Examen Klassieke Mechanica

Transcriptie

1 Exmen Klssieke Mechnic Herbert De Gersem, Eef Temmermn 25 jnuri 2012, 8u30, cdemiejr IW2 NAAM: RICHTING: vrg 1 (/4) vrg 2 (/4) vrg 3 (/5) vrg 4 (/4) vrg 5 (/3) TOTAAL (/20) Verloop vn het exmen Het volledige exmen duurt 3,5 uur of eventueel lnger tot de ltste kndidt klr is met het mondelinge gedeelte. Uiterrd bestt de mogelijkheid om vroeger in te dienen. Vrg 3 (eerste opgve vn het deel oefeningen) is schriftelijk. Alle ndere vrgen zijn schriftelijk met mondelinge toelichting. Voor deze vrgen wordt ook een volledige schriftelijke uitwerking gevrgd. Opmerkingen bij het exmen Zorg dt lle vrgen op fzonderlijke blden bentwoord worden. Nummer lle blden en schrijf je nm of initilen op elk bld. Noteer ook je nm en richting bovenn dit bld in de voorziene ruimte. Lees lle opgven ndchtig en zorg dt je lle delen vn de vrg bentwoordt. Schrijf groot en duidelijk. Mk grote en duidelijke figuren. Veel succes! 1

2 Theorie Vrg 1 (schriftelijk met mondelinge toelichting, 4 punten) () Leid de vergelijkingen vn Hmilton f uit de vergelijkingen vn Lgrnge. (b) Onder welke voorwrde(n) is de Hmiltonin een constnte vn de beweging? Vrg 2 (schriftelijk met mondelinge toelichting, 4 punten) Beschouw een bewegend cilindersymmetrisch lichm met een vst punt O, onderhevig n de zwrtekrcht wrop verder geen uitwendige krchten inwerken. Het vste punt O vlt smen met zijn msscentrum. () Beschrijf kort de beweging die het lichm zl ondergn. (b) Stel voor deze beweging de Lgrngin op ls functie vn de Eulerhoeken. (c) Welke grootheden worden behouden? Toon dit n. (d) Bepl de vritie in de tijd vn elk vn de Eulerhoeken. 2

3 Oefeningen Vrg 3 (schriftelijk, 5 punten) Twee holle, homogene buizen, elk met mss M en lengte L zijn str met elkr verbonden (γ = constnte) en roterend in het punt O (ϕ vrij) in een verticl vlk opgesteld (Fig. 1). In één vn de buizen glijdt een bolletje met mss m wrijvingsloos. () Stel de vergelijkingen vn Lgrnge op voor dit systeem. Geef fysische interpretties n de termen in die vergelijkingen. (b) Welke grootheden worden behouden en wrom? (c) Stel de vergelijkingen vn Hmilton op voor dit systeem. M M ϕ γ γ m L Figuur 1: Twee holle buizen, vst met elkr verbonden, roterend opgesteld en met een wrijvingsloos glijdend bolletje. O 3

4 Vrg 4 (schriftelijk met mondelinge toelichting, 4 punten) Een hspel bestt uit een volle, cilindervormige stlen s met lengte 4 = 4 m en dimeter 2R = 8 mm die in punten A en B gelgerd is en door een motor tussen A en B ngedreven wordt (Fig. 2). De hspel wikkelt een koperdrd met lengte L = 24 m en dimeter 2r = 2 mm op. Op een bepld ogenblik is de koperdrd over een fstnd x = 0.5 m lngs de s opgewikkeld. Het resterende gedeelte hngt verticl nr beneden. Men mg ervn uitgn dt de opeenvolgende wikkelingen strk nst elkr zijn komen te liggen. Het eigengewicht vn de stlen s is niet verwrloosbr. () Bepl welke belstingen inwerken op de stlen s. Mk een nieuwe figuur wrbij lle belstingen expliciet getekend zijn. Duid de groottes vn lle belstingen n op de figuur. (b) Bereken de snedekrchten in punt C. (c) Bereken de spnningstoestnd in punt C. Mk tekeningen vn de spnningen in de doorsnede bij C. Duid numerieke wrden n op de figuren. Gebruik de nuwkeurige formule voor fschuiving. (d) Wt is de hoekverdriing vn de s tussen het lger in B en het punt D? 2 A B C D E 2R x 2r Figuur 2: Yzeren hspel wrop koperdrd gewikkeld wordt. 4

5 Vrg 5 (schriftelijk met mondelinge toelichting, 3 punten) Twee blken zijn met elkr verbonden in het schrnierpunt C (Fig. 3). De ene blk rust op een rolverbinding in punt B. Er is een zelfde verdeelde belsting p = 200 kn/m op beide blken. De ene blk is 3 = 6 m lng terwijl de ndere blk = 2 m lng is. De eigen mss s vn beide blken zijn verwrloosbr. () Bereken de verbindingskrcht in punt C. (b) Teken de belstingsdigrmm s voor beide blken. Geef numerieke wrden voor lle mxim en minim in die digrmm s. p A B C D 2 Figuur 3: Twee blken, verbonden met een schrnier. 5

6 Bijkomende informtie soortelijk gewicht Tbel 1: Mterileigenschppen. elsticiteitsmodulus glijdingsmodulus Poisson rtio mximle spnning ρ (ton/m 3 ) E (GP) G (GP) ν () σ mx (MP) τ mx (MP) koper stl mximle schuifspnning constructiestl A beton Tbel 2: Trgheidsmomenten vn veelgebruikte doorsnedes. b y neutrle lijn y R neutrle lijn oppervlkte A b πr 2 polir trgheidsmoment I p = A r2 da 1 6 b ( 2 + b 2) 1 2 πr4 liner trgheidsmoment I = A y2 da 1 12 b3 1 4 R4 sttisch moment Q(y) = ( ) A y b da 24 2 y2 ( 2 3 R 2 y 2) 3/2 6