6.1 MICHELSON INTERFEROMETER
|
|
- Veerle Vos
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 6. MICHELSON INTERFEROMETER Inledng Lch s e beschouwen ls een sroom vn foonen, ls een connue energesroom lngs een srl of ls een elekromgnesche golf. In d hoofdsuk word lch beschouwd ls golf. Wnneer verschllende lchgolven geljkjdg dezelfde rume doorkrusen, reed superpose op. Superpose led, fhnkeljk vn pls en jd, o mpludes vn nul o mxml de som vn de vn de fzonderljke lchbundels. De hermee smenhngende nensespronen nerferenepronen zjn me he oog wrneembr ls zo'n proon ne fhng vn de jd en lleen de pls een beplende fcor s. D s he gevl wnneer de lchgolven fkomsg zjn vn coherene lchbronnen. Kenmerkend voor deze bronnen s he consn zjn vn he fseverschl ussen de ugezonden lchgolven. Om zo'n bron e relseren s een kunsgreep nodg. Eén zo'n kunsgreep s de vn één bron fkomsge lchbundel e splsen n wee ndere door mddel vn een semrnsprne ofwel hlfdoorlende spegel zols d gebeur n de nerferomeer vn Mchelson ze fguur 6.. Elke lchgolf u bron L word door de hlfdoorlende spegel A n weeën gespls. Eén deel g rchng M, he ndere rchng M. N erugksng door de spegels M en M worden de wee bundels opneuw gespls door de hlfdoorlende spegel. Uendeljk gn er wee bundels rchng scherm S. Op S ons een nerfereneproon. Vnu he scherm gezen komen de lchbundels u de schjnbre lchbronnen L en L. D zjn de spegelbeelden vn L v A en M respeceveljk M ze fguur 6.3. L * lchbron spegel B A S M hlfdoorlende spegel scherm C Fguur 6. Mchelson Inerferomeer spegel M Opdrch: spegelbeelden vn L Mk n je lbjournl een sches vn de Mchelson nerferomeer me drn ngegeven de schjnbre lchbronnen L en L. Sches de srlengng vn de srlen de nog jus op he scherm vllen n de punen B en C, volgens fguur 6..
2 Superpose vn wee lchgolven Sel d n een wllekeurg pun P vn he scherm S wee lchgolven y en y nerfereren: cos cos ω ω y y 6. De resulerende mplude P y P s f e leden, bjvoorbeeld v complex rekenen: ω ω ω P e e e e y y y 6. wru cos sn cos e y P P 6.3 De nense I vn he lch s evenredg me he kwdr vn de mplude. Ze s he groos ls he fseverschl geljk s n nul en he klens bj een fseverschl vn π. De nerfererende bundels vn de Mchelson nerferomeer hebben n heore dezelfde nense en dus geljke mplude. Elke bundel s door de spegel A één keer gerefleceerd en één keer doorgelen. Voor geljke mpludes en me δ s de nense I: cos 4 cos δ δ I 6.4 me λ π δ s, wrn s he weglengeverschl vn de wee lchgolven s, volg: cos 4 s I λ π 6.4
3 Lchbron: een Helum-Neon lser De lchbron de we n de opsellng gn gebruken, s een Helum-Neon lser. De nm lser s onsn u de smenvoegng vn de begnleers vn 'Lgh Amplfed by Smuled Emsson of Rdon'. He lch vn zo'n bron word nens gemk door een mehode de ngedud word me gesmuleerde emsse. D s een vorm vn wsselwerkng ussen lch en mere. Andere vormen zjn bsorpe en sponne emsse. Beschouw de grondoesnd en één hogere energeoesnd vn een oom of molecuul n een srlngsveld. De volgende processen zjn dn mogeljk: bsorpe vn srlng: vnu de grondoesnd kom he oom n een ngeslgen oesnd de hogere energeoesnd. sponne emsse vn srlng: he oom keer vnu de ngeslgen oesnd erug nr de grondoesnd. De emsse word sponn genoemd, omd he omgevende srlngsveld herbj geen rol speel. 3 emsse onder nvloed vn he omgevende srlngsveld: he oom vl erug nr de grondoesnd onder uzendng vn een foon d ne onderschedbr s vn he smulerende foon. Er reed een vernderng op vn 'een smulerend foon én ngeslgen oesnd' nr 'wee foonen én de grondoesnd' wrbj de foonen dezelfde rchng, golflenge en fse hebben. He omgevende srlngsveld s door de oevoegng dus verserk. Verserkng door proces 3 s echer op gespnnen voe me verzwkkng door proces. De kns d een ngeslgen oom volgens proces 3 vervl s even groo ls de kns d een oom volgens proces ngeslgen word. Proces 3 zl drom ps dán proces overheersen, ls he nl omen n de ngeslgen oesnd groer s dn he nl n de grondoesnd. Deze sue word nverse genoemd. In zogenmde wee-oesnden sysemen kn geen nverse opreden. He nl omen n de ngeslgen oesnd s hoogsens geljk n d n de grondoesnd. In d gevl zjn bsorpe en gesmuleerde emsse jus me elkr n evenwch. Inverse reed ps op bj beplde ngewkkelder nslgschem's. In de nslgschem's de hervoor n nmerkng komen, spelen meerdere nslgnveus een rol en speel de lserwerkng zch f ussen wee nveus drvn, her genoemd he bovennveu en he ondernveu. Om e kunnen 'lseren' moe he bovennveu een lnge levensduur hebben. He sponne vervl proces vn een oom s n d gevl gerng. De levensduur vn he ondernveu moe drenegen zeer kor zjn, zod er ljd weng omen n deze oesnd zjn. De grondoesnd s hervoor ongeschk. Lserwerkng speel zch dus f ussen hogere nveus. Bj de He-Ne lser s he Ne vernwoordeljk voor de lserwerkng. He bovennveu word ngeslgen door bosngen me mesbele He-omen ze fguur 6.. Deze He-omen zjn door een gsonldng v nelssche bosngen me elekronen n de mesbele oesnd gebrch. De energe vn deze oesnd s vrjwel geljk n de energe vn Energe 0 Helum S S 3 S bosng bosng.53 µ m Neon 3s 3.39 µ m s nm S grondoesnd 0 3p 63.8 nm lserljn Fguur 6. Energeschem vn een Helum-Neon lser p 3
