Vraagstukken. Elastostatica

Transcriptie

1 Technische Hogeschool Eindhoven Onderafdeling der Wiskunde Vraagsukken behorende bij he college speciale problemen ui de Elasosaica Onderdeel van Fysica 40 van prof.dr. J.B. Alblas verzorgd door dr.ir. A.A.F. v.d. Ven Dicaanr..84 Prijs f 4,-

2 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Algemene Weenschappen Onderafdeling der Wiskunde Vraagsukken behorende bij he college ELASTOSTATICA Prof. Dr. J.B. Alblas Voorjaarssemeser 1979 Verzorgd door Dr.ir. A.A.F. van de Ven

3 Inhouds beschrijving Vraagsukken bij Elasosaica Voorjaar Rek van balken 1. Buiging van Balken 3 3. Een-dimensionale buigingsheorie 5 4. Torsie van een cirkelcylinder 7 5. Torsie van een cylinder me willekeurige doorsnede 9 6. Vlakke vervormings- en vlakspanningsoesand 1 7. Rek van plaen. Gegeneraliseerde vlakspanningsoesand Buiging van dunne plaen 0 Anwoorden van 1. 6 Anwoorden van. 7 Anwoorden van Anwoorden van Anwoorden van Anwoorden van Anwoorden van Anwoorden van 8. 4 JdG, 8 Augusus 005 Tenamens en Anwoorden

4 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde I) VRAAGSTUKKEN behorende bij he college speciale proalemen ui de ELASTOSTATICA Onderdeel van Fysica 40 van Prof. Dr. J.B. Alblas verzorgd door Dr. Ir. A.A.F. v.d. Ven! Voorjaarssemeser 1979

5 REK VAN BALKEN Buc.houw voor. de vaag.~>.u.k.ken ( één- CÜJne/!.6.-i.o nale) pr.a b.emen. ud: deze par.agr.aa6 a.ueen de ger.elo.xeer.de Beschouw a) E;,s;,v,l F 5 v _; -. _.f +-,.".::z_ ~=-=--=-:-1= ~'-:'=-' ==-=-=+--~! b) é Ei'$,' v, I :z p é ~..s; 'v, I ' i) Bepaal de spanningeverdeling in de saven. ii) Bepaal de uirekkingen en de oale sijfheid. iii) Bepaal de oale elasische energie. Vergelijk deze me de door P verriche arbeid. 1.. Bereken de spanningsverdeling en de axiale verplaasing van:,f, v,s, /.,.,,' ' I ' J J-5brblok '~

6 Een cylindrische saaf me rechhoekige doorsnede (a x b) word in de einddoorsneden belas door een gelijkmaig verdeelde normaaldruk p en op de zijvlakken (manel) door een gelijkmaig verdeelde normaaldruk: ap. Gevraagd: a) de spanningen, deformaies en verplaasingen in de saaf1 b) de waarde van a opda de axiale verplaasingen van de einddoorsneden nul zijn; c) de waarde van a opda de normale verplaasingen van de zijvlakken nul zijn1 d) voor welke waarde van v zowel b) als c) geld De volgende consrucies, waarin a 1 en a lineaire uizeingscoefficienen zijn, worden uniform T K in emperauur verhoogd. Bereken de spanningsverdelingen en de axiale, verplaasingen. 0 a) -f ry-1 --, E;, S: I J:>)., ~_ ~==~~~========~'=E,=~=/=S=.~=-====~ V' },,'.j Een slanke saaf roeer me consane hoeksnelheid w om een vas pun 0, al ze de roaie sil en bepaal de.g.v. de raagheidskrachen opredende volumekrachen. b) Bereken de normaalspanningsverdeling in de saaf. c) Bereken de uirekking van de saaf.

7 BUIGING VAN BALKEN.1. Beschouw een cirkelcylinder, welke in de doorsnede z = 0 is ingeklemd en in z = ~word belas door een normaalkrach P, welke aangrijp op een halve sraal van he middelpun van de doorsnede. ~ ~ z r--. p ~ ~ x / a) Formuleer he garelaxeerde probleem. b) Bepaal de spanningen, de deformaies en de verplaasingen. c) Bepaal de plaas van de neurale lijn. d) Bereken de oale elasische energie (als funcie van P)... Beschouw een cylinder me rechhoekige doorsnede, in z = 0 ingeklemd en in z = i belas door een normaalkrach, aangrijpend in een hoekpun van de doorsnede. ; p /r ~r-~~~ ; I ' ::: ; z / I p y x I a) Formuleer he garelaxeerde probleem. b) Bepaal de spanningen, de deformaies en de verplaasingen, c) Bepaal de plaas van de neurale lijn. d) aapaal de verplaasing van he middelpun van de einddoorsnede. Val de projecie van deze verplaasing op he x-:y-vlak langs de diagonaal door PI' e) Bereken de oale elasische energie (als funcie van P). '

8 Beschouw de hieronder geekende U-balk, belas door een buigend momen in de einddoorsnede: :-; I ~ ~ ~ -:: z ~ / J{ a) Bepaal he cenrale hoofdraagheidsassenselsel van de doorsnede en bereken de oppervlakeraagheidsmomenen I x (Verwaarloos O.(/a) -ermen). b) Bepaal de spanningen. :.- I~ V! I /... en I Neem hierbij: <<a y cl. Bepaal de snijlijn van he neurale vlak me de doorsnede. Val deze samen me de riching van ~7 d) Bereken de verplaasing van he zwaarepun van de einddoorsnede. Saa deze loodrech op he neurale vlak of op ~7 e) Neem a = 0 en bereken de hoekverdraaiing van de einddoorsnede, f) Bereken (voor a F 0) de oale elasische energie van de balk (als funcie van M en a). ':I.4. Beschouw ondersaande consrucie van wee aan elkaar gelase cirkelcylinders me verschillende sralen maar van hezelfde maeriaal. - / I / /; ~ z j_rf f R i -:; M a) Geef de garelaxeerde formulering. Bepaal de bijbehorende spanningsverdeling. b) Bepaal de doorbuiging van de neurale lijn.

9 Een eenzijdig ingeklemde balk krijg een emperauursverhoging T(~), me T(x,y,z) = a+ bx z r-- - x a) Bepaal de deformaies in de balk Hin. Gebruik: (1 + v) - ~ ê ' 9 ij = E ij E ij kk + atuij Hoe groo is in di probleem ij7 b) Bepaal de neurale lijn. c) Neem a = 0 en laa zien da he deformaieveld dan overeenkom me da van een zuivere momenenbuiging voor he geval v = -1. 3, EEN-DIMENSIONALE BUIGINGSTHEORIE Leid m.b.v. de balkenvergelijking af de zogenaamde "vergee-mij-niejes": ~ l;! I u' (n u(~) = M~ M~ EX EI n p~3 ËÏ 3EI si. sl E I I I!!! I 6EI BEI l1 i i./'..._. '

10 Bepaal van: a) b) lu " ~ I / p ~ 1././ i) de reaciekrachen; ii) de doorbuigingslijn; iii) de plaas en de grooe van de maximale rekspanning., 3.3. Bepaal van de volgende horizonale balken, welke belas worden door hun eigen gewich: a) de reaciekrachen, de doorbuigingalijn en de maximale rekspanning E,en balk aan een zijde ingeklemd en aan de andere zijde onderseund krijg een emperauursverhoging T volgens: T = T(x) = ax, (a: consan). z ~ J( ~TM Bepaal de reaciekrachen en de doorbuigingslijn. Ûl 3.5. I Van nevensaande consrucie word de balk AB uniform T K verwarmd. Gevraagd word a) de spanningsverdeling in en de lengl!e"r verandering van AB; b) de normaalspanningsverdeling in en de uibuigingslijn van AC en BD. N ]) '. '~ '

