Differentiaal- en Integraalrekening

Transcriptie

1 Differeniaal- en Inegraalrekening deel 6 rillingsparonen Foo Freeman Nieuwe wiskunde weede fase Profiel N&G en N&T Freudenhal insiuu

2 De afbeelding op de kaf kom ui een oud boek Fun wih Geomery van M. en I. Freeman (eerse uigave 946). Rober, de jongen op de foo, heef een opselling gemaak om Lissajous-figuren (zie hoofdsuk 3) e produceren. Van papier heef hij een kegel gevouwen, die me ouw aan een balk is opgehangen. De kegel is gevuld me zou, en he onderse punje is er afgeknip, zoda he zou erui kan sromen. Door nu di zouloperje een uiwijking en een snelheid e geven, gaa de kegel slingeren, en srooi he zou mooie krommen op he bord eronder. Differeniaal- en Inegraalrekening (deel 6: Trillingsparonen) Projec: Profiel: Klas: Saa: Onwerp: Wiskunde voor de weede fase N&T en N&G vwo 6 Eerse herziene versie Paul Drijvers en Marin Kind Freudenhal insiuu, mei 998

3 inhoud Bewegingen en sinusoïden Trillingsparonen 3 Figuren van Lissajous 4 Over de funcie an en over zeer kleine hoeken 5 Onderzoeksopdrachen Zelfoes Tips Anwoorden

4 cirkelbeweging harmonische beweging

5 cirkelbeweging Bewegingen en sinusoïden Aan de hand van bewegingen van onder andere een waerrad en een schildwach heb je in deel 4 Cirkelbewegingen kennisgemaak me de funcies sinus en cosinus. Je heb gezien hoe je de snelheid bij een cirkelbeweging kun berekenen me behulp van afgeleide funcies. Een belangrijke rol was weggelegd voor de begrippen periode, frequenie en ampliude. We pakken deze draad nu weer op en bekijken de eenparige beweging op de eenheidscirkel. De posiie van een pun P op de eenheidscirkel op ijdsip (in sec) word voorgeseld door: x () = cos y () = sin De eenheidscirkel hierboven is verdeeld in gelijke boogjes. Eén van de deelpunen is he pun (, 0) he sarpun van de beweging. a. Noem van elk van de deelpunen de exace coördinaen. Op welke ijdsippen ussen 0 en p worden die deelpunen bereik? b. Voor welke -waarden heef P() gelijke afsanden o de x-as en de y-as? Hoe groo is die afsand? c. He pun Q doorloop de eenheidscirkel me dezelfde snelheid als P, maar lig van de cirkelomrek voor. Wa zijn de bewegingsformules van Q? d. Laa de beweging van P op he scherm van de GR ekenen; kies daarbij een vierkan assenselsel (de cirkel word dan redelijk rond ). e. Doe hezelfde voor de beweging van Q. f. De deelpunen in bovensaande figuur zijn de hoekpunen van een regelmaige -hoek. Hoe kun je he regelen da de GR juis deze -hoek eken? Een periode van p is in de wiskunde heel nauurlijk, maar in ermen van ijd doe he wa onwennig aan: één rondje in p seconden. a. Hoe moe je de bovensaande bewegingsformules veranderen zó da he pun precies sec over een rondje doe? b. Hoe groo is de snelheid van he pun nu? c. Hoe veranderen de bewegingsformules als één rondje in sec gaa en de sraal van de cirkel gelijk is aan 3? P() y-as + x-as P(0) Een pun doorloop me consane snelheid en in posiieve riching de eenheidscirkel. De periode is 4p en he sarpun is (0, ). a. Maak deze beweging op de GR. Welke bewegingsformules gebruik je? b. Maak een ekening van de snelheidsvecor me zijn horizonale en vericale componen op he ijdsip = --p. 3 c. Hoe groo zijn die componenen en hoe zijn ze gerich? d. Hoe veranderen de anwoorden van a, b en c als he sarpun (0, ) is en de draairiching negaief?

6 ellips in plaas van cirkel Als je de cirkelbeweging op de GR eken en je vergee op Zsquare in e sellen, krijg je geen cirkel e zien maar een in één riching opgereke cirkel. Die kromme heef de vorm van een ellips. Je kun zo n vorm ook maken als je wél in een vierkan assenselsel werk, maar dan moe je de bewegingsformules aanpassen. Bijvoorbeeld zó: x () = cos y () = sin 4 a. Teken deze beweging me de GR in een vierkan assenselsel. b. Onderzoek me TRACE de snelheid van deze beweging. Deze is nie zoals bij de eenparige beweging consan! Toon aan da de snelheid op he ijdsip gelijk is aan: + 3cos. c. Op welk momen is de snelheid maximaal en op welk momen minimaal? ip 5 a. Ui de bewegingsformules van opgave 4 is een vergelijking van de ellipsvormige baan af e leiden, namelijk: x + --y =. 4 Toon aan da di een vergelijking van die ellips is. x () = 3cos b. Welke vergelijking heef een ellips die beschreven word door y () = sin x () = 5 cos c. Dezelfde vraag voor: y () = 0sin formules gebruiken ip Op de pagina 4 saa een overzich van de belangrijkse formules en regels die je in he boekje Cirkelbewegingen ben egengekomen. Bekijk di overzich. Bij de volgende opgaven zal je die regels kunnen gebruiken. 6 Gegeven zijn de bewegingsformules: x () = cos + sin y () = cos sin a. Teken op de GR de baan van he pun op he ijdsinerval [0, p]. Wa zijn de coördinaen van he sarpun van de beweging? b. De baan lijk een cirkel e zijn. Bewijs da di inderdaad he geval is. 7 Gegeven de bewegingsformules: x () = sincos y () = cos sin a. Teken de krommen op de GR in een vierkan assenselsel. b. He lijk op een ellips. Gebruik de verdubbelingsformules (zie bladzij 4) om di e verklaren. sinusoïde, cirkel, ellips Bij een eenparige cirkelbeweging kun je ook de grafieken van x en y als funcie van beschouwen. Die beide grafieken zijn dan sinusoïden me dezelfde periode en dezelfde ampliude. Bovendien verschillen ze een kwar-periode in fase. In he geval da die sinusoïden verschillen in ampliude, maar wél dezelfde periode hebben en precies een kwar-periode in fase verschillen, beschrijf he bewegende pun geen cirkel maar een ellips.

