Statica in een notendop

Transcriptie

1 Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd wordt. 3. Dagrammen: Maak een VLS (vergeet het assenstelsel net) en eventueel andere benodgde dagrammen. 4. Utwerkng: Begn met het kezen van de te gebruken kernbetrekkngen: welke formules zjn nodg voor de oplossng van de gestelde vraag? Werk het antwoord ut zonder getallen n te vullen. In de meeste gevallen zal het antwoord van deze stap zjn: [gevraagde groothed] = [formule met slechts bekende grootheden]. Het s nuttg om tussentjds de eenheden te controleren. 5. Antwoorden en concluses: Vul getallen n bj de utwerkng van vraag 4. Schrjf het antwoord nclusef eenhed op. Trek eventueel concluses. 6. Controle: a. heb k antwoord gegeven op alle gestelde vragen? b. zjn mjn antwoorden plausbel?. Is het teken/de rchtng aannemeljk?. s de grootte van het antwoord aannemeljk? c. staan bj alle antwoorden eenheden? Krachten/Momenten (HS 2) Krachten n een wllekeurge rchtng kun je altjd ontbnden n verschllende rchtngen. In een 2D stuate met assen de loodrecht op elkaar staan (een orthogonaal assenstelsel) geldt: F = Fx + Fy j Als er meerdere krachten zjn geldt voor de resultante: R = F + F = F + F + F + F j 1 2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) Een moment s geljk aan kracht*arm. Met de arm geljk aan de loodrechte afstand (loodljn) van de werkljn van de kracht naar het momentpunt. Krachten mogen altjd verschoven worden langs hun werkljn. Als een kracht loodrecht op de werkljn verschoven wordt, moet er tevens een moment geïntroduceerd worden. Denk aan twee-krachtselementen: Grootte: F A = F B Rchtng: evenwjdg aan ljn AB De vorm van het lchaam zelf s onbelangrjk, zolang er maar net meer krachten/ momenten op werkzaam zjn. Resultante kracht/moment R = F Mo = Fd = R d d = de loodrechte afstand van de werkljn van de kracht tot het aangrjpngspunt Koppel Twee krachten de even groot zjn, alleen tegengesteld van rchtng en waarvan de werkljnen net samenvallen, stellen een koppel voor. Dt kan worden gezen als een moment waarvoor geldt: M= F d. Statca n een notendop 1/5