4 he bovennveu vn he Ne. Door bosngen ussen de ngeslgen He-omen en de Ne-omen, drgen deze He-omen hun energe over n de Ne-omen, de ldus n he bovennveu gerken. He ondernveu heef een zeer kore levensduur m..w. vnu d nveu vervllen de omen snel nr de grondoesnd. D nveu s dus s vrjwel onbeze. He resul s d er nverse s ussen boven- en ondernveu zolng de gsonldng duur. Hoe word nu vn deze sue gebruk gemk om e lseren? Droe word he medum wrn de nverse s gerelseerd, gepls n een rlhole Engels: cvy wrvn de wnden een zeer groo reflecerend vermogen hebben. Beplde rllngen n zo'n rume kunnen drdoor lng gehndhfd bljven. Als nu één of meer rllngsoesnden Engels: modes vn de rlhole overeenkomen me de lserovergng ussen he boven- en ondernveu n he Ne, dn zl n de rlhole een srlngsveld worden opgebouwd. De sr vn zo'n srlngsveld s de sponne emsse vn een foon behorende bj een overgng vn he boven- nr ondernveu. D foon smuleer evenueel n reflece ndere foonen. De opbouw vn he srlngsveld g door o er een evenwch ons ussen he nl omen d n he bovennveu word ngeslgen en he nl d door gesmuleerde emsse vervl. Bj de He-Ne lser s de rlhole de rume ussen wee hoogreflecerende spegels. De n deze rume opgeweke srlng word 'ugekoppeld' doord één vn de spegels een klene rnsmsse heef. D uredende lch heef bjzondere egenschppen: - he s monochromsch me een zeer klene bndbreede, - he s coheren: ussen de verschllende punen vn de uredende bundel bes een vse fserele. D geld zowel n de lenge vn de bundel ls dwrs erop en geef nledng o de ypsche spkkelpronen op voorwerpen de me lserlch worden beschenen. He lch vn de lsers op he prccum s vrjwel monochromsch me de golflenge 63,8 nm. De vorm vn he golffron s engszns bolvormg, zod de lserbundel u een pun op enkele meers cher de lser vndn schjn e komen. IN VERBAND MET HET GEVAAR VAN OOGBESCHADIGING: ze 'Gebruk opsche componenen' n he begn vn d hoofdsuk. b Vrg: nerferene me spegels op geljke fsnd Als de spegels n een Mchelson nerferomeer L onderlng loodrech sn * L * en de wee bundels komen op he scherm S smen, s er dn een nerfereneproon e zen wnneer de bede b geomersche weglengen M vn de bron o n he scherm geljk zjn? W verwch je op he scherm e zen? L * L * M S L L * * S M M Fguur 6. 3 Pose vruele lchbronnen bj loodrech snde spegels en ongeljke lchwegen en b ne-loodrech snde spegels 4
5 c Opdrch: nerfereneproon me spegels op ongeljke fsnd G u vn de sue vn vrg b, mr nroduceer een klen verschl n lenge ussen bede wegen, wrbj de spegels M en M loodrech op elkr bljven sn ze fguur 6.3. Beredeneer hoe he nerfereneproon er globl u zl zen. d Opdrch: spegels op geljke fsnd, mr onderlng ne loodrech G weer u vn de sue vn vrg b en dr één vn de spegels een weng zod de hoek es vn ½π fwjk ze fguur 6.3. Beredeneer hoe he nerfereneproon er globl u zl zen. e Opdrch: berekenng vn he nerfereneproon Sel d P - de lserbundel ljk e onsprngen vnu een punbron cher de lser r m op fsnd vn he scherm, - lle opsche componenen vn de L nerferomeer goed sn ngeseld, * b *L - he nerfereneproon op he scherm crkelsymmersch s me n he cenrum een mxmum n P nense, - he verschl n weglenge vn de lchbundels v M en M s geljk n b. L * b *L Geef de heldere rngen de nummerng: 0 cenrum,,,...,m,... Led een udrukkng f wrmee he Fguur 6. 4 Inerferene vnu bronnen L en L verbnd word ngegeven ussen, b en r m ze fguur 6.4. Hoe groo s dn n deze opsellng de srl vn de heldere rng me m 0, nnemende d 3 m en b 0-3 m? N.B.: ps n de fledng de volgende benderngen oe: L P en L P zjn evenwjdg cos ½ n b - mλ Opsch expermeneren Veres he gebruk vn de ppruur vn he prccum n he lgemeen l de nodge voorzchghed, me de opsche componenen s d zeer bjzonder he gevl. Opsche componenen zjn duur en kwesbr. Houd dr s.v.p. rekenng mee. Lees nog eens de bereffende nwjzng 'Gebruk opsche componenen' n he begn vn d hoofdsuk. f Expermen: de rchpen en he uljnen vn de opsellng - Sel de lser op een zodnge hooge n d de bjbehorende opsche componenen spegels, mcroscoopobjecef, glspl me houder en lchsensor n de loop vn he expermen zo gepls kunnen worden d de lserbundel door he mdden ervn g. - Rch de lser zó u d de bundel zeer preces evenwjdg loop n de opsche bnk. 5