11 Een ingeklemde balk me rechhoekige doorsnede (a x b) word in zijn vrije uieinde belas door een dwarskrach P welke een hoek a me de x-as maak. Bepaal de hoek ussen ~ (~) en de werklijn van P, Beschouw weer een ingeklemde balk me rechhoekige doorsnede belas door een dwarskrach P in de x-riching. Sel: zz f(z)x ' = c(x - a ) XZ overige.. = 0 l.j a) Laa zien da deze spanningsverdeling voldoe aan de randvoorwaarden op de manel. b) Bepaal c en f(z) zodanig da aan de locale èn de globale evenwiehsvergelijkingen is voldaan. c) Bepaal de deformaies. d) Bewijs da bovensaande aanname voor v f 0 ~overeenkom me de exace oplossing, maar voor v = 0 wel (kun u hier een fysische verklaring voor geven) Beschouw hezelfde probleem als bij 3.7, maar nu voor een cirkelvormige doorsnede. Bepaal hiervoor de exace spanningsverdeling. Waarom moe hierbij (voor y f 0) de spanning yz Hin: Ga ui van: - XX YY = 0 xy = zz P(~ - z)x I ongelijk aan nul zijn? = (x,y) yz yz 4, TORSIE VAN EEN CIRKELCYLINDER ":Îc.ö:_. Een holle cirkelvormige buis, binnensraal R 1, buiensraal R, word. ',,,,.: b<;il.as door eèn wringend momen M. Bepaal de spa~ningsverdeling in de bui$, de hoekverdraaiing van de eind.: doorsneden.o.v. elkaar en de orsiesijfheid. Bekijk he.geval da R - R 1 = d «R

12 .: /lllw ~- I TR l L l G, Twee cirkelcylinders me verschillende afschuifmoduli, G 1 resp. G, maar overigens gelijk, zijn aan elkaar gelas en worden belas door een wringend momen M w Bepaal de spanningsverdeling, de hoekverdraaiing per lenge-eenheid en de oale orsiesijfheid. fr, '''\, /111 R1 Als 4., maar nu me verschillende doorsneden, sralen R resp. R, maar 1 gelijke G's. Bepaal, voor he garelaxeerde _probleem, de spanningsverdeling, de hoekverdraaiing per lenge-eenheid en de oale orsiesijfheid. Waar zullen de groose verschillen ussen de exace en de garelaxeerde oplossing opreden? Wanneer zal de "gerelaxeerde" orsiesijfheid een goede benadering voor de "eche" orsiesijfheid zijn? : -: Een cirkelcylinder word belas door een wringend momen M en een normaalkrach.n. :.Bepaal'' ae spanningen, deformaies en verplaasingen van de cylinder..:; Qp welke plaas (en) zullen de groose spanningen opreden? Bepaal hier de hoofàspanningen en de maximale schuifspanning T. max

13 Beanwoord dezelfde vragen als bij 4.4 voor een cirkelcylinder belas door een wringend momen M en een buigend momen M z x 4.6. a Beschouw een cirkelcylinder, waavan de begindoorsnede op zijn plaas word gehouden, erwijl de einddoorsnede z = word gedwongen e roeren om he pun (x,y) = volgens: (-a,o) over een hoek 6 () -6()y; v(x,y,) = e () (x+ a) erwijl we verder de normaalspanningen in deze doorsnede nul nemen: (I) (x,y,) = 0 zz Laa zien da deze deformaie nie o sand kan worden gebrach door een wringend momen alleen, en geef aan welke andere belasingsgrooheid hiervoor dan nog benodigd is. Vervang de voorwaarde (I) door: (II) w(x,y,) = 0 welke exra belasingsgrooheid moe U nu dan, nog invoeren? Bepaal, binnen he kader van de echnische balkenheorie, de waarden (uigedruk in 6() en a) van de belasingsgrooheden zowel voor (I) als voor ( II), Vergelijk bovensaand probleem me een ingeklemde cirkelcylinder, in zijn vrije einddoorsnede belas door een dwarskrach P in y-riching, die aangrijp in (-a,o). Bepaal hiervoor de spanningsverdeling. Voor welke waarde van a is er uorsievrije" buiging? S. TORSIE VAN EEN CYLINDER MET WILLEKEURIGE DOORSNEDE 5.!. Een cylinder me ellipsvormige doorsnede, waarvan de rand gegeven is door: ~+ a 1, word belas door een wringend momen M.

14 a) Bepaal de spanningsverdeling, de hoekverdraaiing per lenge-eenheid en de orsiesijfheid o. b) Bepaal de plaas(en) waar de maximale schuifspanning opreed en bereken daar de hoofdspanningen en T max c) In de echnische balkenheorie word de orsiesijfheid meesal gelijk genomen aan: GI, waarin I p p he polaire oppervlakeraagheidsmomen is: (x + y ) ds Bepaal I voor een ellipsvormige doorsnede, Vergelijk GI me de bij a) p p gevonden waarde voord. Geef voor b/a = 1; 0,9; 0,75; 0,5 de procenuele afwijkingen ussen GI en o. p d) Bepaal de welving van de doorsnede. Bewijs da zowel de gemiddelde welving als zijn eerse momenen nul zijn, d.w.z. bewijs da Jw(x,y,z)dS s f xw(x,y,z)ds s f yw(x,y,z)ds = 0 s (.!!!:!:!: gebruik verband ussen F en il>) e) Beanwoord vraag a): voor he limiegeval b <<a. 5.. a Een C1linder me een doorsnede in de vorm van een gelijkzijdige driehoek, zijde a, word geordeerd. De hoekverdraaiing per lenge-eenheid is a.

15 a) Geef de voorsellingen in x- en y-coördinaen van de rechen waarui de omrek van de driehoek is opgebouwd. b) Geef me behulp hiervan een uidrukking voor de spanningsfuncie F(x,y), welke ideniek aan de randvoorwaarde F = 0 voldoe. c) Bepaal hierui de spanningsverdeling in de cylinder (als funcie van a). d) Laa zien da de grooheid T gedefinieerd door maximaal word op he midden van de zijden. e) Geef een uidrukking in inegraalvorm voor de orsiesijfheid Beschouw de orsie van een cirkelcylinder me een cirkelvormige inkeping volgens ondersaande figuur (le op keuze van de oorsprong van he assenkruis). a) Bewijs da de spanningsfuncie F(x,y) hier gelijk is aan: x + y R arx F -cd --x+.!!...) 4 4 (x + y ) = a R a r R cos = -a(-- r cos ~ + 'P -.!!...) 4 r 4 (r,~: poeleeordinaen volgens figuur). b) Bepaal de spanningsverdeling. c) Bewijs da de maximale schuifspanning T opreed in he pun A: max (a,o) en bereken de waarde van T ma x Bepaal voor he geval da a << R de spanningsconcenraie in A; di is de waarde van T voor de doorsnede me inkeping gedeeld door de max T voor een zuiver cirkelvormige doorsnede. ma x

16 l - 0. ' Beschouw de orsie van een cylinder ---- me rechhoekige doorsnede (a x b) I ' XZ b x 9 M T6 3'3 y (x - a ), a b y door een wringend momen M. a) Formuleer de randvoorwaarden op de manel. b) Bewijs van he volgende spanningsselsel '3 x (y - b ) yz 9 M a b XX yy zz = 0 xy da he voldoe aan de evenwichsvergelijkingen en aan de randvoorwaarden op de manel en da he als enige snedegrooheid he wringend momen M lever. c) Toch vorm di selsel nie de exace oplossing. Waarom nie? Bewijs Uw anwoord. 6. VLAKKE VERVORMINGS- EN VLAKSPANNINGSTOESTAND 6.1. Een lange, cirkelvormige buis, binnendiameer R, buiendiameer R, 1 word belas door een inwendige druk p. Bepaal voor he geval da de einddoorsneden: a) vrij, b) ingeklemd, zijn: de spanningen en de deformaies in de buis. Bepaal de limiewaarden voor := R - R << R ~-~ --~ ~~J ~--+ Gegeven een cirkelcylinder, sraal R 1, en een cirkelvormige buis, binnensraal R 1 - s, 0 < s «R 1, bui ensraal R \ );

17 i) Hoeveel K moe de buis worden verhi,opda zijn binnensraal gelijk is aan R 1? ii) De buis word nu over de cylinder geschoven en he geheel word afgekoeld o de oorspronkelijke emperauur. Hoe groo zijn nu de spanningen in de cylinder en de buis? Aangenomen mag worden da de krimpverbinding alleen aanleidinggeef o normaalspanningen l l '-P h ~ ' '/ '///// / a p Op een glad sar vlak lig vrij een balk, lenge ~. x me rechhoekige doorsnede, hooge h, breede a. He bovenvlak van de balk word belas door een lineair verlopende, normale druk p(x). i) Bepaal de spanningen, deformaies en verplaasingen in de balk. ii) Beanwoord dezelfde vragen als bij i) voor he geval de axiale verplaasingen van de balk in zijn uieinden verhinderd zijn h ; -: ;CL a) vrij, b) verhinderd, zijn de volgende vragen. ~ ~ 8 ij "' J De in 6.3 beschreven balk zi nu ingeklemd ussen drie sarre gladde wanden 0 en word T K in emperauur verhoogd. Beanwoord zowel voor he geval da de axiale verplaasingen aan de uieinden: i) Hoe groo zijn de spanningen in de balk? ii) Hoeveel is de hooge van de balk oegenomen? ~..

