verdwenen d Opgelos moe worden 00 (), me in perioden van 0 jaar Oplossen me de rekenmahine geef 6, De vonds is dus ongeveer 6, jaar oud e Opgelos moe worden 00 6,, me in perioden van 0 jaar Di geef 0, De lijkwade is dus ongeveer 0, 0 0 jaar oud De lijkwade is dus nie van Karel de Soue gewees wan die sierf geleden T-0a De keus hang af van he zakgeld da je nu he Als da meer dan 0 euro is, dan is de verhoging me % voordeliger, wan da is meer dan euro Ook is van elang hoelang de afspraak geld In he algemeen is een proenuele verhoging op den duur voordeliger + of Omda de weede keer da er % groei is die groei ook over de eerse % gerekend word Een groeiperenage van % per half jaar is dus meer dan 0% per jaar Groeiperenage % per half jaar groeifaor,, per jaar, dus een groeiperenage van,% per jaar Wolers-Noordhoff v 6