2 Evenwcht (HS3) en Gestellen ( 4.6) Evenwcht houdt n dat de lneare- of rotateversnellng geljk aan 0 s. Dt betekent: snelhed geljk aan 0 of snelhed constant. In een 2D stuate kun je maxmaal 3 evenwchtsvergeljkngen per Vrj Lchaam Structuur (VLS) toepassen, nameljk de wetten van Newton: Fx = 0, Fy = 0, Mo = 0 Met deze 3 vergeljkngen kunnen dus ook maxmaal 3 onbekenden utgerekend worden per VLS. Ook kan de momentenvergeljkng tweemaal worden toegepast met 1 krachtenvergeljkng of dremaal een momentenvergeljkng. Ze hervoor het boek. Bj gestellen moet je soms meer dan 3 krachten/momenten berekenen. In dat geval heb je meerdere VLS en nodg om het antwoord te berekenen. Let er ook op dat je de regel acte = -reacte her goed toepast. Het maken van een correct VLS 1. Maak een keuze over welk lchaam je vrj wlt maken. Het gekozen lchaam zal over het algemeen met een of meerdere van de onbekende grootheden te maken hebben. 2. Maak het lchaam los van zjn omgevng door (eventueel denkbeeldg) een gesloten contour om het lchaam te trekken. 3. Breng op plaatsen waar het lchaam contact heeft met zjn omgevng krachten/momenten aan (gebruk eventueel het schema met standaard VLS en heronder). Teken de krachten de door de omgevng op de contour utgeoefend worden en net de krachten de de contour op de omgevng utoefent! Breng ook volumekrachten als de zwaartekracht aan. De zwaartekracht grjpt aan n het zwaartepunt. Weersta de negng om krachten/momenten de er op het eerste gezcht gezcht net ljken te zjn of de je net nodg denkt te hebben voor de berekenngen weg te laten! Dt s vragen om fouten te maken! Als van tevoren al dudeljk s n welke rchtng een kracht/moment werkt, teken dan de vector meteen n de goede rchtng. Als het net meteen dudeljk s, s het vaak handg om de posteve rchtng (aan de hand van je gekozen assenstelsel) te nemen. Bepaalde belangrjke grootten/namen van hoeken/lengtes kunnen ook aangegeven worden op het VLS, maar probeer het geheel wel overzchteljk te houden. 4. Geef met een assenstel bj het VLS aan welke rchtngen jj postef noemt (ze het plaatje). TIP: In sommge gevallen s het handger om net het standaard x-y-assenstelsel te nemen (zoals n de fguur herboven), maar het assenstelsel just te roteren of te spegelen. Even nadenken over de keuze van het assenstelsel kan je veel rekenwerk besparen. TIP: Denk eraan dat wanneer een heel lchaam n evenwcht s, ook alle delen van dat lchaam n evenwcht zjn. Hervan kun je gebruk maken bj het kezen van een deel voor het VLS. TIP: Kes als momentpunt voor de som van de momenten het lefst een punt waar zoveel mogeljk werkljnen van onbekende krachten doorheen gaan, want op deze maner vallen al deze krachten ut de vergeljkng. TIP: Geef aan om welk punt je de som van de momenten bepaalt met de naam van het punt n subscrpt (bv. ΣM o). Als het punt dat je gebrukt geen naam heeft, dan kun je een vlaggetje gebruken om het punt aan te geven n het VLS, de bjbehorende evenwchtsvergeljkng wordt dan ΣM =0. TIP: Voor de bepalng van een moment van een wllekeurg gerchte kracht, kan het handg zjn om de componenten van deze kracht te gebruken: M=± Fd=± Fd ± Fd (ze de fguur hernaast). x y y x Standaard VLS en Constructe VLS Opmerkng(en) Kabel Trekkracht evenwjdg aan kabel Glad oppervlak Duw-normaalkracht (loodrecht op oppervlak) Statca n een notendop 2/5

3 Ruw oppervlak Duw-normaalkracht en wrjvngskracht (evenwjdg aan oppervlak en tegengesteld aan negng tot bewegen) Rolopleggng Duw-normaalkracht Vrj gljdende constructe Normaalkracht Scharner (zonder wrjvng) Resultante met componenten n 2 rchtngen Inklemmng Axale kracht, dwarskracht en moment Zwaartekracht Kracht ter grootte m g n massamddelpunt TIP: In een kabel s de kracht overal geljk. Dt gegeven s nodg om o.a. problemen met katrollen op te lossen. Zwaartepunten/Massamddelpunten ( ) Het massamddelpunt van een lchaam kan utgerekend worden (contnu) met: xda = x da. Met x het massamddelpunt per oppervlaktedeel en x het massamddelpunt van het gehele oppervlak. Voor samengestelde lchamen kan gebruk worden gemaakt van (dscreet): x-coördnaat y-coördnaat Massa Oppervlak Lengte Massa Oppervlak Lengte xm xa xl ym ya yl x = x = x = y = y = y = m A l m A l Bj oppervlakken/ massa s geldt dat ze negatef genomen moeten worden als er op de plaats just geen oppervlak/ massa s. Deze moeten dus van de rest afgetrokken worden. TIP: Let altjd op symmetre. Als er nameljk een symmetrevlak/-ljn/-punt te ontdekken s, dan lgt het zwaartepunt her altjd n/op. A A Statca n een notendop 3/5

