Integere programmering voor cyclische personeelsplanning

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Integere programmerng voor cyclsche personeelsplannng Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Scence n de Toegepaste Economsche Wetenschappen: Handelsngeneur Jonas Ingels onder ledng van Prof. Broos Maenhout

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Integere programmerng voor cyclsche personeelsplannng Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Scence n de Toegepaste Economsche Wetenschappen: Handelsngeneur Jonas Ingels onder ledng van Prof. Broos Maenhout

4 PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de nhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mts bronvermeldng. Jonas Ingels I

5 Woord vooraf Dt onderzoek s tot stand gekomen dankzj de ondersteunng van professor Broos Maenhout, de veel brukbare deeën heeft voorgesteld en altjd berekbaar was voor feedback. II

6 Inhoudsopgave 1. Inledng Lteratuurstude Model Indexen en sets Parameters Beslssngsvarabelen Model Utleg bj model Utleg bj model Oplossngen Gurob Solver voor gewoon model Mnmum verest aantal werknemers per shft (beperkng (1b)) shft of vrje dag beperkng (beperkng (1g)) Maxmaal opeenvolgende werkdagen (beperkng (1)) Vrje dagen (beperkngen (1l), (1m) en (1n)) Voorwaartse rotate van laatste naar eerste shft (beperkng (1h)) Het aantal vrje weekenddagen per plannngsperode (beperkng (1k)) Beperkng op teveel en te weng werknemers (beperkng (1s)) Branch and prce methode Masterprobleem Indexen en sets Parameters Beslssngsvarabelen Subprobleem Parameters Methode Intële oplossng Procedure: kolomgenerate Procedure: Naar boven afronden van de oplossng van het masterprobleem Procedure: Selecte branchng varabele Procedure: Left branch Procedure: Store soluton Procedure: Backtrackng Procedure: rght branch III

7 6. Cyclctetsonderzoek Karaktersteken Personeelsveresten Resultaten Volledge cyclctet Vermnderde cyclctet Relaxate andere beperkngen Concluse Referentes... I Appendx A... IV Appendx B... V Appendx C... VII Appendx D... XI Appendx E... XV IV

8 Ljst met fguren Fguur 1: procedure Fguur 2: branchng tree Fguur 3: SCD= Fguur 4: SCD= Fguur 5: DCD= Fguur 6: DCD= Ljst met tabellen Tabel 1: cyclsch personeelsplan... 3 Tabel 2: Beperkngen... 6 Tabel 3: bjhorende papers... 6 Tabel 4: meest voorkomende beperkngen... 7 Tabel 5: voorbeeld TCC Tabel 6: voorbeeld normaal cyclsch schema Tabel 7: voorbeeld aangepast cyclsch model Tabel 8: voorbeeld aangepast model Tabel 9: Beperkng volgens belang (1 s hoogste-9 s laagste) Tabel 10: vraag naar werknemers Tabel 11: resultaat model Tabel 12: resultaat model Tabel 13: resultaat model Tabel 14: preferentes voor vrje dagen Tabel 15: oplossng model Tabel 16: oplossng model Tabel 17: oplossng model Tabel 18: voorbeeld Tabel 19: rght branch varabele Tabel 20: shftovergangen Tabel 21: voorbeeld cyclctet Tabel 22: werknemers Tabel 23: resultaten Tabel 24: correlates Tabel 25: correlates Tabel 26: resultaten % cyclctet Tabel 27: resultaten % cyclctet Tabel 28: resultaten % cyclctet Tabel 29: vergeljkng (DCD=0-SCD=0) Tabel 30: vergeljkng (DCD=0,5-SCD=0) Tabel 31: correlates TCC=0, Tabel 32: correlates TCC=0, Tabel 33: correlates TCC=0, Tabel 34: extra correlates V

9 Tabel 35: vergeljkng correlates Tabel 36: extra vergeljkng correlates Tabel 37: outlers (DCD=0-SCD=0) Tabel 38: outlers (DCD=0,25-SCD=0,25) Tabel 39: outlers (DCD=0,25-SCD=0,25) Tabel 40: tjd-correlate (TCC=0,2) Tabel 41: tjd-correlate (TCC=0,35) Tabel 42: tjd-correlate (TCC=0,5) Tabel 43: maxmale tjd 100% cyclctet Tabel 44: nodes - IP oplossng Tabel 45: nodes - IP oplossng Tabel 46: vergeljkng relaxate Tabel 47: vergeljkng 80% cyclctet VI

10 1. Inledng Aangezen mensen dkwjls de bepalende factor zjn n het waarborgen van een goede producte of denstverlenng, s personeelsplannng een belangrjk onderdeel voor de werkng van elk hedendaags bedrjf. Dt zorgt ervoor dat het net alleen belangrjk s dat de juste mensen op de juste momenten aanwezg zjn, maar ook dat er voldoende mensen op de verschllende tjdstppen werken. Herbj kan onder andere gedacht worden aan de personeelsproblematek n zekenhuzen. Deze hebben het soms zeer moeljk om genoeg personeel te vnden en hebben tegeljkertjd te maken met zeer onverwachte schommelngen n de vraag. Bovenden wordt er een steeds grotere druk utgeoefend op de kosten, waarvan personeelskosten een groot deel zjn. De voorbeelden waarbj werknemers ontslagen worden omwlle van besparngen zjn lego. Dt heeft tot gevolg dat momenten waarop te veel werknemers aanwezg zjn, moeten vermeden worden. Het s echter ook essenteel dat er geen tekort aan werknemers s, want dt zou kunnen leden tot een slechte denstverlenng en n het ergste geval tot verles van klanten en bjgevolg, verles van nkomsten. Herdoor s, vanut het standpunt van het bedrjf, het tekort aan werknemers op bepaalde tjdstppen egenljk erger dan het teveel aan werknemers. Ook vanut het perspectef van de werknemers s er een groeende nteresse naar personeelsplannng. Dt komt voort ut het fet dat een werkrtme met een gezonde werk-rust balans steeds belangrjker wordt. Bedrjven kunnen een personeelsplannng, de aan deze vereste voldoet, gebruken om de beter geschoolde, meer talentrjke werknemers aan te trekken. Het s mmers net alleen het loon dat een doorslaggevende rol speelt bj de keuze van een werkgever. In Human Resources wordt dt gevecht voor de meest talentrjke werknemers ook wel eens the war for talent genoemd. Een gezonde werk-rust balans s trouwens net alleen voordelg voor de bedrjven zelf (aantrekken van betere werknemers) maar ook voor de werknemers. Er zal een grotere tevredenhed waargenomen kunnen worden onder de werknemers, preces omdat rekenng gehouden wordt met hun behoeften. Onrechtstreeks s dt dan weer postef voor het bedrjf zelf, tevreden werknemers leden mmers, onder andere, tot meer tevredenhed bj de klanten en mnder absenteïsme onder de werknemers. Opneuw kan her verwezen worden naar zekenhuzen waar het algemeen geweten s dat er een groeend tekort aan verplegend personeel s. Een personeelsplan met een goed werkrtme kan deze zekenhuzen dus helpen om voldoende goed getrand verplegend personeel aan te trekken. 1

11 Al deze trends dragen bj tot het belang van personeelsplannng. Een personeelsplan moet dus voldoen aan de verschllende gestelde veresten. Deze veresten worden, echter, net alleen bepaald door het bedrjf en de werknemers, maar ook door de overhed. Daarom s het belangrjk om, rekenng houdend met al deze soms tegenstrjdge veresten (bv. druk op kosten maar tegeljkertjd voldoen aan de vraag naar personeel), een plan ut te dokteren dat aanvaardbaar s voor zowel het bedrjf als voor de werknemers. De voorgenoemde trends dragen dan ook bj tot de relevante van het onderzoek dat n deze paper wordt gevoerd. De bedoelng s dat er een ndcate kan gegeven worden over wanneer het nteressant kan zjn om een cyclsch personeelsplan te gebruken, rekenng houdend met de fluctuates n de personeelsveresten. Bovenden zal er gekeken worden naar optes om onproducteve allocates zoveel mogeljk te vermjden. Dt s mmers belangrjk voor het kostenaspect van een bedrjf. Het verdere verloop van deze paper s als volgt: In het tweede deel van deze paper (Lteratuurstude) wordt er meer utleg gegeven bj het gevoerde lteratuuronderzoek en de meest relevante resultaten ervan. Er wordt stlgestaan bj de verschllende aspecten de n rekenng gebracht moeten worden bj het opstellen van een personeelsplan en hoe deze n de lteratuur algemeen aangepakt worden. Het derde deel omvat een beschrjvng van het mathematsch model dat zal gebrukt worden om het probleem op te lossen. Her wordt deper ngegaan op de reden waarom bepaalde beperkngen n het model werden geïntegreerd. Ook wordt meer utleg gegeven over welke paper de bass heeft gevormd n dt onderzoek en waarom. Dt deel wordt afgesloten met een behandelng van de verschllende mogeljke cyclsche schema s en hun nvloed op het eerder voorgestelde mathematsche model. Het verde deel geeft meer utleg over hoe het model n eerste en tweede nstante werd opgelost, nameljk met de gewone Solver van Mcrosoft Excel en met een add-n Solver (Gurob Solver). Het doel van dt deel s tweeledg. Enerzjds toont dt aan dat het zeer moeljk s om een oplossng te vnden voor een groot model, anderzjds zorgt dt deel ervoor dat het n deel 6 mogeljk wordt om te kjken welke beperkngen eventueel verwjderd kunnen worden om een betere oplossng (met een lager aantal onproducteve allocates) te kunnen bekomen. Vervolgens wordt n het vjfde deel, de branch and prce methode de werd geprogrammeerd om het model op te lossen, behandeld. Herna wordt n het zesde deel de egenljke onderzoeksopzet van deze paper besproken. Her wordt gekeken of er bepaalde concluses kunnen getrokken worden over wanneer het nteressant s om een volledg cyclsch, een gedeelteljk cyclsch (bv. 80% cyclsch of zelfs 20% cyclsch) of een volledg 2

12 acyclsch schema te gebruken. Dt deel endgt met een besprekng van de nvloed van de relaxate van bepaalde beperkngen op de onproductvtet. In het laatste deel worden de algemene concluses, de ut dt onderzoek kunnen getrokken worden, vermeld en wordt er een aanzet tot mogeljk toekomstg onderzoek gegeven. 2. Lteratuurstude Er s reeds utgebred onderzoek gevoerd naar personeelsplannng. In de lteratuur wordt veelal een ondersched gemaakt tussen cyclsche en net-cyclsche personeelsplannng en personeelsplannen waarbj werknemers zelf kunnen aangeven wanneer ze wllen werken (Bard en Purnomo 2006). Net-cyclsche personeelsplannng betekent dat er enkel rekenng gehouden wordt met de ndvduele preferentes van de verschllende werknemers en met het fet dat voldaan moet worden aan de vraag naar de werknemers over de verschllende shfts en dagen. Dt betekent dus dat er geen beperkng s de stelt dat het personeelsplan zch na verloop van tjd moet herhalen. Het grote voordeel van deze vorm van personeelsplannng s dat er zoveel mogeljk wordt voldaan aan de ndvduele preferentes van de werknemers. Dt s, met andere woorden, heel postef voor de tevredenhed van werknemers. Echter, het nadeel dat verbonden s aan dt soort personeelsplannng, s het gebrek aan geljkhed over de verschllende werknemers. Hermee wordt bedoeld dat de werknemers utendeljk net allemaal hetzelfde schema zullen doorlopen en bjgevolg s het mogeljk dat werknemers het gevoel krjgen dat anderen gunstgere werkvoorwaarden hebben (bv. mnder weekendwerk), ook al wordt er zoveel mogeljk met hun preferentes rekenng gehouden. Dt s het gevolg van het fet dat het onmogeljk s om aan alle preferentes van alle werknemers tegeljkertjd te voldoen. Cyclsche personeelsplannng betekent dat werknemers een bepaald werkschema zullen toegewezen krjgen dat zch steeds opneuw zal herhalen. Een heel eenvoudg voorbeeld wordt gegeven n tabel 1. Week 1 Week 2 Week 3 (maandag tot vrjdag) (maandag tot vrjdag) (maandag tot vrjdag) Werknemer 1 Shft 1 Shft 2 Shft 3 Werknemer 2 Shft 2 Shft 3 Shft 1 Werknemer 3 Shft 3 Shft 1 Shft 2 Tabel 1: cyclsch personeelsplan 3

13 Dt soort schema s werkt het best n stabele omgevngen waar de vraag naar werknemers op voorhand gemakkeljk kan voorspeld worden en waarbj deze net al te veel schommelngen ondervndt over de tjd. Het voordeel van deze methode staat n contrast met het grote nadeel van net-cyclsche personeelsplannng, nameljk de rechtvaardge verdelng van toekennngen. Elke werknemer zal utendeljk n het bovenstaande voorbeeld dezelfde shfts gewerkt hebben als alle andere werknemers. De voorspelbaarhed voor de werknemers s, met andere woorden, heel hoog. Mllar en Kragu (1998) stellen daarenboven dat de tjd nodg om zo n probleem op te lossen lager s dan bj net-cyclsche personeelsplannen. De nadelen, verbonden aan deze vorm van personeelsplannng, zjn volgens Mllar en Kragu (1998) de onmogeljkhed om te beantwoorden aan de aanpassngen n de vraag. Hermee wordt, met andere woorden, verwezen naar het gebrek aan flexbltet om onder andere zekte van werknemers of het opnemen van vakante door één of meerdere werknemers op te vangen (Warner 1976, Housos en Valouxs 2000). Een bjkomend nadeel s echter het voordeel voor net-cyclsche personeelsschema s, nameljk dat er geen rekenng gehouden wordt met de persoonljke voorkeuren van de werknemers (Bard en Purnomo 2005). De laatste mogeljkhed s dat de werknemers zelf kunnen bepalen welke shfts op welke dagen ze werken. Het ntatef lgt dus volledg bj de werknemer. De verantwoordeljke voor de personeelsplannng moet er dan voor zorgen dat er ten allen tjde voldoende werknemers aanwezg zjn. Aangezen het zeer waarschjnljk s dat er mnder vrjwllgers zullen zjn voor de mnder aantrekkeljke shfts (zoals bjvoorbeeld nacht en/of weekendshfts), zullen compromssen gesloten moeten worden. Dt heeft tot gevolg dat deze methode zeer tjdrovend s en potenteel gepercpeerd kan worden als onrechtvaardg door de benadeelde werknemers. Bovenden zullen deze benadeelde werknemers wllen dat tjdens de volgende plannngsperode zj als eerste kunnen bepalen welke shfts op welke dagen zj werken. Herdoor brengt zo n vorm van personeelsplannng dus een extra last mee voor de verantwoordeljke van de personeelsplannng. Deze methode zal dan ook net verder gebrukt worden n dt onderzoek. Zoals ut de afwegng van de voor en nadelen van de verschllende methodes bljkt, zjn de cyclsche en net-cyclsche personeelsplannng methodes n essente complementar. Immers wat het grootste voordeel s voor de cyclsche methode (nameljk de rechtvaardge verdelng van de verschllende shfts) s dan weer een nadeel voor de net-cyclsche vorm van personeelsplannng (gebrek aan geljkhed n de toekennngen) en omgekeerd (geen rekenng houdend met preferentes versus zo veel mogeljk rekenng houdend met preferentes). Bard en Purnomo (2007) stellen dan ook voor om 4