7 8 Bekijk de funcies die de cirkelbeweging van opgave 6 bepalen. Op de GR kun je via de formules y = cos x + sin x en y = cos x - sin x de grafieken hiervan ekenen. He lijken sinusoïden e zijn me dezelfde ampliude, me periode p en me een fase-verschil van een kwar-periode (= --p ). Korom he lijk erop da: y = rsin( x+ j) en y = rcos( x + j) a. Welke waarden zouden r en j volgens opgave 6 moeen hebben? Klop da ook me wa je op de GR zie? b. Vul deze waarden in en gebruik de somformules van pagina 4 om aan e onen da de schijn hier nie bedrieg. 9 Nu de funcies bij opgave 7. a. Teken de grafieken op de GR. b. Hoe kun je zeker ween da he sinusoïden zijn? c. Welke periode en welke ampliude hebben die sinusoïden? 0 Hieronder zie je grafieken van x en y als funcies van op he -inerval [0, p]. a. Geef een formule voor beide funcies. b. Deze funcies bepalen een cirkelbeweging in he Oxy-vlak. Wa zijn de coördinaen van he middelpun en hoe groo is de sraal van de cirkel? y x y

8 Overzich van gonio-formules ui deel 4 kwadraenformule cos + sin = ransformaies sin( + p) = sin cos( + p) = cos sin( + --p) = sin( + p) = cos sin cos( + --p) = cos( + p) = sin cos sin( ) = sin cos ( ) = cos vergelijkingen me k = 0, ±, ±,... sin = sin u cos = cos u = u + k p óf + u = p + k p = u + k p óf + u = k p somformules cos ( + u) sin ( + u) cos ( - u) sin ( -u) = = = = cos u cos cos u sin cos u cos cos u sin sin u sin sin u cos sin u sin sin u cos verdubbelings formules sin ( ) = cos sin cos ( ) = cos - sin cos - cos ( ) cos ( ) = = - sin afgeleide van sin en cos snelheid van beweging: x = x(), y = y() d sin = d d cos d cos = sin v () = ( x ()) + ( y ()) 4

9 Trillingsparonen Als een semvork word aangeslagen, maken de benen van de vork een heen-en-weergaande beweging. Hoe groer de uiwijking van de benen, hoe meer de vork word vervormd. Door de veerkrach van he saal word de vervorming egengegaan. De veerkrach word groer naarmae de uiwijking groer is en daardoor rem de beweging seeds serker af. De snelheid neem af o nul in de uierse sand en daarna zorg de veerkrach voor een seeds snellere beweging naar de evenwichssand. Door de vaar die de benen dan hebben, schieen ze door de evenwichssand heen en worden ze vervolgens weer afgeremd door de veerkrach. Enzovoor. Zo onsaa een rilling die als de semvork nie seeds opnieuw word aangeslagen na verloop van ijd uidoof. Je kun bij de beweging van een semvorkbeen een rillingsparoon zichbaar maken via he volgende experimen. Bevesig een fijne sif aan één van de semvorkbenen en beweeg de semvork me consane snelheid over een carbonpapierje of een beroee glasplaa. Er onsaa dan een kromme die in he begin vrijwel een sinusoïde is. a. Hoe verander de sinusoïde als de semvork harder word aangeslagen? b. Een dunnere semvork veroorzaak een hogere oon. Hoe zal da zichbaar worden in he rillingsparoon? harmonische rilling Wiskundig gezien is de harmonische rilling de loodreche projecie van een eenparige cirkelbeweging op een middellijn. Als je he makkelijk vind, kun je daarbij denken aan de schaduw van de schildwach (zie deel 4). De ijd-plaas-funcie van een harmonische rilling kan worden geschreven in de vorm: y () = a sinw ( + j) + c Hierin sel a een posiieve consane voor die de ampliude word genoemd. De ampliude geef de maximale uiwijking en opziche van de evenwichssand c. Bij een geluidsrilling is de ampliude een maa voor de geluidsserke. periode, rillingsijd, frequenie De consane w saa voor de hoeksnelheid van de cirkelbeweging waarmee de harmonische rilling correspondeer en hang en nauwse samen me de periode. Er geld: periode = In plaas van periode spreek men in de nauurkunde meesal van rillingsijd. In di boekje gebruiken we verder de erm periode. Voor een geluidsrilling geld: hoe korer de periode, hoe hoger de oon. Of: hoe hoger de frequenie (= aanal rillingen per ijdseenheid), hoe hoger de oon. Frequenie en periode zijn precies elkaars omgekeerde. p w 5

10 In de formule: y () = a sinw ( + j) + c kom nog een vierde consane voor, namelijk j (spreek ui fi). Wa gebeur er me he rillingsparoon als de waarde van j verander? Opmerking: de verhouding ussen j en de periode word de fase genoemd. 3 Een harmonische rilling word beschreven door de formule: y () = 4sin( 0,4p) a. Hoe groo zijn de ampliude, de periode en de frequenie? b. Een weede rilling heef dezelfde ampliude en dezelfde frequenie, maar passeer de evenwichssand 0 seeds ijdseenheid laer. Door welke formule word die rilling beschreven? 4 Hiermee zie je in één figuur wee paronen van harmonische rillingen. ip ip I heef een keer zo groe ampliude als II. II heef een keer zo groe frequenie als I (ofwel een keer zo kleine periode). a. Geef formules bij beide paronen (noem de ijd en de uiwijking y). b. Als je de beide rillingen egelijkerijd waarneem, word he paroon van de resulerende rilling gevonden door de beide grafieken op e ellen (men spreek ook van superponeren ). Maak me de GR de resulane van de beide rillingen. c. Je zie da de resulane gedurende één rilling drie ruspunen (snelheid = 0) heef. Toon aan da deze ruspunen zich voordoen voor = p, p, p,enz. d. De resulane is nie harmonisch. Toch kun je ook hier wel spreken van een ampliude.toon aan da die gelijk is aan. 5 Bekijk de rillingen I en II van opgave. Halveer de ampliude van I en bekijk de resulane van II en de nieuwe I op de GR. a. Bewijs da de resulane ook beschreven kan worden me de formule: ip b. Bereken hierui de momenen in he inerval [0, p], waarop de evenwichssand word gepasseerd. 6 Onwerp zelf een mooi rillingsparoon. Maak een ekening van enminse één periode. Zijn er bijzonderheden die je ui de formule kun afleiden? 6

11

12 I II 0 - p p 3p 4p y () = sin( + cos)

13 7 Twee semvorken worden in rilling gebrach, zodanig da de rillingen dezelfde frequenie en ampliude hebben, maar verschillen in fase. Bijvoorbeeld: rilling I: y = sin ; rilling II: y = sin( - ); he faseverschil ussen I en II is /p. Hieronder zie je de rillingsparonen van I, II en van de resulane I + II, zoals die bijvoorbeeld op een zogenaamde oscilloscoop kunnen worden waargenomen. ip a. In welke ijdsinervallen ussen 0 en p verserken I en II elkaar? b. He rillingsparoon I + II lijk weer harmonisch e zijn. Da kan worden bewezen, maar maak voor je da gaa doen, eers een voorspelling. Maak de drie rillingsparonen op de GR; scha he faseverschil ussen de resulane en de beide grondparonen; scha ook de ampliude van de resulane. In de volgende opgaven ga je bewijzen da de resulane een harmonische rilling is. Daarbij zal je een beeje meekunde gebruiken. He grondprincipe is de cirkelbeweging die immers de wiskundige basis is voor kennis over de harmonische beweging. We nemen daarvoor nu wee bewegingen (van de punen P en Q) onder de loep: ip He combineren van de wee bewegingen geschied door opelling van de x- en van de y-formules. Da resuleer in de beweging van een pun R. 8 a. Maak de beweging van R op de GR (voer in: X 3T = X T + X T, Y 3T = Y T + Y T ). b. Verklaar op meekundig wijze waarom R ook over een cirkel beweeg en dezelfde hoeksnelheid heef als P en Q. 7

