Uitwerking Hertentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag 30 juli 2002

Transcriptie

1 Uierking Herenamen Klassieke Mecanica I Dinsdag 30 juli 00 OPGAV a) He eerse deel van de beeging, vanaf ooge o ooge nul, is een eenparig versnelde vrije val Hierna ondervind e blok naas de consane aarekrac een opaarse krac die op e rajec van ooge nul o ooge l lineair oeneem me de verplaasing De bijbeorende beeging is die van een armonisce oscillaor Als e blok eenmaal volledig is ondergedompeld, ondervind e eer een consane oaalkrac Omda de diceid van e aer groer is dan die van e ou, is dee krac naar boven geric He blok beeeg dus eer eenparig versneld, en el o da e op ekere diepe o silsand al komen Vanaf da pun speel e volledige, ojuis bescreven scenario ic in omgekeerde volgorde eer af He blok kom dus op een ooge boven e aeroppervlak opnieu o silsand Dee cyclus al ic, vanege e onbreken van rijving, blijven eralen b) 3 0 = mg = ρlg l < < 0 = ρlg mg = ( ρ + ρl) l g 3 l = ( ρ ρ ) lg -l ( ρ ρ ) 3 lg c) We gebruiken V( ) = ( ) d 0 ρ lg 3, en kieen als (illekeurige) referenieooge 3 0 = 0 We vinden dan: 0 V = ρlg l < < 0 V = ( ρ + ρl) l g 4 3 l V = ρ lg ( ρ ρ ) lg Merk op da e resulaa voor l verkregen ord door eers van nul naar l e inegreren, en daarbij vervolgens de inegraal van l naar op e ellen V -l

2 d) Gebruik de bij b) bepaalde kracen in combinaie me = m Op e rajec van = naar = 0 val e blok eenparig versneld (beginsneleid nul), me aarekracsversnelling g Di lever de volgende vergelijking voor da rajec: () g = voor 0, aarbij = g e momen is aarop e blok e aer raak, = 0 De sneleid bedraag dan v = g Op e rajec van = 0 naar = l vinden e (erscrijf b): g ρ = ( ), aarbij = l = l de evenicsooge van e drijvende blok ρ voorsel (ie figuur) De algemene oplossing voor di deel van de beeging is ( ) = Acos ω( ) +, aarbij de oeksneleid g g ω = =, en aarbij l de ampliude A en faseoek nog moeen orden bepaald ui de randvooraarden da = 0 en v= v op ijdsip Hierui volg da = arcan p, v aarbij p = ω = l, en A= + p = l + p Di lever de volgende vergelijking voor e eede rajec: ( ) = l + + p cos ( ω+ arcan p p) voor π arcan p < < aarbij = + ω e ijdsip is aarop e blok juis geeel ondergedompeld is, = l In e argumen van de cosinus ebben e gebruik da ω = p Om e ijdsip e bepalen ebben e gebruik da di gedeele van de beeging volledig symmerisc verloop ov e evenicspun = l, da, vanege ρ = ρ, precies in e midden lig ussen = 0 en = l, oda de ijd eemaal de ijd is vanaf = 0 naar Me eelfde symmerie-argumen vinden e da de sneleid op ijdsip gelijk is aan die op, dus v = g He laase rajec is eer eenparig versneld, en de versnelling is, opnieu vanege ρ = ρ, gelijk aan + g, oda de beeging bescreven ord door: ( ) ( ) () l v g = + + voor 3, aarbij 3 = + g Precies alverege in da rajec, op omkeer = + g, saa e blok sil op ooge = l Samenvaend concluderen e da e blok, voor e ier beandelde, speciale geval ρ = ρ, een periodieke beeging uivoer rondom e evenicspun = l He middelse gedeele, l < < 0, verloop als een armonisce oscillaor me oeksneleid g l, erijl de gedeelen daarbuien, l en 0, eenparig versneld orden doorlopen, me versnellingen van respecievelijk + g en g De oale periode van dee anarmonisce oscillaiebeeging bedraag:

3 T = omkeer π arcan p = + 4 ω g e) Als e aer el rijving verooraak, dan ord de periodieke beeging van d) gedemp De oscillaie-ampliude al afnemen, en in de limie van kom e blok o silsand op de evenicsooge OPGAV a) ρ π πρ ( πρ ) I = lr rdr = l = l = m Hierin ijn ondereg de lenge van de 0 4 rol l en de diceid ρ gebruik b) Omda de beugel om ijn opangpun scarnier, kan dee op de rol uisluiend een krac overbrengen in ijn eigen lengericing De vericale componen van dee krac is in grooe gelijk aan de aarekrac op de rol, cosθ = mg, sin θ sin oda = mg cosθ De rol θ mg ord daarom me een krac sinθ = mg anθ egen de muur gerokken De muur oefen op de rol een even groe, maar egengeseld gerice reaciekrac ui c) De rol draai nie Da impliceer da e oale kracmomen op de rol gelijk is aan nul Bescou e kracmomen ov e cenrum van de rol Di bedraag τ =, aarbij de naar beneden = mg cosθ = mg + cosθ = mg ( ) gerice rijvingskrac is, die de rol van de muur ondervind Ui de eis da di kracmomen nul is leiden e af da = De vericale componen van de door de beugel uigeoefende rekkrac is in grooe gelijk aan de som van alle neeraarse kracen, cos = mg + + = mg +, oda θ ( mg ) cosθ egen de muur gedruk me een orionale krac θ ( mg ) = + De rol ord daarom sin = + anθ De reaciekrac van de muur op de rol is uieraard eer even groo, maar egengeseld geric De oale krac van de muur op de rol is de (vecor)som van dee orionale reaciekrac, en de naar beneden gerice rijvingskrac =