18 Een lange balk me rechhoekige doorsnede (a x b) word aan zijn maneloppervlak belas door loodrech op de as van de balk saande schuifspanningen T, welke consan van grooe zijn en verdeeld volgens bovensaande figuur. i) Bewijs da he syseem globaal in evenwich is. ii) Bepaal de spanningen. iii) Bepaal de deformaies. iv) Sches de vorm van de doorsnede na deformai_e. v) Hoe groo zijn de hoofdspanningen en in welk vlak reden zij op? vil Bepaal de oale elasische energie van de balk (lenge van balk is i.) 7. REK VAN PLATEN. GEGENERALISEERDE VLAKSPANNINGSTOESTAND 7.l. Een rechhoekige plaa (a x b) word langs de randen x ; ± a en y ± b belas door een uniforme rekspanning a resp. b drukspanning a. Bewijs da in de plaa een exace vlakspanningsoesand heers en bepaal de spanningen en deformaies in de plaa. Wa is de dike.van de plaa na' de deformaie? F'

19 Een rechhoekige plaa (a x b) word langs de randen y door een normaalspanning o(x,z) welke lineair is in x: ± b belas cr(x,z) = a(z)x i) Neem aan da cr(x,z) in z-riching "goed" verdeeld is, d.w.z. zodanig verdeeld da in de plaa een exace vlakspanningsoesand heers. Bepaal deze "goede" verdeling en bereken de bijbehorende spanningsverdeling in de plaa. ii) Beschouw di probleem als een gegeneraliseerd vlakspanningsprobleem. Bepaal de doorsnedegrooheden N, N en N x y xy gemiddelden van deze grooheden, dus en de spanningen als de =.1... N xx h x ec. 0. z x p p

20 Een rechho~kige plaa (a x 1) is op y = 0 ingeklemd en op y = 1 belas door een dwarskrach P in x-riching. Beschouw di probleem als een gegeneraliseerde vlakspanningsoesand. Neem aan da de spanningen in de doorsneden y = 0 en y = 1 goed verdeeld zijn, d.w.z. da de normaalspanning een lineaire en de schuifspanning een kwadraische funcie in x is. YY xy i) Bepaal de expliciee vorm van deze verdelingen. ii) Bepaal de Airy-funcie voor di probleem (ga hier voor ui van de bij i) gevonden vorm voor de spanningen àan de rand). iii) Bepaal de spanningen in de plaa. iv) Bepaal de deformaies. Laa zien da de doorsnede y = 0 nie vlak blijf, zoda dus nie exac aan de voorwaarde da de plaa op y = 0 is ingeklemd kan worden voldaan a Een rechhoekige plaa (a x 1) word langs de zijden y = ± i, belas door normaalspanningen, welke verdeeld zijn volgens: Tl){ C! cos(-) ' a (-a,; x,; a) De randen x == ± a zijn vrij. i) Toon aan da bovensaande spanningsverdeling een nulbelasing vorm. ii) Formuleer de randvoorwaarden op y = ± i en x = ± a. iii) Kies een Airy-funcie U(x,y) van de volgende vorm,, '1lX U(x,y) = f(y)cos(-) a iv) Laa zien da hiermee aan alle randvoorwaarden op één na kan worden voldaan. Welke is deze ene, en aan welke eisen moe f(y) voldoen opda aan de andere is voldaan. Bepaal de algemene vorm van f(y) opda U(x,y) aan de bipoeniaal-

21 vergelijking voldoe. Bedenk hierbij da f(y) symmerisch in y moe zijn. v) Bepaal de in de onder iv) gevonden uidrukking voor f(y) voorkomende vi) vii) consanen. Neem i >> a. Bepaal nu een benaderde uidrukking voor f(y) door -s daarin ermen van O(e ), mes :~~i/a, e verwaarlozen. Bepaal me he resulaa van v.i). de spanningen in de plaa. Laa zien da deze voor IYI < i zeer snel uiserven. Me welk algemeen principe is di resulaa in overeensemming a) Een cirkelvormige plaa, sraal R, word aan zijn rand belas door een uniforme rekspanning o. i) Laa zien da in deze plaa een exace vlakspanningsoesand heers. ii) Bepaal de spanningsverdeling. iii) Bepaal de verplaasingen. Hoe 9fOO is de dike van.de plaa na de deformaie? b) Hezelfde probleem als hierboven maar nu voor een plaa me een ga. De rand van he ga is vrij. Di probleem (en alle nu volgende in di hoofdsuk) mag worden opgelos als een gegeneraliseerde vlakspanningsoesand. i) Bepaal de spanningen in de plaa. ii) Neem de limie (a/r) + 0. Kom deze limie overeen me probleem a)? Zo neen, hoe groo is dan de spanningsconcenraie?

22 J( Een cirkelvormige plaa, sraal R, word langs zijn rand belas door een normaalspanning rr =crcos volgens: e 1 Op r R i) Bepaal de algemene vorm van 'dè Airy-funcie. ii) Welke erm(en) moe u in deze funcie verwerpen omda de plaa he pun r = 0 beva? Bepaal de coefficienen van de overige ermen ui de randvoorwaarden. iii) Bereken de spanningen en de deformaies. iv) Bepaal de verlenging van de middellijn langs 9 o a) b) a) Een cirkelvormige plaa roeer me èèn consane hoeksne1heid w om een as loodrech op zijn vlak. 1) Ze de roaie sil en bepaal de van de cenrifugaalkrachen afkomsige volumekrach. ii) Bepaal de spanningen in de schijf. iii) Waar zijn deze spanningen maximaal en hoe groo zijn ze daar? b) Als bij a) maar nu me een ga me sraal a. i) Beanwoord dezelfde vragen als bij a) ii) Beschouw de limie (a/r) + 0. Is deze gelijk aan de oplossing van a)? Zo neen, hoe groo is dan de spanningsconcenraie?

23 // a Een cirkelvormige plaa, sraal R, me een ga, sraal a, is aan de buienrand ingeklemd, De binnenrand is vas verbonden aan een sarre schijf me sraal a, De schijf word loodrech op zijn vlak belas door een momen M, i) Bepaal de spanningsverdeling, ii) Bepaal de verplaasingen, iii) Hoe groo is de hoekverdraaiing van de schijf? iv) Waar reed de maximale spanning op en hoe groo is deze T Een cirkelvormige plaa me een ga, binnensraal R, buiensraal R, 1 waarvan de binnenrand is ingeklemd en de buienrand vrij is, word T K in emperauur verhoogd. i) Bepaal de spanningen. ii) Bepaal de oename van de buiensraal. iii) Beschouw de limie (R 1 /R ) + 0, 7.1 o. ~~~~~~~~-~/~~~4f~.-- In he midden van een vierkane plaa, zijde a, zi een cirkelvormig ga,. / T j / I / /~ 0~;.1 sraal R. De rand van he ga is vrij en de buienranden van de plaa zijn zodanig opgelegd da normale verplaasingen verhinderd zijn. De plaa /< / 0 word T K in emperauur verhoogd. We nemen de afmeingen van de plaa zo groo (a >> R, in feie a + ) da we aan mogen nemen da langs de buienrand van de plaa een uniforme normaalspanning heers.

