UITWERKING MET ANTWOORDEN

Transcriptie

1 UITWERKING ET ANTWOOREN Opgve e momentenlijn t.g.v. lle mogelijke steunpuntszkkingen kunnen worden smengesteld uit de superpositie vn twee bsisgevllen. eze twee gevllen zijn: - zkking vn het buitenste steunpunt - zkking vn het op een n buitenste steunpunt eze bsisgevllen worden eerst fgeleid. Steunpunt zkt: w w + = 6 + = 6 8 oplossen levert : = w; = w; 8 w Steunpunt zkt: w w w = w + = oplossen levert : = w; = w; w 8 ogelijke combinties vn steunpuntszettingen zijn: mogelijke combinties steunpunt met zkking 4 5 w moment t.p.v. steunpuunt momenten geen zettingen W W W W W W W W 0 W W W 0 W W W W W gelijkmtige zettingen W W W 0 0 W erk op : Spiegelsymmetrische gevllen zijn weggelten. tgevend is dus de zkking vn of pl en pl 4. it gevl is identiek n en wrbij echter de momenten vn teken wisselen

2 Opgve ) e constructie is een buigzme op druk belste stf die rechts verend is ingeklemd in een ligger over drie steunpunten. A B x z, w odel is een verend ingeklemde, geschoorde buigzme op druk belste stf met links een veerstijfheid gelijk n nul en rechts een veerstijfheid die bepld wordt door de verende werking vn de ligger B zols hieronder is weergegeven. T B θ b) e verende werking volgt uit een kleine vingeroefening met sttisch onbeplde constructies (zie ook een eerder tentmen) : B Tl l l ϕ = ϕ ; + = = 4 T 6 T 4 T 7T 4 4 θ = = T = θ r = Het model voor de knikstf ziet er ls volgt uit: r c) e kniklst kn met de rho-formule worden bepld wrbij één vn de twee veren gelijk is n nul. 4 r r = ρ = = (stndrd OZ-sommetje) 7 7 Voor deze geschoorde stf geldt: k k (5)(5 + ) π = (5)(5 + ) 7 7 8π π = =,

3 Opgve ) Het betreft een probleem met niet-verpltsbre knopen. e vkwerkkolom kn worden beschouwd ls een verticle pendel wrmee deze kn worden vervngen door een horizontle rol. A q B e constructie heeft 6 opleggingen en is drmee voudig sttisch onbepld. Vnwege de niet-verpltsbre knopen zl het moment in B de helft zijn vn het moment in stf ter pltse vn punt. Vn deze hndigheid mg gebruik worden gemkt. e momenten op de stfuiteinden in moeten op de knoop evenwicht mken. t levert drmee twee onbekende momenten in. eze zijn op te lossen met slechts twee vormvernderingsvorwrden. e positieve richtingen vn de sttisch onbeplden zijn in de figuur ngegeven. b) Als vormvernderingsvoorwrde geldt: ϕ ϕ 4 q A = ϕ ; + = 4 q A B = ϕ ; + = Σ T = 0 ; = 0 Oplossen levert: q 9 = + = 0 knm 7 7 6q = + = 44 knm 7 7 6q = = 4 knm 7 7 c) e - en V-lijnen zijn hieronder fgebeeld. Let op de regels voor een nette -lijn, de vervormingstekens en de correcte en consistente weergven vn de V-lijn op bsis vn de hellingingen vn de -lijn. - -

4 lijn l = 0 8 = 04 knm 4 4 ql = 7 4 = 0 knm V-lijn 6 9 = = 4 = 6,6 4 NOOT: N-lijn 9 Verticle oplegrectie in A is bekend uit de V-lijn, neem het momentenevenwicht om de inklemming B voor het beplen vn de horizontle oplegrectie in A. Bepl hiermee de horizontle rectie in B. e verticle rectie in is ook bekend uit de V-lijn. rmee is bekend dt in B de verticle oplegrectie 0 kn omhoog is. Knoopevenwicht vn B levert de normlkrcht in B. 96 = 77,89 - -

