Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen. Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede

Transcriptie

1 7 Rekee

2 Di hoofdsuk is edoeld ls vullig op he oek voor VWO wiskude B Ihoudsopgve 7 Rekee Breuke Worels 8 Rekee i de meekude Rekee i de ksrekeig 7 eerse vereerde eperimeele uigve, juli 008 Colofo 008 Sichig De Wgeigse Mehode Aueurs Illusries Disriuie ISBN Homepge Leo v de Broek, Mris v Hdel, Dolf v de Homergh, Afke Piekr, D v Smle Wilso Desig, Ude Iddik voorgeze oderwijs v, Posus, 70 BA Ede is Nies ui deze uigve mg verveelvoudigd e/of oper gemk worde door middel v druk, fookopie, microfilm of op welke dere wijze ook, zoder voorfgde oesemmig v de houder v he copyrigh.

3 He is e evele i gee ekele opgve he rekemchieje e geruike. Breuke Je herier je de volgede sommejes v de sisschool og wel: ; 7 0 ezovoor. De gelle die igevuld moee worde, ku je ook schrijve ls: : ; 0 : 7 ezovoor of ls /, 0/ ezovoor of ls 0, ezovoor. 7 De gelle die je i moe vulle, hoeve ie geheel e zij, ijvooreeld /. c kom op hezelfde eer ls c. Dus:. Di geld voor lle gelle, e c me 0. Wrom heef de uidrukkig gee zi ls 0? Bereke (schrijf zo eevoudig mogelijk): p p 0 p Hierij zij, e p gelle me 0 e p 0. Breuke

4 Rekee Vereevoudig ) ( ) ( Welke v de volgede formules zij goed? (D wil zegge, zij ze wr voor lle e wrvoor ze zi hee?) Verder i he lgemee ee reuk ls je ij eller e oemer hezelfde gel opel? ls je eller e oemer kwdreer? ls je v eller e oemer he egegeselde eem? ls je v eller e oemer he omgekeerde eem? ls je eller e oemer me hezelfde gel vermeigvuldig? Voor lle gelle, e p me 0 e 0 geld: p p

5 De som v wee reuke De som v wee reuke ku je ls éé reuk schrijve door de oemers gelijkmig e mke. Vooreelde: 8 Schrijf ls éé reuk me zo eevoudig mogelijke oemer ( ) Los op: Breuke

6 Rekee Vereevoudige Nog wee vooreelde 8 7 Schrijf zo eevoudig mogelijk. 8 8 Mk de reuk rechs v he -eke f. Schrijf ls ekelvoudige reuk, d wil zegge zoder reuk i eller e oemer Welke v de volgede formules zij goed? d c d c d d Vereevoudige Vooreeld ) )( ( ) )( (

7 Breuke Vereevoudig door eller e oemer eers e oide Op de GR zi de oes. Ee dere schrijfwijze v is. We oeme he omgekeerde v. Er geld:. Als d is. I he volgede is. Er geld: :. Coclusie (di he je misschie op de sisschool l gehd) Bereke e schrijf zo eevoudig mogelijk. : : 0,7 : 0,0 : : : : : : : : : ) ( : : : Dele door ee reuk is hezelfde ls vermeigvuldige me he omgekeerde v die reuk.

8 Los de volgede vergelijkige i op. 0 0,, 8 Voowerp e eeld Ee lmpje is opgeseld voor ee les. Acher de les evid zich ee scherm wrop he eeld v he lmpje word opgevge. Als he lmpje verpls word, moe je he scherm meeewege om ee scherp eeld e houde. De fsd lmpje-les oeme we v. (de voorwerpsfsd), de fsd scherm-les oeme we, (de eeldsfsd), eide i dm. Voor oze les geld:. v. Geef ee formule voor uigedruk i v. Schrijf he woord ls éé zo eevoudig mogelijke reuk. De vergroig V v de les is v.. Geef ee formule voor V uigedruk i v. Schrijf he woord ls éé zo eevoudig mogelijke reuk. c. Voor welke v is V? We ewege he lmpje dm verder v de les f. d. Beweeg he eeld d r de les oe of er v f? Hoe ku je d de formule zie? v He l dm d he eeld zich verpls r de les, oeme we A. e. Geef ee formule voor A uigedruk i v. Schrijf he woord ls éé zo eevoudig mogelijke reuk. Ee schkelig Ui de we v Ohm volg d ee prllelschkelig me wee weersde R e R k worde vervge door éé weersd R, wrij:. R R R (D wil zegge d ls je over de schkelig e over de weersd R hezelfde spigsverschil ze, er ij eide schkelige dezelfde sroom zl lope.) I de prllelschkelig hiers is R ee weersd v 0 Ω e R ee schuifweersd die k vriëre v 0 o 0 Ω.. W geeur er me R ls R groer word? Rekee

