Dwarsliggers van spoorrails werken als balken die heel grote dwarskrachten ondersteunen. Hierdoor splijten ze, als ze van hout gemaakt zijn, aan de

Transcriptie

1 Dwarsliggers van spoorrails werken als balken die heel groe dwarskrachen onderseunen. Hierdoor splijen ze, als ze van hou gemaak zijn, aan de uieinden, omda daar de dwarskrachbelasingen he groos zijn _STERKTEEER_bw_2016_v2.indd /01/17 4:04 pm

2 7 Afschuiving HOOFDSTUK in langs- en dwarsriching Ga naar voor sudiemaeriaal en oesen om je begrip en kennis van di hoofdsuk ui e breiden en e oefenen. Ook vind je daar videouiwerkingen bij verschillende opgaven ui he boek. Doelsellingen van di hoofdsuk In di hoofdsuk onwikkelen we een mehode om de schuifspanning e vinden in een balk die een prismaische dwarsdoorsnede heef en gemaak is van een homogeen maeriaal da zich lineair elasisch gedraag. De mehodiek is echer alleen oepasbaar als he oppervlak van de dwarsdoorsnede een eenvoudige geomerische vorm heef. Toch kan de mehodiek op veel manieren worden oegepas bij he onwerpen en analyseren van consrucies. De begrippen schuifsroom en schuifspanning worden besproken voor balken en dunwandige onderdelen. He hoofdsuk eindig me een bespreking van he dwarskrachmiddelpun. 7.1 Afschuiving in reche consrucie-elemenen Over he algemeen zal een balk zowel dwarskrachen als momenen opnemen. De dwarskrach is he gevolg van een schuifspanningsverdeling in de dwarsriching die op de dwarsdoorsnede van de balk werk. Als gevolg van de complemenaire eigenschap van afschuiving zullen deze schuifspanningen ook corresponderende schuifspanningen in axiale vlakken van de balk veroorzaken, op de manier zoals is weergegeven in fig Schuifspanning in dwarsriching Schuifspanning in axiale riching Fig. 7.1

3 P P ie aan elkaar gelijmde planken Aan elkaar gelijmde planken Fig. 7.2 Afschuifverbindingsmiddelen worden me een hechlas op de gewelfde salen vloerplaa bevesigd. Wanneer de beonvloer gesor word, zorgen de deuvels ervoor da de vloer nie kan gaan schuiven over de vloerplaa. Op die manier vormen de mealen vloerplaa en he gedroogde beon één geheel. Om di e effec e illusreren, bekijken we een balk die is samengeseld ui drie planken, fig. 7.2a. Als he boven- en ondervlak van elke plank glad word veronderseld en de planken nie aan elkaar gelijmd zijn, zullen de planken als gevolg van de belasing P en opziche van elkaar verschuiven als de balk doorbuig. Als de planken echer wel op elkaar gelijmd zijn, zorgen de axiale schuifspanningen die ussen de planken opreden ervoor da ze nie en opziche van elkaar kunnen verschuiven, zoda de balk zich als één geheel gedraag (fig. 7.2b). Als gevolg van de inwendige schuifspanningsverdeling onsaan er hoekvervormingen; deze proberen de dwarsdoorsnede op een amelijk ingewikkelde manier e vervormen. Bekijk bijvoorbeeld de kore saaf in fig. 7.3a waarop een raser van horizonale en vericale lijnen is aangebrach en die gemaak is van een goed vervormbaar maeriaal. Bij he aanbrengen van de dwarskrach word di raser vervormd op de manier zoals is weergegeven in fig. 7.3b. Als gevolg van deze ongelijkmaige afschuifhoekverdeling zal de dwarsdoorsnede welven. óór vervorming a vervorming Fig. 7.3 Wanneer een balk dus belas word op zowel buiging als dwarskrachen, zal de dwarsdoorsnede nie vlak blijven, zoals we wel hebben aangenomen bij he afleiden van de buigingsformule. Desondanks kunnen we er in he algemeen och van uigaan da de welving van de dwarsdoorsnede als gevolg van afschuiving zo klein is da die verwaarloosd mag worden. In he bijzonder geld di als er sprake is van een slanke balk, waarbij de dwarsafmeingen klein zijn en opziche van de lenge.