14

15

16 I II I + II x () = cos x () = cos( ) Beweging P: Beweging Q: y () = sin y () = sin( )

17 9 In de figuur geld: P = (cos, sin ) en Q = (cos( - ), sin( - )). P R O Q a. Hoe groo is de hoek ussen de vecoren OP en OQ (in radialen)? b. OR = OP + OQ. Wa voor een speciale vierhoek is OPRQ? c. Sel de lenge van OR is gelijk aan r. Toon aan: r = cos --. ip d. Bewijs, via de vericale componenen van OP, OQ en OR, da geld: sin + sin( - ) = cos -- sin( - -- ) e. Conroleer of deze formule in overeensemming is me je anwoord bij 7b. f. Maak een soorgelijke formule voor cos + cos( - ). formules van Simpson De formule van 9d geef een bewijs da de resulane van de slechs in fase verschillende harmonische rillingen y () = sin en y () = sin( - ) zelf ook harmonisch is. De formule die hierbij opreed, is van een ype da in de rillingsleer nogal eens word benu. Kijk eers even erug naar de somformules van hoofdsuk 4. Die gaan over de sinus (of cosinus) van de som van wee geallen. Je heb oen gezien da he leven soms minder mooi is, dan je zou wensen. Er geld immers nie: sin(a + b) = sin a + sin b. Waaraan sin(a +b) dan wél gelijk is, saa in hoofdsuk 4. Er besaa ook een formule voor sin a + sin b. sina + sinb = En nauurlijk is er ook een compagnon -formule: cosa + cosb = cos( -- ( a b) sin-- ( a + b ) cos( -- ( a b) cos-- ( a + b ) 0 De formule bij 9d is een speciaal geval van de eerse formule van Simpson; ga di na. Opmerking: he bewijs van de formules van Simpson gaa ne zo als de afleiding in 9. Formules kun je vaak esen op bijzondere gevallen. a. Een bijzonder geval voor de formules van Simpson is: a = b. Wa krijg je dan? ip b. Dezelfde vraag voor he geval b = 0. He zal je nie verbazen da er nog wee formules van Simpson besaan: sina cosa sinb = cosb = cos( -- ( a + b) sin-- ( a b ) sin( -- ( a + b) sin-- ( a b ) ip Deze wee volgen ui de eerse wee. Hoe? 8

18 3 Gegeven zijn de rillingen I: u = sin 9 en II: u = sin 0. ( in sec.) De resulane (I + II) is duidelijk nie harmonisch. zweving a. Hoe groo is he verschil in frequenie van I en II? b. Hoe groo is de periode van de resulane? c. Gebruik een formule van Simpson om sin 0 + sin 9 e herleiden. He rillingsparoon van I + II kenmerk zich door een variabele ampliude. Voor he geluid beeken di een afwisselende verserking en verzwakking. Di verschijnsel word zweving genoemd. 9

19 I 0 -- p p -- p p

20 II 0 -- p p -- p p

21 I + II 0 -- p p -- p p

22 d. He lijk er in ondersaande figuur op da he rillingsparoon I + II ingeklemd zi ussen wee sinusoïden. Welke formules horen bij deze sinusoïden? 4 a. Bekijk op de GR de rillingsgrafiek bij y() = sin + sin 3. b. Maak een andere formule voor y me behulp van een formule van Simpson. c. Toon aan da de rillingsgrafiek raak aan de -as. 5 Gegeven he rillingsparoon y() = sin + sin + sin 3. ip a. Toon aan: y() = sin (cos + ) ip b. Op welke ijdsippen, gelegen in he inerval [0, p], word de evenwichssand gepasseerd? 6 Gegeven he rillingsparoon: y() = e -a sin b a. Maak di paroon zichbaar voor a = 0. en b = 5.Waarom word di een gedempe rilling genoemd? b. Neem a = en b =. De beweging bereik regelmaig een ruspun. Op welke momenen gebeur da? 7 Bekijk de serie rillingsparonen op bladzijde. Hoe zie he volgende paroon erui? Me welke formules kun je die paronen maken? exra opgave ip 8 Er is een verband ussen de som- en verschilformules zoals die in he overzich van hoofdsuk zijn e vinden en de formules van Simpson. Tel de eerse en de derde formule van Simpson op en er onsaa een formule die je rechsreeks ui één van de som- en verschilformules kun afleiden. Laa di zien. 0

23

24

25 0 -- p p -- p p

26

27

28 Samenvaing harmonische beweging Een harmonische beweging langs een reche lijn word beschreven door een formule van de vorm: Hierbij word veronderseld: a > 0. y () = a sinw ( + j) + c c+a c 0 -j p w a c-a De grafiek van y als funcie van is een sinusoïde me: a = ampliude c = evenwichssand p = periode = w frequenie j = fase periode formules van Simpson Bij he opellen van wee harmonische rillingen die alleen in fase verschillen, kun je de resulane beschrijven via een van de formules van Simpson: sina cosa sina cosa + sinb = + cosb = sinb = cosb = cos( -- ( a b) sin -- ( a+ b ) cos( -- ( a b) cos -- ( a + b ) cos( -- ( a + b) sin-- ( a b ) sin( -- ( a+ b) sin-- ( a b ) 3

29 4

30 3 Figuren van Lissajous In he vorige hoofdsuk heb je gezien hoe rillingen die in dezelfde riching werken, kunnen worden gecombineerd (men spreek ook wel van superponeren). Als wee rillingen die in onderling loodreche richingen werken, worden gecombineerd, onsaa als resulane soms een ineressan paroon. Men spreek van een figuur van Lissajous, naar de Fransman Lissajous die zulke paronen rond 850 besudeerde bij zijn onderzoek naar geluidsgolven. Voorda we de figuren van Lissajous wiskundig gaan onderzoeken, kun je eers proberen via een experimen zo n figuur e realiseren. De eerse mogelijkheid is me wee spiegeljes door middel van elasiekjes een rillende beweging kunnen uivoeren (zie ondersaande figuur). Een lichsraal word via he ene spiegelje op he andere gekaas en daarna op de muur. Als de spiegeljes een verende beweging maken (me verschillende frequenies) in onderling loodreche richingen, beschrijf de lichsraal op de muur een mooie figuur. Je kun een figuur van Lissajous ook maken me een zandsrooier (zoals op de voorplaa van di boekje word gesuggereerd). Neem een busje waarin een klein gaaje is gemaak (of bijvoorbeeld een pepervaaje) en hang di op aan wee ouwjes zoals in de figuur is aangegeven. Geef nu de bus een duwje in schuine riching en een Lissajous-figuur word me zand beschreven... Een mogelijke zandfiguur zie je hieronder: 3

31 We gaan nu een wiskundige verkenning doen naar enige bijzonderheden van de Lissajous-figuren. Vooraf bekijken we eers een paar voorbeelden van hoekige rillingen. 3 a. Hieronder zie je een vierkan me zijde, waarin zich een pun beweeg. De horizonale posiie van he pun op ijdsip kun je aflezen ui de grafiek onder he vierkan, en de vericale ui de grafiek rechs ervan. Teken de baan van he pun in he vierkan. y y 0 x x 0 b. Dezelfde opdrach voor: y y x x 0 3 4

32 4 In he vierkan hieronder heef de beweging in de vericale riching een frequenie die wee keer zo groo is als die in de horizonale riching. Maak weer een sches van de kromme die door he pun in he vierkan word beschreven. y y x x krommen van Lissajous In de wee voorgaande opgaven is sprake van - nogal hoekig verlopende - rillingen in zowel horizonale als vericale riching. Je heb gezien da bij een verschil in frequenie, al een aardige figuur onsaa. In he vervolg werken we me meer nauurlijke, vloeiend verlopende rillingen me als rillingsparoon een sinusoïde. 5 a. Sches de kromme van Lissajous bij de gegeven rillingen hieronder. b. Conroleer je plaaje me de GR (daarvoor heb je geschike formules nodig.) y y 0 p x x 0 p 5