14 de belangrjkste componenten van de cyclsche en net-cyclsche personeelsplannng te combneren n één en hetzelfde model. Er zal dus een trade-off plaatsvnden tussen enerzjds het volgen van het cyclsche schema en anderzjds het rekenng houden met de preferentes van werknemers. De gedachtegang van deze hybrde methode wordt n dt onderzoek ook gevolgd. Een bjkomende reden dat deze methode voordelger s dan de afzonderljke methodes s de mogeljkhed om flexbltet, n het opvangen van fluctuates n de vraag naar werknemers, en stabltet, n de shftallocates, toe te voegen aan respecteveljk cyclsche en net-cyclsche schema s. Elk mathematsch model bestaat ut een doelfuncte, de gemnmalseerd of gemaxmalseerd moet worden, en een aantal, al dan net, bndende beperkngen waaraan de oplossng van het model moet voldoen. Om bjgevolg tot een goed model te kunnen komen moet er eerst een doelfuncte bepaald worden, alsook beperkngen waaraan de oplossng van deze doelfuncte moeten voldoen. De doelfuncte s over het algemeen een utdrukkng van verschllende subdoelstellngen waaraan verschllende gewchten worden toegekend. De meest voorkomende doelstellngen n personeelsplannng lggen n de ljn van het mnmalseren van de verschllende kosten zoals: de kosten voor nterm-werknemers, tekort aan werknemers,... De doelfuncte zal dan ook gemnmalseerd moeten worden. Beperkngen worden n de lteratuur opgedeeld n verschllende klassen. Burke et al. (2004), Bard en Purnomo (2006) en Cheang et al. (2003) maken bjvoorbeeld het ondersched tussen hard constrants en soft constrants. Het eerste type beperkngen zjn beperkngen de ten allen tjde moeten voldaan zjn, zoals bjvoorbeeld het maxmaal opeenvolgende dagen de de werknemers mogen werken. De soft constrants verwjzen naar beperkngen de mogen overtreden worden maar waaraan dan een kost s verbonden de toegerekend moet worden n de doelfuncte. Burke et al. (2004) voegen aan de mogeljke classfcates van beperkngen ook nog tme related constrants versus coverage constrants toe. Tme related constrants zjn beperkngen de te maken hebben met de beperkngen de opgelegd worden op de persoonljke schema s van de werknemers, bjvoorbeeld persoonljke preferentes. Deze beperkng kan echter gezen worden als een soft constrant. De coverage constrants verwjzen naar het verest aantal werknemers van een bepaald ervarngsnveau de gedurende een bepaalde shft moeten werken, deze worden her verder voor de eenvoud personeelsveresten genoemd. Andere auteurs zoals Maenhout en Vanhoucke (2010a) voegen ook nog het verschl tussen horzontale en vertcale beperkngen toe. Horzontale beperkngen zjn beperkng de gelden bnnen 1 schema voor 1 werknemer, bjvoorbeeld het maxmaal opeenvolgende dagen dat een werknemer mag werken. Vertcale beperkng gelden daarentegen over alle schema s en over alle werknemers. 5

15 De personeelsveresten de gelden over de verschllende shfts en dagen zjn een goed voorbeeld van een vertcale beperkng. Het s echter wel zo dat het bassondersched steeds deze s van hard constrants versus soft constrants en dat andere classfcates egenljk hetzelfde utdrukken maar dan n een andere bewoordng. Ut het gevoerde lteratuuronderzoek s gebleken dat de volgende beperkngen (tabel 2) het meest voorkwamen. Merk wel op dat de mnder relevante beperkngen, vanut het standpunt van dt onderzoek, reeds werden verwjderd. 1 Mnmale personeelsveresten 2 Opeenvolgende dagen de werknemers mogen werken 3 Het aantal vrje dagen de een werknemer moet krjgen tjdens de plannngsperode 4 Werknemers moeten hun contractueel bepaald aantal uren werken 5 Lmet op het aantal nterm-werknemers 6 Elke werknemer wordt elke dag toegewezen aan een shft of vrje dag 7 Verbod op voorwaartse rotate (bv. Shft 3 de gevolgd wordt door shft 1 de volgende dag) 8 Lmet op het teveel aan werknemers 9 Het aantal vrje weekends gedurende de plannngsperode Tabel 2: Beperkngen Tabel 3 omvat voor elke beperkng een aantal voorbeelden van papers waarn deze beperkng voorkomt. Merk op dat de getallen overeenkomen met de beperkngen ut tabel 2. Het getal 1 verwjst dus naar de beperkng de betrekkng heeft op de mnmale personeelsveresten. 1 Brusco en Jacobs (1993), Brusco en Johns (1996), Muslu et al. (2004), Bard en Purnomo (2006 en 2007) 2 Hung (1999), Bllonnet (1999), Housos en Valouxs (2000) en Mller et al. (1976) 3 Hung (1999), Bllonnet (1999) en Mller et al. (1976) 4 Bard en Purnomo (2006 en 2007) en Mllar en Kragu (1998) 5 Bard en Purnomo (2006 en 2007) 6 Housos en Valouxs (2000) en Bard en Purnomo (2006 en 2007) 7 Housos en Valouxs (2000) en Bard en Purnomo (2006 en 2007) 8 Bard en Purnomo (2006 en 2007) 9 Mller et al. (1976) en Bard en Purnomo (2006 en 2007) Tabel 3: bjhorende papers 6

16 De bovenstaande beperkngen werden vervolgens vergeleken met de ljst van de meest voorkomende beperkngen, bj het opstellen van personeelsschema s voor verplegend personeel, volgens Cheang et al. (2003). De onderstaande tabel (tabel 4) geeft een weergave van de zesten belangrjkste beperkngen. Cheang et al. (2003) besloten vervolgens dat beperkngen 1, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 14 en 16 het meest aanwezg zjn n de lteratuur. Deze zullen dan ook, al dan net n aangepaste vorm, n het onderstaande model verwerkt worden (ze secte 3). 1 Mnmale/Maxmale werklast 2 Mnmaal/Maxmaal/Exact aantal opeenvolgende shfts van hetzelfde type 3 Mnmaal/Maxmaal/Exact aantal opeenvolgende werkende shfts/dagen 4 Ervarngsnveaus en categoreën 5 Preferentes of veresten 6 Mnmaal/Maxmaal aantal (opeenvolgende) vrje dagen 7 Mnmaal aantal uren tussen twee werkende shfts 8 Maxmaal aantal toewjzngen aan een bepaald shft type, veresten voor elk shft type 9 Vakante 10 Beperkngen de betrekkng hebben op weekends gedurende dewelke werknemers moeten werken, bjvoorbeeld, complete weekends. Een compleet weekend betekent dat een werknemer zowel zaterdag als zondag moet werken. 11 Beperkngen de gelden over verschllende werknemers, bjvoorbeeld: verpleegsters de net mogen samenwerken 12 Shft patronen 13 Hstorsche records, bjvoorbeeld: vorge toewjzngen 14 Andere veresten de betrekkng hebben over een andere tjdspanne dan de egenljke plannngsperode 15 Beperkngen over verschllende shfts, bjvoorbeeld: twee shfts kunnen net toegewezen worden aan een persoon op hetzelfde moment 16 Mnmaal/Maxmaal/Exact aantal vereste werknemers over verschllende shfts Tabel 4: meest voorkomende beperkngen Verder bljkt ut de lteratuurstude dat de typsche lengte van een plannngsperode 4 weken bedraagt (Burke et al. 2004) en dat de lengte van één cyclsche perode dkwjls de helft s van de lengte van de volledge plannngshorzon (Bard en Purnomo 2007). In dt onderzoek wordt een model opgesteld met dre shfts van telkens acht uur. Merk wel op dat met bepaalde zaken her geen 7

17 rekenng gehouden wordt. Voorbeelden hervan zjn de plannng van pauzes of de start en endtjden van shfts. De achterlggende reden s dat het utslutend de bedoelng s om tot een aantal algemene concluses te komen omtrent cyclsche versus net cyclsche personeelsplannng en dt onder verschllende omstandgheden n de vraag naar werknemers. Bovenden zjn zaken zoals plannng van pauzes en de duur ervan zeer bedrjfsspecfek. Het model kan echter gemakkeljk utgebred worden zodat deze aspecten wel n rekenng gebracht kunnen worden. Dt s dus zeker geen beperkende factor. Nog s het belangrjk voor het model om te bepalen of er al dan net met meerdere ervarngsnveaus (onder andere Bllonnet 1999, Cheang et al. 2003) zal worden gewerkt. Aangezen het weng realstsch s dat er slechts één type werknemers zou werken n een bepaald bedrjf, wordt gebruk gemaakt van twee ervarngsnveaus. Een gerelateerde beslssng s de maner waarop deze ervarngsnveaus met elkaar nterageren. Met andere woorden, s het al dan net toegelaten dat een werknemer van het hoogste ervarngsnveau werk utoefent dat normaal door een werknemer van een lager nveau utgevoerd wordt? Ook moet er beslst worden hoe deze nteracte dan zou plaatsvnden. Deze nteracte/substtute wordt n de lteratuur downgradng genoemd. Bard en Purnomo (2005) dentfceren dre maneren waarmee omgegaan kan worden met verschllende ervarngsnveaus. Ten eerste kan men de ervarngsnveaus volledg afzonderljk behandelen. Men zorgt er dan enkel voor dat de vraag naar werknemers bnnen dat bepaalde ervarngsnveau voldaan wordt. Dt s de eenvoudgste methode maar ledt wel tot suboptmale resultaten. Een tweede mogeljkhed s sequental downgradng of sequentële substtute, dt wl zeggen dat men er eerst voor zorgt dat de vraag naar werknemers voor het hoogste ervarngsnveau voldaan s. Inden er nog vrje werknemers van het hoogste ervarngsnveau zjn, kunnen deze ngezet worden voor het werk dat normaal utgevoerd wordt door werknemers van een lager ervarngsnveau. De laatste mogeljkhed s deze van de combned downgradng of gecombneerde substtute. Bj deze methode worden de verschllende ervarngsnveaus tegeljkertjd bekeken. Ut de resultaten van de testen de Bard en Purnomo (2005) utgevoerd hebben, bljkt dat gecombneerde substtute ledt tot de beste resultaten n het geval van twee ervarngsnveaus. In het model wordt er, zoals reeds vermeld, ook rekenng gehouden met twee ervarngsnveaus. Deze keuze werd gemaakt om tot algemene resultaten te kunnen komen en het model net nodeloos complex te maken. Door deze keuze en de resultaten van Bard en Purnomo (2005) werd er dan ook voor gekozen om met gecombneerde substtute te werken. Meer utleg over gecombneerde substtute zal n deel 3 verschaft worden. 8

18 Personeelsplannng (n de gezondhedszorg) s typsch NP-hard (onder andere Maenhout en Vanhoucke 2010b). Dt betekent dat het net mogeljk s om een oplossng te vnden bnnen een redeljke tjdspanne zonder het gebruken van een specale technek zoals bjvoorbeeld ntegere programmerng. Er zjn verschllende mogeljkheden om een mathematsch model voor personeelsplannng op te lossen. In deze paper wordt de classfcate van Burke et al. (2004) gebrukt. De belangrjkste klassen ut de paper van Burke et al. (2004) voor dt onderzoek zjn de optmalsateprocedures, zoals ntegere programmerng; en metaheursteken. Deze zjn het belangrjkste aangezen het de bedoelng s om tot de best mogeljke oplossng te komen (optmalsateprocedures) of nden dt net mogeljk s om tot een oplossng te komen de het optmum zo goed mogeljk benaderd. Metaheursteken zjn, volgens Burke et al. (2004), mmers n staat om tot aanvaardbare oplossngen te komen voor modellen de onderworpen zjn aan zeer veel beperkngen. Aangezen personeelsplannng aan zo n groot aantal beperkngen onderworpen s, kunnen metaheursteken een oplossng zjn nden er geen optmale oplossng kan gevonden worden. Bekende optmalsateprocedures voor ntegere programmerng zjn branch and bound, branch and cut (ze ook o.a. Hoffman en Padberg 1993) en branch and prce (ze ook o.a. Maenhout en Vanhoucke 2010b). Deze methodes worden ook onder andere nog vermeld n het werk van Ernst et al. (2004) en Bard en Purnomo (2006). Bard en Purnomo (2006) stellen verder dat deze optmalsateprocedures typsch een bepaalde vorm van decomposte omvatten, zoals kolomgenerate. Kolomgenerate wordt n verschllende papers vermeld (o.a. Ackeln en Whte 2004, Bard en Purnomo 2005a/2005b en Fsher 1981) en betekent dat voor elke werknemer mnstens één subprobleem zal opgesteld worden. Dt subprobleem bevat dan de specfeke beperkngen/preferentes voor de betrokken werknemer. Herover volgt meer utleg n deel 5 ( Branch and prce methode). De tweede relevante klasse van oplossngsprocedures s de van de metaheursteken, zoals smulated annealng. Andere veel voorkomende metaheursteken zjn tabu search (bv. Gärtner et al. 2001, Alfares 2004 en, Dowsland en Thompson 2000) en genetsche algortmes (Alfares 2004). Een mogeljke derde klasse, de enkel heel kort vernoemd wordt n het werk van Burke et al. (2004), zjn de van de hybrde methodes. Deze methodes zjn combnates van verschllende oplossngsmethodes. Een aantal auteurs hebben heromtrent een aantal voorstellen gedaan, zoals Housos en Valouxs (2000), Muslu (2006) en Levne (1996). Het opzet van dt onderzoek houdt n dat een aantal concluses moet kunnen getrokken worden over de geschkthed van een cyclsch personeelsschema rekenng houdend met fluctuates n de personeelsveresten. Om dt te kunnen doen, moeten verschllende personeelsveresten gegenereerd 9