24 - 0 - i) Bepaal deze uniforme spanning (is onafhankelijk van he ga). ii) Bepaal de spanningen in de plaa. iii) Bepaal de spanningsconcenraiefacor. 8. BUIGING VAN DUNNE PLATEN In de nu volgende vraagsukken beschouwen we seeds rechhoekige plaen van de volgende dimensies: 1> a z y d.ikl:e: h De belasing q, indien aanwezig, werk seeds in de z-riching. x, M - Een rechhoekige plaa word langs zijn randen x = ± a belas door een uniform buigend momen M 1 in de, negaieve, y-riching en langs de randen y = ± b door uniforme buigende momenen M in de, posiieve, x-riching

25 - 1 - (M en M zijn beide momenen per lenge-eenheid), 1 a) Neem aan da de momenen goed verdeeld (d.w.z. lineair in z) over de dike van de plaa zijn. i) Bepaal de, exace, spanningsverdeling in de plaa. ii) Bepaal de deformaies, iii) Bepaal de kromesralen in x- en y-riching van he middenoppervlak na de buiging. iv) Bewijs da he middenoppervlak he neurale vlak is. v) Bewijs da normalen ná de buiging nog loodrech op he middenoppervlak saan. b) i) Los di probleem op me de klassieke plaenheorie; d.w.z. bepaal de doprzakking w en de snedegrooheden M, M, M, Q en Q xx yy xy x y ii) Vergelijk deze resulaen me die van a) 8,, Een rechhoekige plaa, welke aan alle randen is opgelegd, word belas door een belasing q(x,y) in z-riching. a) Neem: q(x,y) = q 0 cos(;:)cos(~). i) Bepaal de doorzakking van de plaa. ii) Bepaal M, M, M, Q en Q xxxyyyx y iii) Waar reed de maximale doorzakking van de plaa op en hoe groo is deze< b) Neem: q(x,y) = q (= consan), en beanwoord dezelfde vragen als bij a). 0 (Schrijf Uw anwoorden als een dubbele Fourierreeks) 8,3, Van een rechhoekige plaa zijn de randen x ± a opgelegd en de randen y = b vrij. De belasing q is consan. i) Formuleer de randvoorwaarden voor di probleem. ii) Laa zien da ui deze randvoorwaarden volg da een lijn x = consan na de buiging nie meer rech kan zijn. iii) Sel:,..::,i. : ~~ w(x,y) me

26 - - Kies c 1, c en c 3 zodanig da w 1 (x) een pariculiere oplossing van de plaavergelijking is en da w 1 (x) aan de randvoorwaarden op x ~ voldoe. Aan welke vergelijking moe W (y) dan voldoen. Hoe luid de algemene m oplossing van deze vergelijking, onder de resricie: W (-y) ~ w (y)? m m Hoe luiden de randvoorwaarden voor W (y)? m Bepaal hierui W (y). (Hin: schrijf (x - a ) in de vorm van een m - cos-reeks: "' I' mrrx (x -a)~ L cm cos(ä')) m~l,3 Beperk U voor de volgende wee vragen o de eerse erm in de onwikkeling (geef een schaing voor de hierbij gemaake fou) iv) Sel: a >> b. Bepaal de doorzakking voor he limiegeval: (b/a) ~ 0. Vergelijk de doorzakking in (x,y) ~ balkenheorie, ± a (0,0) me die volgens de klassieke v) Beschouw: a «b. Bepaal voor di geval de doorzakking (onder ver- -e waarlozing van ermen van O(e ), me e ~ rrb/a) en laa zien da de vi) plaa op enige afsand van de randen y ~ ± b nagenoeg cylindrisch uibuig (d.w.z. w(x,y) is onafhankelijk van y ~rechen x; consan zijn ook na buiging nog rech) Neem aan da de plaa langs de randen y = ± b word belas door buigende momenen per lenge-eenheid: M(x), Hoe moe M(x) dan gekozen worden opda de plaa zuiver cylindrisch uibuig? 8' 4. ( M M 1h R ~ i... J J I I / a) Een cirkelvormige plaa, sraal R, word langs zijn omrek gebogen door consane buigende momenen M. i) Formuleer de randvoorwaarden op r = R. ii) Bepaal de doorbuiging (neem aan da de rand r = R nie verplaas). 111) Bepaal de buigende momenen en dwarskrachen in de plaa, b) Beschouw hezelfde probleem als hierboven, maar nu voor een plaa me :. f

27 , een ga, sraal a. De rand van he ga is vrij. Bepaal de doorbuiging. Beschou~< de limie (a/r) Kom deze overeen me geval a). a.s. a I : l _j_,,,''''' R Q I I ' _Y. l"-.. """"~ ~ Q Een ingeklemde cirkelvormige plaa, sraal R, me een ga, sraal a, word langs de rand van he ga belas door een consane dwarskrach per lenge-eenheid Q, me p Q=-. rra i) Formuleer de randvoorwaarden op r = R en r a. ii) Bepaal de doorbuiging w(r) van de plaa. iii) Bepaal de helling w' (r) in r = a, en laa zien da deze helling iv) voor a -+ 0 coninu naar nul gaa. Bepaal: lim w (a), a-+0 :; en bewijs da deze gelijk is aan de doorbuiging van een volle plaa me een punlas P in he midden, welke laase gelijk is aan: w (r) -log(-) r r ] (r > 0) R R 'i (Zie Timoshenko: Plaes and Shells, pag. 74, verg. (9).) 8.6. p

28 - 4 - Een opgelegde, cirkelvormige plaa, sraal R, beva een sarre, cirkelvormige kern, sraal a, welke aan de plaa is gelas, De kern word belas door een krach P. Bepaal de doorbuiging van de plaa, Laa zien da deze doorbuiging in de limie a _,. 0 overeenkom me de doorbuiging van een volle, opgelegde plaa onder een krach P in he midden, welke laase gelijk is aan: w(r) PR { (3 + V) - 8iiii (1 +V) ( l r - -) + R (zie Timoshenko, pag. 65, verg. (k)), 8,7, R a a) Een cirkelvormige plaa, sraal R, word belas door een consane normale druk q, Bepaal de doorbuiging van de plaa en de buigende momenen en dwarskrachen in de plaa. b) Beschouw hezelfde probleem, maar nu voor een plaa me een vrij ga, sraal a. Bepaal weer de doorbuigingslijn, Laa zien da in de limie (a/r) ->- 0 weer de resulaen van a) worden verkregen, 8,8. '" " // R / R -L L ir '!-,. m 7

29 ', Tussen de middelpunen van wee idenieke cirkelvormige plaen, sraal R, is een reche saaf, lenge ~, me cirkelvormige doorsnede, oppervlak F, bevesigd. De sraal van de saaf is veel kleiner dan die van de plaa. De plaen zijn aan de randen ingeklemd. De saaf word T K in emperauur verhoogd. ~epaal de lengeverandering van de saaf en de normaalkrach in de saaf.

30 - 6 - ANTWOORDEN Hoofdsuk a) i) 0,; z < ~ zz p s' 1 ~ < z,; ~ zz ii) Sijfheid c (E 1 s 1 + E s H iii) w (E 1 s 1 + E s )P ~ b) i) saaf 1 zz saaf zz ii) w Pz. (ElS I + ES) Sijfheid c ElSl + ES ~ iii) w : p~ (E 1 s 1 + ES) (:u> c 1.. pg(~ - z) +~ w (pg~ +.!:!.) ~ - 3. z zz S E E 1.3. a) =-a.p, -p, : 0 yy zz xy yz xz "",,, e = e = [v - a (I - v) Ji ' e = ( va - 1 ) l, "" yy zz E

31 - 7 - e xy e yz e XZ 0 ' b) u = [ \/ - Cl (1 - \/) JE. E 1 c) Cl =~ (l = 1 - \/ \/ V= [\/ - a(l - \/) ].1l. E, d) \/ = ". w a) (al + a)elet zz (El + E) w = "'1 (El - E ) + E (al (El + E) - "') Tz voor 0,;; z,;; "'1 (El - E) + E (al - a) (El + E) T ~ + _"'.::._(_E::.,_-~E;;'1:..)-;-+~E~l-(_a::._-_"'...:1:_) T ( z - ) ' (El + E) voor s z,;; b) Saaf 1: zz (a - a 1 JE 1 E T (El + E) (al - a JE 1 E T Saaf : zz (El + E) w (alel + "'E) (El + E) Tz a) b) c) pfz pw z zz = " w =.E.!!L 6E pw (~ (3 ~ - z) z ) z. ' Hoofdsuk. XX = yy xy = XZ yz = 0 ' zz...lo _ xl R nr

32 - 8 - e e - ~(1 x) xx yy e R zz 1!ER e e e 0, xy yz xz...e.._(l!ter ~) R VPx P [ u = - ~ + ---r z + v (x - y ) ],!TER TIER ~ vpxy v=- + 3'!TER TIER Pz w=--!ter Pxz 3!TER c) d) w.. b) xx xy = YY XZ = 0 yz, zz p = -- 4ab ( b VP e e XX YY = -- 4abE..:!., a (1 +.1., _ 3x) b a e zz p = 4':iliË ( ~) b a e = e e = 0 xy yz XZ ') u = VPX --- 4abE 3VPxy + 3P [z + V(x _ y)], 4ab E 8a be w

33 - 9 - d) ~(0,0,!'.) Neen (mis a 'I b). Pl'. (~! = ~ a 3 l'. -i) ' 1 ) e) w 7P l'. BabE. 3. a) y 0 = ~a, - -r-,----_y!i. 5 3 I x =-a 1 I y 8 3 =-a 3 1 b) zz cos ~ +!5 x sin ~], overige ij = 0 c) Noem a hoek ussen snijlijn en y-as: 3 an a =!5 an ~. d) 3M cos a uox = 16Ea3 6M sin ~ z u Oy = 3 z SEa e) ~(!'.) f) w M l' (16 cos a + 5 sin ~) Ea.,.;. 4. a) 0,; z <!'.: zz ( l'. < z :5!'.: zz overige ij = 0.