6 - Pls de vlkke spegel M n de bundel en rch deze zó d de norml smenvl me de rchng vn de bundel. - Pls de hlfdoorlende spegel onder een hoek vn 45 o zó d de door de vlkke spegel eruggekse lchsrl zeer preces boven en evenwjdg n de hks snde opsche bnk loop n de rchng vn de wrnemer. - Pls de vlkke spegel M op bj benderng dezelfde fsnd ls M en rch M zó d de bundel n de rchng vn de wrnemer over groe fsnd smenvl me de bundel fkomsg vn M. - Pls he scherm: er moe een nerfereneproon e zen zjn. g Expermen: lchpunen dcher bj he scherm He nerfereneproon smeer zch over een groer oppervlk u nrme de lchpunen L en L dcher bj he scherm lggen. Zo'n sue kun je gemkkeljk relseren door n he lse rjec vn de bundel d.w.z. ussen de semrnsprne spegel en he scherm een lens op e nemen. De beeldpunen de deze lens onwerp, zjn dn de neuwe punbronnen. Pls zo'n lens. Gebruk vnwege zjn goede opsche egenschppen een mcroscoopobjecef. ls lens. Zorg voor een crkelsymmersch nerfereneproon en voer droe zonodg correces u n de opsellng. Inerferomeer ls meensrumen Vernderngen vn weglenge n de orde vn grooe vn golflengen kunnen me een nerferomeer me groe nuwkeurghed worden gemeen. Om d e llusreren word de nerferomeer n d hoofdsuk gebruk om de brekngsndex vn een plnprllelle glspl e beplen. Droe word de pl n één vn bede lchwegen gepls en word de vernderng n weglenge gemeen bj drng ervn. Voor sues ls deze, wrbj he nl golflengen over een bepld rjec een rol speel, word ns de geomersche weglenge de zogenmde opsche weglenge gehneerd. Opsche weglenge De jd wrn een lchsrl een fsnd d fleg, word gegeven door wrn de snelhed v geljk s n d 6.5 v c v 6.6 n me c lchsnelhed n vcuüm en n de brekngsndex vn he bereffende medum. In he lgemeen s de brekngsndex een funce vn de golflenge. Invullen geef nd 6.7 c He produc nd word opsche weglenge genoemd. He nvoeren vn he begrp opsche weglenge heef ls chergrond he gebruk om n weenschppeljke leruur en hndboeken golflengen e vermelden voor lch n vcuüm en drbj brekngsndces voor merlen, evenueel ls funce vn 6
7 de golflenge. Wnneer nu he nl rllngen, d he lch bj he fleggen vn een zekere geomersche fsnd uvoer, een belngrjke fcor s, volg d nl u de opsche weglenge gedeeld door de golflenge opgegeven voor vcuüm. D nl s hezelfde ls de geomersche lenge gedeeld door de bereffende golflenge n he medum. He nu kom o udrukkng wnneer lch door een nl med g me verschllende brekngsndces n. De opsche weglenge s dn:? n d n d n K 6.8 3d3 en he ol nl rllngen volg door delng door de golflenge n vcuüm. Hoe de opsche weglenge n een pd vn de nerferomeer vernder door he plsen vn he gls s ne, of slechs me veel moee drec e meen. Gemkkeljker s he om vernderngen e meen n de doorlopen weglenge wnneer he gls, eenml n een bundel, gedrd word. O A In fguur 6.5 s d de dke vn de plnprllelle glspl. L OP de oorspronkeljke rchng vn he lch zjn, norml op he oppervlk, me nd de doorlopen opsche weglenge wrbj n de brekngsndex s. Gemkshlve word de brekngsndex vn luch n l geseld. n F r D E B C d Een drng over een hoek beeken d de opsche weglenge n he gls word verlengd en buen he gls word verkor. Omd de verdrng geen nvloed heef op de wegen vnf de ljn EC o n de wrnemer, s he opsch wegverschl ls gevolg vn de drng geljk n ADE-ABC: P Fguur 6. 5 Vernderng vn weglenge bj drng vn he glsplje AD n DE nd BC Nλ 6.9 De fcor n udrukkng 6.9 geef n d de bundel zowel heen ls erug door de glspl loop. He recherld s he nl golflengen d geeld word door de vernderngen n he nerfereneproon e volgen. 7
8 Omd d AD cosr DE CDsn FC FDsn d nsn d n r sn 6.0 volg d BC AC AB d cos nd cosr d Nλ d n sn d n r sn nd d 6. cos Me de we vn Snellus word formule 6. gereduceerd o nsn r sn 6. n N λ λ d Nλ cos 6.3 4d [ cosd N ] Meesl s de lse erm klen n vergeljkng o de ndere ermen en mg hj drom worden verwrloosd. Voor de brekngsndex ons de udrukkng: d Nλ cos n d cos Nλ 6.4 h Expermen: brekngsndex en oepssng vn nuwkeurghedsberekenng Pls he glsplje n één vn de lchwegen en ze he loodrech op de bundel volgens fguur 6.6. Bepl de vernderng vn opsche weglenge bj drng vn he glsplje ls funce vn de drhoek en opzche vn de loodreche snd. 3 Bepl de dke vn he glsplje. 4 Bereken de brekngsndex vn he gls en de nuwkeurghed vn de mengen. L lchbron * spegel B A lens S M hlfdoorlende spegel glsplje scherm C M Fguur 6. 6 Mchelson Inerferomeer me glsplje spegel 8
9 5 G n w er n he Hndbook of Physcs n gegevens voorkom bereffende brekngsndces en glssooren. mbeeld meevlkken schch rommel rel 5 Vol rood Volge Oupu geel blokkerngshndel 0 Vol zwr Fguur 6. 7 Lchsensor TL50 me nslungen Fguur 6. 8 Onderdelen vn een schroefm mcromeer d Bj een goed ngeselde opsellng s vernderng vn opsche weglenge me he oog goed wrneembr n de vorm vn vernderngen n he nerfereneproon. He ellen word echer meer bemoeljk nrme de opsellng gevoelger s voor mechnsche sorng. In pls vn drec e ellen kun je me he progrmm MONITOR de vernderngen eers regsreren me behulp vn een lchsensor ze fguur 6.7. Pls deze cher een nselbre splee en sel de spleebreede zó n d de lchsensor ne n verzdgng rk ls een mxmum u he nerfereneproon psseer. Zorg ervoor d he nerfereneproon u srepen bes de evenwjdg lopen n de splee voor de lchsensor. d 3 Mee de dke vn he glsplje op meer dn één plek me behulp vn een schroefm oude ndudng: schroefmcromeer, ze fguur 6.8. He nl schldelen op de rommel vn een schroefm s 50 bj een spoed vn 0,5 mm of 00 bj een spoed vn mm. Een onnuwkeurghed vn ± 0, sd beeken een onzekerhed vn 0,00 mm. Om deze precse e bereken, word de krch de de spl op he e meen voorwerp uoefen, geconroleerd door een begrenzer, de 'rel'. De nulflezng s een noodzkeljke sp n elke meng zgn. nulpunscorrece. Herhl mengen me de schroefm enmnse vjf ml en bereken de resulerende dke nclusef onnuwkeurghed. d 4 Mk schngen vn de nuwkeurghed wrmee d, en N zjn gemeen en reken de door bj de beplng vn de brekngsndex. d 5 Zoek n besnde hndboeken op of er glssooren zjn de op grond vn de brekngsndex overeenkomen me he onderzoche gls. 9