5 Opgve 4 ) Sttisch onbeplde constructie, neem het moment in ls sttisch onbeplde n. Het inklemmingsmoment is de helft hiervn (bekend hndigheidje mg worden gebruikt wnt het betreft een probleem met niet-verpltsbre knopen) q B lle stven h A l B A ; l q l h h ϕ = ϕ + = 4 6 Hieruit volgt: 8 6 = ql 6 knm 4 = ( l + h) 4 6 b) e drukkrcht in de kolom is: N 6 = 5 + = 8 ( druk) c).b.v. vergeet-mij-nietjes: 8 u h 6 6 = = = 0,08 m 00 d) odel voor de knikstf: 40 e orde momentenverdeling in knm r r = r = l it model is geschoord en er moet gekozen worden voor de rho-formule. - -

6 e) oor het oneindig zijn vn één vn de veren moet de formule worden ngepst: k k (5 + ρ) π rh h 4 = met : ρ = = = = (5 + ρ) h l 6 π π = = = = ,6 kn ( π 0 60,7 kn) f) e e orde verpltsing in kn gevonden worden m.b.v. de vergrotingsfctor: k 58,6 n = = = 8,5 N 8,66 n u = u =, u = 0,09 m n g) Het verbnd tussen q en u is hieronder geschetst. q [kn/m 45,0 5, 9,0 e knikbelsting volgt uit: u [cm] qk = n q = 8,5 5, = 45, kn/m of :, zie noot ql k = 58, 6 = q + = q + qk = 45, kn/m l 4l h ( + ) BONUSVRAAG h) e e orde momentenverdeling zl bij B een kleiner moment lten zien. oor de invloed vn de fnemende schijnbre stijfheid vn de kolom t.g.v. de drukkrcht zl er een Onder de nnme dt de stijfheidsverhouding tussen de regel en de stijl gelijk blijft bij het opvoeren vn de belsting. Een nuwkeurige berekening lt zien dt de mximle belsting op c 9 kn/m uit komt. it komt doordt de drukkrcht en het moment in lineir fhnkelijk zijn vn de q-lst. e vergrotingsfctor voor dit systeem zl dn ook niet gelijk zijn n n/(n-). e kniklst vn 58 kn voor de kolom is wel zeer ccurt

7 herverdeling optreden vn de krchtsverdeling wrdoor de kolom een kleiner moment nr zich toetrekt. e weergegeven figuur is drom ook niet heleml exct. Opgve 5 ) e dwrscontrctie coëfficiënt ν ligt tussen -,0 en 0,5. b) e rekken in de hoofdrichtingen zijn gegeven. e punten in de rekcirkel die bij deze rekken horen liggen per definitie op de horizontle s ngezien de fschuifvervorming gelijk is n nul voor vezels in de hoofdrichting! yx evenwijdig n vezel AB R,0,6 ( ),8 yy Afgelezen wrden uit de cirkel, deze getllen kunnen een klein beetje fwijken vn de excte uitkomsten. xy c) e rek vn vezels evenwijdig n AB kn gevonden worden door vnuit het R een lijn te trekken evenwijdig n AB. r wr de cirkel wordt gesneden (in het ndere punt dn het R) wordt de rek fgelezen. e rek in de richting vn de vezel stt op de horizontle s! Aflezen levert: =,6 0 l = l =, = 8 mm (verkort) AB AB d) e hoofdspnningen kunnen worden bepld uit de hoofdrekken met: E = + ν =,8 0,0 0 = 04 N/mm ( ) ( ) 4 ν 6 E = + ν =,0 0 +,8 0 = 4 N/mm ( ) ( ) 4 ν 6-5 -

8 e) e spnningscirkel is met de hoofdspnningen direct te tekenen. Het R ligt reltief gezien op dezelfde plek in de cirkel ls bij de rekcirkel, immers de hoofdrekrichting is gelijk n de hoofdspnningsrichting! - 6 -

9 0 5 N/mm ( ; ) xy ( 0; 5) yx evenwijdig n norml vn vlkje A R yy ( ; ) yy yx (80; 70) evenwijdig n de nornml vn vlkje AB Afgelezen wrden uit de cirkel, deze getllen kunnen een klein beetje fwijken vn de excte uitkomsten. xy 70 N/mm 80 N/mm f) Vnuit het R zijn lijnen getrokken evenwijdig n de norml vn het oppervlk wrvn de spnningen worden gevrgd. In de snijpunten met de cirkel worden de spnningen fgelezen. Let op de tekens en kies een lokl ssenstelsel ls steun! g) Tresc in de hoofdspnningsruimte: Tresc en ohr e grootste spnningscirkel is mtgevend en de strl drvn is gelijk n de vloeispnning vn het mteril (8 N/mm )