19 worden. In ljn met Vanhoucke en Maenhout (2009) worden dre parameters gebrukt om deze personeelsveresten te kunnen genereren. Deze parameters kunnen elk een waarde hebben van 0 tot en met 1. De relevante formules, opgesteld door deze auteurs, om deze parameters te berekenen, zjn terug te vnden n appendx A. De eerste s de Total Coverage Constranedness of TCC. Deze parameter geeft een ndcate over het gemddelde van het aantal werknemers de gebrukt worden over de verschllende shfts en dagen. Inden TCC geljk s aan 1, betekent dt dat het aantal werknemers de per dag ngezet worden preces geljk s aan het gemddelde van de som van de veresten over verschllende dagen. Een voorbeeld wordt gegeven n onderstaande tabel. Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6 Dag 7 Shfts S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 Veresten Tabel 5: voorbeeld TCC Ut tabel 5 bljkt dat de som van de personeelsveresten 49 s. Dt betekent dat de gemddelde personeelsvereste per dag 7 s. Als we nu ook 7 werknemers zouden hebben, dan s TCC=1. De tweede parameter s de Day Coverage Dstrbuton of DCD. Dt geeft een weergave van de verdelng van de personeelsveresten over de verschllende dagen. Inden DCD geljk zou zjn aan 0, dan zou elke dag een totale personeelsvereste hebben van preces 7 werknemers. Echter, wanneer DCD én TCC geljk zjn aan 1, dan zou de personeelsvereste van 49 volledg over de dre shfts van één bepaalde dag verdeeld worden. Bj lagere waarden voor TCC zal de personeelsvereste nog altjd maxmaal zjn maar dan voor meerdere dagen. De laatste parameter s de Shft-Coverage Dstrbuton of SCD. Deze parameter geeft een ndcate over de verdelng van het dageljks vereste aantal werknemers over de verschllende shfts. Inden SCD geljk s aan 0, dan zullen de personeelsveresten geljk verdeeld zjn over de verschllende shfts. Dt s bjvoorbeeld het geval voor dag 1 n tabel 5. Opneuw geldt dat wanneer SCD 1 zou zjn, dat de volledge personeelsvereste voor één dag zou toegewezen worden aan één bepaalde shft op de dag. Om utendeljk de oplossng van het model te kunnen beoordelen moeten een aantal crtera gebrukt worden. Deze crtera moeten het ook mogeljk maken om een relevante vergeljkng te maken tussen de oplossngen van de verschllende modellen,.e. modellen met verschllende graden van cyclctet en met verschllende personeelsveresten (verschllende waarden voor TCC, DCD en SCD). Op de maner s het de bedoelng om tot een aantal algemene concluses te komen omtrent 10

20 de toepasbaarhed van cyclsche personeelsplannng onder deze verschllende omstandgheden (verschllende TCC, DCD en SCD waarden). Warner (1976) defneert de kwaltet van een personeelsplan als de ndvduele beoordelng van het personeelsplan. Deze ndvduele beoordelng betekent dat de kwaltet vanut het oogpunt van de werknemer wordt bestudeerd. Volgens Maenhout en Vanhoucke (2007) s de kwaltet van een personeelsplan de mate waarn aan de persoonljke preferentes van de ndvduele werknemers wordt voldaan. Dt terwjl zoveel mogeljk aan de gestelde beperkngen van het model wordt voldaan. Het eerste deel van de defnte van Maenhout en Vanhoucke (2007) lgt met andere woorden n ljn met de van Warner (1976). Bard en Purnomo (2007) zen kwaltet ook als het al dan net overtreden van de ndvduele preferentes van de werknemers. Daarenboven wordt bj hen kwaltet ook mede gedefneerd door het aantal werknemers de teveel werken tjdens de verschllende shfts over de verschllende dagen en door het aantal werknemers de er tekort zjn tjdens de shfts over de verschllende dagen. Kwaltet s echter slechts één van de meerdere crtera de beoordeeld moeten worden. Gebaseerd op de crtera van Warner (1976) maken Burke et al. (2004) een ondersched tussen vjf crtera de belangrjk zjn voor het bepalen van de personeelsplannng. De eerste s coverage. Dt crterum heeft betrekkng op het verschl tussen het aantal geplande werknemers tjdens een bepaalde shft en de werkeljk benodgde werknemers. Ten tweede defnëren zj kwaltet als rechtvaardghed. Een derde belangrjk crterum s de stabltet. Dt verwjst onder andere naar de voorspelbaarhed vanut het oogpunt van de werknemers van het personeelsplan. Het heeft dus te maken met de percepte van de ndvduele werknemers. Een verde crterum behandelt de flexbltet van het voorgestelde personeelsplan. Als laatste moet ook rekenng gehouden worden met de kost. In deze context verwjst kost naar de tjd de nodg s om het model te kunnen oplossen. 3. Model In dt deel zal, rekenng houdend met de vaststellngen ut de lteratuurstude, een model opgesteld worden. Het model dat heronder weergegeven wordt, s gebaseerd op de modellen de gebrukt werden n verschllende papers van Bard en Purnomo (onder andere Bard en Purnomo 2006). Het model van Bard en Purnomo (2006) werd gekozen wegens de grote relevante van de beperkngen de n dat model aanwezg zjn n vergeljkng met de beperkngen ut tabel 2. Na vergeljkng s het mmers dudeljk dat al deze beperkng ofwel explcet of toch zeker mplcet n het model aanwezg zjn. Een beperkng vanut de tabel de bjvoorbeeld mplcet aanwezg s n het model, s het aantal vrje weekends gedurende de plannngsperode. In het model (beperkng 1k) staat mmers dat 11

21 werknemers slechts een maxmaal aantal weekenddagen mogen werken, wat hetzelfde betekent als het aantal weekends dat een werknemer vrj moet zjn gedurende de plannngsperode. Er werden echter wel een aantal aanpassngen aan het orgnele model van Bard en Purnomo (2006) gemaakt. In ljn met Bard en Purnomo (2005) werden ook twee ervarngsnveaus toegevoegd, de reden hervoor werd reeds behandeld n het vorge deel. Vervolgens s er aan de doelfuncte een term toegevoegd de utdrukkng heeft aan het fet dat het ook negatef s om meer werknemers n te plannen dan egenljk nodg. Beperkng (1e) en (1f) zjn ook net aanwezg n het model van Bard en Purnomo (2006). Het orgnele model stelt mmers dat het aantal gewerkte uren van een werknemer preces geljk moet zjn aan het contractueel vastgelegde aantal uren voor de werknemer. Door beperkng (1d) aan te passen zodat er langer kan gewerkt worden, s er een toename aan flexbltet. Beperkngen (1e) en (1f) zorgen er dan voor dat het aantal overuren toch beperkt bljft. Verder s ook beperkng (1j) belangrjk aangezen dt er voor zorgt dat de werknemers denteke toewjzngen krjgen n het weekend (shft 1 op zaterdag wordt gevolgd door shft 1 op zondag, hetzelfde geldt voor shft 2 en 3). Dt zorgt ervoor dat de werknemers tjdens het weekend net geconfronteerd worden met een veranderng n hun werkrtme of dat ze het volledge weekend vrj kunnen zjn. Aangezen weekendwerk algemeen als onaangenaam gezen wordt, s de toevoegng van deze beperkng zeker relevant. Nog een extra beperkng s (1l). Deze zorgt ervoor dat er rekenng gehouden wordt met de dagen waarop een werknemer lever net wl werken. Ten slotte s her gekozen om een plannngsperode van 28 dagen te nemen, zoals dkwjls het geval s (ze lteratuurstude). Aangezen Bard en Purnomo (2005) slechts een plannngsperode van 2 weken hebben, zorgt dt ervoor dat het aantal toegelaten preferente-overtredngen, n onderstaand model, hoger zal lggen. Her volgt n eerste nstante een verdudeljkng van de verschllende ndexen, parameters en beslssngsvarabelen de gebrukt worden n het model, waarna meer utleg over de verschllende beperkngen volgt. 3.1 Indexen en sets ndex voor werknemers; N; D ndex voor dagen; d D; a ndex voor het aantal preferente-overtredngen; a= 1,., V max ; ϴ ndex voor het aantal ervarngsnveaus; ϴ=1,., NSklls, met 1 het hoogste ervarngsnveau; 12

22 t ndex voor de shfts; t T; t 1 (t 3 ) eerste (derde) shft voor een werknemer de tjdens 2 opeenvolgende shft types werkt; t 1 (t 3 ) ϵ T ; T set van shft types waarvoor werknemer aangenomen s, exclusef een vrje dag. De werknemer moet dus zelf rekenng houden met welke shfts hj of zj al dan net wl werken; T set van alle mogeljke shft types, nclusef een vrje dag; D W set van weekenddagen gedurende de plannngsperode; D w D; D not set van dagen gedurende dewelke een werknemer lever net werkt; D not D; N set van werknemers waaraan een schema moet toegewezen worden; N R set van werknemers de tjdens verschllende shfts kunnen werken; N R N; N BB set van werknemers met shfts, over 2 verschllende dagen, de elkaar onmddelljk opvolgen; N BB N R N; D set van dagen waarvoor het model opgelost moet worden; 3.2 Parameters V max maxmum aantal overtredngen de toegestaan worden voor elke werknemer; r a ϴ penalty toegewezen aan een schema de a overtredngen bevat; (r a 1 >r a 2 ); r a ϴ =2 a / ϴ; r y ϴ penalty toegewezen voor het nzetten van één of meerdere nterm werknemers met ervarngsnveau ϴ; (r y 1 >r y 2 ); r y ϴ =M/(ϴ); r s ϴ penalty toegewezen voor het teveel aan werknemers van ervarngsnveau ϴ; (r s 1 >r s 2 ); r s ϴ =M/(2+ϴ); H aantal uur waarvoor werknemer s aangenomen; h t lengte van de shft t; LD dt ϴ ondergrens voor vraag naar personeelsleden met ervarngsnveau ϴ voor shft t op dag d; UD dt ϴ bovengrens voor vraag naar personeelsleden met ervarngsnveau ϴ voor shft t op dag d; D,maxon maxmum aantal opeenvolgende dagen dat werknemer mag werken; 13

23 P t mnmum aantal shfts van type t de werknemer moet werken; W,max aantal weekendshfts de werknemer maxmum mag werken tjdens weekends n de plannngsperode (Assumpte: W,max s een veelvoud van 2, op deze maner s het gemakkeljker om denteke weekends af te dwngen); TR max maxmum aantal shftveranderngen over opeenvolgende dagen toegelaten gedurende de plannngsperode; O ϴ dt,max maxmum aantal nterm werknemers van ervarngsnveau ϴ de toegewezen kunnen worden aan shft t op dag d; Max h maxmum aantal uren dat een werknemer mag overwerken gedurende de plannngsperode. Herbj wordt rekenng gehouden met de lengte van de shfts. Zo wordt een volledge shft als overuren geklasseerd als de werknemer reeds zjn/haar contractuele uren heeft gewerkt. 3.3 Beslssngsvarabelen x dt ϴ 1 als werknemer met ervarngsnveau ϴ werkt tjdens shft t op dag d, anders 0; v a ϴ 1 als werknemer met ervarngsnveau ϴ a overtredngen heeft n zjn of haar schema, anders 0; b d 1 als werknemer N R werkt tjdens shft t a op dag d en shft t b op dag d+1 waarbj a b, anders 0; p d 1 wanneer werknemer een patroon heeft dat start op dag d, anders 0; q d 1 wanneer werknemer een patroon heeft dat start op dag d, anders 0; o 1 wanneer werknemer het maxmum aantal overuren gewerkt heeft gedurende een plannngsperode, anders 0; g d 1 wanneer werknemer moet werken op een dag waarop hj of zj lever net werkt, anders 0; y dt ϴ aantal nterm werknemers met ervarngsnveau ϴ toegewezen aan shft t op dag d; s dt ϴ aantal werknemers met ervarngsnveau ϴ de teveel zjn toegewezen aan shft t op dag d; 14

24 Model NSklls z Mn 1 ( = D d T t dt s D d T t dt y a N V a a s r y r v r max 1 ) (1a) s.t. NSklls T D t d LD y x s q q dt q q dt q N q dt dt,..., 1,,, (1b) NSklls T t N P x t D d dt,..., 1,,, (1c) NSklls N H x h dt D d T t t 1,...,,, (1d) NSklls N Max H x h h dt D d T t t 1,...,,, (1e) NSklls N o H h x Max dt D d T t t h 1,...,, 1, ) ( (1f) NSklls D d N x T t dt,..., 1,,, 1 (1g) NSklls D d N x x BB t d dt,..., 1,, 1, 1 3, 1, (1h) NSklls D d N D x on D d d l T t lt on 1,...,,,,,max,max (1) NSklls T t D d N x x W t d dt,..., 1,,,, 1,, (1j) NSklls N W x D d T t dt W 1,...,,, max, (1k) NSklls D d N g x not d T t dt 1,...,,, 1, 1 (1l) NSklls D d N p x x x d T t t d T t t d T t dt 1,...,,, 1, ) 1 (, 2, 1,, (1m) NSklls D d N q x x x d T t t d T t t d dt T t 1,...,,, 1, ) (1 ) 1 (, 2, 1,, (1n) NSklls T D d N b x x R d t d dt,..., 1,,, 1, 1 1, 1, (1o) R D d d N TR b, max (1p)