34 b) 0,; z,; ~ uo(z) M =---:;, 1TER 1 R.,; z,; i: uo(z) MR. (1 z) M = z 4 ~ 4 1TER rrer a) e XX e YY e zz ex (a + bx), e xy e xz e yz 0 b) Hoofdsuk 3. ' '. I '( r~--r-)... z --R P_ R = ( 1 + %À) P,': [(M.).Pf- RI] J< ii) u (z) = ÀP 3 4EI ( R.z - z ) ' O:Sz<, = ~(9 + 6À + n )R. + 3(1 + >-)z], 1EI (1 +À) R. < z s ~ iii) Àn ( ) =--x zz rnax I max.p.v. z = ~ b) i) ii) Mz u(z) = ëëïî (z - ~), Q,;z<~ R. < z,; R.

35 iii) M ( ) =-x zz max I max.p.v. z R. 3, 3, a) pcr u (z) = """"'"'-- (zi - z i + z ), 4EI i (zz) max =1..:_x BI max.p.v. i z =- b) 1 Mo =- pgi 1 ~ Q z '--fpj! )Mo }r>jl i ( ) = 1..:_ x zz max 1I max.p.v. z 0, of i, I,,, j, 3.4. Rf ( lr z l R =-~EI u u (z) e<a 3 =- ( iz - z ), 4i

36 a) In AB normaalspanning a volgens: a = 3EiaT (ll)ab at (1 +-ll.) S (~. voor slanke balken: 1 b) (z-as langs CA) 3I _ +-- s 1) 3aET ( - z) x, u (z) at 3 (3z - z ) 3.6. Noem hoek ussen ~ () en x-as: 0 S. Dan an S = a an a b c = p f(z) P(z b) - I = I y y ) (Iy 4 3 =-a b) 3 c) e = e _.:!_E (z - )x, XX yy EI (1 + V)P EI (a exz = - x ) e zz e xy p = (z - )x, EI e = 0. yz 3.8. Zie collegedicaa:.7.

37 Hoofdsuk 4 4. L ez Mr 4 7T (R - R4) 1 I M ("'- 7TR d 'I d << R) I hoekverdraaiing: M 4 :rg (R R4) 1 I ("' M 7TGR 3 d I d«r) D = 7T 4 - G(R - 4 Rl) 3 ("' 7TGR d I d << R).,,." 4.. ez D M w --;rr 7TR 4 7TR Gl G (Gl +G ) al M w 4 7TG R 1 I M w a = 4 7TG R I ~,, r ::ii 4.3. (1) ez =.1!!. 4 7TR1 r I al M --4 I 7TGR 1 () ez M =- 4 7TR r I a M --4 I 7TGR D 4 4 7TGR 1 R (R: + R~) 4.4. = = =0 1 xxxyyy yz = My 4 I 1TR zz N =, 7TR '.,' e XX '"e yy e xy = o, e = xz e... ~ 1 Yz 4 rrgr e zz

38 M vn u = ---4 xz --- x 11R 11ER M vn v = --4 yz ---- y 11R 11ER w N 11ER z ' 'max 1 I 1TR 3 (NR + M), =\ M --3 ' 1TR als NR < M als NR > M, 4.5. = = =O, xx yy xy xz M z --4 x, 11R yz M z 4Y 1TR zz 4M x 4Y 11R e XX e YY - ve zz y ' e xz -M z --4 x 11GR e yz M z --4y 11GR u = M z xz 1TR 4vM x xy 11ER M M z x V= 4YZ TR 11ER w 4M x -- yz 4 11ER 1 _/ 11R3 T ma x -\ Mz (M +M) x z als M z < M x als M --"1" z 11R > M x (I) 4 11GR M w = T ' 8 ( ) p y 4 J11aER = () ' (II) 4 M M (I), p J11aER w w y S 3 8 () ' M x 4 J11aER 8 ( ). {..

39 Hoofdsuk a) xz yz M ----ry 11ab M = --3- x I 11a b (a + b )M " = Ga b D Ga b (a + b) b) Sel a > b: in (x,y) = (0, ±b) M Tmax = 11 ab c) 1T IP = 4 ab (a + b ) d) e) XZ yz M = --y 7Tab3 O(b)xz a ---r I " "" M 11Gab

40 a) y + alï ~ 0, y/3 + 3x - a = 0, y/3-3x - a ~ 0 b) c) ~ 1 3~ 3 }':;". Ga7)(3y - ay Y3-6 a y3-9x y- x ay3) xz Ga r.;-. (3y - 3x - ayy3), a/3 G a r.;-. ~ - (6xy + ax 3), yz a/3 d) ~ XX xy ~ ~o. yy zz 1,13 1 (a-y/3) IY' ( D ~ -BG ( -- Ga 4 /3") 1 ~ x~o y~- - a 3 6 F(x,y)dxdy Zie collegedicaa (.6) Hoofdsuk a) v.s.t. b) V.V.T. (IT := pr1/(r - R1)) R R rr r r ll (1 - -) ee = ll ( 1 + ) ',. a) b) zz /0, a) ~""'-. vp, b) R!ko (1 + vl-] rr E r e - \)) - e -~ zz E R (1 +\))Jj[(l -\)) rr E r e - -J ' eee ~ ~(1- vl +

41 Limiewaarden: rr -p[l - R - r ] ~ (»l ll. rr 6.. i) T ii) ~: rr = ee = EE R 1 (1 Rl - -) R ~linder: rr EeR 1 (1 R r -z - -) R i re ez rz zz 0 (overal) -1 ', :~,, 6.3. i) (VST). Hin: ga ui van Airy-funcie: u XX xy = 0 ' yy xz yz zz 0 ' e xx e yy e = e = e ~ 0 -,, xy yz xz ii) (V.V.T.) XX 0 xy ' YY = -cl - c x ' XZ = yz 0 ' =-v(c zz 1 e XX v(l+v) E (cl + c x)l e yy (1-v) E (c 1 + c x) 1 e =e =e = xy zz xz w 0

42 a) (VST) i) xx = -aet, overige ij 0 ii) Ah (1 + \!)ath b) (VVT) a ET i) XX zz (1 - \!), overige ij = 0 a Th ii) Ah = -:-:-""""'-: (1 - \!) 6.5. ii) iii) v) = -T xy e xy a1 = -T T G overige ij 0, overige eij 0 a = 0, a3 = T, onder 45 0 me x- en y-as. vi) w abh G Hoofdsuk XX a, :::::; -(}, 'YY overige ij 0 (1 + \!) e XX E a, e YY (1 + \!) E a ' e =e =e =e =0. zz xz yz xy Dike onveranderd. 7.. i) Goede verdeling als: a(z) =a= consan. = ax, yy overige ij = 0 h ii) Nx = N = 0, N = x a (Z) dz xy Y" f -h iii) i} - ii) als a(z) =a

43 ) y 0 YY 3P --x 4a 3 h y ~ = 0, yy xy xy 3P - sa 3 h -, (x a) 3P -- (x - a ). sa 3 h ii) U(x,y) p = -- (y- ~)(x - 3a )x. 4a 3 1i1) o, XX YY 3P - 4a\ ( ~ - y) x, xy 3P -- (x - a ) Sa 3 h iv) e XX 3vP 4Ea 3 h (~- y)x, e yy 3P 4Ea\ ( - y)x, e xy 3(1 + V)P BEa\ -. (X a) ) 'ITX YY a xy y ± : = a cos(-), x = ± a : = 0. XX xy 0.. Ui) (X = ± a) 'I 0. XX f(h) a a = -, f' (~) iv) f(y) A cash(~) a + B r sinh(7) v) A a a (sinh (8 + sinh 'IT 8 cash 8) 8 cash 8), B a a 8 sinh 8 - (8 + sinh 8 cash 'IT 8), a = a vi) f(y) =-~ 71