9 . Welke wrde k R eme? De schuifweersd is geze op Ω. c. Druk R ui i. De schuifweersd word Ω groer, dus R word. d. Druk he l Ω d R groer word ui i.. G d, ezovoor. Bekijk de formule. ( ). Voor welke heef de formule gee eekeis? c. Bewijs d formule juis is voor lle gelle wrvoor hij eekeis heef. Breuke 7

10 Worels De oppervlke v ee vierk hg f v de grooe v zij zijde. De zijde v ee vierk me oppervlke A is A.. Vul i: ls de oppervlke keer zo groo word, word de zijde zo groo. I formule: A A.. Vul i: ls de oppervlke keer zo groo word, word de zijde zo groo. I formule: A A. c. Vul i: ls de oppervlke keer zo groo word, word de zijde zo groo. Geef deze ewerig ook i formulevorm. Fcore voor he woreleke rege Vooreelde Schrijf zo ook me ee zo klei mogelijk geheel gel oder he -eke , 0. Leg ui d. Behdel zo ook:, e c. Leg ui d geld:.. d. Behdel zo ook:, e 7 p q. De vriele, p e q zij posiief geheel. 8 Rekee

11 Ee worel i de oemer Vooreeld He k ook zo: v de oemer ee kwdr mke Schrijf zoder worel i de oemer, me ee zo klei mogelijk gel oder he -eke. e zij posiieve gehele gelle. Als worel v éé gel schrijve Vooreeld Schrijf ls worel v éé gel , 8 0, Too Tip. Kwdreer! Peer kwdreer 7 7 e vid. c. G d Peer d goed ged heef. Peer cocludeer u d 7 7. d. W is hierop je commer? Worels

12 7 Vereevoudig: : 8 0 : 8 Schrijf zoder hkjes, zo eevoudig mogelijk. ( ) ( )( ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( ) ( )( ) ( 0 ) ( 8 ) ( 7 ) ( ) ( 0 0 ) Schrijf zo eevoudig mogelijk, zoder worel i de oemer ( > 0). 0 Rekee

13 0 Schrijf zoder hkjes, zo eevoudig mogelijk. ( ) ( ) ( ). Reke d Ku je u ook 8 7 vereevoudige? E ?. Reke d Ku je u ook vereevoudige? E? c. Vul pssede gehele gelle i: 80 Los de volgede vergelijkige op. A, B, C e D zij hoekpue v ee vierk me zijde v lege 8. P e Q ligge zó ie he vierk d AP BQ CQ DP. Er word ee wegee gelegd zols i de ekeig hiers. De lege v he e hg f v de lege v PQ, die we oeme.. Druk AP i ui.. Bereke ls AP PQ. c. Bereke ls de lege v he e is. Worels

14 Rekee Schrijf ls éé zo eevoudig mogelijke ekelvoudige reuk. Vooreeld Schrijf zoder worel i de oemer: Schrijf zoder worel i de oemer. Bekijk de formule: ( ).. L d deze formule geld voor elke 0. Bekijk de formule: ( ). Too d die voor posiieve gelle geld. L me ee egevooreeld zie d die ie voor egieve gelle geld. I de rechhoekige driehoek ABC hiers, lig M op AB, N op BC e Q op AC zó, d BM BN e BNQM ee rechhoek is. De lege v AM oeme we. c. Too d CN. Tip. Geruik gelijkvormigheid. Door AC op wee miere i ui e drukke, ku je de formule ove de ldzijde meekudig ewijze. d. Doe d.

15 7 Bekijk de volgede formules: e.. Too d die voor posiieve gelle gelde. L me ee egevooreeld zie d die ie voor egieve gelle gelde. Bekijk og ees de driehoek v de vorige opgve. Hoek CAB oeme we α. Door i drie verschillede driehoeke e kijke, ku je cos α op drie miere i uidrukke.. L op die mier meekudig zie d de formules juis zij voor posiieve. 8 Nederldse wiskude olympide, V rpezium ABCD is gegeve: DA AB BC e CD. Bereke de oppervlke v de cirkel door de pue A, B, C e D. Worels