25 dd ( p d q d b d g d o ) V max a1 av a, N (1q) V max a1 v a 1, N 0 max q1 q1 p x q q sdt UDdt LDdt,0 ydt Odt,, d, t; 1,..., NSklls, q, b, g, o {0,1},, d; v {0,1}, a d d d d a, dt { 0,1},, d, t : x, lengteplannngsperodel, t xlt, l 1,..., D, max 1,..., NSklls on (1r) (1s) (1t) (1u) 3.5 Utleg bj model (1a) De doelfuncte mnmalseert de kosten de gepaard gaan met overtredngen van preferentes van de werknemers en deze voor het nzetten van nterm werknemers. Bovenden wordt er ook rekenng gehouden met de kosten voor het gebruk van te veel werknemers. De kosten de toegekend worden aan het teveel en tekort, werden vermeld bj de parameters herboven. Merk wel op dat de kosten voor een tekort aan werknemers hoger zullen zjn dan een teveel aan werknemers. Het s mmers slechter voor het bedrjf om te weng werknemers beschkbaar te hebben dan te veel. Verder geldt er een exponenteel prncpe voor de kost de toegekend wordt aan het aantal overtredngen van preferentes. Hoe meer preferente-overtredngen er zjn, hoe hoger de penalty zal zjn (r a ϴ =f(a, ϴ)). Merk wel op dat voor het tekort en teveel aan werknemers geen gebruk gemaakt wordt van zo n exponenteel prncpe. Doordat utendeljk de focus lgt op een afwegng tussen cyclctet en preferentes s er voor gekozen om de M geljk te stellen aan Dt heeft tot gevolg dat tot een bepaald nveau het tekort/teveel aan werknemers belangrjker zal zjn dan preferente-overtredngen. Eenmaal een bepaald punt n het aantal preferente-overtredngen overschreden wordt, zullen echter het aantal preferentes belangrjker worden. Bovenden s er een verschl tussen de kosten, verbonden aan de verschllende termen van de doelfuncte, rekenng houdend met de ervarngsnveaus. Vanzelfsprekend s het erger om een tekort/teveel te hebben aan werknemers met het hoogste ervarngsnveaus. Dt s ook het geval voor het aantal overtredngen van de ndvduele preferentes. In bede gevallen zal er bjgevolg een hogere kost n de doelfuncte verschjnen. 16

26 (1b) Deze beperkng s ngevoegd om ervoor te zorgen dat er voldoende werknemers aanwezg zjn met de juste vaardgheden. In dt model wordt, zoals eerder vermeld, gebruk gemaakt van gecombneerde substtute. Deze vorm van substtute werkt als volgt: Inden het ervarngsnveau geljk s aan 1, dan geldt het volgende: s 1 dt N x 1 dt y 1 dt LD, d D, t T 1 dt Wanneer het ervarngsnveau echter 2 s, dan geldt het volgende: s 2 dt N ( x 1 dt x 2 dt ) ( y 1 dt y 2 dt ) LD 1 dt LD, d D, t T 2 dt Voor lagere ervarngsnveaus zal de vraag naar werknemers voor dat lagere nveau en alle hogere nveaus gezamenljk worden bekeken. Op deze maner kan een werknemer van het hoogste ervarngsnveau de egenljk als werknemer teveel geboekt staat n zjn of haar ervarngsklasse toch ngezet worden en kan een tekort op een lager ervarngsnveau msschen vermeden worden. (1c) (1d) (1e) (1f) (1g) Een werknemer moet een, vooraf bepaald, aantal shfts van een bepaald type werken gedurende de plannngsperode. Deze zjn contractueel bepaald. Dt kan dan ook gezen worden als een preferente waaraan voldaan moet worden. Werknemers kunnen mmers op het moment dat ze aangenomen worden mee beslssen, of toch ten mnste onderhandelen, over de shfts de ze wllen of moeten werken. Een werknemer moet mnstens zjn of haar contractueel bepaald aantal uren werken gedurende de plannngsperode. Het aantal overuren dat een werknemer kan werken s beperkt. Her wordt verondersteld dat het aantal overuren de werknemers werken steeds een veelvoud s van de lengte van een normale shft. In deze paper wordt het maxmaal aantal overuren geljk gesteld aan de lengte van preces 1 shft, dus 8 uur. Wanneer het maxmaal aantal overuren gewerkt wordt dan wordt o geljk aan 1. Op de maner wordt een preferente-overtredng n rekenng gebracht. Elke werknemer moet per dag preces één shft toegewezen krjgen. Dt wl zeggen dat elke werknemer net meer dan één shft mag werken op een bepaalde dag. Her wordt er voor gekozen om een vrje dag te behandelen als een aparte shft van 24h. 17

27 (1h) (1) Deze beperkng moet vermjden dat een werknemer 2 opeenvolgende shfts moet werken de verspred zjn over 2 verschllende dagen. Voorwaartse rotate van de laatste shft op een bepaalde dag naar de eerste shft op de volgende dag wordt, met andere woorden, dus vermeden. Elke werknemer wordt onderworpen aan een maxmaal aantal opeenvolgende dagen dat de persoon mag werken. Stel echter dat het maxmaal opeenvolgende dagen vjf s en dat een werknemer de ver laatste dagen van de plannngsperode werkt, dan mag deze werknemer n de volgende plannngsperode de eerste twee dagen net tweemaal werken., d, t : x, lengteplannngsperodel, t xlt, l 1,..., D, max 1,..., NSklls on De bovenstaande beperkng,.e. beperkng (1u) n het model, houdt her rekenng mee. Zj zorgt ervoor dat op het ende van de plannngsperode ook de overschakelng naar de volgende perode n rekenng gebracht wordt. Er kan dus geen sprake zjn van een overtredng van het maxmaal opeenvolgende dagen over twee plannngsperodes. (1j) (1k) (1l) (1m) (1n) Dt s de denteke weekend beperkng. Deze beperkng zorgt ervoor dat een werknemer tjdens een weekend zowel zaterdag als zondag werkt of dat hj/zj zowel zaterdag als zondag een vrje dag heeft. Bovenden zal, nden de werknemer werkt tjdens het weekend, hj of zj zowel zaterdag als zondag tjdens dezelfde shft werken. Deze beperkng stelt dat een werknemer maxmum W,maxon weekenddagen mag werken. Assumpte: W,maxon s een veelvoud van twee. Deze assumpte s nodg zodat beperkng (1j) net kan overtreden worden. Aangezen de lengte van de plannngsperode her 28 dagen s, s het maxmaal toegelaten aantal werkende weekenddagen geljk aan 4. Wanneer een werknemer moet werken op een dag waarop hj/zj lever net zou werken dan moet g d 1 zjn. Deze beperkng stelt dat wanneer een werknemer een patroon heeft dat de beslssngsvarabele p d 1 moet zjn. Deze beperkng s belangrjk omdat zo n patroon de contnuïtet zeker net ten goede komt. Deze beperkng stelt dat wanneer een werknemer een patroon heeft dat de beslssngsvarabele q d 1 moet zjn. Opneuw bevordert deze beperkng de contnuïtet voor de werknemers. 18

28 (1o) (1p) (1q) (1r) (1s) (1t) Deze beperkng stelt dat wanneer een werknemer tjdens shft t α werkt op dag d en tjdens shft t β op dag d+1 dat de beslssngsvarabele b d 1 moet zjn, waarbj t α en t β net aan elkaar geljk zjn. De varabele b d telt op deze maner het aantal maal dat een werknemer tjdens de plannngsperode van shft verandert. Het aantal shftwsselngen moet beperkt zjn voor elke werknemer. Deze beperkng zorgt ervoor dat het aantal preferente-overtredngen net groter s dan het maxmaal toegelaten aantal overtredngen. v ϴ a kan enkel 1 zjn wanneer er exact a overtredngen zjn, v ϴ a zal dus net 1 zjn wanneer er bv. (a-1) overtredngen zjn. Deze beperkng zorgt ervoor dat de kost n de doelfuncte een juste weergave s van het aantal overtredngen. Om dt etwat te verdudeljken volgt een kort voorbeeld: Stel dat het totaal aantal overtredngen geljk s aan 6 en gegeven beperkng (1q), dan zou het mogeljk zjn dat het volgende voorkomt: 6 = 1*0 +2*1 + 3*0 + 4*1 + +V max *0 Dt zou leden tot een onderschattng van de kost aangezen 2 6 >( ). Het overschot aan werknemers dat tjdens een shft aan het werk s, mag net groter zjn dan het verschl tussen de bovengrens en de normale personeelsvereste tjdens de shft. Dt verschl s geljk aan 25% van de personeelsvereste tjdens de specfeke shft. Merk her op dat voor het teveel aan werknemers voor een ervarngsnveau dat lager s dan het hoogste, de som van deze onder en bovengrens voor dat lagere en al de hogere ervarngsnveaus wordt genomen. Dt s nodg omdat werknemers de teveel zjn op het hoogste nveau op een lager nveau kunnen werken en er op dat lager nveau daardoor msschen een overschot aan werknemers wordt gevormd. Ook wordt er een beperkng opgelegd op het aantal nterm werknemers de ngezet worden om tekorten op te vangen. Opneuw s dt maxmum geljk aan 25% van het vereste aantal werknemers gedurende de bepaalde shft. Op de maner zullen de personeelsveresten gewaarborgd worden tot 75% van de werkeljke vereste. Deze beperkng dwngt af dat de vermelde varabelen bnar zjn. (1u) De beslssngsvarabele x ϴ dt moet bnar zjn en de tweede beperkng s nodg om de contnuïtet over opeenvolgende plannngsperodes te waarborgen. Merk op dat, aangezen er reeds veel preferentes explcet n rekenng genomen worden, het model geen algemene preferentescores bevat. Inden deze algemene preferentescores toch n het model zouden opgenomen worden, dan zou er egenljk sprake zjn van dubbeltellng van preferentes. Deze 19

29 preferentescores houden mmers n dat de shfts de een werknemer het lefst wl werken de laagste score krjgen en dat de mnst aantrekkeljke shfts de hoogste scores krjgen. Echter n dt model wordt aangenomen dat werknemers bj het bepalen van hun contractuele verplchtngen nspraak hebben bj de shfts de ze al dan net werken (ze beperkng (1c)). Werknemers kunnen dus zelf mee bepalen hoeveel maal ze elke shft gedurende de plannngsperode mnstens wllen/moeten werken. Op de maner wordt rekenng gehouden met het fet dat bepaalde shfts beter betaald worden (bv. nachtshfts) en bepaalde werknemers deze soms lever werken dan de andere, mnder goed betaalde shfts. Ook het fet dat dagen, de werknemers lever net wllen werken, n rekenng gebracht worden ondersteunt deze keuze. 3.6 Utleg bj model Cyclctet kan onder verschllende vormen voorkomen. Heronder worden 3 verschllende vormen kort besproken. Merk op dat de eerste vorm gebaseerd s op het eerder gegeven voorbeeld n tabel 1 en dat we dus veronderstellen dat de plannngsperode dre weken bedraagt n plaats van de gebrukeljke ver. 1. Zoals reeds vermeld, vormt tabel 1 het meest gewone voorbeeld van een cyclsche personeelsplannng waarbj werknemers bnnen één en dezelfde perode allen dezelfde schema s doorlopen. Stel dat het voorbeeld shft1-shft2-shft3 een schema voorstelt dan zullen de werknemers dt n de volgende plannngsperode ook doorlopen. Verder bouwend op het voorbeeld n tabel 1 krjgen we dan tabel 6. Plannngsperode 1 Plannngsperode 2 Plannngsperode 3 Werknemer 1 Shft 1-Shft 2-Shft 3 Shft 1-Shft 2-Shft 3 Shft 1-Shft 2-Shft 3 Werknemer 2 Shft 2-Shft 3-Shft 1 Shft 2-Shft 3-Shft 1 Shft 2-Shft 3-Shft 1 Werknemer 3 Shft 3-Shft 1-Shft 2 Shft 3-Shft 1-Shft 2 Shft 3-Shft 1-Shft 2 Tabel 6: voorbeeld normaal cyclsch schema 2. Een tweede mogeljkhed s dat elke werknemer een afzonderljk schema heeft tjdens een bepaalde plannngsperode. Na deze plannngsperode zal dat schema zch gewoon herhalen. Een gemakkeljk voorbeeld wordt gegeven n tabel 7. Plannngsperode 1 Plannngsperode 2 Plannngsperode 3 Werknemer 1 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Werknemer 2 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Werknemer 3 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Tabel 7: voorbeeld aangepast cyclsch model 3. Een laatste mogeljkhed s dat de werknemers over de verschllende plannngsperodes wel volgens verschllende schema s werken maar dat bnnen dezelfde plannngsperode de 20

30 verschllende werknemers allen verschllende schema s hebben. Tabel 8 toont opneuw een eenvoudg voorbeeld om dt te llustreren. Elke werknemer zal dus na verloop van tjd dezelfde schema s hebben doorlopen. Plannngsperode 1 Plannngsperode 2 Plannngsperode 3 Werknemer 1 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Werknemer 2 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Werknemer 3 Shft 2-Shft 2-Shft 2 Shft 1-Shft 1-Shft 1 Shft 3-Shft 3-Shft 3 Tabel 8: voorbeeld aangepast model Merk op dat, zoals herboven reeds vermeld, het belangrjk s om bj, onder andere, de beperkng op het maxmaal aantal opeenvolgende werkende dagen rekenng te houden met het fet dat er gekeken moet worden naar de overgang met het volgende schema n de volgende plannngsperode. Een laatste belangrjke opmerkng heromtrent s dat deze dre verschllende vormen van cyclctet een ets andere nvloed zullen hebben op de beperkngen de n het mathematsch model ztten. Denken we herbj aan de volgende beperkngen: Beperkng (1h): voorwaartse rotate van de laatste shft op de laatste dag van de plannngsperode naar de eerste shft op de eerste dag van de volgende plannngsperode. Beperkng (1): maxmaal opeenvolgende dagen de een werknemer mag werken. Vanaf het moment dat dag d = (plannngsperode-maxmaal opeenvolgende werkende dagen), moet er overgeschakeld worden naar het schema van de volgende plannngsperode. Beperkngen (1m) en (1n): en patronen moeten onderzocht worden over de verschllende plannngsperodes vanaf dag d = (plannngsperode - 2). Beperkng (1o): de shftwsselngsbeperkng moet ook gelden n de overgang van de ene plannngsperode naar de volgende. Als dag d = plannngsperode, dan moet er gekeken worden naar het schema dat de werknemer moet volgen n de volgende plannngsperode. Het s dus heel belangrjk om de overgangen tussen twee plannngsperodes te controleren. Dt s zowel voor de eerste, tweede als laatste vorm van cyclctet het geval. Bovenden s er voor de laatste vorm van cyclctet een extra moeljkhed. Deze wordt veroorzaakt doordat de werknemer n de volgende plannngsperode het schema van een andere werknemer overneemt. Merk op dat wanneer overgangen vermeld worden dat dt telkens betrekkng heeft op het volgende deel van beperkng (1u)., d, t : x, lengteplannngsperodel, t xlt, l 1,..., D, max 1,..., NSklls on 21