44 Vi1) XX xy, (7fX) sj.n- a 7,5, a) ii) a '. overige ij 0 iii) u r (1 - v)o E r ' 0, u z (dike) = (1 - vo) (dike) na E voor b) i) OR 0 ii) 7.6. i) u (r, el = Al log r + c r + [A r 1 i i) Al = c = D = 0. + B r 4 c + + o Jcos e. r iii) cl a a a =ii A = -ii, B =- lr a ( 1 6) a rr (-l re = + cos, =- + a (l (l i R e} ee =- - + )cos ; vr e = 4-1: l - V + (l + V + ~)cos e], rr E R a r J eee = '?1 - V - (1 - V + )cos 6, R (1 e = + V)O[-l + r sin e] re E R r ). sj.n R e

45 - 41-1v) ~ V ( 1 + -) E I a) i) pf r = pw r pfe 0 ii) rr (3 + V) (3 pw (R - r ) + 8, ee 8 V) pw R (1+3v) pw r 8 111) op r = 0 (0) = ee <Ol = (3 + v) pwr rr 8 b) i) rr (3 + V) ar pw (R + a r) r-, r 11). (3 + V) ar (1 + 3v) ee pw {R + a (3 + v) r r} i) ii). iii) M ee = z 1 0, rr r e = - -iih r (1 + v)m z R u = 0 ue = (r - -) r (l +v) (R a) M z rrha R E 11hR E r iv) M ~ --L, 71ha voor r = a i) = B (1 rr R - -) r ee = B(l R + -) r me B = [(1

46 - 4 - ii) i) -aet/(1 - v) ii) rr a ET (1 - V) ( 1 -.!L) r a ET (l - V) (l R + -) r 0 iii). HOOFDSTUK a) i) XX 3M 1 - h3 z, YY 3M - h3 z xy xz yz zz 0. i i) 3 e - -(M - vm )z, XX Eh e - )(M - vm ) Z yy 1 1 Eh e e = e 0, xy XZ yz e zz 3v Eh 3 (M1 + M). b) i) 1 a w 3 1 iii).-= 3 --= a w (M1 - vm ) Eh 3 -= R R -=- a x y Eh 3 x M = -M M XX 1 YY ay (M -M, M = Q = Q = 0 xy x y. - vm 1 ). 8.. a) i) w (x,y) a b q 0 ii) M = XX 4a b q 0 ( b) 1! a + (b + 'TTX ll va )cos < a) cos ( b) M yy 4a b q 0 'TT (/ + b) (a + 'TTX ll vb )cos( a)cos( b)

47 M (1 - I!) a b 'lrx, m::_ xy sin( + b) a)s~n( b) rr (a Qx ab q 0 rr(a + b) TfX!J:. sin (;;') cos ( b) iii) Qy w(o,o) ~ bq 0 TfX, ~ '!r(a cos( a)sw( b) + b) 16 a 4 b 4 qo 4 ( b) D rr a + b) i) me w(x,y) = I I B mrrx) nrry m=1,3 n=1,3 mn cos (a cos ( b ) 56q 0 (-!) ':! (m+n) B = mn D!f6 m n mn(- + -) a b ii) I I [ (E!:!!.) nn mrrx nrry M D + "(b) ]Bmn cos (a) cos ( b ) XX m=1,3 n=1,3 a M yy M xy (1 - I!)D L I m=l,3 n=1, Qx = - D I I ~ (E!:!!.) + (.!!!,) ]B a a b mn m,.1,3 n=1,3. mrrx nrry s~n (a) cos ( b ) Qy - D I I ~ (E!:!!.) (.!!!.) ]B ffi"1,3 n=1,3 b a + b mn m1rx nrry cos (a) sin ( b ) i i.i) a b q 0 m=1,3 n=1,3 rr 6( a + b) D w(o,o) I I Bmn +.

48 i) x=±a w=4=o, 3X y = ± b L!! + \) ay L!!- - a x 3 L!! + 3 ay 3 ( - v) a w ax ay 0. W (y) = A (m) sh (m 11 y) + A (m) :i. sinh (m11y) m 1 co a b a ' Randvoorwaarden: m1! W" (b) - V(-) W (b) m a m W'" m 11 (b) - ( - v) (- ) W' (b) m a m 0. Eerse erm: 4 --~-.::.6.:4..:.V9;a;a=------~( [ ( 1 + v) S - msc ]cash(~) + D(m1T)S{ (3 + v)c S - (1 - vlms} ( 1 -v) m m mm +!!!.ê:i. S sinh (mbsy) }, b m me: cm cash (Sm), s m 1Tb sinh (Sm), S = - a iv) L v qa 11x w (><._y) - 40 (x - 6a x + Sa ) + -.;;..:..;.,,.:;--=-."s cos (oi) (1 - v ) D11 v) a 4 4 w(x,y) = _._ (x - 6a x + Sa ) + 4D *) m.b.v. : (x - a ) = z: ( l) J,(m+l)3a (m11x) cos ---- a m=1,3 m 1T

49 ,<.' vi) V M (x) = q (x - a ) 8.4. a) i) r = R V w"(r) +- w' (r) r M D d dr (llw (r)) 0. i i) ': iii) M rr 0 b) w(r) MR a r ' log (R) (1-v)D(R -a) i) r = R w (r) w' (r) 0, V r = a : w"(r) + - w' (r) = 0 r! (llw(r)) p - 'JTaD ii) w(r) = _.!:,!L { (l - V) R + a [ (l + V) log ( a/r) V] ( 1 bd [ (1 -v)r + (1 +v)a ] a [ (1 +v)log(a/r) + 1] + [ (1 -v)r + (l +v)a] 8.6. w(r) = PR ([(3 8TrD. + v)r + (1-v)a ( log(a/r) + 1)](1 [ ( 1 + V) R + ( 1 - V) a ] --~~a~[~1~-~l~og~(a~/~r~)~]~- r + log (R) [ (1 +v)r + (1 - \. )a] a) q,(5+v) 4 (3+v) 4 w(r) = ~ ( 1 + v) R - ( 1 + v) r R + r ], M (r) = (3 +v)q (R - r) ' rr 16 q, ] Mee (r) = T6l (3 + v)r - (l + 3vlr,

50 b) w(r) r +Ba r log (R) 8.8. N /ü

51 TENTAMENS De nu volgende enamens zijn deeloesen Fysica 40 over de vakken: Variaieprincipes (Menken; 1 opgave) en Elasosaica en Plasicieisheorie (Alblas).

52 I i) I I I I I ' Een elasische apse saaf is bij x 0 varicaal opgehangen an word belaa door zijn eigen gewich, De lenge in onbelaae oeaand ie 1, de elasicieismodulus E, de mssaa per volume-eenheid p an de veranelling van de zwaarekrach g. De apebeid ia zo gering, da een lijnapanningaoaaand varonderaeld mag wordan. Voor ha oppervlak A(x) van ean dwarsdoorenede ar plaaae x geld x A(x) A(O)(I -!), Da axiale varplaaeins ia u(x), De rekken zijn zo gering da de lineaire elaaicieiaheorie gabruik mag worden. Formuleer de poeniële anergie funcioneel an definieer he kinamaiach oelaabaar aelael. ii) Leid hiermee de in da axiale spanning xx uigadruke lokale evenwicharelaie af. iii) Hoe luid da in u(x) uigadruke Eular-Lagrange-vergalijking en de iv) nauurlijke randvoorwaarde. Banader u(x) me de funcie, u(x) bx an bepaal me de mehode van Riz de waarde van b, v) Geef een uidrukking voor de bij deze benadering behorende apanning xx welke conlisen ia ma he variaieprincipe. vi) Bepaal ma de selling van Caaigliano aan zo eenvoudig mogelijke inegraaluidrukking voor daverplaaeins u(~).