10 Zchbrhed vn he nerfereneproon Als bede lchbundels geljk zjn me mplude, dn heef de nense een mnmum nul en een mxmum 4. Bj bundels me verschllende nense verschl he mnmum vn nul en vermnder de zchbrhed vn he nerfereneproon nrme he nensesverschl oeneem. De zchbrhed engels: vsbly V vn he nerfereneproon word gedefneerd ls V I mx mn 6.5 I mx I I mn me I mx en I mn respeceveljk de mxmum en mnmum nense. V vreer vn 0 geen proon o nense n mnmum s nul. De zchbrhed bljk ook f e hngen vn he wegverschl ussen de bede lchbundels. Zelfs wnneer bede bundels preces dezelfde nense hebben, kn de zchbrhed dlen o nul. D kn verklrd worden me he gegeven d een lchgolf een endge lenge heef. Bj een e groo wegverschl zullen de wee golven ne meer nerfereren: de lchgolf de de lngse weg volg, 'ze' hoogu de sr vn de ndere. Onder sreng geconroleerde omsndgheden kunnen lsers lch uzenden wrbj lengeverschllen n de orde vn meers en meer nog o zchbre nerferenepronen nledng geven. Bj de lsers op he prccum moe he wegverschl beperk bljven o enkele decmeers. He volgende expermen heef o doel d wegverschl e beplen bnnen de grenzen vn w prksch n de gegeven opsellng hlbr s. De verklrng wrom d wegverschl bj de He-Ne-lser nogl beperk s, volg drn. Eers mr eens zen of he luk expermeneel gegevens n de opsellng e onfuselen. Expermen: zchbrhed n rele o verschl n fsnd G u vn de opsellng me glspl. Neem ls begnsue de bundels me geljke weglengen en bede vlkke spegels zover mogeljk vn de lser verwjderd. Regsreer geen prns! he nerfereneproon bj verschllende poses vn één vn de spegels evenueel me bjsellng vn he nerfereneproon. Bepl vn edere regsre de mxmum en de mnmumwrde en noeer je wrnemngen overzcheljk n een bel. Herhl d een nl keren en ze o slo n een grfek de zchbrhed V u ls funce vn de geïnroduceerde wegverschllen. Mk op grond vn de grfek een schng vn he wegverschl wrbj V 0. He beperke wegverschl wrbj V 0 kn worden verklrd door de lser e beschouwen ls een rlhole voor lch. Alleen lch d preces ussen de spegels ps, kn o een snde golf ugroeen. Een snde golf s mogeljk ls de golflenge λ voldoe n: wrn L de fsnd ussen de lserspegels s. k λ L 6.6 Zols bj gelud een oon word beïnvloed door de bewegng vn de bron Doppler-effec word de golflenge vn he sponn ugezonden lch beïnvloed door de bewegng vn de omen n he gsmengsel. He s drdoor mogeljk d er ns lch me een golflenge λ, lch me een es ndere golflenge word gesmuleerd. Voor de rllngswjze me golflenge λ de he dchs bj λ lg, geld: 0
11 k ± λ L 6.7 He nl mogeljke rllngswjzen hng f vn de lenge L en de snelhed wrmee de omen n he gsmengsel bewegen Doppler-effec. He nl s bj de lsers op he prccum beperk o à 3. De rllngswjzen worden longudnl genoemd. b 400 MHz frequene 4 cenrle frequene 4,7.0 Hz 63,8 nm ν ν c L j Opdrch: verschl n golflenge bj lser op he prccum Mk een schng vn de lenge vn de gebruke lser. Sel d bede lchgolven op zekere pls n fse zjn, dn s op enge fsnd hervn he onderlng fseverschl oegenomen o π. Hoe groo s deze fsnd? Inspreer deze fsnd je o een verklrng vn de n expermen gevonden ukoms? c frequene frequene Fguur 6. 9 Doppler ljnbreede; b mogeljke frequenes bj lserlenge L; c nense vn opredende frequenes Begrppenljs Brekngsndex. Verhoudng ussen voorplnngssnelhed n vcuüm en n een medum. Coheren. Twee golven zjn coheren ls er een vse fserele ussen bes. Doppler-effec. Als wrnemer en rllngsbron en opzche vn elkr bewegen s de frequene vn de wrgenomen rllngen nders dn wnneer ze ne bewegen. Foon. Lchqun, hoeveelhed energe, energepkkeje. Gesmuleerde emsse. He verschjnsel d een ngeslgen oom een foon uzend onder nvloed vn he veld vn een nder, smulerend, foon. He ugezonden foon heef dezelfde rchng, golflenge en fse ls he smulerende foon. Inense. M voor hoeveelhed lch per eenhed vn rumehoek. Inerferene. Leerljk: ussenkomen, nmengen. In de opc de verschjnselen de opreden ls wee of meer coherene rllngen geljkjdg pls vnden. Inverse. Omkerng. In de oomfysc: sue wrbj een hogere energeoesnd serker beze s dn een lgere energeoesnd. Monochromsch. Me één golflenge. In de prkjk: een nuwe bndbreede.
12 Opsche weglenge. M voor he nl golflenges n he berokken medum, wrbj voor de golflenge de vcuümwrde gebruk word. Plnprllel. Bede vlkken zjn pl en evenwjdg me elkr. Snellus. We vn Snellus: bj brekng n een schedngsvlk ussen wee med s he produc vn de brekngsndex en de snus vn de hoek ussen de lchsrl en de norml consn: n sn n sn Superpose. Opellng. De erm word voorl n verbnd me rllngen en vecoren gebruk. Zchbrhed. M voor he conrs n een proon vn ljnen of rngen, gedefneerd ls V I I mx mx I I mn mn me I mx en I mn respeceveljk de mxmum en mnmum nense. V vreer vn 0 geen proon o nense n mnmum s nul.