31 De beperkng, zoals ze n deze vorm staat, s her van toepassng op de eerste twee mogeljke vormen van een cyclsch personeelsplan. Voor de derde vorm geldt de volgende beperkng: d, t : x, lengteplannngsperodel, t x jlt, l 1,..., D, max 1,..., NSklls ; j N on Hoewel de eerste vorm van cyclctet de percepte kan opwekken dat zj de meest rechtvaardge s, zal zj toch net gebrukt worden n dt onderzoek. De reden hervoor s dat we opteren voor een combnate van een cyclsch schema en rekenng houden met preferentes. Aangezen onder deze vorm van cyclctet, elke werknemer hetzelfde schema doorloopt en dt schema dus zeer restrctef s, zal er net voldoende rekenng gehouden worden met de preferentes en dt s zeker net de bedoelng. Voor de derde vorm van cyclctet geldt dezelfde opmerkng als voor de eerste vorm. Nameljk dat zj te weng rekenng houdt met de ndvduele preferentes van de werknemers. Merk op dat n het vervolg van deze paper (deel 6: Cyclctetsonderzoek) de focus op de tweede vorm van cyclctet zal lggen. Het s de bedoelng om voor de gegeven plannngsperode een zo optmaal mogeljk schema te vnden, rekenng houdend met de preferentes van de werknemer. Dt schema zal zch dan, normaal gezen, tjdens de volgende plannngsperode herhalen. Aangezen preferentes over de tjd wel kunnen veranderen, s het wel mogeljk dat dt ervoor zorgt dat n een latere plannngsperode het personeelsschema verandert. Dt s n dt geval echter wel gebaseerd op de ndvduele preferentes van de werknemers waardoor er geen sprake kan zjn van problemen vanut het standpunt van de werknemers. Doordat de focus op deze vorm van cyclctet zal lggen s een extra beperkng nodg. Zoals n het lteratuuronderzoek reeds werd vermeld s de lengte van één cyclsche perode dkwjls de helft van de totale plannngsperode. De volledge plannngsperode wordt dus n twee gesplt maar de preferentes over deze twee cyclsche perodes bljven wel verschllen. Op deze maner wordt voor de volledge maand het optmale schema gezocht en net alleen rekenng gehouden met de eerste twee weken. 28 d15tt x dt 14 d1 tt x dt, N, 1,..., NSklls (1v) 4. Oplossngen Gurob Solver voor gewoon model In dt deel volgt een besprekng van de resultaten de met de Solver bekomen werden en wordt aangetoond welke beperkngen de complextet van het probleem sterk verhogen. 22

32 Zoals reeds vermeld n de nledng, s n eerste nstante gebruk gemaakt van de normale Solver n Mcrosoft Excel om het model ut deel 3 op te lossen. Deze heeft echter een beperkng van 200 varabele cellen, wat rum onvoldoende s rekenng houdend met het fet dat de meest gebrukeljke lengte van een plannngsperode ver weken bedraagt, wat ook n dt model het geval s. Dt komt erop neer dat er, voor het opstellen van een schema voor 1 werknemer gedurende deze ver weken, (4 * 28 =) 112 varabele cellen nodg zjn. Het getal ver s afgeled van het fet dat er utgegaan wordt van dre shfts van 8 uur per dag en dat een vrje dag ook gezen wordt als een shft, maar dan met een lengte van 24 uur. Bovenden zjn er nog de varabelen om de preferentes van werknemers weer te geven en om andere overtredngen te tellen. Hermee rekenng houdend, kan besloten worden dat de gewone Solver veel te beperkt s voor het gegeven model. Door deze enorme beperkngen s er voor gekozen om naar een krachtgere Solver (Frontlne Excel Solvers) over te schakelen. Deze Solver kan een maxmum van 8000 varabele cellen en 8000 beperkngen aan, wat een enorme verbeterng nhoudt. Bovenden maakt het gebruk van branch and bound -algortme om tot een oplossng te komen. Dat zo n algortme gebrukt wordt, s te zen n onderstaande resultaatstabellen. Deze tabellen vermelden mmers het aantal subproblemen. Vanut het onderzoeksopzet s er voor gekozen om het model stapsgewjs te mplementeren om zo te weten te komen waar de mogeljke problemen met de beperkngen lggen. Er worden dus stapsgewjs neuwe beperkngen toegevoegd volgens hun respecteveljke belang. Deze graduele toevoegng heeft tot gevolg dat de kwaltet van de oplossng er gradueel op achterut zal gaan. Het respecteveljke belang van de beperkngen werd afgeled ut het aantal maal dat deze beperkngen voorkwamen n het bovenvermelde lteratuuronderzoek. De resultaten staan n de tabel heronder. Beperkng Belang Mnmale personeelsveresten 1 Opeenvolgende dagen de werknemers mogen werken 3 Het aantal vrje dagen de een werknemer moet krjgen tjdens de plannngsperode 4 Werknemers moeten hun contractueel bepaald aantal uren werken 9 Lmet op het aantal nterm-werknemers 8 Elke werknemer wordt elke dag toegewezen aan een shft of vrje dag 2 Verbod op voorwaartse rotate (bv. Shft 3 de gevolgd wordt door shft 1 de volgende dag) 5 Lmet op het teveel aan werknemers 7 Het aantal vrje weekends gedurende de plannngsperode 6 Tabel 9: Beperkng volgens belang (1 s hoogste-9 s laagste) 23

33 Merk wel op dat bepaalde beperkngen, zoals bjvoorbeeld de lmet op het aantal ntermwerknemers en de lmet op het teveel aan werknemers, evenveel voorkwamen. Om toch een rankng te kunnen weergeven s daarom beslst dat een lmet op het teveel aan werknemers belangrjker s dan een lmet op het aantal nterm,.e. tekort aan normale, werknemers. Deze keuze kan gerechtvaardgd worden aangezen het voor een bedrjf erger s om te weng werknemers aanwezg te hebben en het dus onder sommge omstandgheden mnder nteressant zou kunnen zjn om zo n sterk restrcteve lmet te hebben. Deze gedachtegang wordt ook weerspegeld n de kosten de toegekend worden aan respecteveljk het teveel en tekort aan werknemers. Om het model net nodeloos ngewkkeld te maken s n dt eerste onderzoek een model geformuleerd dat bestaat ut 7 werknemers de allen hetzelfde ervarngsnveau hebben. Wel s de plannngsperode onmddelljk al geljk gesteld aan de normale ver weken. 4.1 Mnmum verest aantal werknemers per shft (beperkng (1b)) In onderstaande tabel (tabel 10) wordt de vraag weergegeven de gebrukt werd om het model op te lossen. Deze getallen werden random, met een maxmum van dre, gegenereerd. Shft 1 Shft 2 Shft 3 Dag Dag Dag Dag Dag Dag Dag Tabel 10: vraag naar werknemers Voor de eenvoud zjn de volgende dre weken aan dezelfde vraag onderworpen. Het oplossen van het model met enkel deze beperkng gaf het volgende resultaat. De kosten verbonden aan het tekort aan werknemers s 50 per werknemer tekort. Voor het teveel aan werknemers geldt een kost van 5 per werknemer teveel. 24

34 Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 00 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: 0 Incumbent Solutons: 0 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 11: resultaat model shft of vrje dag beperkng (beperkng (1g)) De varabelen worden, eerst en vooral, terug op 0 gezet zodat de Solver van dezelfde bass vertrekt. Dt zal n elk van de volgende stappen herhaald worden. In het bovenstaande model komt deze beperkng overeen met het fet dat elke werknemer elke dag preces één toewjzng moet krjgen. Dt betekent dat de werknemer ofwel tjdens een bepaalde shft werkt ofwel een dag vrj heeft. Het model wordt nu opgelost met n acht name van beperkngen (1b) en (1g). Dt heeft het volgende als resultaat. Report Created: :44:49 Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 01 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: 0 Incumbent Solutons: 0 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 12: resultaat model Ut het resultaat bljkt dat, aangezen er een kost toegewezen s aan het teveel of te weng aan werknemers, het net meer mogeljk s om perfect aan de vraag te voldoen. 25

35 4.3 Maxmaal opeenvolgende werkdagen (beperkng (1)) In dt model s ervoor gekozen om het maxmum aantal opeenvolgende dagen te beperken tot vjf. De keuze voor maxmaal vjf opeenvolgende werkdagen s her voor de hand lggend aangezen een 5 dagen werken 2 dagen vrj patroon mmers n veel sectoren de regel s. Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 01 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: 1 Incumbent Solutons: 1 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 13: resultaat model Ut tabel 13 bljkt dat her reeds sprake s van één subprobleem. Hoewel dt nog net weerspegeld wordt n de tjd nodg om het model op te lossen, betekent dt wel dat het moeljker wordt om een geschkte oplossng te vnden. 4.4 Vrje dagen (beperkngen (1l), (1m) en (1n)) Deze beperkngen geven, op een mplcete wjze, de preferentes weer van de werknemers nzake vrje dagen. Beperkng (1l) geeft bjvoorbeeld weer op welke dagen de werknemer lever net werkt. Voor beperkng (1l) zjn de volgende preferentes (tabel 14) voor vrje dagen gebrukt. Ook her wordt er vanut gegaan dat deze preferentes tjdens de ver weken van de plannngsperode hetzelfde bljven. In werkeljkhed s het zeer goed mogeljk dat de dagen waarop een werknemer lever net werkt tjdens week 1 net dezelfde zjn als de dagen n de andere weken. Beperkngen (1m) en (1n) moeten ervoor zorgen dat net werken-werken-net werken en werken-net werken-werken patronen zoveel mogeljk vermeden worden. 26

36 Dagen de werknemer lever net werkt Werknemer 1 Werknemer 2 Werknemer 3 Werknemer 4 Werknemer 5 Werknemer 6 Werknemer 7 Maandag en zaterdag Dnsdag Woensdag Donderdag Vrjdag, zaterdag en zondag Zaterdag en zondag Zondag Tabel 14: preferentes voor vrje dagen Doordat we her werken met preferentebeperkngen moet ook beperkng (1q) toegevoegd worden om ervoor te zorgen dat het aantal overtredngen mnder s dan maxmaal toegelaten. Bovenden zal nu ook het deel n de doelfuncte de een kost toewjst aan de overtredngen van preferentes geactveerd moeten worden. Ook s het belangrjk om te melden dat er her nog geen gebruk gemaakt wordt van een exponentële toename n de kost naarmate meer preferentes overtreden worden. Het maxmaal aantal overtredngen dat her nog toegelaten wordt, s 10 en de kost verbonden aan het aantal preferente-overtredngen s twee maal het aantal geobserveerde overtredngen. Voor 10 overtredngen zal dus een kost van 20 aan de doelfuncte toegevoegd worden. Toevoegng van deze dre beperkngen geeft volgend resultaat (tabel 15). Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 07 Mnutes, 42 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: 5466 Incumbent Solutons: 5 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 15: oplossng model Opvallend s dat er een sterke toename s n de benodgde tjd om tot een oplossng te komen en n het aantal doorlopen subproblemen. 27

37 4.5 Voorwaartse rotate van laatste naar eerste shft (beperkng (1h)) Deze beperkng betekent dat het verboden wordt dat de laatste shft op een dag gevolgd wordt door de vroegste shft op de volgende dag. Bovenden worden het aantal shftwsselngen de een werknemer mag ondergaan gedurende de plannngsperode soweso beperkt (beperkng (1p)), maar deze beperkng s her nog van geen belang. Deze zal pas toegevoegd worden wanneer ook beperkng (1o) van kracht s. Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 03 Mnutes, 21 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: 1999 Incumbent Solutons: 4 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 16: oplossng model De waarde van de doelfuncte s dezelfde gebleven en de tjd om een oplossng te bekomen s lager dan zonder deze beperkng (tabel 15). 4.6 Het aantal vrje weekenddagen per plannngsperode (beperkng (1k)) Beperkng (1k) moet ervoor zorgen dat werknemers maxmaal 2 weekends moeten werken gedurende de 4 weken durende plannngsperode. Beperkng (1j) werd her ook reeds toegevoegd omdat dt belangrjk s om tot twee volledg vrje weekends te kunnen komen. 28

38 Result: Solver found an nteger soluton wthn tolerance. All constrants are satsfed. Engne: Standard LP/Quadratc Soluton Tme: 15 Hours, 06 Mnutes, 39 Seconds Iteratons: 0 Subproblems: Incumbent Solutons: 4 Objectve Cell (Mn) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $AF$24 Totaal te mnmalseren Tabel 17: oplossng model Door het opleggen van deze beperkngen s er een grote toename n de waarde van de doelfuncte. Echter de toename n computatonele tjd en het aantal subproblemen s exponenteel, wat het ergste doet vermoeden voor wanneer er nog meer beperkngen zullen worden toegevoegd. Deze observate zal n deel gebrukt worden. 4.7 Beperkng op teveel en te weng werknemers (beperkng (1s)) Zoals te verwachten was, heeft de Solver voor de toevoegng van deze beperkng, zeker meer dan 15 uur nodg gehad. Aangezen dt echter veel te lang s en rekenng houdend met het fet dat er al met een sterk vereenvoudgd model gewerkt werd (bv. slechts één ervarngsnveau, nog geen enkele vorm van cyclctet en maar 7 werknemers) bljkt dat het model noot op deze maner opgelost kan worden. 5. Branch and prce methode Aangezen deel 4 heeft aangetoond dat het zeer moeljk s om een optmale oplossng te vnden met gewone Solvers, zal her een branch and prce -algortme utgewerkt worden. Zoals reeds vermeld, s de branch and prce methode een exacte methode voor het oplossen van een mathematsch model. Deze methode omvat kolomgenerate. Dt wl zeggen dat het boven vernoemde model zal opgespltst worden n een masterprobleem (deel 5.1) en een subprobleem (deel 5.2). Het masterprobleem s het model dat geldt voor alle werknemers samen, terwjl er voor elke werknemer een subprobleem bestaat. Dt subprobleem bevat dan ook de specfeke beperkngen voor de verschllende werknemers, zoals de ndvduele preferentes en ander algemene beperkngen de gelden per werknemer. Het masterprobleem daarentegen bevat enkel de beperkngen de stellen dat 29