16 Rekee i de meekude We rekke i ee driehoek me zijde, e 8 ee lijsuk evewijdig ee v de zijde. Bereke i elk v de gevlle. Ee driehoek word door ee lijsuk evewijdig de sis verdeeld i wee sukke. De oppervlke v elk v de sukke is gegeve. De sis v de driehoek is gegeve. Bereke de lege v he lijsuk. ABCD is ee prllellogrm. M is he midde v CD. S is he sijpu v AM e BD. Gegeve is d AM e BD 0.. Bereke AS, BS, MS e DS.. Bereke de verhoudig v oppervlke v de vier sukke wri he prllellogrm is verdeeld. I ee driehoek zij wee lijsukke evewijdig de sis geeked. De lijsukke hee lege B e H. De sis heef lege. Bereke de verhoudig v de drie sukke wri de opsde zijde worde verdeeld. De wee driehoeke i de figuur hieroder zij gelijkvormig. Verder zie plje. Bereke. I vierk ABCD is M he midde v AD e s CP loodrech op BM. Bereke de lege v CP. Rekee

17 7 Driehoek ABC is rechhoekig. CD is de hoogelij op de schuie zijde.. Bewijs d de driehoeke ADC, CDB e ABC gelijkvormig zij.. Bereke de sukke wri D de schuie zijde verdeel. 8 Bereke i de figuur hieroder. Op meer fsd v ee huis s ee viermeer hoge schuig. Ee ldder s ege de gevel e seu precies op de schuig. Bereke hoe ver de voe v de ldder voor de schuig s ls hij 0 meer hoog reik. 0 We iljre zoder effec vi de -s v (,) r (0,). De l verrek v de d oder dezelfde hoek ls hij er kom. I welk pu moee we de -s rke? ABCDE is ee regelmige vijfhoek me zijde v lege. De digole AD e CE sijde elkr i S.. L zie d de driehoeke ACS e DES gelijkvormig zij. De lege v AC oeme we.. L zie d. c. Bereke de ece wrde v. Rekee i de meekude

18 De verhoudig v de sukke wri de digole elkr verdele sod l ij de oude Grieke i de elgsellig. He is de zogemde gulde verhoudig. digol groe suk groe suk kleie suk OABC EFGH is ee kuus me O(0,0,0), A(,0,0), C(0,,0) e D(0,0,). Op de -s lig P(8,0,0) e op de z- s Q(0,0,). Driehoek PQC sijd vier rie v de kuus. De sijpue oeme we R, S, T e U, zie plje.. Bereke de coördie v de sijpue.. Welk deel v de oppervlke v driehoek PQC lig ie de kuus? Q eweeg over de z-s. Hierdoor verder de lege v lijsuk TR. c. Bereke de z coördi v Q ls T (0,,). d. W is de mimle lege v lijsuk RT e ij welke z-coördi v Q word die ereik? V driehoek ABC hiers is gegeve AB e AC BC 0.. Bereke de oppervlke v driehoek ABC.. Bereke de srl v de omgeschreve cirkel v driehoek ABC. Tip. Sel ee vergelijkig op me ehulp v de sellig v Pyhgors. De wee vericle ple v lege e 8 meer i he plje hieroder s op ee horizol errei. Tusse de ple loop ee srk gespe drd. De drd is verdeeld i drie eve lge sukke.. Hoe hoog ligge de verdeelpue ove he errei?. Dezelfde vrg ls de ple e meer lg zij (me < ). Vereevoudig je woord. Rekee

19 Rekee i de ksrekeig I ee doos zie wie e zwre lle. Jp rek wee keer ee l ui de doos. De ks d de eerse l wi is, is eve groo ls de ks d de weede wi is. Ook ls Jp zoder eruglegge rek. Verodersel d er wie e m zwre lle i de doos zie.. Neem e m e ereke P(eerse wi) e P(weede wi) P(eerse wi e weede wi) P(eerse zwr e weede wi).. Druk P(eerse wi) e P(weede wi) ui i m e. Blijkr moe je le zie d: m m m m m m c. Doe d lgerïsch. I ee vs zie 00 kikkers, wie e zwre. He l wie kikkers i de vs oeme we k. Ae rek me eruglegge wee kikkers ui de vs. P(k) is de ks d de kikkers verschilled v kleur zij.. Geef ee formule voor P(k).. Voor welke k is P(k) miml? I wee vze zie elk 0 kikkers. I de ee vs wie, i de dere zwre. Ae mg ui ee v de vze zoveel kikkers i de dere vs soppe ls ze wil. Vervolges moe ze, zoder e kijke ui éé v de vze ee kikker hle. Als de kikker wi is, krijg ze ee prijs. Als Ae gee kikker verpls, of lle wie kikkers i éé vs sop, is de ks d ze ee wie kikker pk. Verodersel d ze k wie kikkers ij de zwre doe.. Druk de ks d Ae ee wie kikker pk i k ui e l zie d deze ks gelijk is. W dviseer jij Ae?. 0 k I ee vs zie 0 wie kikkers. Ae sop er k zwre ij. Nu pk ze wee kikkers ui de vs, me eruglegge. P(k) is de ks d eide kikkers dezelfde kleur hee. Als k 0, d is P(k) uurlijk. Als k > 0,d is P(k) <, mr ls k erg groo is, d is P(k) weer ij.. Geef ee formule voor P(k).. Voor welke k geld: P(k) >? Rekee i de ksrekeig 7