33 ip ip exra 6 In opgave 5 is de frequenie in de y-riching keer zo groo is als die in de x-riching. Als formules kun je nemen: x () = sin y () = sin( ) a. Ze de GR op punsgewijs ekenen (MODE DOT) om een indruk van de snelheid van de beweging e krijgen. b. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. Me welke snelheid verrek he pun vanui de oorsprong? c. Hoe kun je zien da de bij b gevonden snelheid evens de maximale snelheid is? 7 Verondersel da de beweging in de y-riching een frequenie heef die 3 keer zo groo is als die in de x-riching. a. Bedenk geschike bewegingsformules. b. Teken de bijbehorende Lissajous-figuur. c. Als je de baan van he pun op de GR volg, dan zie je da er wee keerpunen zijn. Hoe groo is de snelheid in die keerpunen? 8 We gaan nog even nader in op de bewegingsformules: x () = sin y () = sin( 3) De vraag is of de baan van he pun een eenvoudige vergelijking (in x en y) heef. a. Schrijf sin(3) als sin(+) en werk di ui. b. Gebruik de formules voor sin() en cos() en ga na: y() = 4 sin 3 () + 3 sin. c. Welke vergelijking (in x en y) heef dus de kromme? d. Hoe kun je he anwoord conroleren me de grafische rekenmachine? 9 Vervang in de bewegingsformules van opgave 8 de beide sinussen door cosinus. Op de GR lijk de baan nu precies he spiegelbeeld (en opziche van de x-as) e zijn van de kromme ui opgave 8. Je kun da bewijzen door de x,y-vergelijking e maken. Probeer maar. 0 Sel nu da de beweging in de y-riching keer zo snel gaa als die in de x-riching. -- Bedenk geschike bewegingsformules en eken de kromme. Gegeven zijn de bewegingsformules: x () = sin( ) y () = sin( 5) a. Teken de bijbehorende Lissajous-figuur. b. Welke periode heef de beweging? c. Vervang beide sinussen door cosinus en eken de nieuwe Lissajous-figuur op de GR. In egenselling o de figuur van a. is deze kromme nie gesloen. Hoe is da e verklaren? Onderzoek voor verschillende gehele waarden van a en b de periode van de beweging die gegeven is door: x() = sin (a) y() = sin (b) Hoe kun je in he algemeen de periode van deze beweging vinden? 6

34 ip 3 De Lissajous-figuur hiernaas lijk als wee druppels waer op de zandfiguur onderaan pagina 3. Probeer deze figuur nu zelf op de GR e maken. faseverschil Ineressane Lissajous-figuren onsaan dus doorda er een frequenieverschil is ussen de beweging in de x-riching en die in de y-riching. Variaies krijg je door één van de bewegingen als he ware e laen acherlopen, zoals gebeur in de volgende opgave. Meer hierover in de onderzoeksopdrach Lissajous-figuren in hoofdsuk 5. 4 Verondersel nu da de beweging in de y-riching 0.3 seconden acherloop op die in de x-riching. De bewegingsformules worden dan: x() = sin y() = sin ( - 0.3) a. Welke vorm krijg dan de baan van he pun? b. Laa de achersand in de y-riching, zeg a, verder oenemen me sapjes van 0.3. Maak he sripverhaal, da hieronder begin, verder af. a = 0 a = 0.3 a = 0.6 Lissajous in de ruime 5 In een rechhoekig 3-dimensionaal assenselsel (Oxyz) word de beweging van een pun in de ruime gegeven door: x = sin y = sin z = sin3 Hiernaas zie je een ekening van de baan die hierbij hoor. a. Probeer je voor e sellen hoe de zij-aanzichen in de drie asrichingen erui zien. Conroleer je vermoeden op de GR. b. Bereken de snelheid van he pun op he ijdsip = 0. ip c. He pun ref bij één complee rondgang 0 keer he buienoppervlak van de kubus. Bereken de coördinaen van die refpunen. 7

35 Samenvaing Een Lissajous-figuur is een rillingsparoon da onsaa als resulane van wee harmonische rillingen die in onderling loodreche richingen werken. Als de beide rillingen dezelfde ampliude hebben, kan zo n paroon wiskundig worden beschreven door: x () = sinm ( + a) y () = sinn ( + b) Hierbij beschouwen we m, n geheel en posiief. De baan van he bewegende pun pas precies in he vierkan gebied da kan worden beschreven door: x en y. Opmerking: als de beide rillinggen verschillen in ampliude, onsaa er een in één riching opgereke Lissajous-figuur. 8

36 4 Over de funcie an en over zeer kleine hoeken angens Naas de funcies sinus en cosinus is er nog een derde goniomerische sandaardfuncie, de zogeheen angens (= an). Ne als sin en cos ben je an he eers egengekomen in een rechhoekige driehoek. Neem zo n driehoek me basis b, hooge h en schuine zijde r. Dan geld: a r b h ana = h --- b Bewijs da ui de definiies van sin, cos en an in een rechhoekige driehoek volg: ana = sina cosa ip ip afgeleide van an sin en cos zijn alle reële waarden van gedefinieerd me behulp van een cirkelbeweging. De funcie angens kan nu (overeenkomsig bovensaande formule) ui de sin funcies sin en cos worden gedefinieerd, da wil zeggen als: an = cos a. Voor welke waarden van is an nie gedefinieerd? b. Leg ui waarom de grafiek van y = an vericale asympoen moe hebben. c. Bekijk op de GR (venser [0, p] bij [-8, 8]) de grafiek van y = an. He lijk erop of de GR vericale asympoen eken. Wa er in feie gebeur is da bij een sap van een pun (ne vóór een asympoo) naar een volgend pun (ne voorbij die asympoo) een nagenoeg vericale verbindingslijn word geekend. d. De funcie an is periodiek. Hoe groo is de periode? 3 a. Laa zien hoe ui de definiie in opgave volg: b. Laa ook zien da: d an = d cos d an = + an d c. In welke punen van de grafiek van de angensfuncie is de richingscoëfficiën van de raaklijn minimaal? d. Geef een lineaire benadering van an in de buur van = 0. 4 a. Druk de afgeleide van de funcie y(x) = an x - x ui in an x. b. Bekijk me de GR op he venser [0, 4p] bij [-, 4] de grafiek van y. c. De buigpunen van die grafiek liggen op één reche lijn. Welke lijn is da? 9

37 angens als beweging Er besaa ook een manier om de angensfuncie meer dynamisch in e voeren, namelijk via de projecie van een cirkelbeweging. l: x = Q P P P P P Q Q O Q Q In he pun (,0) van de eenheidscirkel rekken we de raaklijn l aan deze cirkel (de lijn x = ). He pun P beweeg weer in posiieve riching over de eenheidscirkel en word daarbij seeds vanui O op de lijn l geprojeceerd. Die projecie noemen we Q. De plaas van P en dus ook die van Q word bepaald door de draaihoek die de voersraal OP maak me de posiieve x-as. Er geld: x P = cos x Q = y P = sin y Q = an sin cos ip 5 Verklaar y Q = me behulp van ondersaande figuur: P Q y P y Q O x P raaklijn l Je zie da an = y Q een goede manier is om de angens e definiëren. In feie heef de angens daar ook zijn naam aan e danken; he Laijnse werkwoord angare beeken raken. De waarden die de angens voor verschillende hoeken bereik, zijn dus afsanden op de raaklijn l (boven de x-as posiief, beneden de x-as negaief gerekend). ip 6 a. Hoe kun je in de bovense figuur zien da de angensfuncie, in egenselling o sin en cos, een onbeperk bereik heef? b. Verklaar da an nie gedefinieerd is voor = -- p + kp (k =0,,,.....). c. Verklaar ook da de angensfuncie de periode p heef. 0