4 w F 1 F 2 Snede Oppervlake A x _ y x 1 dx 2 y dx 7.2 De schuifspanningsformule Er geld F x 0 Omda de rekverdeling voor dwarskrachen nie zoals bij axiale belasingen, orsie en buiging, eenvoudig kan worden gedefinieerd, zullen we de schuifspanningsformule op een indirece manier afleiden. Daaroe bekijken we he horizonale krachenevenwich van een deel van he consrucie-elemen in fig. 7.4a. Een vrijlichaamsschema van di elemen is weergegeven in fig. 7.4b. Deze verdeling word veroorzaak door de buigmomenen en + d. We hebben, + d en q(x) nie geekend in he vrijlichaamsschema, omda deze he horizonale evenwich nie beïnvloeden. In he elemen in fig. 7.4b zal SF x nul zijn, omda de spanningsverdeling aan weerszijden van he elemen alleen een momen oplever, waardoor de resulerende krach nul zal zijn. df df dx Fig. 7.4 df df d Beschouw nu he donkergekleurde bovense deel van he elemen op afsand y vanaf de neurale lijn (fig. 7.4a). Di segmen heef een breede op de snede en de wee zijvlakken van de dwarsdoorsnede hebben elk een oppervlake A. Omda he verschil ussen de resulerende momenen op elk zijvlak van he elemen d bedraag, kan in fig. 7.4c worden gezien da nie voldaan is aan SF x = 0, enzij er een axiale schuifspanning op de onderzijde van he elemen werk. We zullen aannemen da deze schuifspanning consan is over de breede van de onderzijde. De spanning werk op he oppervlak dx. Als we horizonaal krachenevenwich oepassen en de buigingsformule (vgl. 6.13) gebruiken, lever da ; + F x = 0; s da - s da -1 dx2 = 0 A A A a + d by da - a I A I by da -1 dx2 = 0 a d I b A y da =1 dx2 (7.1) Opgelos naar τ, vinden we = 1 I a d dx b y da A Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd omda = d/dx (vgl. 6.2). De inegraal veregenwoordig he momen van de oppervlake A en opziche van de neurale lijn. We zullen di aanduiden me he symbool Q. Omda de plaas van he zwaarepun van de oppervlake A word bepaald me y = A y da /A, kunnen we ook schrijven

5 A s s s s dx d y d Driedimensionaal aanzich (c) Fig. 7.4 (vervolg) Zijaanzich Q = A y da =y A (7.2) He uieindelijke resulaa is dan = Q I (7.3) Hierin is, zoals is weergegeven in fig. 7.5: = de schuifspanning in he consrucie-elemen in een pun op een afsand y van de neurale lijn. Deze spanning word veronderseld consan e zijn over de breede en is daarom een gemiddelde spanning over de breede van he onderdeel = de inwendige resulerende dwarskrach bepaald me behulp van de snedemehode en de evenwichsvergelijkingen I = he raagheidsmomen van de gehele dwarsdoorsnede, berekend en opziche van de neurale lijn = de breede van he oppervlak van de dwarsdoorsnede, gemeen er plaase waar moe worden bepaald Q = y A, waarin A he bovense (of onderse) deel van de dwarsdoorsnede is boven (of onder) de snede waar word gemeen en y de afsand van he zwaarepun o de neurale lijn van A is. De bovensaande vergelijking saa bekend als de schuifspanningsformule. Hoewel we in de afleiding alleen de schuifspanningen die in he langsvlak van de balk werken hebben beschouwd, kan de vergelijking ook worden ge Oppervlake A _ y Fig. 7.5