Tentamen Pensioenactuariaat 2 juni 2003
Tenmen Pensoencur 2 jun 2003 Opgve 1 (10 punen) Me berekkng o een beplde overlevngsfel geld, µ = 0,15 0,10, 0 ½ µ = (0,01), ½ 1 Bereken l 1, ls l 0 =100 Opgve 2 (25 punen) Gegeven zj voor he leefjdsnervl
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur
Emen VW 018 ijdvk woensdg 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Di emen bes ui 16 vrgen. Voor di emen zijn miml 77 punen e behlen. Voor elk vrgnummer s hoeveel punen me een goed nwoord behld kunnen worden. Als
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur
Emen VW 018 ijdvk woensdg 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Di emen bes ui 16 vrgen. Voor di emen zijn miml 77 punen e behlen. Voor elk vrgnummer s hoeveel punen me een goed nwoord behld kunnen worden. Als
Nadere informatieA P E L D O A POE RL N D O O R N
58 Roues Apeldoorn Apeldoorn roue Apeldoorn roue R v e n w e g R v e n w e g 0 100 0 200 100 300 200 400 300 500m. 400 500m. 59 A r n h e m s e w e g A P E L D A P O E O L R D N O O R N Z u i d e r p r
Nadere informatie2.1 Het differentiequotiënt
hoodsk : Diereniëren. He dierenieqoiën Me een ncie kn je de onwikkeling n een grooheid beschrijen. Neem bijoorbeeld een schoonspringer die n de ienmeerplnk spring. Als je de lchwrijing erwrloos, kn je
Nadere informatieSpiegels. N.G. Schultheiss
1 Spegels N.G. Schulhess 1 Inledng Deze module s drec e volgen vanaf de derde klas. Deze module word vervolgd me de module Lenzen of de module Parabolsche spegels maken. Uendeljk kun je me de opgedane
Nadere informatieHet gebruik van boeken, notebook, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan.
Merilmodellen (4A330) Fculei : Weruigouwunde Dum : 2 juli 1999 Tijd : 9.00-12.00 uur Di enmen es ui 5 opgven, die ngenoeg even zwr eoordeeld zullen worden. He gerui vn oeen, noeoo, dic en neeningen is
Nadere informatieBij een invalshoek i =(15.0 ± 0.5) meet hij r =(9.5 ± 0.5). 100%-intervallen. Welke conclusie kan de onderzoeker trekken?
INLEIDING FYSISCH-EPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) --003, 9.00-.00 UUR Dt tentamen bestaat ut 3 opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen
Nadere informatielog 27 log log log 27 log log 3 log 9 log 3 1 log 9 2 log log log 2 log log log log 2 2
. Bereken zonder rekenmchine: ) log 8. log 5 5 log 5 5 log 5 5 5 5 ) c) log 7 log 7 log log log d) e) f). 9 7 log log log 9 log log 9 log 5 log log log log 6 8 log log log 8 log log69 log log. log. log
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieVraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid.
Tentmen Duurzme Ontwikkeling & Kringlopen, 1 juli 2009 9:00-12:00 Voordt je begint: schrijf je nm en studentnummer bovenn ieder vel begin iedere vrg op een nieuwe bldzijde ls je een vkterm wel kent in
Nadere informatieIn figuur 1 zien we het project weergegeven in Gantt-kaart. De totale tijdsduur bedraagt 20 weken.
Proectplnnng.. De Gntt-krt. Een Gntt-krt s een dgrmm met n de bscs de td en n ordnt de verschllende ctvteten de smen het gnse proect utmken. Het volgende proect bestt ut ctvteten (ze tbel ): A tot en met
Nadere informatieAnalyse Plus reader Hoofdstuk 5. Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord:
5. Inleiding. We ekijken de inegrl - 4 d. Als we, zonder ons f e vrgen of he eigenlijk mg, de inegrl gn erekenen vinden he volgende nwoord: é ù d= ê- ú =- - =- 4 - ë û- He nwoord is negief. D is vreemd,
Nadere informatieInformatie van uw gemeente Uitlaatzones & uitlaatregels Hondenpoepbeleid
Informae van uw gemeene laazones & ulaaregels Hondenpoepbeled Honden zjn voor veel mensen gelefde husderen. Hondenpoep daarenegen s een groe ergerns van veel nwoners van Capelle aan den IJssel. Daarom
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Overzih Emensof Anlse He is de vergelijking vn een lijn me srwrde 00 en helling 0. Omd de inhoud nuurlijk nie negief kn worden, moeen de -wrden (W) gekozen worden ussen 0 en 00 en de -wrden () ussen 0
Nadere informatieTentamen Golven en Optica
Tenamen Golven en Opica woensdag 9 juni 011, 15.00-18.00 uur Maak elke opgave op een apar vel voorzien van uw naam en sudennummer. Gebruik van een (grafische) rekenmachine is oegesaan. Verdeel uw ijd opimaal
Nadere informatiePraktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven
Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de
Nadere informatietrétie l g Begerken E E E E E E I 10 E E . Werk ie logboek bij door de naam van de taak en de datum in te vutlen.