4 d) De maximale rijvingskrac is gelijk aan max = µ sinθ Als de neeraarse rekkrac groer is dan dee rijvingskrac, bedraag de oale neeraarse krac mg+ + = mg+ + µ sinθ Dee ord opnieu gecompenseerd door max de vericale componen van de door de beugel uigeoefende rekkrac Dus cosθ = mg + + µ sinθ Hierui volg voor de door de beugel uigeoefende rekkrac: mg + = cosθ µ sinθ mg + De orionale krac (rol? muur) bedraag dan sinθ = De oale krac coθ µ van de muur op de rol is de (vecor)som van dee orionale reaciekrac en de max naar beneden gerice rijvingskrac = µ sinθ e) Voor de imale, neeraarse rekkrac aarbij de rol juis gaa draaien geld = µ sinθ Invullen in de bij d) gevonden uidrukking en elieren van lever dan = µ mg ( coθ µ ) f) Omda alle kracen consan ijn, is ook e kracmomen consan, en omda >, is e kracmomen ongelijk aan nul Omda de rol nie afneem in massa en diameer, blijf ook e raageidsmomen consan Daarom al de rol eenparig versneld gaan roeren De oekversnelling = ω van de rol vinden e mbv Iω = τ Gebruik de bij d) uigerekende orionaalkrac en e bij a) berekende raageidsmomen De grooe van e kracmomen bedraag mg + τ = ( ) = µ Voor de oekversnelling vinden e coθ µ mg + µ anθ = µ m coθ µ = m µ anθ, egeen equivalen is me ( ) OPGAV 3 a) De energie is precies gelijk voor beide banen De oale energie ang alleen af van de lenge van de lange as van de baan: a =, me = GmsaellieMaarde Dee lange as is juis gelijk voor beide banen Ook de omloopijd is gelijk voor beide banen Dee ang opnieu alleen af van de lenge van de lange as: 3 τ 4 π am/ = He impulsmomen is e groos voor de cirkelbaan, an dee ang ook af van de lenge van de kore as van de baan:

5 L b = m Bij de cirkelbaan saa de aarde in e midden Bij de ellips saa de aarde in een van de ee brandpunen De saellie kan de aarde in de ellipsbaan veel dicer naderen, en eef op e pun van dicse nadering een veel ogere sneleid dan in de cirkelbaan In e pun me de groose afsand is de sneleid in de ellipsbaan juis veel lager b) De poeniële energie van de sule in e aarekracsveld van de aarde (ov een pun oneindig ver eg van de aarde) ord gegeven door: V( ) = Op aarde eef de sule nog geen kineisce energie Dus bedraag de oale energie van de sule vóór de lancering ( ) = K + V( ) = V( ) =, aarbij = 6400 km de sraal is van de aarde Als de sule in een sabiele baan i geld: ( ) = K( ) + V( ) = V( ) = De energie die nodig is om de sule vanui silsand op aarde naar een sabiele baan me een sraal van = km e brengen bedraag dus = ( ) ( ) = Als de sule in plaas daarvan naar een sraal ' = km ord gebrac, kos di: ' = ( ') ( ) = ' De gevraagde fracie (brandsofverlies, dus verdering in verbruike energie) is dus ' 3 f = = = 44 0 ' c) We gaan ui (ie b) van de oale energie op aarde (in silsand): ( ) = De onsnappingsenergie is de energie die e moeen oevoeren om de oale energie naar de aarde nul e verogen: onsnap = Om de sabiele baan op 6800 km ooge e bereiken is een energie nodig geees van (ie b):

6 = ( ) ( ) = Di is een fracie = = 053 van de onsnappingsenergie d) De kor erkende krac lever een kor erkaam kracmomen, aardoor e impulsmomen bij benadering (ie ip ) in één keer verander DL L+DL L q ier is de krac kore ijd erkaam (NB de aarde is ier voor de duidelijkeid veel e klein geekend) Tov e kanelpun van de baan, e cenrum van de aarde, bedraag de grooe van de verandering in impulsmomen die ierdoor ord verooraak: L = τ d' = d' = (vecorekens eggelaen, en saan loodrec op 0 0 elkaar) De grooe van e impulsmomen vóór de verandering bedraag: L = mv = mk = m = m De aarde van vinden e ui de aarekracsversnelling op aarde: mg = L = mg = m g De impulsmomenverandering L saa loodrec op L, en de resulerende oekverdraaiing volg ui L 4 an( θ) = = = 3 0 θ = L m g