53 Een dikwandige buil, binnensraal R, buiensraal a, van een homogeen, isoroop, lineair hermoelasisch maeriaal zi alzijdig opgesloen in een onvervormbaar ga, De buis word T K in emperauur verhoogd. De buienafmeingen van de buis zijn zo groo (a>> R), da O(R/a) ermen verwaerlooad mogen worden. Di houd in da op r a een uniforme normaalspanningsoesand heers welke onafhankelijk van he ga is. i) Heers in de buis een: vlakke vervormingsoesand, vlakspanningsoesand, of een gegeneraliseerde vlakspanningsoesand? Geef de definiie van de door U gekozen oesand. ii) Bepaal de spanningen in de buis. iii) Hoe groo is de binnensraal van de buis na de deformaie? iv) Bepaal de spanningsconcenraiefacor; di is de waarde van he quoiën. R)] me ga R>) zonder ga voor R _,. 0.

54 / !J 111&----=z' f- Een cylinder, lenge 1, me cirkelvormige doorsnede, sraal R, van een homoaeen, isoroop, lineair elasisch-ideaal plasisch maeriaal word in de einddoorsneden belas door buigende momenen M. De cylindermanel is onbelas. De spanningen in de einddoorsneden zijn "goed verdeeld" (we beschouwen alleen he gerelaxeerde probleem). i) Druk he momen M ui in de spanningen in een loodreche doorsnede. Be6chouw voo~ de v~agen ii) ~/m v) aleen ea&~che ii) Bepaal de spanningsverdeling. iii) Waar reed de maximale spanning op? iv) Scb:djf voor di probleem de vloeivoorwaarde van von Mises ui. Waar reed voor he eers vloeien op? v) Bepaal de waarde M* van M waarvoor vloeien begin. vi) Verdeel de doorsnede in een plasisch en een elasisch gebied. Waar zal he plasisch gebied liggen? vii) Bepaal de spanningen in he elasische en in he plasische gebied, viii)ui welke condiie kun U de grens van he plasische gebied bepalen? i x) x) Schrijf deze voorwaarde ui (zonder de inegralen ui e werken!).. ** Bepaal he bezwljkmomen M We onlasen de balk. Verklaar waarom er na he onlasen nog residuepanningen in de balk kunnen opreden en bepaal deze residu-spanningen. Sches he verloop van deze spanningen over de doorsnede.

55 BASISVERGELIJKINGEN ELASTO- & PLASTOSTATICA Verband deformaies en verplaasingen: e.j Hui.+u.. ) 1,J J,1 Evenwichsvergelijkingen:... +pf. O 1J,J 1 Consiuieve vergelijkingen (lineair (hermo)elasisch) me E G (1 + v) (cyclisch), ae ae ae.. (- -Z!. + -!. + -l. ) ax ax. ay az (cyclisch) Roaie-symmerische problemen: uiwerking in cylindercoördinaen: au u aw err ar..- e r zz.-. e ~ (.!!. + ~) az rz az ar a a rz "Tr" +--!!.+...!!-o. az r en (compaibiliei) aeee err - eee "Tr"- r 0, a e a e a e rz rr + zz araz az ar Vloeivoorwaarde van ven Mises: ( - ) + ( - ) + ( - ) + 6( + + ) - 6k XX yy yy zz XX zz xy yz xz

56 - 5 - ANTWOORDEN TENTAMEN iv) b =~ v) 9E 4 - pg~ XX 9 vi) u(~) ~ I!.S. J (3~ - 4x~ + E ( ~ - x) 0 4~) dx (=.e... 3 E (- - log )).. ii) CLET rr (1 - v) r ( ) CLET - (1 - V) (1 + zz aet. (1 - V) re rz = ez 0 i i i) [1 (1 + V) CLT - ]R, ( 1 - v) iv) 3. ii) zz V) M * 1T 3",- 4 kr >'3, i x) ** 4 3",- M = 3 kr Y3 x) (res) zz -R ::::; x :s;; -a, a 4M x+-- 4 x 1TR -a ::::; x s: a, r.:- 4M - ky3 +-x 4 1TR me: x r::: ± a grens ussen elasische en plasische gebied.

57 ~~~(~====4=p======~p / / / Een ingeklemde balk me consane buigsijfheid EI word belas door wee even groe krachen P (zie figuur). Onder invloed van deze belasing vervorm de balk in he vlak van de ekening. i) Bereken de doorbuiging van he recheruieinde van de balk me de mehode Riz bij een veronderselde doorbuigingsvorm nx w(x) = a(l - cos 4rl. ii) Bereken deze doorbuiging ook me de selling van Casigliano. iii) Geef in een grafiek he bij de aanpakken i) en ii) behorende verloop van he buigend momen en inerpreeer de verschillen.

58 1 ji / / Een dunne, cirkelvormige plaa me een ga, dike h, buiensraal R, binnen- 'i! sraal a, is aan de buienrand ingeklemd. De binnenrand is vas verbonden aan een sarre schijf me sraal a. Oe schijf word in he vlak van de plaa j verdraaid over een gegeven hoek ~ om zijn middelpun. De plaa is van een ij lineair elasisch maeriaal en he probleem mag worden beschouwd als een gegeneraliseerde vlakspanningsoesand. i) Welke zijn de onbekenden bij di probleem? Van welke coördinaa zullen deze onbekenden alleen afhangen? Geef de benodigde vergelijkingen. Formuleer de randvoorwaarden. ii) Bepaal de verplaasingen in he vlak van de plaa. Laa zien da deze verplaasingen zuive.r angenieel zijn. iii) Bepaal de spanningsverdeling in de plaa. iv) Bereken he momen da op de schijf moe worden uigeoefend om deze over een hoek a e verdraaien. v) Waar zal voor he eers vloeien opreden? Bereken he momen, me de bijbehorende verdraaiing ~. voorwaarde van von Mises. bij he begin van vloeien, onder de vloei-," :' {' j <'

59 V M z M zb L--+--7( Een lineair elasische cylinder, lenge i, me rechhoekige doorsnede, a x b, word in de einddoorsneden belas door wringende momenen M. De cylindermanel is onbelas. (We beschouwen alleen he gerelaxeerde probleem~ I de spanningen in de einddoorsneden zijn dus "goed verdeeld"). Ga ui van de volgende veronderselling voor he spanningsveld: i) XX yy xy ; 0 zz Bewijs, m.b.v. de evenwichsvergelijkingen, da en onafhankelij xz yz van z zijn. ii) Druk en ui in een spanningsfuncie F(x,y), zodanig da idenyz XZ iek aan de evenwichsvergelijkingen is voldaan. l '~ iii) Formuleer de randvoorwaarden op de manel in xz en yz en in F(x,y) ;.~.: iv) Sel: ~ v) F(x,y) en bepaal c 1, willekeurig). l c en c ui de randvoorwaarden op de manel (C is nog 3 J Bepaal de bijbehorende spanningen. Geef he verband ussen C en M.. ~ o') :::: ::: :,:::,:'"'""~" '""""""" < bd "'"' do ooo<o ""'~"'"'' ;,j '! '~.~-~ J 'l ;~;1: -,: K ~..:( >,,.'/. i....,. ) '.'1. -.; --~!.1 '

60 BASISVERGELIJKINGEN Verband deformaies en verplaasingen: Evenwichsvergelijkingen: Consiuieve vergelijkingen (we van Hooke): E ( 1 + v) Compaibilieisvergelijkingen: +, (cyclisch), ae ae ae ~(- ~ + ~ + ~) (cyclisch) ax ax ay az ' Gegeneraliseerde vlakspanningsoesand: uiwerking in poolcoördinaen e rr 1 -( E rr - ve e) ' eee 1 "E<ee - v rr ) e re ( 1 + E V) re ' e rr au a; ' u 1 av eee +-- r r ae ' l(l au av e +-- ~) re r ae ar r (u U, r V Vloeivoorwaarde van von Mises:

61 ANTWOORDEN, TENTAMEN I i) 18(4 -/) Pi 3 ("" 3 37 n 3 ) w( 9_) = ET ' EI TT ii). ii) u r = 0 J iii) iv) v) 3. iv) = -Cy(a - x ), xz = Cx (b - y ), yz ): v)