Behve rekenen kn xcel veel meer. Zeker wnneer he om groe hoeveelheden gegevens g. Je kun me he progrmm snel ies opzoeken in een nge iis. ln deze k g ie d doen. OpdmchT Logboek bijwerken. Werk ie logboek
Nadere informatieGeestelijke gezondheidszorg, een methode e voor het bepalen van volume- en prijsontwikkelingen0g
07 k07 Geeseljke gezondhedszorg, een mehode e voor he bealen van volume- en rjsonkkelngen0g kelngen Arhur Denneman ublcaedaum CBS-ebse: 5 december 2008 Den Haag/Heerlen, 2008 Verklarng van ekens. = gegevens
Nadere informatieHoofdstuk 7 - DM Toepassingen
Hoofdsuk 7 - DM Toepssingen ldzijde 7 Vul in op je rekenmhine nmin 0, u(n)0+0,u(n-) en u(nmin). Vul ook in (n) 0+0,(n-) en (nmin)0. Neem Xmin 0, Xm 0, Ymin 0 en Ym 0. Bij een openingskoers n euro krijg
Nadere informatieFuncties van eigen maak
Controle stroom Funtes vn egen mk def () : sttement 1. r = funte(). sttement n def funte() : sttement 2. whle vw : routne(). return x def routne() :. f voorwrde : sttement 3 return sttement 4 return hoofdprogrmm
Nadere informatieProefversie Natuurkundeboek
Proefversie Nuurkundeboek Deel: mechnic en rekenen Sudenensuppor.nl - 4 okober 6 Recies grg nr vliemp@nikhef.nl vliemp@nikhef.nl A NATUURKUNDE I.IMPULS, KRACHTEN, ENERGIE De ween vn Newon. Impuls 3 / Impulsbehoud
Nadere informatieStatica in een notendop
Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd
Nadere informatieÍrl* tt- IË" Klopt dat wel? f._. Advertentie-analvse. Ia*' Itr. r '- a*." Lcren denken r"net econornic - llocl Grol. Ir*'
r*' - L Írl* - Ë" r r Klop d wel? f._ rg Adverenie-nlvse rë *' rë r _ r'- l* *." Lren denken r"ne eonorni - llol Grol 6l ; ] l, 8. Klop d wel? Adverenie-nlvse Conex n he dgelijks leven worden we overspoeld
Nadere informatieActuariële uitruilfactoren onder FTK. E.N. van de Fliert Juli 2007 Nieuwegein
Acurëe urufcoren onder FTK E.N. vn de Fer Ju 7 Neuwegen Acurëe urufcoren onder FTK Afsudeerscre Wskunde en Ssek Rchng: Wskunde n Econome en Bedrjf Emer vn de Fer Sudennummer 94 Sgebegeeder Wson W B.V.
Nadere informatievermenigvuldigd ten opzichte van de y-as, zo ontstaat de grafiek van y
9 Herhling en uireiding vn fgeleide vn e.- en e.-grdsfuncies... B '( ) 4.;. B '( ) 4.47 ; c. B '( ) = 4.5 y '(4) 0.74 4 T (0) = 6,5 C ; T ( 0) = 4,5 C 5. Bevolkingsgrooe op feruri 00 is ongeveer 6.9.000.
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR
INLEIDING FYSISCH-EPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 4-11-003, 9.00-1.00 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieHoofdstuk 7 Superpositie van Golven
Hoofdsu 7 Superposiie van Golven Superposiie van golven Golfvergelijing is lineair: Als ψ en ψ oplossingen zijn, dan is oo ψc ψ +C ψ een oplossing. Algemeen: en lineaire combinaie van oplossingen is wederom
Nadere informatieSamenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging
Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake
Nadere informatieHoofdstuk 10 Diffractieverschijnselen
Hoofdstuk 1 ffcteveschjnselen este ppotge vn dffcteveschjnselen: Gmld, 16: Lcht wjkt f vn een echte ljn wnnee het gedeelteljk ondeoken wodt doo een ostkel Wgenomen j golfveschjnselen n wte, gelud, lcht
Nadere informatieHoutje-touwtje wiskunde een workshop over tensegrities Monique Bakker en Mascha Klerx NWD vrijdag 1 februari 2013
Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Mnique Bkke en Msch Klex NWD vijdg feui 03 M. Bkke, M. Klex, ensegiies Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Tensegiy is een smenekking vn de engelse wden
Nadere informatieRekenen met rente en rendement
Rekenen met rente en rendement Woekerpols? Lenng met lokrente? Er wordt met de beschuldgende vnger naar banken en verzekeraars gewezen de op hun beurt weer terugwjzen naar de consument: Deze zou te weng
Nadere informatieOplossen van een vergelijking van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d =0
CARDANO S METHODE (oor ng. P.H. Stkker) Olossen vn een vergeljkng vn e vorm x x x 0 Verse: 8 fe. 00 PDF rete wt fftor trl verson www.fftor.om LET OP ER ZULLEN NOG ENKELE VOORBEELDEN LATER WORDEN TOEGEVOEGD
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieAnalyse en beheer van financieel risico van aandelen
Analyse en beheer van fnanceel rsco van aandelen door J.J. Huj onder begeledng van dr. r. J. van den Berg en drs. W.M. van den Bergh afsudeerscrpe Informaca & Econome Erasmus Unverse Roerdam Analyse en
Nadere informatie1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?
Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.
Nadere informatieStabieler treinverkeer Rekening houden met hinder op stations
Sbieer reinerkeer Rekening houden me hinder sions Een profiewerksuk in drch n ProRi geschreen door Heeen Bx en Jordi Zomer dum februri 01 begeeiding ProRi dhr. dr. ir. A.A.M. Schfsm en dhr. ir. V.A. Weed
Nadere informatieIII. Integraalvergelijkingen.
III. Inegrlvergelijkingen. In di hoofdsuk pssen we de specrlheorie vn operoren op Hilberruimen oe op een nl lineire inegrlvergelijkingen. In een volgende hoofdsuk zullen we zien hoe beplde ypen differenilvergelijkingen
Nadere informatieGetal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg
J vd Meer H v lurg Getl & Rumte vwo complee getllen Utwerkngen Hoofdstuk Complee getllen Neuwe getllen ( ( ( ( c ( ( ( d ( 7 7 e f ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( ( ( 9 d ( ln(,9, ( ln,77, c e d, 7 ( en, en
Nadere informatieGemeentefonds verevent minder dan gedacht
Gemeentefonds verevent mnder dan gedacht Maarten A. Allers Drecteur COELO en unverstar hoofddocent aan de Rjksunverstet Gronngen De rjksutkerng aan gemeenten wordt verdeeld op bass van utgangspunten de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatieFormulekaart Wiskunde havo/vwo
Formlekr Wiskde hvo/vwo Vierksvergelijkig Als! e " 4c #, d worde de olossige v de vierksvergelijkig + + c gegeve door 4c, " ± " Mche e logrime q $ + q ( > ) q ( ) q ( > ) ( $ ) $ (, > ) " ( > ) % (, >,!