39 er enerzjds voldoende werknemers moeten zjn en anderzjds dat het tekort (of het aantal nterm werknemers) en het teveel aan werknemers beperkt moet zjn. Bovenden stelt dt masterprobleem ook dat, gezen er sprake s van kolomgenerate, voor elke werknemer geldt dat de som over de verschllende kolommen, ook wel patronen genoemd, preces geljk moet zjn aan één. Heronder wordt de mathematsche weergave gegeven van het master en subprobleem, waarna meer utleg volgt over het geprogrammeerde algortme. 5.1 Masterprobleem Indexen en sets l ndex voor de kolommen; l ϵ K K set van kolommen voor werknemer ; ϵ N Parameters max c l de kost van kolom l voor werknemer ; ϵ N; met c l = het bjhorende ervarngsnveau van de werknemer aan; V a1 r v f ( ) f ( ) a a ; met f()=θ; f() geeft dus Beslssngsvarabelen y l 1 wanneer kolom l wordt toegewezen aan werknemer, anders 0; Het s echter wel belangrjk op te merken dat voor deze varabele geldt dat deze net noodzakeljkerwjs bnar moet zjn. Een andere waarde, lggend tussen 0 en 1 s ook mogeljk. a ldt ϴ 1 wanneer werknemer met ervarngsnveau ϴ toegewezen wordt aan kolom l de op dag d shft t bevat, anders 0; Mn : z RMP N lk c l y l NSklls 1 dd tt r n n dt NSklls 1 dd tt r m m dt (2a) s.t. m dt q1 N lk a q ldt y l q1 n q dt q1 q LD, d D, t T, 1,..., NSklls dt (2b) l K y l 1, N (2c) 0 max q1 q1 q q q mdt UDdt LDdt,0 ndt Odt,, d, t; 1,..., NSklls (2d) 30

40 Herboven zjn enkel de neuwe ndexen en sets, parameters en beslssngsvarabelen vermeld. De andere de vermeld worden n het masterprobleem zjn geljkaardg aan deze de n het normale model werden gebrukt. Merk op dat her geen ntegraltetsbeperkng geldt. 5.2 Subprobleem Parameters µ de duale prjs van beperkng (2c) ω dt f() de duale prjs van beperkng (2b) voor het ervarngsnveau f()= ϴ De doelfuncte n het subprobleem s de gereduceerde kost of reduced cost van een kolom l voor werknemer. De duale prjzen van de twee beperkngen worden afgetrokken van de kost van de kolom. Een kolom zal aldus enkel toegevoegd worden aan de mogeljke kolommen K nden de gereduceerde kost negatef s. Inden deze net negatef s, betekent dt dat de waarde van de doelfuncte van het masterprobleem net langer kan vermnderen onder behoud van de toevoegng van kolommen voor de bepaalde werknemer. Het subprobleem voor werknemer s: Mn : l Vmax f ( ) f ( ) ra va a1 a (3a) dd tt f ( ) ldt f ( ) dt s.t. dd x dt P, t T (3b) t dd tt dd tt h x t h x t dt dt H H Max h (3c) (3d) Max h ( h x H ) o 1 dd tt t dt (3e) tt x dt 1, d D (3f) x x, d 1 t 1, d D (3g) dt3, 1 dd,max on ld tt x lt D,max on, d D (3h) x dt x, d 1, t, d DW, t T (3) 31

41 dd W tt x dt W,max (3j) 1 x g 1, d D (3k) tt tt x dt dt d not ( 1, tt tt x, d1, t ) x, d2 t pd 1, d D (3l) ( 1 xdt) x, d 1, t (1 x, d 2, t ) qd 1, d D (3m) tt tt tt 1 xdt 1 x d t bd 1, d D, T, 1, (3n) b d dd TR max (3o) dd V max a1 28 V max f ( ) ( p q b g o ) av (3p) d d d d a1 a f ( ) v 1 (3q) a 14 x x (3r) dt d15tt d1 tt dt p d, q d, b d, g d, o f ( ) {0,1}, d; v {0,1 }, a a (3s) x dt { 0,1}, d, t : x, lengteplannngsperodel, t xlt, l 1,..., D, max on (3t) De bovenstaande beperkngen zjn dezelfde als deze n het gewone model. Merk wel op dat her geen ervarngsnveau wordt vermeld. Dt omdat er specfek per werknemer gewerkt wordt. Het ervarngsnveau s dan ook enkel en alleen afhankeljk van de werknemer waarvoor een kolom gegenereerd wordt. Dt s dan ook de reden waarom her gebruk gemaakt wordt van f() om het ervarngsnveau aan te geven. 5.3 Methode In deze stap wordt kort de branch and prce procedure, zoals ze geprogrammeerd s n C++ met behulp van Gurob, besproken (ze fguur 1) Intële oplossng Om te starten s er voor gekozen om het subprobleem voor elke werknemer al één maal aan te roepen. Op de maner krjgt elke werknemer reeds één kolom toegewezen. Dt s ook nodg omdat 32

42 het masterprobleem straks nog moet aangeroepen worden. Inden deze ntalsate net zou plaatsgevonden hebben, zouden er dan ook geen kolommen zjn de gebrukt kunnen worden n het masterprobleem. Aangezen het gaat om een ntële oplossng werden bede duale prjzen her nog geljk gesteld aan nul, zodat enkel het aantal preferente-overtredngen van tel s. Na het bepalen van deze ntële oplossng begnt de egenljke procedure Procedure: kolomgenerate De procedure start met de kolomgenerate. Dt houdt n dat eerst en vooral het masterprobleem een eerste keer wordt opgelost. Herna wordt onderzocht of de eerste oplossng van dt masterprobleem een oplossng s de beter s dan de hudge oplossng (de tjdens de fase van de ntële oplossng geljk gesteld werd aan ten mljard voor de eerste terate). Ook wordt onderzocht of de oplossng nteger s en het model feasble was. Inden aan al deze voorwaarden voldaan s, kan de hudge oplossng een eerste keer opgeslagen (store soluton) worden. Vervolgens vndt het utprjzen (prce) plaats. Herbj worden de duale prjzen, de ut het masterprobleem gehaald werden, onrechtstreeks aan het subprobleem toegevoegd. Naden wordt het subprobleem aangeroepen en onderzoekt men wat de gereduceerde kost s. Inden deze voldoende negatef s, kan er gecontroleerd worden of de neuwe kolom verschllend s van de kolommen de al toegekend werden aan een bepaalde werknemer. Als de kolom verschllend s van de reeds bestaande kolommen voor deze werknemer, dan wordt de kolom toegevoegd (enter new column). Het s echter mogeljk dat geen enkel van de kolommen, de het subprobleem voorstelt, verschllend s van de reeds bestaande kolommen. In dt geval zal de kolomgenerate gestart worden voor de volgende werknemer. De kolomgenerate start ook opneuw voor de volgende werknemer wanneer bljkt dat de gereduceerde kost voor een werknemer net langer negatef s. Dt betekent mmers dat er geen kolommen meer gevonden kunnen worden de de waarde van de doelfuncte van het masterprobleem kunnen laten dalen. De kolomgenerate herhaalt zch voor elke werknemer totdat het net langer mogeljk s om voor een werknemer een kolom toe te voegen de een negateve gereduceerde kost heeft of totdat het gewoon net langer mogeljk s om een kolom te vnden de verschllend s van de reeds toegevoegde kolommen. 33

43 Intële oplossng procedure oplossng net fractoneel of oplossng net beter of oplossng nfeasble maar level>=0 Masterprobleem beter dan vorge oplossng, net fractoneel, feasble Kolomgenerate feasble Prce herhaal Store soluton Subprobleem voor alle Enter new column kolommen herhaal zolang reduced cost< -maxerror kost kolom< -maxerror round up objectve oplossng s fractoneel en feasble, en upperbound Selecte branchng varabele left branch oplossng s net fractoneel en feasble, en upperbound oplossng s backtrack rght branch oplossng net fractoneel of oplossng net beter of oplossng nfeasble herhaal zolang level>=0 Store soluton Fguur 1: procedure 34

44 5.3.3 Procedure: Naar boven afronden van de oplossng van het masterprobleem Deze stap betekent dat, n eerste nstante, de oplossng van het masterprobleem omgezet wordt naar een ntegere oplossng. Herna wordt bj deze ntegere oplossng één eenhed toegevoegd als bljkt dat het verschl tussen de orgnele oplossng en de ntegere oplossng voldoende groot s. Dt wl zeggen dat de oplossng n dat geval dus het meest aanslut bj een hoger nteger getal. Om dt wat te verdudeljken volgt een kort voorbeeld: Stel dat de waarde van de doelfuncte van het masterprobleem geljk s aan 1533,25. In dt geval wordt de ntegere oplossng geljk gesteld aan Als bljkt dat 0,25 groter s dan de maxmale error (her 0,001) dan zal de upperbound van de oplossng met 1 verhoogd worden tot Procedure: Selecte branchng varabele De voorwaarden om een branchng varabele te mogen selecteren houden n dat de oplossng fractoneel en het model feasble moet zjn. Bovenden moet de naar boven afgeronde oplossng (ze 5.3.3) klener zjn dan de hudg opgeslagen oplossng. Is dt net het geval, dan zal het net mogeljk zjn om n de branch waarn de compler zch bevndt, een betere (en dus lagere) oplossng te vnden. Maenhout en Vanhoucke (2010b) hebben dre verschllende strategeën geïdentfceerd om deze branchng ut te voeren. Bj het selecteren van een branchng varabele werden de orgnele varabelen gebrukt. We krjgen dus een 0-1 schema. Bovenden stellen zj dat de branchng varabelen op verschllende maneren kunnen geselecteerd worden. In dt onderzoek werd gebruk gemaakt van de eerst voorgestelde maner. Deze selectemethode houdt n dat men egenljk de meest fractonele varabele gaat gebruken. Dt zjn de varabelen wens waarde het dchtst bj 0,5 lggen. De eerste varabele de het dchtst bj 0,5 lgt, wordt gekozen. Met andere woorden, een varabele de even dcht lgt bj 0,5 maar later n de plannngshorzon voorkomt, zal net gekozen worden. Er geldt dus een frst come, frst pck prncpe. Merk op dat Maenhout en Vanhoucke (2010b) dt prncpe net gebruken. Zj zullen mmers, n het geval dat er meerdere varabelen op dezelfde afstand van 0,5 lggen, de varabele kezen de de laagste overtredng nhoudt n termen van preferentes. Het frst come, frst pck prncpe zal echter ook voor een graduele verbeterng zorgen naargelang de varabele steeds verder en verder n de plannngsperode zal komen te lggen. De reden dat deze selectemethode werd gekozen, s dat deze het meest ntuïtef s. De tweede selectemethode van Maenhout en Vanhoucke (2010b) houdt n dat de fractonele varabele waarvoor de waarde van de doelfuncte op een bepaalde dag het slechtst s, n vergeljkng met de beste shfttoewjzng op de dag, geselecteerd wordt. Dt betekent dat op zoek gegaan wordt naar de shft de het slechts s n vergeljkng met de beste shft op dezelfde dag. De laatste stratege kest de varabele de het dchtst bj één lgt. 33

45 Om de gekozen selectemethode wat dudeljker te maken, volgt nu een kort voorbeeld. Stel dat werknemer w, 8 mogeljke kolommen heeft. Elke kolom s een combnate van 0-1 waarden de aangeven of deze werknemer op dat moment n de plannngshorzon al dan net werkt. Elke kolom zal een bepaalde waarde toegewezen krjgen waarbj de som over deze waarden geljk moet zjn aan 1. Kolom 1 0,125 Kolom 2 0 Kolom 3 0 Kolom 4 0 Kolom 5 0,5 Kolom 6 0,125 Kolom 7 0 Kolom 8 0,25 Tabel 18: voorbeeld We begnnen op dag 1 en shft 1. Voor dt tjdstp wordt over alle kolommen gekeken of de werknemer, n de respecteveljke kolommen, effectef toegewezen s aan shft 1 op dag 1. Stel dat dt het geval s voor de eerste dre en laatste 2 kolommen, dan nemen we de som van de waarden de bj deze kolommen horen. Dt s dus (0, ,25 =) 0,375. Hetzelfde wordt herhaald voor shft 2 op dag 1. Stel dat her enkel voor kolom 5 geldt dat werknemer w tjdens deze shft op deze dag moet werken. Dan hebben we een som van 0,5. Nu we de som van twee verschllende shfts hebben, kunnen we bepalen welk van de twee het meest nteressant s om te gebruken als branchng varabele. Shft1 = maxmum(0,375 0,5; 0,5 0,375) = 0,125 Shft 2 = maxmum(0,5 0,5; 0,5 0, 5) = 0 Van deze twee wordt dan het mnmum genomen en herut bljkt dat er gebrancht zal worden op dag 1 shft 2. Merk wel op dat dt dus gedaan wordt voor alle shfts over de verschllende dagen van de plannngsperode Procedure: Left branch Nadat een varabele geselecteerd s, moeten de kolommen, de de juste waarde hebben, gekopeerd worden naar het volgende nveau n de branch tree. Dt betekent dat de kolommen met de waarde nul op de dag en shft de het meest fractoneel s, meegenomen worden naar het volgende nveau. 34

46 Het s belangrjk dat de kolommen de n het verdere verloop toegevoegd worden op deze dag en shft een waarde nul toegewezen krjgen. Er worden op de maner extra beperkngen toegevoegd aan het subprobleem om dt mogeljk te maken. Merk op dat dt voor alle nveaus n de bepaalde branch van de branchng tree geldt Procedure: Store soluton Inden al de voorwaarden gelden de vermeld worden n fguur 1 kan de oplossng de nu werd bekomen, opgeslagen worden. Op de maner wordt de oude, slechtere, oplossng overschreven Procedure: Backtrackng Als één van de voorwaarden voor de selecte van een varabele -en de left branch -procedure net geldt dan komt de compler na store soluton n backtrackng terecht. Inden de, naar boven afgeronde, oplossng van het masterprobleem groter s dan of geljk s aan de oplossng van het masterprobleem de op dt moment opgeslagen s, dan zal er geen betere oplossng meer gevonden kunnen worden n de rechtse branch. Herbj moet de compler terug gaan naar het vorge nveau. De compler moet zover teruggaan totdat de naar boven afgeronde oplossng opneuw klener s dan de opgeslagen oplossng én totdat de compler net langer n de rechtse branch zt. Deze laatste voorwaarde s noodzakeljk, anders zou er een eeuwg durende loop ontstaan waarbj de compler steeds naar het vorge nveau teruggaat en later va rechts branchen opneuw op dezelfde plaats n de branch tree terecht komt. Onderstaande fguur moet deze gedachtegang wat verdudeljken. 0 Level 0 0 Level Level 2 1 Level 3 1 Level 4 Fguur 2: branchng tree Op het moment dat de compler zch op level 4 en n de rechtse branch bevndt, bljkt dat de naar boven afgeronde oplossng de daar gevonden wordt hoger s dan de hudg opgeslagen oplossng. Dt betekent dat er geen betere oplossng kan gevonden worden n deze branch. Herdoor moet de compler terugkeren naar level 1 om zo n de rechtse branch op level 2 te kunnen komen. Anders zou de compler vast ztten n de rechtse branch op level 3 of 4. 35