6 bruik om de schuifspanningen in de dwarsdoorsnede van de balk e bepalen. We hebben immers gezien da deze spanningen complemenair en in numeriek opzich gelijk zijn. Omda we in de afleiding de buigingsformule hebben gebruik, moe voldaan worden aan de voorwaarde da he maeriaal lineair elasisch vervorm en dezelfde elasicieismodulus heef voor zowel rek- als drukbelasing. Beperkingen bij he gebruik van de schuifspanningsformule Een van de belangrijkse aannamen bij he afleiden van de schuifspanningsformule is da de schuifspanning gelijkmaig verdeeld is over de breede van de doorsnede. e andere woorden: we berekenen de gemiddelde schuifspanning over de breede. We kunnen de nauwkeurigheid van deze aanname conroleren door deze e vergelijken me een meer exace analyse, gebaseerd op de elasicieisheorie. Als de dwarsdoorsnede van de balk bijvoorbeeld rechhoekig is, zal de schuifspanningsverdeling om de neurale lijn, als die word berekend op basis van de elasicieisheorie, variëren op de manier zoals is weergegeven in fig De maximale waarde, max, reed op aan de randen van de dwarsdoorsnede en de grooe ervan is afhankelijk van de verhouding b/h (breede/hooge). oor hoge, smalle doorsneden, me bijvoorbeeld een verhouding b/h = 0,5, is max slechs ongeveer 3% groer dan de me de schuifspanningsformule berekende schuifspanning (fig. 7.6a). oor liggende doorsneden, waarbij b/h bijvoorbeeld 2 is, is max echer ongeveer 40% hoger dan max, fig. 7.6b. De afwijking word zelfs nog groer naarmae de doorsnede vlakker word, dus naarmae de verhouding b/h groer word. Afwijkingen van deze grooe zijn beslis onoelaabaar als de schuifspanningsformule word gebruik om de schuifspanning in de flens van een balk me brede flenzen zoals in fig. 7.7 e bepalen. erder zal de schuifspanningsformule geen nauwkeurige resulaen opleveren als deze word oegepas om de schuifspanning op de overgang van he flenslijf van een balk me brede flenzen e bepalen. Hier vind namelijk een ploselinge verandering in dwarsdoorsnede plaas, waardoor sprake is van een spanningsconcenraie. Gelukkig zijn deze beperkingen bij he oepassen van de schuifspanningsformule op de flenzen van een balk me brede flenzen in de prakijk nie zo belangrijk. eesal gaa he om he berekenen van de gemiddelde maximale schuifspanning er plaase van de neurale lijn waar de verhouding b/h (breede/hooge) voor de lijfplaa erg klein is en de berekende uikoms dich bij de werkelijke maximale schuifspanning zal liggen. max max max Q I Flenzen max Q I b 0,5h b Fig. 7.6 Fig h h ijfplaa h Een andere belangrijke beperking bij he oepassen van de schuifspanningsformule kan worden geïllusreerd aan de hand van fig. 7.8a, waarin een consrucie-elemen is weergegeven me een onregelmaig gevormde of nierechhoekige dwarsdoorsnede. Als we de schuifspanningsformule oepassen om de (gemiddelde) schuifspanning langs de lijn AB e berekenen, is deze omlaag gerich zoals in fig. 7.8b is weergegeven. aar als we een maeriaalelemen er plaase van randpun B in fig. 7.8c bekijken is de siuaie anders. Hier word de schuifspanning in he voorvlak van he elemen onbonden in componenen: en die respecievelijk loodrech op en evenwijdig aan de rand werken. De componen moe nul zijn, omda de bijbehorende axiale componen op he spanningsvrije oppervlak nul moe zijn. Om aan deze randvoorwaarde e voldoen moe de schuifspanning op di elemen angenieel aan de rand zijn gerich. Daardoor moe de schuifspanningsverdeling op de lijn AB zijn zoals in fig. 7.8d is weergegeven. In di geval moeen de specifieke waarden voor de schuifspanning worden bepaald me behulp van