38 7 Als P me consane snelheid de eenheidscirkel doorloop, dan doorloop Q me veranderende snelheid de vericale lijn l. In welk pun van l is de snelheid van Q he kleins? kleine hoeken In opgave 3d heb je gezien da de lineaire benadering van an in de buur van = 0 gelijk is aan. Me andere woorden: an In hoofdsuk 5 (opgave 9) heb je ondek: sin» voor» 0» voor» 0 In woorden: voor kleine hoeken, gemeen in radialen, geld da de sinus zowel als de angens ongeveer gelijk zijn aan de hoekwaarde. Bij nauurkundige en serrenkundige berekening maak men vaak gebruik van deze regels. ip 8 Conroleer di op de GR (bijvoorbeeld me een abel van sin- en an-waarden). Bovensaande regels zijn gevonden me behulp van de afgeleide funcies van sin en an. Die regels worden vaak ook wel zó opgeschreven: sin » an » Deze laase regels zijn ook meekundig e begrijpen, zonder gebruik e maken van de afgeleide. ip 9 Bekijk ondersaande figuur. Daarin zie je drie keer de eenheidscirkel. In de eerse cirkel is een gelijkbenige driehoek geekend me wee hoekpunen op de cirkel en he derde hoekpun in O. In de weede figuur is een secor van de cirkel e zien. In de derde figuur zie je een rechhoekige driehoek me O als hoekpun en waarvan één zijde langs de raaklijn x = val. De middelpunshoek is in alle drie de gevallen gelijk aan radialen. en < < O O O ip -- sin < < Verklaar de ongelijkheid in he kader me behulp van oppervlaken. 0 a. Verklaar ui de ongelijkheid in opgave 9 da voor 0 < < -- p geld: -- sin cos < < -- an ip b. Geld deze ongelijkheid ook voor - -- p < < 0?

39 een befaamde limie Als je in de ongelijkheid: sin cos < < de waarde van zeer dich bij 0 neem, dan kom de waarde van cos dich bij cos 0 (= ). sin Auomaisch geld da dan ook voor waarvan de waarde dan immers ingeklemd zi ussen en een geal da ies kleiner is dan. sin Omda cos onbeperk dich bij kan komen, gebeur di ook me Er geld blijkbaar: sin lim = fi 0 Deze beroemde limie hang en nauwse samen me de regels voor he differeniëren van sin en cos, zoals zal blijken ui opgave 3. a. Verklaar ui 9 de ongelijkheid: an < < cos an b. Welke conclusie kun je nu rekken over he gedrag van voor nader o 0? sinw ip a. To welk geal zal naderen, als o 0 nader? b. Verklaar da ui a volg da de richingscoëfficiën van de raaklijn aan de grafiek van y = sin w in he pun (0,0) gelijk is aan w. exra: nieuw bewijs van sin = cos ip In hoofdsuk 5 heb je gezien hoe de regel sin' = cos verklaard werd me de snelheid van de cirkelbeweging en de beweging van de loodreche projecie op de y-as. Er volg nu een weede bewijs van deze regel, uigaande van he begrip differeniequoiën. 3 a. Toon aan me een regel van Simpson da voor x * x geld: sinx * sinx sin --( x * x) = cos -- ( x x * x * + x) -- ( x * x) sinx b. Verklaar hierui: * sinx lim = cosx x * fi x x * x En hier saa feielijk: als y (x) = sin x, dan y'(x) = cos x. c. Op een soorgelijke manier kun je aanonen: als y (x) = cos x, dan y'(x) = -sin x. Doe di. 4 Gegeven is de funcie y (x) = an x. a. Bekijk de grafiek op he x-inerval [-p, p] en verklaar de symmerie. b. Welke lijnen zijn asympoo van de grafiek? c. Iedere horizonale lijn die nie onder de x-as lig, word door de grafiek van y in oneindig veel lijnsukken verdeeld. Er zijn wee horizonale lijnen waarbij al die lijnsukken even lang zijn. Welke lijnen zijn da en waarom? d. Druk de afgeleide van y ui in an x. Druk die afgeleide ook ui in sin x en cos x.

40 Samenvaing angens en eenheidscirkel De angens van een hoek die een lijn door O maak me de posiieve x-as is gelijk aan de y-coördinaa van he snijpun van die lijn me de lijn x = (de raaklijn aan de eenheidscirkel in he pun (, 0)). y-as Q y Q = an O x-as verband sin, cos en an De funcie an is periodiek me periode p. an is gedefinieerd voor ¼ -- p + kp me k = 0, ±±,,... De volgende formule leg he verband ussen de goniomerische funcies sin, cos en an: an = sin cos limieen sin en an worden in de buur van = 0 lineair benaderd door. Ofwel: sin lim = en fi 0 an lim = fi 0 afgeleide van an De afgeleide van an kun je vinden me behulp van de quoiënregel en de afgeleiden van sin en cos. Er kom dan: d an d cos + an = = 3

41 5 Onderzoeksopdrachen Di hoofdsuk beva wee onderzoeksopdrachen. Ne als bij de onderzoeksopdrachen van vorige boekjes word samenwerking (me enminse één klasgenoo) warm aanbevolen. Verder is he is weer de bedoeling da je een mooi verslag maak.. Harmonische rillingen Zoals je wee spelen vier grooheden een rol bij een harmonische rilling: de ampliude, de periode (of als je wil, de frequenie), de fase(hoek) en de evenwichssand. De evenwichssand speel in he volgende geen rol, je kun deze gewoon 0 nemen. Le nu op de resulane van wee harmonische rillingen. In de figuur zie je links de harmonische rillingen I en II en rechs de resulane I + II. De periode van I is p en die van II is 0.4p;de ampliude van I is en die van II = 0.. De resulane is duidelijk nie harmonisch. Algemeen: als de wee harmonische componenen verschillen in frequenie, dan zal de resulane nie harmonisch zijn. Als de componenen gelijke frequenie hebben en gelijke ampliude, dus alleen in fase verschillen, dan is de resulane wel harmonisch. In hoofdsuk 6 is di uigelegd bij één voorbeeld, namelijk y = sin en y = sin ( - ); een zelfde uileg kan worden gebruik voor he algemene geval: y = a sin w en y = a sinw( - j). Je gaa nu onderzoeken hoe he zi bij wee rillingen die zowel in fase als in ampliude verschillen, maar wel dezelfde frequenie hebben. a. Gebruik de GR om empirisch onderzoek e doen naar de som van sinusoïden me dezelfde periode. b. Le speciaal op he geval waarbij he faseverschil precies één kwar periode is. Kun je een we bedenken die in da geval de ampliude van de somgrafiek uidruk in de ampliuden van de componenen? Je kun een heleboel formulewerk gebruiken om meer zekerheid e krijgen over de wemaigheden bij he superponeren van sinusoïden, maar he is veel inzichelijker om di meekundig aan e pakken. De harmonische rilling in verband me de cirkelbeweging! Bedenk wa verschil in ampliude en verschil in fase beeken voor de cirkelbeweging en hoe je wee bewegingen meekundig opel. Als je bij b een we gevonden heb, kun je die meekundig waar maken? En als je die we nie gevonden heb, kun je die alsnog vinden? Wa lasiger is he om een we e vinden voor de ampliude van de som bij een willekeurig faseverschil, maar zo n we is er wel! Als de perioden verschillen, is de som van harmonische bewegingen nie harmonisch. Ook da kan via de cirkelbeweging worden verklaard. 4