47 5.3.8 Procedure: rght branch Na backtrackng volgt de rght branch -procedure. De kolommen met de waarde één op de juste dag en shft worden meegenomen naar het volgende nveau n de branch tree. De varabele waarbj her gebrancht wordt, wordt bepaald door de selecte van de branchng varabele. Moest deze subprocedure nog net aangeroepen zjn vooraleer de compler n de rght branch -procedure terechtkomt, omdat de juste voorwaarden op dat moment nog net voldaan waren, dan gelden de varabelen de als branchng varabelen n de ntële oplossng werden bepaald. In de ntële oplossng werden deze geljk gesteld aan het werknemer nummer. Voor werknemer 10 geldt dan bjvoorbeeld dat er gebrancht zal worden op shft dre tjdens dag dre (tabel 19). Merk op dat zowel de nummers van de werknemers als de dagen en shfts starten met nul. Wanneer n een vorge terate echter een varabele werd geselecteerd voor de left branch dan zal deze zelfde varabele ook her gebrukt worden. Shft 1 Shft 2 Shft 3 Vrje dag Dag Dag Dag Tabel 19: rght branch varabele Herna herhaalt de hele procedure zch totdat de compler zover s teruggekeerd dat het nveau n de branch tree klener s dan nul. 6. Cyclctetsonderzoek In dt deel wordt de toepasbaarhed van cyclsche schema s onder verschllende omstandgheden getest en wordt er gekeken welke beperkngen verwjderd kunnen worden, zonder de realtet ut het oog te verlezen, zodat de onproducteve shftallocates dalen. Vooraleer dt gebeurt, zal er eerst wat utleg volgen over de karaktersteken van het model en de gebrukte personeelsveresten. In de secte over het lteratuuronderzoek werd al aangegeven hoe een oplossng geëvalueerd kan worden. Aangezen de mate waarn preferentes van werknemers worden overtreden en het teveel/tekort aan werknemers belangrjke factoren zjn, moet soweso de waarde van de doelfuncte n rekenng genomen worden. Deze twee factoren zjn belangrjk door de keuze om cyclctet te combneren met een schema waarn zoveel mogeljk aan de ndvduele preferentes van werknemers wordt voldaan. Verder zullen n dt onderzoek de volgende parameters, de gebrukt werden n Maenhout en Vanhoucke (2010b), gebrukt worden. 36

48 De eerste s het totaal aantal terates n de kolomgenerate-procedure. Deze parameter geeft aan hoeveel maal de procedure doorlopen wordt. Het s echter wel belangrjk op te merken dat dt net betekent dat bj elke terate ook een kolom, aan de verzamelng van bestaande kolommen voor een werknemer, toegevoegd wordt. Om dt n rekenng te brengen wordt een andere parameter gebrukt, nameljk het aantal toegevoegde kolommen. Deze parameter geeft een belangrjke ndcate over het utendeljke resultaat van het probleem dat het branch & prce algortme moet oplossen. Hoe meer terates, of hoe meer toegevoegde kolommen, hoe langer het duurt om tot de best mogeljke oplossng te komen maar ook hoe lager de utendeljke oplossngswaarde zal zjn. Dt zal later n deze secte aangetoond worden. Vervolgens s het ook belangrjk te kjken naar hoe lang het geduurd heeft om tot de optmale oplossng te komen. Op de maner s het mogeljk om de effcënte van het algortme, onder verschllende omstandgheden, te beoordelen. De eerste belangrjke factor herbj s het aantal nodes de de procedure doorlopen hebben. Ook deze factor zal een ndcate geven over de utendeljke oplossng van het probleem. Dt zal opneuw, later n dt deel, aangetoond worden. De laatste parameter om de oplossng te evalueren s de tjd de het algortme nodg had om tot de optmale oplossng te komen. Al deze parameters zjn een drecte utng van de vjf crtera van Burke et al. (2004), behalve de stabltet en de flexbltet. Deze twee factoren van een personeelsplan moeten egenljk vooraf bepaald worden door het nemen van bepaalde keuzes, zoals bjvoorbeeld het gebruken van een cyclsch personeelsplan om de stabltet te kunnen garanderen of net geen cyclsch personeelsplan om een grotere flexbltet te kunnen waarborgen. In dt onderzoek worden deze twee factoren zoveel mogeljk gecombneerd doordat zowel cyclctet als preferentes zoveel mogeljk n het schema geïntegreerd worden. Het coverage crterum wordt weerspegeld n de waarde van de doelfuncte, nameljk de kost verbonden aan het teveel en tekort aan werknemers gedurende de verschllende shfts. Ook het rechtvaardghedscrterum, door Warner (1976) ook wel kwaltet genoemd of dus het aantal preferente-overtredngen, zt n deze doelfuncte vervat. Bede crtera kunnen op de maner beoordeeld worden aan de hand van de verschllen n de waarde van de doelfuncte tussen verschllende oplossngen. Het laatste crterum s deze van de kost. Er werd reeds vermeld dat dt te maken heeft met de tjd nodg om tot een oplossng te komen. Herdoor, zullen het aantal terates n de kolomgenerate, het aantal toegevoegde kolommen, het aantal doorlopen nodes en de tjd nodg om tot een oplossng te komen, beoordeeld worden. 37

49 6.1 Karaktersteken In dt deel volgt kort wat meer utleg over de karaktersteken van het geïmplementeerde model. De belangrjkste specfeke factoren, de her vermeld moeten worden, zjn: het maxmaal toegelaten aantal shftveranderngen over de hele plannngsperode, het maxmaal aantal toegelaten fouten, de ndvduele preferentes van de werknemers en de cyclctetsbeperkngen. Het maxmaal aantal toegelaten shftveranderngen s drect verbonden met het aantal shfts de een werknemer gedurende de plannngsperode moet werken. Er s gekozen om voor de meeste werknemers mnstens twee verschllende shfts te voorzen. Op de maner kunnen ze eventueel een hoger loon ontvangen doordat één van deze twee shfts bjvoorbeeld een nachtshft s. Utendeljk werd het maxmaal aantal toegelaten shftveranderngen voor elke werknemer vastgelegd op 10. Merk op dat dt een zeer hoog getal s n vergeljkng met de waarde gebrukt door Bard en Purnomo (2007). Zj hebben mmers het maxmum vastgelegd op dre. Het grote verschl kan verklaard worden doordat de plannngsperode tweemaal zo lang s dan bj Bard en Purnomo (2007) en doordat n het model (deel 3) alle mogeljke shftovergangen worden gecontroleerd (tabel 20) en dus net enkel de overgangen van shft 1 naar 2 of omgekeerd. Dag 1 Dag 2 Shft 1 Shft 2 Shft 1 Shft 3 Shft 2 Shft 1 Shft 2 Shft 3 Shft 3 Shft 2 Tabel 20: shftovergangen De overgang van shft 3 op een bepaalde dag naar shft 1 op de volgende dag moet net gecontroleerd worden aangezen deze reeds explcet verboden wordt door beperkngen (1h) of (3g). Bovenden worden overgangen tussen een bepaalde shft op een bepaalde dag, waarna één of meerdere dagen vrj volgen, en een bepaalde shft op de eerste dag na de verlofdagen ook net n rekenng gebracht. De werknemer krjgt mmers de kans om zch tjdens de perode, waarn hj of zj net moet werken, aan te passen. Het maxmaal aantal toegelaten fouten s ook een belangrjke factor de wat meer utleg verdent. Deze wordt vastgelegd op 20. Deze 20 toegelaten fouten omvatten net alleen de overtredngen op en patronen. Andere factoren zjn de overtredngen op het contractueel vastgelegde aantal uur dat een werknemer mag werken, op dagen de de werknemer lever net werkt en als laatste op de shftovergangen. Inden bljkt dat een werknemer 10 shftovergangen kent gedurende 38

50 de plannngsperode, zal deze werknemer dus slechts 10 andere overtredngen kunnen oplopen n zjn/haar schema. Opneuw bljkt dat het maxmaal toegelaten aantal overtredngen n deze paper veel hoger s dan het geval s n de paper van Bard en Purnomo (2007). De redenen zjn dezelfde als herboven aangehaald. Daarbj komt nog eens dat er extra preferentebeperkngen werden toegevoegd n het model. Deze zjn de beperkngen op de overuren en de dagen de de werknemer lever net wl werken. De verschllende preferentes werden ondertussen al behandeld maar nu volgt nog wat meer utleg. Eerst en vooral, hoewel het aantal contracturen net specfek als preferente kan beschouwd worden, heeft dt toch een belangrjke nvloed op een andere preferente. Deze preferente s de op het al dan net werken van overuren. Ten tweede zjn er de dagen de een werknemer lever net werkt. Belangrjk herbj s dat deze geen rekenng houdt met het fet dat de werknemers slechts 2 op 4 volle weekends mogen werken. De beperkng op de dagen waarop een werknemer lever net werkt, houdt her geen rekenng mee. Dt wl zeggen dat het mogeljk s dat een werknemer bjvoorbeeld op zaterdag lever net werkt, maar de kans s even groot dat dt een dag buten het weekend s en dan moet de werknemer zowel 2 vrje weekends krjgen als zoveel mogeljk de net-weekenddagen de deze persoon wenst. Ten slotte moet er nog wat gezegd worden over de cyclctetsbeperkngen. Er bestaan verschllende mogeljkheden om met een varabele vraag naar werknemers om te gaan (Maenhout en Vanhoucke 2011). Twee van deze mogeljkheden bljken de beste resultaten op te leveren qua consstente en flexbltet. De eerste mogeljkhed s het opdelen van de werknemers n subsets. Een subset s dan een verzamelng van werknemers de cyclsch werken en de andere subset bestaat ut werknemers de net cyclsch werken. De tweede mogeljkhed, besproken door deze auteurs, s het opdelen van de plannngsperode n subperodes en toe te laten dat werknemers tjdens deze subperodes ofwel een cyclsch ofwel een ad hoc schema volgen. Merk op dat de eerste mogeljkhed het meest relevant s n dt onderzoek. De reden hervoor s dat de plannngsperode beperkt bljft tot ver weken. Inden een langere perode n acht genomen zou worden, zou de tweede mogeljkhed nteressanter zjn om ut te werken. Er werd reeds een beperkng vermeld de stelt dat een werknemer volgens hetzelfde schema moet werken tjdens de laatste 14 dagen van de plannngsperode als tjdens de eerste 14 dagen. Echter n dt onderzoek s het de bedoelng om verschllende graden van cyclctet te bespreken. Dt houdt n dat net alle werknemers noodzakeljkerwjs een volledg cyclsch schema zullen hebben (Maenhout en Vanhoucke 2011). Voor de werknemers, zonder cyclsch schema van twee weken, geldt wel dat hun vooropgesteld schema zch na 28 dagen zal herhalen (ze beperkng (1u) en (3t)). Op deze maner 39

51 wordt een soort van end of game scenaro vermeden, waarbj geen rekenng zou gehouden worden met het fet dat, bjvoorbeeld, de beperkng op het maxmaal toegelaten opeenvolgende werkende dagen over verschllende plannngsperodes moet gelden. In het end of game scenaro zou het anders mogeljk zjn dat een werknemer de laatste vjf dagen werkt en bj het begn van de volgende plannngsperode ook de eerste dag moet werken. Om deze gedachtegang wat te verdudeljken volgt een kort voorbeeld. Stel dat de lengte van de plannngsperode twee weken s en bjgevolg de lengte van een cyclsche perode slechts één week. Bovenden s er slechts één mogeljke shft per dag. Onderstaande tabel (tabel 21) bevat het werkschema voor twee werknemers. dagen werknemer werknemer Tabel 21: voorbeeld cyclctet De tabel toont dat werknemer 1 een volledg cyclsch schema volgt. Voor werknemer 2 geldt dt cyclsch schema net. Het bljkt dat deze werknemer tjdens de laatste vjf dagen van de plannngsperode moet werken. Dt heeft tot gevolg dat deze werknemer bj het begn van de volgende plannngsperode mnstens één vrje dag moet krjgen. Om dt tot stand te kunnen brengen wordt dus het begn van de hudge plannngsperode genomen als het begn van de volgende plannngsperode en wordt zoets vermeden. Herbj wordt dan mplcet verondersteld dat de vraag naar werknemers n de volgende plannngsperode dezelfde zal zjn. Het s echter ook mogeljk om voor de volgende plannngsperode extra beperkngen n te voeren (ze tabel 4 nummer 13), maar aangezen her maar één plannngsperode n rekenng gebracht wordt, werd de hudge aanpak verkozen. Er zullen verschllende graden van cyclctet utgetest worden. Deze varëren van volledg netcyclsch tot volledg cyclsch (0%-20%-40%-60%-80%-100%). Voor het net-cyclsche schema wordt enkel de cyclctetsbeperkng verwjderd. Voor de andere percentages wordt deze beperkng lchtjes aangepast. Om een schema te kunnen vnden dat bjvoorbeeld 80% cyclsch s, wordt ervoor gekozen om 80% van de werknemers volgens een cyclsch schema te laten werken, ongeacht de toepasbaarhed van zo n cyclsch schema voor de betrokken werknemer. Het zou mmers beter zjn om werknemers te kezen voor het cyclsche schema de bjvoorbeeld allemaal voltjds werken. Op de maner kunnen de andere, deeltjdse werknemers de overbljvende tekorten opvangen. Deze aanpak werd net gekozen, want de hudge trend s dat er meer en meer mensen afstappen van het voltjds werken. Bovenden behoudt men, met werknemers de net cyclsch werken maar wel een voltjds contract hebben, een extra flexbltet achter de hand. Deze werknemers kunnen dan op meer momenten ngezet worden dan een net voltjdse werknemer. 40