4 Voorbeelden lggng massamddelpunten n lokale coördnatenstelsels van enkele standaard lchamen: Rechthoekg oppervlak Drehoek ¼ van een ellps Zwaartepunt lgt preces n het mdden Deel van een crkelvormg opp. 2 rsnα x = 3 α α n radalen! a+ b h x = en y = 3 3 Deel van een crkelboog rsnα x = α α n radalen! 4a 4b x = en y = 3 π 3 π Oppervlakte crkel: A =π r Omtrek crkel: O = 2π r Oppervlakte drehoek: ½bh 0 Graden/radalen: 360 2π rad 2 V- en M-ljnen ( 5.7) Voor een stukje balk geldt (ze fguur): dv = w dx dv = wdx dm = V dx dm = Vdx Met: w = kracht per lengte-eenhed (verdeelde belastng) [N/m] Ofwel: de afgelede van de dwarskrachten ljn s geljk aan de verdeelde belastng met een mn-teken en de afgelede van de momentenljn s geljk aan de dwarskrachtenljn. LET OP! Bovenstaande vergeljkng gelden alleen tussen dscontnuïteten! Voor de V-ljn s een dwarskracht een dscontnuïtet, voor de M-ljn s een puntmoment een dscontnuïtet. Posteve tekenafspraak bj balken: Stappenplan voor het bepalen van de V-/M-ljn 1. Bepaal steunpuntsreactes 2. Bepaal V-ljn mbv. doorsnjdng en ntegraal 3. Bepaal M-ljn mbv. V-ljn en dscontnuïteten. Vaak s het ook handg om tussentjds belangrjke punten te berekenen. 4. Controleer V-/M-ljn. TIP: Bj het maken van een doorsnede om evenwcht te bepalen, ben je vrj om zowel de lnker- als de rechterkant van de doorsnede te bekjken. Kes bj doorsnedes vlak bj een utende van de balk altjd het korste deel omdat her over het algemeen de mnste krachten/momenten werken, wat het nvullen van de evenwchtsvergeljkngen vergemakkeljkt. CONTROLE: Als er aan het utende van de balk geen externe dwarskracht of moment werkt, moeten zowel de V- als M-ljn op nul utkomen. Werkt er wel een externe dwarskracht of extern moment aan het utende dan moet de waarde hervan opgeteld bj de waarden van de V- resp. M-ljn op dat punt nul zjn. CONTROLE: Op een plaats waar de dwarskracht geljk aan 0 s, treedt een maxmum/mnmum op n de M-ljn. Statca n een notendop 4/5

5 Wrjvng (HS 6) Als het voorwerp stlstaat: Fw µ sn Als het voorwerp op punt van bewegen staat: Fw = Fw,s max =µ sn Als het voorwerp beweegt Fw,k max = µ kn Het bepalen of een voorwerp stl bljft staan of gaat bewegen, gaat het makkeljkst door met behulp van de evenwchtsvergeljkngen te bepalen hoe groot de wrjvngskracht moet zjn om het voorwerp n evenwcht te houden. Vervolgens kan je bepalen hoe de benodgde wrjvngskracht zch verhoudt tot de maxmale wrjvngskracht, door F w,s max te berekenen. Algemene tps / Handge wskunde (ze ook appendx C boek) Wanneer n een som bjvoorbeeld staat: De grootte van de massa van het lchaam s m, dan weet je net de getalswaarde van de massa, maar de massa mag je wel als bekend aannemen. Dat wl zeggen: je moet straks het antwoord utdrukken n m. Wordt er net gesproken over de massa van een lchaam, dan betekent dat, dat je de massa van het lchaam mag verwaarlozen. Bj een drehoek geldt dat de som van de hoeken geljk s aan 180. Standaard drehoeken: Een stelsel vergeljkngen s oplosbaar als je evenveel vergeljkngen als onbekenden hebt. Om het stelsel op te lossen s het soms nodg om ut één vergeljkng een vergeljkng voor een varabele als functe van andere varabelen te halen en deze dan n een andere vergeljkng n te vullen (substtute). In de meeste problemen echter kun je door slm een momentpunt te kezen, met de vergeljkng voor de som van de momenten meteen een waarde voor een varabele vnden en deze gebruken om andere vergeljkngen op te lossen. Statca n een notendop 5/5