Nadere informatieLekker puzzelen en lekker met taal bezig zijn. Puzzel mee! Ria van Adrichem Leonie van de Wetering. jaargang 1 2006/2007. serie 7
Lekker puzzelen en lekker met tl bezg zjn R vn Archem Leone vn e Weterng jrgng 00/00 sere Vormgevng Hen Kreulen jrgng, 00/00, sere 00 Nets ut eze utgve mg gekopeer woren zoner utrukkeljke toestemmng vn
Nadere informatieOnafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.
Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De
Nadere informatieVerslag Regeltechniek 2
Verslag Regeltechnek 2 Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktugbouw deeltjd Cohort 2004 Inhoudsogave Inledng blz. 3 2 Oen lus eerste-orde systeem blz. 4 3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor
Nadere informatie2.1 Onderzoek naar bewegingen
Vwo 4 Hoofdsuk 2 Uiwerkingen 2.1 Onderzoek nr bewegingen Opge 1 fsnd De (gemiddelde) snelheid leid je f me snelheid =. ijd Je moe fsnd en snelheid bespreken om ies oer snelheid e kunnen zeggen. fsnd snelheid
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Formules voor groei
Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor
Nadere informatieRoute F - Desert. kangoeroerat
Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Technsche Natuurkunde Tentamen Optca 3NA7 Dnsdag 14 augustus 212 van 14. tot 17. uur Dt tentamen bestaat ut 4 vraagstukken met n totaal 12 deelopgaven en 1 pagna
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur
Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord
Nadere informatiefonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?
fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel
Nadere informatieMarco Borsato - De Meeste Dromen Zijn Bedrog
Mrco Borso - De Meese Dromen Zjn Berog Pno Srngs Meoe 4 4 4 4 j j j j e j e 6 o p o e p e o p nz s j j e j e o p 10 o p o e p e o p mz j j j j e j e 14 o p o p nz s j j o e p e o p e j e o p 18 mz pz pz
Nadere informatieDe methode tot bepaling van de x-factor voor de balanceringstaak voor de derde reguleringsperiode in formules
Bjlage 1 De mehode o bepalng van de x-facor voor de balancerngsaak voor de derde regulerngsperode n formules Bjlage bj he beslu van 17 me 2011 me kenmerk 10379/129. Inhoudsopgave 1 Inledng... 2 2 Bepalng
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieprouinci renthe ONTWERPBESCHIKKING VERZONNFN - /' FEB. 2O1T r (o592) 16 sl zl bijteam Bodem DR 168100318 gemeente Borger-Odoorn Aanvrager
Prov incie h øis rü/eserbrink r, Assen Posdres Posbus rzz, 94oo c Assen www.drenhe.nl r (o592) 16 s r (o592) 16 sl zl prouinci renhe VERZONNFN - /' FEB. 2O1T ONTWERPBESCHKKNG Globiscode Anvrger DR 168100318
Nadere informatieTentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 19 jan 2005 ANTWOORDEN
Tenmen T09 onsrucieechnic 9 jn 005 NTWOORDN O de volgende bldijde is een uigebreide normuiwerking weergegeven. O he enmen mg worden volsn me de essenie. elngrijke omerkingen..v. verbnden en relies ijn
Nadere informatieBijlage 1 Uitwerking van de methoden in rekenkundige formules
Bjlage 1 Uwerkng van de mehoden n rekenkundge formules 1 Inledng... 2 2 Mehode o vassellng van de x-facor...3 2.1 Toepassng van de x-facor en rekenvolumna...3 2.2 Sandaardsae van presaes... 4 2.2.1 Economsche
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatie1 Rekenen met complexe getallen
Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je
Nadere informatieopgaven formele structuren procesalgebra
opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve
Nadere informatieHet tentamen bestaat uit 4 vraagstukken die bij de beoordeling even zwaar meewegen. en van
Deelenamen mechanica voor BMT. vrijdag 0/07/004 He enamen besaa ui 4 vraagsukken die bij de beoordeling even zwaar meewegen. Twee vezels me dezelfde onbelase lenge l 0 en dezelfde elasische consane c zien
Nadere informatieHoofdstuk 5: Machten en exponenten. 5.1 Hogeremachtswortels. Opgave 1: a. b. twee oplossingen. c. geen oplossingen. Opgave 2: a. b.
Hoofdsuk : Mchen en eponenen.. Hogeremchsworels Opgve :.. wee oplossingen 0, 0 geen oplossingen Opgve :.,. oplossing 0,9 oplossingen 0,9 Opgve :.. 0 0 e. 0 f. Opgve :. 0 0 0. GETAL EN RUIMTE VWO WA/C D
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatieHoofdstuk 4. Opdracht 4.16. Algemene oplossing: Algemene oplossing: n 1 1 2 n 1 7/2. Algemene oplossing: + = + ( ) Algemene oplossing: Opdracht 4.