20 k 0 P(k) k 0 c. Too d. d. Voor welke k is P(k) miiml? 8 Rekee

21 Awoorde Prgrf Breuke 87 7 p p p 7 7 fou fou fou fou fou goed goed fou goed goed j j ee j ee 0 ( )( ) ( ) Awoorde

22 ,, - gee oplossig fou goed fou fou ( ) v v 0 Rekee

23 . V v c. d. Nr de les oe. Als v groer word, d word v kleier, dus groer, dus kleier. e. v(v ). R word d kleier, dus ook, dus R word groer. R. Als R heel groo is, d is R ij 0, dus d R 0. Als R ij 0 is, d is erg groo, dus d R R R, dus R eem wrde usse 0 e 0. c. 0 R d. ( )( ). 0 e Prgrf Worels.,,., c., A A 0 0..,, c. d.,, pq 7 q Awoorde

24 0 0, 08 0, ( 7 ( 7 ) c. Zie. d. 7 7, w 7 7 is egief ( ) Rekee

25 0. Kwdrere geef: e d klop. Omd 8 7 e 7 eide posiief zij, geld: ( 7 ) 8 7, dus ( 7 ) Kwdrere geef:. Omd e geld dus eide posiief zij,. c. e, e omd zowel ls. 80 posiief zij, geld: 0 0 gee oplossig 0, 0 0, 0,, c., 7 Awoorde

26 Rekee. ( ) e. ( ) E: (de lse gelijkheid volg ui.) Als je voor - eem, d is he likerlid e he recherlid 0. c. De driehoeke AMQ e QNC zij gelijkvormig, dus: CN CN QN CN AM QM d. AB e AC. De sellig v Pyhgors i driehoek ABC geef: AC ( ). Sellig v Pyhgors i driehoek AMQ geef: AQ Sellig v Pyhgors i driehoek CNQ geef: CQ. Als je di ivul i AQ QC AC krijg je de gelijkheid ( ).

27 R R M 7 e ( ) ( ) Bij de eerse gelijkheid krijg je voor - i he likerlid ee egief gel e i he recherlid ee posiief gel. Bij de weede gelijkheid krijg je voor - i he likerlid ee egief gel e i he recherlid 0. NQ. I driehoek CQN: cos α, CQ AM i driehoek QAM: cos α, AQ AB i driehoek ABC: cos α AQ QC. 8 Zie plje. De hooge v he rpezium is eerzijds:, derzijds: R R. Hierij is R de srl v de cirkel. Dus: R R. Kwdrere geef: R R R R, dus:. Nogmls kwdrere 00 0 R, dus R R 0 R geef: R R R R. De oppervlke v de cirkel is π R π. Rekee i de meekude 8 Awoorde

28 .,,,. : : : 8:: geef 7. CAB ACD 0 e DCB ACD 0, dus DCB CAB ezovoor. De drie driehoeke hee dezelfde hoeke.. e 8, meer 0 (,0). Vwege symmerie is AC evewijdig me DE.. Evezo is CS evewijdig me AB, dus is SCBA ee prllellogrm, dus CS., dus SE. Omd ook CS SE geld: ( ). c. (w > 0). R (, 0, ), (, 0, ). deel c. (0,0,0) d. Q ls ( 0, 0, ).,., S, ( 0,, ) Rekee i de ksrekeig T, U (, 0, ) Rekee

29 . m e m m m m m m m m m m m m m c. ( )( ) ( m ) ( m )( m ). m. P( k ) ( k) 00 k 0. k 0 ( 0 k) k k. 0 k 0 k k 0 0 k 0 k 0 k. De uidrukkig i is miml ls k zo groo mogelijk is. Ze moe dus lle kikkers i éé vs soppe. 0 k 0 k 0 k. Mider d of meer d 0. P( k ) c. k k 0 k 0 0k 00 k d. Miiml ls k 0 k k 0 0 k 0 k 00 k ( 0 k ) ( k 0) ( k 0) ( k 0) 0k 00 k ( k 0) ( k 0) 00 Awoorde 7