7 A B A B Spanningsvrij oppervlak A max B max Schuifspanningsverdeling volgens schuifspanningsformule (c) 0 (d) (e) Fig. 7.8 de elasicieisheorie. erk op da we wel de schuifspanningsformule kunnen oepassen om de schuifspanningen e bepalen op de in fig. 7.8a gekleurde lijnen. Deze lijnen snijden de raaklijnen aan de dwarsdoorsnede loodrech en dus zal de schuifspanning in dwarsriching vericaal gerich zijn en overal op de lijn consan zijn (zie fig.7.8e). Samenvaend: de schuifspanningsformule is onnauwkeurig wanneer deze word oegepas op consrucie-elemenen me kore of plae dwarsdoorsneden of in punen waar de dwarsdoorsnede ploseling verander. De formule mag evenmin worden gebruik bij een dwarsdoorsnede die een hoek maak me de begrenzingslijnen anders dan 90. In deze gevallen zal de schuifspanning moeen worden bepaald door gebruik e maken van de elasicieisleer. We hebben de schuifspanningsformule afgeleid door he horizonale krachenevenwich van de axiale schuif- Om e onhouden! welven. als op de axiale vlakken. spanning en de buigspanningsverdeling op een deel van een differenieel segmen van de balk e bekijken. Afschuifkrachen in balken veroorzaken nie-lineaire afschuifhoekverdelingen over de doorsnede, waardoor deze zal anwege de complemenaire eigenschap van schuifspanning werk deze in een balk zowel op de dwars door snede De schuifspanningsformule kan gebruik worden voor reche prismaische consrucie-elemenen die gemaak zijn van een homogeen maeriaal da lineair elasisch vervorm. De inerne resulerende dwarskrach moe gerich zijn langs een symmerieas van he doorsnedeoppervlak. De schuifspanningsformule mag nie gebruik worden om de schuifspanning e bepalen in doorsneden die kor en pla zijn, in punen waar de dwarsdoorsnede ploseling verander of in een pun op een scheve rand.

8 Analyseprocedure Om de schuifspanningsformule oe e passen adviseren we de volgende werkwijze. Inwendige afschuiving Snij he consrucie-elemen loodrech op de lengeas door in he pun waar de schuifspanning bepaald moe worden en bepaal de inwendige dwarskrach in de doorsnede. Dwarsdoorsnede-eigenschappen Bepaal de plaas van de neurale lijn en vervolgens he raagheidsmomen I van de gehele dwarsdoorsnede om de neurale lijn. aak een ficieve horizonale doorsnede door he pun waarin de schuifspanning bepaald moe worden. Bepaal de breede van de dwarsdoorsnede er plaase van deze snede. He deel van de oppervlake boven of onder deze breede is A. Bepaal Q me behulp van Q = ya. Hierin is y de afsand o he zwaarepun van A, gemeen vanaf de neurale lijn. A kan beschouwd worden als he deel van de dwarsdoorsnede van he consrucie-elemen da op he consrucie-elemen gehouden word door de axiale schuifspanningen. Zie fig. 7.4c. Schuifspanning Subsiueer de gegevens in de schuifspanningsformule (le op de eenheden) en bereken de schuifspanning. Aangeraden word de riching van de axiale schuifspanning aan e geven op een volume-elemen maeriaal in he pun waar deze berekend moe worden. erk daarbij op da in dezelfde riching op de doorsnede werk als. Hierui kunnen de bijbehorende schuifspanningen op de andere drie vlakken van he volume-elemen bepaald worden. oorbeeld 7.1 De in fig. 7.9a geoonde balk is gemaak van wee planken. Bepaal de maximale schuifspanning in de lijm die nodig is om de planken bij elkaar e houden langs de naad waar ze zijn samengevoegd. OPOSSIG Inwendige afschuiving De onderseuningsreacies en de dwarskrachenlijn voor de balk saan in fig. 7.9b. Daar is e zien da de maximale dwarskrach in de balk 19,5 k bedraag.