42

43

44 I II I+II

45 Lissajous-figuren Door een faseverschil ussen de bewegingen bij een Lissajous-paroon e nemen, onsaan nieuwe paronen. In deze onderzoeksopdrach ga je hiermee experimeneren. Gegeven zijn de bewegingsformules x () = sin y () = sin( a) Maak hiermee he volgende plaaje na op je grafische rekenmachine. Een pun beweeg zich volgens: x () = sin y () = sin( a) Laa de waarde van a variëren en maak een serie schesen waarui blijk hoe de vorm van de vlinders afhang van de waarde van a. 3 a. Onderzoek ook de familie krommen die je krijg me: x () = sin y () = sin( 3 a) Maak weer een serie schesen. a = 0 a = 0.3 a = 0.6 b. Hoeveel keer bereik de y-waarde een maximum? En een minimum? 5

46 Zelfoes Bij een eenparige cirkelbeweging is de versnelling seeds naar he middelpun gerich. Da kun je wiskundig conroleren door de weede afgeleiden van de bewegingsfuncies e berekenen. x = cos a. Hoe is da voor een beweging over de ellips die hoor bij:? x = b. En voor de Lissajous-beweging: y = cos sin y = sin Gegeven he rillingsparoon: y() = sin + sin + sin 3 + sin 4 a. Bekijk een plaaje van di paroon. Hoe vaak word de evenwichssand gepasseerd gedurende één periode? b. Bewijs da geld: y() = 4sin cos cos c. Gebruik deze formule om de momenen e berekenen waarop de evenwichssand word gepasseerd. 3 Een beweging langs een reche lijn word beschreven door: x () = sin cos( ) + cos sin( ) a. Toon aan da hier sprake is van een harmonische beweging. b. Hoe groo zijn periode en fase van de beweging? 4 Bekijk de grafiek van f(x) = an x + sin x in he gebied --p < x < --p. De grafiek heef in di gebied wee buigraaklijnen. Geef een vergelijking van elk van die buigraaklijnen. 5 He pun P beweeg in he Oxy-vlak volgens de formules: x () = sin + sin y () = sin + sin3 a. Bekijk de baan van he pun P op de GR. Je zie da in he ijdsinerval 0 < p he pun vijf keer de lijn y = x ref. Bij welke -waarden gebeur di? b. Hoe vaak ref he pun de lijn y = -x? c. De kromme heef wee raaklijnen in de oorsprong. Bereken de richingscoëfficiënen van die raaklijnen. 6

47 Tips Hoofdsuk Bewegingen en sinusoïden 5 a. --y () = cos 6 b. In he plaaje van de GR lijk de oorsprong he middelpun e zijn. Probeer e bewijzen da de punen van de baan op een vase afsand van (0, 0) liggen. Hoofdsuk Trillingsparonen 4 c. Differenieer de formule die bij I + II pas en vul de gegeven ijdsippen in. 5 a. Gebruik een van de verdubbelingsformules. b. y() = 0 beeken hezelfde als: sin = 0 of cos = 7 a. Ze verserken op de momenen da y en y beide posiief of beide negaief zijn. 8 b. Zie figuur bij opgave 9 en bekijk de beweging van he parallellogram OPRQ. 9 d. De vericale componen van een vecor OR me lenge r die een hoek u maak me de posiieve x-as is gelijk aan r sinu; druk u ui in, enzovoor. b. Voor b = 0 zou je kunnen spreken van halveringsformules ; die zijn gelijkwaardig me de verdubbelingsformules. - sin b = sin (-b) en - cos b = cos(b + p) 5 a. Combineer de eerse en de derde erm, dus sin en sin 3. b. Sel y() = 0 en gebruik de formule ui a. 7 Sel /(a + b) = en /(a - b) = u. -- Hoofdsuk 3 Figuren van Lissajous 7 c. Bepaal eers op welke ijdsippen de keerpunen worden bereik. 8 a. Gebruik de somregel voor de sinus. 3 Tel he aanal punen waarin de y-waarde maximaal is. Idem voor de x-waarde. 5 c. Voor de zes grensvlakken van de kubus geld: x =, y =, z = ; bereken nu eers de ijdsippen waarop he bewegende pun deze zijvlakken ref. Hoofdsuk 4 Over de funcie an en zeer kleine hoeken a. Een breuk me noemer 0 is nie gedefinieerd. b. Wa gebeur er me de eller en wa me de noemer als nader o -- p? 5 Le op wee rechhoekige driehoeken: de grijze driehoek me de hoekpunen O en P en de driehoek me hoekpunen O, Q en (, 0); die driehoeken zijn gelijkvormig. Da beeken da de wee rechhoekszijden van beide driehoeken dezelfde verhouding hebben. 6 a. Laa P over de cirkel bewegen en bekijk he gedrag van Q. 7

48 8 Kies bijvoorbeeld he venser [0, ] bij [0, ] en sel in TblSe de sapgrooe Druk de drie oppervlaken ui in. Voor de secor heb je eers de oppervlake van de eenheidscirkel nodig. 0 a. Le vooral op de middelse vorm; hoe krijg je die ui de middelse vorm van de ongelijkheid binnen he kader? b. Vervang door - sinu a. Sel w = u en werk oe naar u 3 b. Als x * nader o x, nader -- (x * - x) o 0 en -- (x * + x) o x. 8

49 Anwoorden Hoofdsuk Bewegingen en sinusoïden a. 0 p/6 p/3 p/ p/3 5 p/6 P() (,0) (-- 3, (0,) -- ) (,-- 3) ( --, -- 3 ) ( -- 3, -- ) p 7 p/6 4 p/3 3 p/ 5 p/3 p/6 P() (-,0) ( -- 3, -- ) ( --, -- 3) (0,-) b. = --p + k --p ; de afsand is c. f. Door T-sep = p/6 in e sellen. x () = cos( p) a. y () = sin( p) b. p lenge-eenheden per sec. c. 4 x () = cos( + --p) 6 y () = sin( + --p) x () = 3cos( p) y () = 3 sin( p) (, 3) , -- ( ) 3 a. x () = sin() y () = cos() c. Hor. componen --, naar links. Ver. componen -- 3, naar beneden d. x () = sin() y () = cos() Tekening is spiegelbeeld.o.v. de y-as Hor. componen --, naar rechs. Ver. componen -- 3, naar beneden. 4 b. x'() = -sin en y'() = cos dus de snelheid is sin + 4cos en in verband me sin + cos = dus ook gelijk aan + 3cos 9