62 (Variaieprincipes). ~ ;> El El /, /!J x r- ~ :::.: / 'W(X} / z / / I p ] A Gegeven de in de figuur geekende, bij x = 0 ingeklemde balk me verepringende dike. onder invloed van de krach P er plaase x = vervorm de balk in he vlak van ekening. De relevane buigsijfheden zijn EI en EI (zie figuur) i) Bereken de zakking w() van pun A me de selling van Casigliano. ii) Geef ook de benaderde zakking van pun A me he principe van de minimale poeniële energie bij een aangenomen Zakkingsfuncie: w = a + bx + ex, welke geld voor he gehele gebied [0,~]. i.ii) Teken in één figuur de werkelijke momenenlijn en de bij de in ii) iv) verkregen benadering horende momenenlijn. Beredeneer de berekkelijk groe discrepanie ussen de bij i) en iil gevonden resulaen

63 Beschouw een reche, slanke balk (lengecoordinaa z) me een normale belasing per lenge-eenheid: q(z) in x-riching. De buigsijfheid van de balk is EI. De doorbuiging geven we aan me u(z) i) Leid de globale evenwichsvergelijkingen af, ii) Geef de in de echnische balkenheorie gebruikelijke consiuieve vergelijking voor he buigende momen. iii) Leid ui i) en ii) de balkenvergelijking af. )( Een balk AB, lenge 1, is in A (z De belasing van de balk is: 0) ingeklemd en in B (z 1) vrij, z q (z) = q (! - 'I) (q : consan) iv) Bepaal de uibuigingalijn van de balk. v) Bereken de zakking van B. vi) Bereken he maximale buigende momen in de balk en de plaas waar di opreed. Beschouw dezelfde balk als hiervoor, maar nu onderseund in B. vii) Bepaal de reaciekrach in B,

64 z ,------<~,/,/ / Een dikwandige buis, waarvan in de einddoorsneden de axiale verplaasingen zijn verhinderd, word belas door een consane inwendige druk p. De bui; is opgebouwd ui wee cylinders me verschillende elasicieismoduli: De dwarsconraciecoëfficiën v is overal gelijk. Ga er van ui da de spanningsverdeling in een homogene buis me binnensraal a en buiensraal b en me een inwendige druk p. en een L uiwendige druk Pu bekend is, en wel gegeven door:. a Pi - b p u rr = (b a) + a b (pu - pi) (b a ) I r, ee a p, - b p L u (b a) a b (p - p.) U L (b - a ) r 1, rz 0

65 - 61-1) Bepaal hiermee een spanningsverdeling voor de hier boven beschreven gelagerde buis, waarin nog één onbekende parameer voorkom. Wa sel deze parameer voor? Geef aan (zonder di al in deail ui e werken) hoe U deze parameer kun bepalen. ii) Bepaal voor he geval da he maeriaal van de buis incompressibel is (v = ~) en da R, R en R zijn gegeven door 1 3 de spanningsverdeling in de buis. iii) Formuleer de vloeivoorwaarde van van Mises voor di probleem (me de numerieke waarden volgens ii)). Voor welke waarden van de verhouding iv) reed he begin van vloeien nie op aan de binnenrand r Waar begin he vloeien dan? * Bepaal de waarde van p (p ) waarvoor de buis begin e vloeien, (Bedenk da deze waarde afhankelijk is van e). R? i

66 - 6 - BASISVERGELIJKINGEN Vlakke vervormingsoesand, roaie-symmerisch: d - ~ + ~r~r~---e~e~ dr r = 0, du dr ' u r e rr ( 1 + V) [ ( 1 - V) ) E rr - v 88 (1 + V) E [(1-vlee ~ Vloeivoorwaarde van von Mises: ( - ) + ( - ) + ( - ) + 6 ( + + ) xx yy yy zz xx zz xy xz yz ',

67 ANTWOORDEN, TENTAMEN i) w(0 ii). q.q,4 iv) u (z) [ 10 (~) + 5 (-) - 10EI Q, Q, Q, Q, 10 (~) 3 z 4 (~)SJ _sl v) vi) q.q, vii) TO q 30EI 6 3. ii) R,; r < R: SR (7-3e - --) (e rr 3(e + 7) E/El) r SR ee (7-3e + --) 3(e + 7) r ' (7-3e) zz 3 (e + 7) p, re ez 0 rz R < r,; Rff 4ep 7R rr 3(e + 7)(l- -) r ee zz iii) iv) Vloeien op: 4ep 7) ( 1 + 7R -) 3 (e + r 4eJ re ez 0. 3(e + 7) ' rz r ~ E 3(e + 7) Rl R als -< 4 voor p ' El ' 8 k E 3(e + 7) r R R, als -> 4 voor p El ' 7e k ::.," c,,< I

68 (Variaieprincipes) ; I ~ x --..'1-1-- ' / / J Gegeven de in de figuur geekende, bij x = 0 ing(~klemde homogene, cylindrische reksaaf. De elasicieismodulus is E en de oppervlake van de dwarsdoorsnede A. Op de saaf werk een verdeelde belasing me de grooe per lengeëenheid q voor x E (0,0 en q voor x c (~.9) (zie figuur). De axiale.krach in de saaf geven we aan me N = N(x). i) Bereken de axiale verplaasing u(~) van he pun B me de selling van Casigliano. ii) Geef ook de benaderde verplaasing van he pun B me he principe van de minimale poeniële energie en een aangenomen verplaasing: I B u = a + bx, welke geld voor he gehele gebied [0,~]. iii) Teken in een grafiek me de assen N/q~ en x/ : - he werkelijke verloop N/q. iv) - de bij ii) horende benadering voor N/q~. Beredeneer de discrepanie ussen beide resulaen.

69 Een reche, slanke saaf, lenge 9,, me n "' /f. '//, consane doorsnede, oppervlak S, en me elasicieismodulus E en dwarsconraciecoëfficiën v, is vericaal opgehangen in zijn bovense pun. De massaverdeling in de saaf is nie homogeen, maar verdeeld volgens:! z I ~;: l I p p p 1, voor 0 :5: z <.Q., p, voor. < z s.9- (z is de axiale coördinaa, zie figuur). - - I. kl l+ I! De saaf deformeer onder invloed van zijn eigen gewich; de versnelling van de zwaarekrach is g. We beschouwen alleen he gerelaxeerde probleem. i) Welke spanningen, deformaies en verplaasingen neem U ongelijk aan nul? Geef de bijbehorende vergelijkingen. Formuleer de (gerelaxeerde) randvoorwaarden en aansluicondiies. ii) Bepaal de spanningsverdeling. iii) Bepaal de deformaies van de saaf. Zijn deze deformaies compaibel? Blijven loodreche doorsneden bij deze deformaie vlak? iv).bepaal de axiale verplaasingen van de zwaarepunen van de doorsneden als funcie van Z(w(z)). v) Bepaal de oale verlenging van de saaf. vil Bespreek he verschil ussen de gerelaxeerde oplossing en de exace oplossing. Aan welke exace vergelijkingen, randvoorwaarden en aansluicondiies zal de gerelaxeerde oplossing nie voldoen? In hoeverre werken de afwijkingen in de gerelaxeerde oplossing door en op grond waarvan? Waaraan moeen de afmeingen van de saaf dan voldoen?

70 /~ ~~ /~ ~~~? '1- - i p :\.- - ; h I ; ' z. - -~ ::, a ; /~---- r Een holle cylinder me rechhoekige doorsnede, buienafmeingen a x b, wanddike h, lenge, word in een hoekpun van zijn einddoorsnede belas door een normaalkrach P (zie figuur). De begindoorsnede is ingeklemd.*) i) Formuleer he gerelaxeerde probleem. (Beanwoord_ alle volgende vragen voor di gerelaxeerde probleem.) ii) Bepaal de spanningsverdeling. iii) Bereken de deformaies. iv) Geef een vergelijking, waarui de meekundige plaas van de neurale lijn is e bepalen. Gaa de neurale lijn door he zwaarepun van de doorsnedé? Teken, voor a ~ b, in een doorsnede de meekundige plaas van de snijpunen van de neurale lijn me deze doorsnede. v) Bepaal de hoek ussen de componen in de doorsnede van de verplaasing van he zwaarepun van de einddoorsnede en de werklijn van he buigend momen in deze doorsnede. Wanneer is deze hoek gelijk aan n/? vi) Op welke plaas(en) is de spanning maximaal en hoe groo is hij daar? Bepaal me de vloeivoorwaarde van von Mises de waarde P * van P waarvoor,,._, -. de cylinder begin e vloeien. *) He doorsnede-oppervlak door (h << a(b)): S ""4(a + b)h; S en de raagheidsmomenen Ix en Iy zijn gegeven 4 IX "" 3 hb (3a + b); 4 Iy = 3 ha (a + 3b)