Hoofdsuk Opdrch.6 k x + xk = = r = Algemee oplossig: k r xk = + xk = + / k xk = + k 9 7 x = x + 7 x + x = 7 x x = + + + 7 = r = Algemee oplossig: r 7/ x = + x = + / x = 7 c α α ( α α ) x = x x x x = x
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieOefeningen Analyse I
1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Ademiejr 001-00 1ste semester 11 jnuri 00 Oefeningen Anlyse I 1. Bereken de volgende ieten d n x(ln x ) x 0 x 0 e x os x ln( 1+x 1 x ) x x 3 y 4 (x,y) (0,0) x + y n
Nadere informatieDie Verskil van Vierkante
Die Verskil vn Vierknte Kom ons definieër gou n vierknt : n Vierknt is n uitdrukking wrvn die eksponent n ewe getl is. n Uitdrukking soos x y 3 is egter nie n vierknt nie, l is die eksponent vn die x n
Nadere informatie21 NIET-TECHNISCHE SAMENVATTING
/ER LNG-ermnal Zeebrugge FluxysLNGNV 21 NET-TECHNSCHE SAMENVATTNG SGS Envronmenal Servces december 2003 248 ' Projecnummer : 03.0149 1ER LN&ermnal Zeebrugge Fluxys LNG NV 21.1 Beknope omschrjvng projec
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieGBK Leden profiel beheer
GBK Leden profiel eheer Op de nieuwe GBK site kn het eigen leden profiel ijgehouden worden. Op dit profiel kn iogrfische informtie worden ingevoerd, werk kn n een portfolio worden toegevoegd, er kunnen
Nadere informatieErasmus MC Junior Med School
Ersmus MC Desiderius School vn begrijpen nr beslissen Ersmus MC Junior Med School 2012-2013 De rts-onderzoekers vn morgen Het progrmm Dit progrmm loopt prllel n VWO-5 en -6 en bestt uit vier onderdelen:
Nadere informatieMRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl
MRT/RT MKT/KT Wormwelreductoren www.trston.nl Het s tjd voor Trston! Natuurljk wlt u dat uw producteproces soepel verloopt. Trston helpt. Want met de wormwelreductoren van Trston kest u voor langdurge
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR
INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 3--00, 4.00-6.30 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen
Nadere informatie5.1 Elektrische stroom en spanning
5. Elektrsche stroom en spannng Opgave a lleen elektronen kunnen zch verplaatsen en net de postef geladen kern. Omdat de ladng van emer postef s, s hj negatef geladen elektronen kwjtgeraakt. Je erekent
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieKeuze van het lagertype
Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...
Nadere informatieVerbetering van de houdbaarheid van slad.m.v. Verdan" behandeling 1964.
/ 0) Bblotheek Pefstaton Naaldwjk A 05 R 22 EPSTATN VR DE GRENTEN- EN PRUUTTEEnT NDER GLAS, NAALDWJK. Verbeterng van de houdbaarhed van slad.m.v. Verdan" behandelng 1964. door: W.van Ravestjn. Naaldwjk,1965.
Nadere informatieUITWERKING MET ANTWOORDEN
UITWERKING ET ANTWOOREN Opgve e momentenlijn t.g.v. lle mogelijke steunpuntszkkingen kunnen worden smengesteld uit de superpositie vn twee bsisgevllen. eze twee gevllen zijn: - zkking vn het buitenste
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatieVariantie-analyse (ANOVA)
Statstek voor Informatekunde, 2006 Les 6 Varante-analyse (ANOVA) Met de χ 2 -toetsen zjn we nagegaan of verschllende steekproeven bj dezelfde verdelng horen. Vaak komt men echter ook de vraag tegen of
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004. Contents
Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten
Nadere informatieJaarlijks vinden er arbeidsongevallen plaats. Gebruik persoonlijke beschermingsmiddelen en voorkom dat je gewond raakt.
Persoonlijke eschermingsmiddelen Jrlijks vinden er 230.000 reidsongevllen plts. Geruik persoonlijke eschermingsmiddelen en voorkom dt je gewond rkt. JEZELF BESCHERMEN Werken in trnsport en logistiek kn
Nadere informatieBijlage 4 De methode van de kwaliteitsterm in rekenkundige formules
Bjlage 4 De mehode van de waleserm n reenundge formules Inledng. In onderhavg beslu geef de Raad van Besuur van de Nederlandse Mededngngsauore (herna: de Raad uvoerng aan arel 4, ld van de Elerceswe 998
Nadere informatieDE INVERTERENDE VERSTERKER
Analoge Elekronka DE VETEENDE VESTEKE Bj de nererende erserker word de opamp negaef eruggekoppeld. D wl zeggen da de ugang an de opamp a een V weersand word erbonden me de negaee ngangsklem, zoals geekend
Nadere informatieAntwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck
Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt
Nadere informatieOpleiding Stralingsdeskundigheid niveau 3 / 4B Radioactiviteitsmetingen, kwantitatieve aspecten
Opleiding Srlingsdeskundigheid niveu 3 / 4B diocivieismeingen, kwniieve specen onderwerpen / progrmm hoorcollege 11:00 12:15u elsisiek meerendemen elresul / elsrook (ellen vn rdiociviei / couning) S# TIME
Nadere informatie10% weekend korting. open Kijk voor de winkels en openingstijden op kwantum.be OP HET GEHELE ASSORTIMENT * Daar woon je beter van!
Dr woon je beer vn! 28 juni en 5 juli open Kijk voor de winkels en openingsijden op kwnum.be Alléén zerdg 27 en zondg 28 juni 10% weekend koring OP HET GEHELE ASSORTIMENT * *De koring geld op he gehele
Nadere informatieLeon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen. Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede
7 Rekee Di hoofdsuk is edoeld ls vullig op he oek voor VWO wiskude B Ihoudsopgve 7 Rekee Breuke Worels 8 Rekee i de meekude Rekee i de ksrekeig 7 eerse vereerde eperimeele uigve, juli 008 Colofo 008 Sichig
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatieLineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
Nadere informatieErrata Bedrijfseconomie: Elementen van Bedrijfseconomie R. De Bondt (2006) ) =
Errt Bedrfseconome: Elementen vn Bedrfseconome R. De Bondt (006) ( / u ) u ( / ) ( / ) + P 3: Ondern de gn: [ ] τ (/ ) + e (u,, ) ( + )[ u ( / ) ( / ) ] P 35: Ondern Fg..7 e 4 + 8 0 (/ + ) P 39: Ondern
Nadere informatieNakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?
Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Neurale Netwerken (2L490), op woensdag 28 juni 2006, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Wskunde en Informatca Examen Neurale Netwerken 2L49, op woensdag 28 jun 26, 9. - 2. uur. Alle antwoorden denen dudeljk geformuleerd en gemotveerd te worden..
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Technsche Natuurkunde Tentamen Optca 3NA7 Dnsdag 16 augustus 211 van 14. tot 17. uur Dt tentamen bestaat ut 4 vraagstukken met n totaal 1 deelopgaven en 2 pagna
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel
Nadere informatieOm welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?
Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt
Nadere informatie