50 c. Di is maximaal voor cos =, dus voor = k p en minimaal voor cos = 0, dus voor = --p + kp 5 a. x () + --y() cos = sin = voor iedere waarde van. 4 4 b. c. --x + y = x y = 6 a. Sarpun; (, ) b. x () + y () = ( cos + sin) + ( cos sin) = ( cos + cossin + sin ) + ( cos cossin + sin ) =. De afsand van he bewegende pun o de oorsprong is dus onafhankelijk van gelijk aan. 7 a. x() = -- sin en y () = cos. x () = sin b. Als de cirkel in horizonale riching me facor -- word vermenigvuldig, y () = cos krijg je de gegeven kromme (= ellips). 8 a. r = en j = --p 4 b. sin( x + --p) ( cos --psinx + sin -- pcosx) x = = ( sin + -- cosx) = sinx + cosx ; Analoog: cos( x + --p) = cosx sinx 9 b. sincos = -- sin en cos sin = cos c. Periode p en ampliuden respecievelijk -- en. 0 a. x = cos3 en y = sin3 b. Middelpun (0, ) en sraal. 4 Hoofdsuk Trillingsparonen a. Maximale uiwijking (ampliude) zal groer zijn. b. Kleinere periode. Verschuif in horizonale riching. 3 a. ampliude = 4, periode = 5, frequenie = /5. b. y() = 4sin 0.4p( - ) 4 a. y I () = sin en y II () = sin b. c. y III () = sin + sin, dus y III '() = cos + cos 30

51 y III '( -- p) = -- + (- -- ) = 0 3 y III '(p) = (-) + = 0 y III '( p) = + (- ) = d. De groose uiwijking vind plaas voor = -- p en = p 3 -- y III ( -- p) = = -- 3 ; y III ( p) = a. y () = sin + sin = sin + sin cos = sin ( + cos ) b. y () = 0 is gelijkwaardig me sin = 0 of cos = - -- ; de eerse vergelijking heef als oplossingen 0, p, p ;de weede heef de oplossingen --p en --p a. y en y zijn beide posiief voor < < p en beide negaief voor + p < < p b. faseverschil me de beide grondonen lijk 0.5; ampliude is ongeveer.76 8 b. P en Q bewegen me gelijke hoeksnelheid R (zeg rad/sec) over de eenheidscirkel. R is P seeds he hoekpun van parallellogram OQRP me vase hoek O ( radiaal). He parallellogram OQRP draai in zijn geheel me Q een consane hoeksnelheid om O en R maak O dus ook een eenparige cirkelbeweging. 9 a. radiaal b. rui c. PQ ^ OR ; als S = snijpun PQ en OR, dan cos ROQ = cos 0.5 = OS/OQ = OS. r = OS = cos 0.5 d. Vericale componenen van resp. OP, OQ en OR : sin, sin( - ) en r sin( - 0.5) me r = cos 0.5. en ver.comp. OR = ver. comp. OP + ver. comp. OQ. e. cos 0.5».76 f. cos + cos ( - ) = r cos ( - 0.5) = cos 0.5 cos ( - 0.5) 0 Sel a =, b = -, dan: -- (a + b) = - --, -- (a - b) = -- a. sin a = cos 0 sin a en cos a = cos 0 cos a en di klop, wan cos 0 = b. sin a = cos a sin a en cos a + = cos a Subsiuie van = -- a geef wee verdubbelingsformules. sina cosa 3 sinb sina + sin( b) -- ( a ( b ) ; -- a b = = cos sin ( + ( ) = cos --( a+ b) sin -- ( a b) ) cosb = cosa + cos( b + p) = cos -- ( a b p) sin = -- ( a + b + p ) = (-- ( a b) = = --p ) cos( --( a+ b) + --p cos ) -- sin ( a b) sin -- ( a+ b) = sin -- ( a+ b) sin -- ( a b ) 3 a. /90 b. p c. y = sin 0 + sin 9 = sin 9 -- cos -- d. y = cos -- en y = - cos

52 4 b. y = sin cos c. y() = 0 sin = 0 of cos = 0; de eerse vergelijking heef de oplossingen 0, -- p, p, -- p en de weede -- p, -- p. De dubbele oplossingen -- p, -- p horen bij de raakpunen van de rillingsgrafiek aan de -as; di blijk ook na subsiuie in de afgeleide funcie, dus in: y'.() = cos + 3cos 3 5 a. (sin + sin 3) + sin = sin cos + sin = sin (cos + ) b. sin = 0 geef: = 0, -- p, p, -- p, p ; cos + = 0 geef: = -- p, p a. de uiwijking word seeds kleiner, zelfs willekeurig klein. b. y' () = e - (- sin + cos ) = 0 voor = -- p + kp me k = 0,,, He volgende paroon heef één golfje meer ussen de pieken en dalen; bovendien zijn die pieken (dalen) ies hoger (lager). De formules waarmee je die paronen kun maken, zijn van de vorm: y () = sink k = me n =,, 3,..., 8 8 sin a = cos -- (a - b) sin -- (a + b) + cos -- (a + b)sin -- (a - b) Sel -- (a + b) = en -- (a - b) = u, dan a = + u Subsiuie in bovensaande formule geef na links en rechs delen door : sin ( + u) = cos u sin + cos sin u. n Hoofdsuk Figuren van Lissajous 3 a y = 3/ b y = 0 = 3 = 0, = = = 7/4 = 3/4 = / x = 3/ x 4 y = 7 = 3 = 0 = = 6 = 4 = 8 = = 5 x 3

53 5 a. b. Geschike formules zijn: x = sin, y = sin() 6 b. De snelheidsvecor heef de componenen (cos(), cos()). De snelheid is dan gelijk aan ( cos) + ( cos). Voor = 0 is de waarde 5.. c. Voor = 0 geld da zowel x' als y' maximaal zijn, namelijk respecievelijk. De oale snelheid is dan ook maximaal. x () = sin 7 a. De mees eenvoudige formules zijn: y () = sin3 b. c. De componenen van de snelheidsvecor zijn (cos(), 3cos(3)). De keerpunen worden bereik voor = --p en = --p. Invullen hiervan geef een snelheidsvecor me beide componenen 0. De snelheid in de keerpunen is dus gelijk aan 0 (in een keerpun saa he pun als he ware even sil). 8 a. sin( 3) = sin( + ) = sincos + cos sin b. Bovensaande vorm is gelijk aan: sin cos + ( sin ) sin. Invullen van sin voor cos en uiwerken geef he gevraagde. c. y = 4x 3 + 3x. x () = d. Door na e gaan of de kromme bepaald door: samenval me de eerder geekende Lissajous-figuur. y () = cos3 = cos( + ) = coscos sinsin = ( cos ) cos sin cos Vervanging van sin door cos, lever na uiwerking: cos3 = 4cos 3 3 cos De x,y-vergelijking van de kromme is nu: y = 4x 3 3x.o.v. de x-as van de kromme y = 4x 3 + 3x en da is he spiegelbeeld 33