9 4 m 4 m 150 mm _ y 6,5 k/m 30 mm 150 mm 30 mm Dwarsdoorsnede-eigenschappen He zwaarepun en daarmee de neurale lijn worden bepaald vanaf de referenieas aan de voe van he oppervlak van de dwarsdoorsnede (zie fig. 7.9a). We vinden y = ' ya A = [0,075 m]10,150 m210,030 m2 + [0,165 m]10,030 m210,150 m2 = 0,120 m 10,150 m210,030 m2 + 10,030 m210,150 m2 He raagheidsmomen om de neurale lijn (fig. 7.9a) is dus 26 k I = c ,030 m210,150 m ,150 m210,030 m210,120 m - 0,075 m2 2 d 6,5 k 6 m 2 m 19,5 k + c ,150 m210,030 m ,030 m210,150 m210,165 m (k) - 0,120 m2 2 d 6, x (m) 19,5 = 27, m 4 De liggende plank (flens) is op de saande plank (lijfplaa) gelijmd en de breede van de lijmlaag is = 0,03 m. Da beeken da A overeenkom me de oppervlake van de bovense plank, fig. 7.9a. Da lever Q = y A = [0,180 m - 0,015 m - 0,120 m](0,03 m)(0,150 m) = 0,2025(10-3 ) m 3 Schuifspanning Als we de bovensaande gegevens gebruiken en de schuifspanningsformule oepassen, krijgen we ijmvlak 19,5 k max = Q I = 19,5(103 ) 10, m , m 4 10,030 m2 = 4,88 Pa Anw. (c) Fig ,88 Pa In fig. 7.9c is de schuifspanning weergegeven die op de bovenkan van de onderse plank werk. OPERKIG: De lijm neem dus de schuifspanning in axiale riching op en voorkom da de planken gaan glijden bij de onderseuning rechs.

10 oorbeeld 7.2 Bepaal de verdeling van de schuifspanning over de dwarsdoorsnede van de balk in fig. 7.10a. A h y _ y h 2 h 2 b b OPOSSIG De verdeling van de schuifspanning kan worden bepaald door de schuifspanning op een willekeurige hooge y vanaf de neurale lijn e berekenen (fig. 7.10b) en deze funcie dan grafisch weer e geven. Hier word he donkergekleurde oppervlak A gebruik om Q e berekenen.* Daarom is Q = y A =cy a h 2 - y bda h 2 - y bb = 1 2 a h2 4 - y2 bb Als we de schuifspanningsformule oepassen, lever da = Q I = A 1 2B3(h 2 >4) - y 2 4b A 1 12 bh3 Bb = 6 bh 3 a h2 4 - y2 b (1) Di resulaa geef aan da de schuifspanningsverdeling over de dwarsdoorsnede paraboolvormig is. Zoals in fig. 7.10c is weergegeven, varieer de grooe van nul aan boven- en onderzijde, er plaase dus van y = ;h/2, o een maximale waarde er plaase van de neurale lijn, y = 0. En aangezien de dwarsdoorsnede A = bh is, vinden we er plaase van y = 0 da dy y b max = 1,5 A Dezelfde waarde voor max kan direc worden bepaald me behulp van de schuifspanningsformule, = Q/I, door e bedenken da max opreed waar Q he groos is, omda, I en consan zijn. Duidelijk is da Q een maximum zal bereiken als we naar de gehele oppervlake boven (of onder) de neurale lijn kijken; da wil zeggen: A = bh/2 en y = h/4. Dus geld (2) T max Schuifspanningsverdeling (c) Fig * De oppervlake onder y kan ook worden gebruik [A = b(h/2 + y)], maar di kos wa meer rekenwerk.