54 x = sin x = sin x = sin4 0 Een paar mogelijkheden zijn: 3,, y = sin -- y = sin3 y = sin6 Bij geschike keuze van he -inerval geef da seeds dezelfde baan. a. b. De periode van x is p, en die van y is. 5 De periode van de beweging als geheel is dan p. c. He pun bereik nu wee keer een hoekpun van he vierkan waarin de Lissajousfiguur pas, namelijk de punen (, ) en (, -); op de momenen da die punen worden bereik is de snelheid 0 en is er sprake van een keerpun. In he eerse geval worden de hoekpunen van he vierkan nie bereik en hoef er ook nie gekeerd e worden. Als a en b geen gemeenschappelijke deler hebben, zoals bijvoorbeeld a= en b=5, dan is de periode van de beweging gelijk aan p. Hebben a en b wel een gemeenschappelijke deler, zoals bijvoorbeeld a=3 en b=6, dan is de periode gelijk aan p gedeeld door die gemeenschappelijke facor, in di geval dus p /3. 3 De x-waarde bereik drie keer een maximum en de y-waarde vier keer. x () = sin( 3) Me: kan de Lissajous-figuur worden gemaak. y () = sin( 4) 4 a. De vorm is een ellips (die scheef lig en opziche van he assenselsel). b. De ellips word seeds ronder, en daarna weer plaer van linksboven naar rechsonder. 5 a. De zij-aanzichen zijn de Lissajous-figuren; he bovenaanzich (in de z-riching) is de figuur van opgave 5; he vooraanzich (in de x-riching) is de figuur van opgave 0; en sloe he zijaanzich in de y-riching is de figuur van opgave 8. b. x'() = cos, y'() = cos, z'() = 3cos 3. Op = 0 heef de snelheidsvecor de componenen, en 3 en de grooe van de snelheid is dus: 4. c. De onmoeingspunen vind je ui: sin =, sin = en sin3 =. Di geef 0 verschillende waarden voor, namelijk: = --p, --p --p --p 3 --p p 4 3--p --p 5 --p p 6 5--p 6,,,,,,,, Op deze ijdsippen zijn de posiies achereenvolgens: (,, 0 0) (,, 0 0) (--,, -- ) --,,,(,,-- ),( --,, -- ), -- (,, -- )( --,-- 3, ) (, 3, ) ( --, -- 3,,,, ),( --, -- 3, ) 34

55 Hoofdsuk 3 Over de funcie an en over zeer kleine hoeken h rsina sina ana = -- = = b rcosa cosa sin a is nie gedefinieerd als cos = 0, dus als = -- p + kp,me k = 0,,,... cos sin b. Als ussen 0 en -- p lig en nader o -- p, word de waarde van onbeperk cos groo; anders gezegd: an nader o (oneindig); daarom is de vericale lijn door he pun ( -- p, 0) een asympoo van de angensgrafiek (de grafiek nader van links naar de bovenkan van de asympoo). Als ussen -- p en p lig en nader o -- p, dan nader an o - (min oneindig); de grafiek nader van rechs naar de onderkan van de asympoo. c. Tan-grafiek me asympoen: d. De periode is p. Inderdaad: an( + p) = sin( + p) = cos( + p) sin cos = an d 3 a sin cos cos sin sin cos sin = d cos cos = cos = cos d b sin cos sin cos sin d cos cos = = cos cos = + an c. In de punen (kp, 0) me k = 0,,,... d. an» voor» 0 4 a. y' (x) = an x c. De punen waarin y' (x) minimaal is, zijn (kp,-kp) me k = 0,,,... en die punen liggen op de lijn y = -x. 35

56 y 5 P y Q sin = = y, dus x P Q y Q = cos 6 a. Als P in pos. riching over de eenheidscirkel beweeg van (, 0) naar (0, ), word y Q onbeperk groo (nader y Q o ). He bereik heef dus geen grens aan de bovenkan. Als P over de cirkel beweeg (in pos. riching) van (0, ) naar (-, 0), nader y Q o -, he bereik is dus ook aan de onderkan onbegrensd. b. Voor = -- p + kp loop de lijn OP evenwijdig me de raaklijn l. c. Twee diameraal gelegen punen op de eenheidscirkel leveren hezelfde pun Q. Dus na een draaiing van de voersraal OP over p radialen kom er dezelfde angens-waarde. 7 In he pun (, 0) ; daar is de afgeleide van y = an minimaal. 9 Opp. driehoek OAP = -- y P = -- sin Opp. secor OAP = = p -- p Opp. driehoek OAQ = y Q = -- an 0 a. Ui sin < < an volg na deling door sin (is posiief!): < < en daarui volg na omkering: > > cos sin cos sin sin( ) b. Ja; dan geld volgens 0a: > > cos( ) en omda sin (-) = - sin en cos (-) = cos krijg je dezelfde ongelijkheid. a. Ui sin < < an volg na deling door an (in he geval 0 < < -- p) da: cos < < en na omkering kom er de gewense ongelijkheid. an an b nader o voor nader o 0. sinw sinu a. Sel w = u, dan = w en die laase vorm nader o w als u nader u o 0. sinw b is de richingscoëff. van de koorde door de punen (0, 0) en (, sinw); omda deze o w nader voor nader o 0, moe w de richingscoëfficiën van de raaklijn aan de grafiek zijn in he pun(0, 0). 3 a. sinx* sinx x* x -- sin --( x* x) cos -- ( x* + x) = = x* x sin -- ( x* x) b. Als x* nader x, nader -- (x* - x) o 0, en dus nader o. -- ( x* x) Bovendien nader cos -- (x* + x) dan o cos -- (x + x) = cos x. x* c. cosx sin -- ( x* x) sin (--( x* + x ) sin --( x* x) = = sin -- ( x* + x) x* x x* x ( x* x) en die laase vorm nader o - sin x als x* nader o x. sin -- ( x* x) ( x* x) cos --( x* + x) 36

57 4 a. an (-x) = - an x en (- an x) = an x b. Dezelfde lijnen als die asympoo zijn van de angens-grafiek, dus x = -- p + kp, me k = 0,,,... c. De x-as en de lijn y =. De eerse raak de grafiek van y in de punen ( -- p + kp, 0) en de weede snijd de grafiek van y in de punen ( -- p + k -- p, ); k = 0,,,... 4 d. y'(x) = an x (an sinx x + ) = cos 3 x Zelfoes a. De versnelling op he ijdsip heef de componenen -cos en -sin en de snelheidsvecor wijs dus van he pun (cos, sin ) naar de oorsprong (he middelpun van de ellips). b. Nu zijn de componenen van de versnelling -cos en -4sin en deze wijs alleen naar he middelpun op = 0, p, p. a. 8 keer b. sin + sin 4 = cos.5 sin.5 en sin + sin 3 = cos 0.5 sin.5 Dus y() = sin.5 (cos.5 + cos 0.5) = sin.5 cos 0.5 cos = = 4sin.5 cos cos 0.5 c. Bekijk de oplossingen van y() = 0 me 0 < p: sin.5 = 0 geef de oplossingen: 0, 0.4p, 0.8p,.p,.6p cos = 0 geef de oplossingen: 0.5p,.5p cos 0.5 = 0 geef de oplossing p 3 a. Ui de eerse opelformule volg: x () = sin( + ) ofwel x () = sin( 3 ) en deze formule beschrijf een harmonische beweging. --p 3 b. en p 3 = p 4 y = x (in he pun (0, 0) en y = 0 (in he pun (p, 0)). 5 a. Ui sin + sin = sin + sin3 volg: sin = sin3 en deze vergelijking heef in he genoemde -inerval de oplossingen: 0, --p, 3 --p, p, 5 --p, 7 --p en da geef de refpunen (0, 0), ( + --, + -- ), ( + --, + -- ), (0, 0), ( --, -- ) en ( --, -- ). b. Drie keer. Ui sin + sin = sin sin3 volg: sin + sin3 + sin = 0 en dus sincos + sin = 0 dus: sin = 0 of cos = -. Korom: = 0, = --p, = p, = --p. Di lever de refpunen (0, 0), (, -), (0, 0) en (-, ). c. x'() = cos + cos en y'() = cos + 3cos3 Voor = 0 geef da resp. 3 en 5, de richingscoëfficiën van de raaklijn is dan 5/3. Voor = p geef da resp. en -, de richingscoëfficiën van de raaklijn is dan -. 37