52 Om te bepalen welke werknemers volgens een cyclsch schema moeten werken werd de volgende procedure gebrukt: stel dat we utgaan van 80% cyclctet, dan betekent dt dat 80% van de werknemers een cyclsch schema moeten toegewezen krjgen. Aangezen er twee ervarngsnveaus zjn, moeten deze cyclsche werknemers over bede klassen verdeeld worden. Als eerste stap wordt 80% van het totaal aantal werknemers genomen. Dt aantal cyclsche werknemers wordt vervolgens proportoneel opgespltst naar werknemers van ervarngsnveau 1 en 2. Dt wl zeggen dat wanneer er 25% van de werknemers n de klasse van ervarngsnveau 1 ztten, er 25% van de 80% (=20%) werknemers cyclsch zullen werken. De overge 75% van de 80% (=60%) cyclsche werknemers zjn werknemers met ervarngsnveau 2. Herna worden de eerste werknemers ut bede ervarngsnveaus toegewezen aan een cyclsch schema totdat de respecteveljke percentages berekt worden, nameljk 20% en 60%. Hetzelfde prncpe wordt gebrukt voor 20%, 40% en 60% cyclctet. Het s mogeljk dat, wanneer een bepaald percentage van werknemers genomen wordt, de utkomst hervan net nteger s. Als dt het geval s, dan zal de waarde moeten omgezet worden naar een ntegere waarde. Stel dat er n totaal 26 werknemers zjn, waarvan 13 met ervarngsnveau 1 en 13 met ervarngsnveau 2 en nden een 60% cyclsch schema gevonden moet worden, dan wordt de volgende werkwjze gebrukt: 0,6 * 26 = 15,6 Aangezen er 2 ervarngsnveaus zjn met dezelfde hoeveelhed werknemers, moet dt getal gedeeld worden door 2. 15,6/2 = 7,8 Met andere woorden, van elk ervarngsnveau moeten 7 werknemers volgens een cyclsch schema werken (tabel 22). Enkel het laatste getal wordt naar beneden afgerond. 6.2 Personeelsveresten Deze werden gegenereerd aan de hand van dre parameters; nameljk de TCC-, DCD- en SCDparameters. Hervoor moest eerst echter bepaald worden wat de totale vereste over de volledge plannngsperode zou worden. Deze werd n dt geval geljk gesteld aan 224. De logca achter deze keuze houdt n dat een vereste van 224 verspred over 28 dagen geljk s aan een gemddelde van 8 opdrachten per dag verspred over dre verschllende shfts. Op deze maner wordt een te gemakkeljk schema vermeden. Deze vereste van 224 opdrachten werd zowel voor ervarngsnveau 1 als 2 genomen. Op de maner s er een geljk aantal werknemers n bede klassen van werknemers. Zoals reeds vermeld zullen dre verschllende waarden voor TCC gebrukt worden om de personeelsveresten te bepalen. Deze zullen allen een verschllende nvloed hebben op het aantal werknemers de ngezet kunnen worden. 41

53 Zowel ervarngsnveau 1 als 2 zal bestaan ut 39 werknemers n het geval TCC=0,2. Inden TCC geljk s aan 0,35, levert dt voor elk nveau 22 werknemers op en ten laatste n het geval dat TCC 0,5 s, zjn er slechts 16 werknemers per nveau. Deze grote varate n het aantal werknemers kan potenteel een grote nvloed hebben op de toepasbaarhed van cyclsche schema s. In de dre gevallen s het nodg om een aantal waarden vast te leggen, zoals de contracturen. Onderstaande tabel (tabel 22) bevat de belangrjkste voor het geval dat TCC 0,2 s. Merk op dat voor andere waarden van TCC dezelfde tabel geldt maar dan moet enkel gekeken worden naar de eerste 22 of 16 werknemers van elk ervarngsnveau voor TCC=0,35 en TCC=0,5 respecteveljk. Merk op dat, zowel n als tussen de ervarngsnveaus, er heel wat werknemers zjn de hetzelfde aantal shfts van een bepaald type moeten werken. Bnnen één ervarngsnveau laat dt toe dat, tot op een bepaalde hoogte, de cyclsche werknemers dezelfde karaktersteken hebben als de net-cyclsche werknemers. Tussen de twee ervarngsnveaus mag dt normaal geen groot probleem vormen omdat de personeelsveresten voor bede ervarngsnveaus zeer geljkaardg zullen zjn. Bovenden geldt voor sommge van deze werknemers dat zj een verschllend aantal contractuele uren moeten werken. Andere belangrjke waarden de net n deze tabel vermeld zjn, zjn het maxmaal aantal overuren en het maxmaal aantal toegelaten opeenvolgende werkdagen. Deze zjn respecteveljk geljk aan 8,.e. de lengte van één shft, en 5 voor alle werknemers. Verder zjn er nog de eerder vermelde waarden voor het maxmaal aantal toegelaten werkende weekends,.e. 4, en de maxmaal toegelaten shftwsselngen tussen twee dagen,.e. 10. Net alleen voor TCC werden verschllende waarden gebrukt. Zowel de DCD- als de SCD-parameters varëren tussen vjf verschllende waarden, nameljk 0 0,25 0,5 0,75 1. De combnate van de dre verschllende parameters zorgen voor 75 verschllende personeelsveresten. Herbj s het wel belangrjk te melden dat het verschl tussen de personeelsveresten voor TCC=0,2/0,35/0,5 DCD=0 SCD=0 en TCC=0,2/0,35/0,5 DCD=0 SCD=0,25 zodang klen s, dat enkel het probleem met de personeelsvereste voor de eerste combnate werd utgevoerd (ze Appendx B voor de personeelsveresten voor TCC=0,2 en bjhorende grafek). Dt klene verschl zt n de plaatsng van de specfeke veresten maar de veresten voor de dre shfts op één dag bljven wel voor bede mogeljkheden een combnate van twee 3-en en één 2. Door het verwjderen van deze dre probleemnstantes bljven er n totaal nog 72 over. 42

54 Ervarngsnveau Shft Shft Shft Contracturen Ervarngsnveau Shft Shft Shft Contracturen werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer werknemer Tabel 22: werknemers 43

55 6.3 Resultaten In dt deel zullen de resultaten van het gevoerde onderzoek worden besproken, voor zowel volledge cyclctet (deel 6.3.1) als vermnderde cyclctet (deel 6.3.2). Afsluten wordt er gedaan met een besprekng van de nvloed van bepaalde beperkngen (deel 6.3.3) Volledge cyclctet In onderstaande tabel (tabel 23) staat voor elke probleemnstante wat de waarde was van de ntële oplossng versus de ntegere, utendeljke oplossng; hoeveel maal de kolomgenerate procedure doorlopen s en hoeveel kolommen herbj toegevoegd zjn. Ten laatste worden ook het aantal nodes de doorlopen werden en de tjd, nodg om de hele procedure (ze tot en met 5.3.8) te doorlopen, weergegeven. DCD=0-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton ,5 LP soluton ,57 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 139,71 113, ,37 seconden 174, , ,7 DCD=0-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0-SCD=1 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , ,66 LP soluton , , ,25 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 177, , ,35 seconden 8105, ,47 586,16 DCD=0,25-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,25-SCD=0,25 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton ,8 LP soluton ,85 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 165, ,8 4886,59 seconden 196,63 141, ,14 DCD=0,25-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,25-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , ,39 LP soluton , ,25 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 240, , ,01 seconden 234, , ,69 DCD=0,25-SCD=1 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,5-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , LP soluton ,58 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 4839, ,98 124,99 seconden 178,65 148, ,82 44

56 DCD=0,5-SCD=0,25 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,5-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , ,92 LP soluton , ,5 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 192, , ,17 seconden 7487, , ,76 DCD=0,5-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,5-SCD=1 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , , ,18 LP soluton IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 9345, , ,12 seconden 553,66 919,83 841,35 DCD=0,75-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,75-SCD=0,25 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , ,75 LP soluton , ,45 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 193, , ,72 seconden 1209, , ,34 DCD=0,75-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,75-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton , ,4 LP soluton , , ,33 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 224, , ,86 seconden 7056, , ,72 DCD=0,75-SCD=1 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=1-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton LP soluton , ,53 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 176,09 336,32 85,46 seconden 642,74 869, ,23 DCD=1-SCD=0,25 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=1-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton ,71 LP soluton ,33 IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 304,58 539,64 601,32 seconden 162,22 137,05 338,94 DCD=1-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=1,0-SCD=1,0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 LP soluton ,67 LP soluton IP_soluton IP_soluton Iterates Iterates kolommen kolommen nodes nodes seconden 252,65 104,17 264,48 seconden 93,63 64,26 31,47 Tabel 23: resultaten 45

57 In bovenstaande tabel s telkens n blauw aangedud wanneer er slechts 1 node doorlopen werd. Het bljkt dat dt vooral het geval s voor TCC=0,2. Bovenden s het zo dat het aantal maal dat er maar 1 node onderzocht werd, daalt naarmate de waarde van TCC toeneemt (zes maal voor TCC=0,35 en dre keer voor TCC=0,5). Ook s het opvallend dat wanneer zowel DCD als SCD geljk zjn aan 1, de dre verschllende waarden voor TCC allen leden tot slechts 1 node. Dt kan verklaard worden door het uterst restrcteve karakter van de bjhorende personeelsveresten. Deze zjn mmers zodang, dat ze zeer geconcentreerd zjn op een aantal dagen en shfts. Dt zorgt ervoor dat er weng rumte overbljft voor aanpassngen n de confgurate van de betrokken werknemers. Een ander opvallend resultaat s dat, ook bj DCD=0 en SCD=0, twee van de dre nstantes maar 1 doorlopen node hebben. Dt s het geval voor de nstantes met het hoogst aantal werknemers, nameljk 78 voor TCC=0,2 en 44 voor TCC=0,35. De mogeljke reden voor dt fenomeen kan zjn dat, door het groter aantal werknemers, er onmddelljk meer werknemers met gepaste schema s zjn om de personeelsveresten n te lossen. Op deze maner worden reeds meer goede mogeljkheden tjdens de eerste terate behandeld dan het geval s voor TCC=0,5. Voor TCC=0,5 werden utendeljk 13 nodes onderzocht, wat resulteert n een sterke stjgng n de tjd nodg om tot een oplossng te komen. Deze logca kan overgens verder getrokken worden naar de andere meest cyclsche klassen,.e. de klassen waarbj SCD=0 en de klassen waarbj DCD=0. Tabel 23 toont aan dat er telkens voor SCD=0 slechts 1 of, n het geval dat DCD=1, 2 nodes onderzocht worden voor TCC=0,2. Bovenden s het aantal onderzochte nodes voor de meest cyclsche probleemnstantes, zoals ut onderstaande grafek (fguur 3) bljkt, telkens mnder dan voor TCC=0,35 en TCC=0,5. Fguur 5 geeft hetzelfde weer als fguur 3 maar dan voor de klassen waarbj DCD vastlgt op 0. Bj SCD=1 s er echter wel een stjgng n het aantal nodes op te merken, de s zelfs zeer utgesproken voor TCC=0,2. Voor de andere klassen met TCC=0,2 wordt ook slechts 1 node onderzocht. We kunnen herbj besluten dat voor een groot aantal werknemers de kost (tjd, aantal terates en toegevoegde kolommen), de gepaard gaat bj het vnden van een gepast schema, het laagst s voor de meest cyclsche schema s. Er zal n het verdere verloop van deze secte meer bewjs gezocht worden om deze vaststellng te ondersteunen. De vraag de nu gesteld kan worden s, of er al dan net een relate bestaat tussen het aantal onderzochte nodes en de ntegere oplossngswaarde. Met andere woorden, hoe goed s een oplossng rekenng houdend met het aantal doorlopen nodes? Om deze vraag te beantwoorden worden ook her twee vergeljkngen gemaakt, één waarbj SCD vast lgt en één waarbj DCD vast lgt. Fguur 3 en 4 geven het aantal onderzochte nodes en de waarde van de ntegere oplossng n het 46

58 geval dat SCD vast lgt op nul. De grafeken voor de andere waarden voor SCD, kunnen teruggevonden worden n appendx C Aantal Nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Fguur 3: SCD= IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Fguur 4: SCD=0 De evolute van zowel het aantal onderzochte nodes en de ntegere oplossng doet vermoeden dat er een verband bestaat tussen deze twee parameters. Dt verband ljkt te betekenen dat, hoe meer nodes doorlopen worden vooraleer een utkomst gevonden wordt, hoe lager de waarde van deze utkomst zal zjn. Om deze trend te kunnen bevestgen, werden de correlates tussen het aantal nodes en de waarde van de ntegere oplossng berekend (tabel 24). 47

59 Correlate TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 SCD=0-0, , ,39458 SCD=0,25-0, , ,99891 SCD=0,5-0, , ,84228 SCD=0,75-0, , ,91408 SCD=1-0, , ,72128 Tabel 24: correlates In tweede nstante werd de DCD samen met de TCC constant gehouden waardoor enkel de SCD verandert. Opneuw worden her enkel de grafeken, voor het aantal nodes en de ntegere oplossngen, gegeven voor één geval. Dt s het geval waarbj DCD geljk s aan nul. De andere grafeken zjn terug te vnden n appendx D Aantal nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Fguur 5: DCD=0 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Fguur 6: DCD=0 48

60 De relate tussen de grootte van de ntegere oplossng en het aantal nodes de nodg waren om tot deze oplossng te komen s voor TCC=0,2 zeer utgesproken. Het s dudeljk te zen dat, op het moment dat SCD geljk wordt aan één, er een sterke dalng s n de oplossngswaarde. Tegeljkertjd s er een sterke stjgng waar te nemen n het aantal nodes. Om deze trend te kunnen bevestgen, s opneuw een correlatetest utgevoerd (tabel 25). Correlate TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0-1, , ,79915 DCD=0,25-0, , ,81086 DCD=0,5-0, , ,29694 DCD=0,75-0, , ,78261 DCD=1-0, , ,87003 Tabel 25: correlates Zowel tabel 24 als tabel 25 maken dudeljk dat er een soort van tegengestelde relate bestaat tussen de twee factoren. In elke tabel s er echter wel één utzonderng waarbj de waarde van de oplossng toeneemt naarmate het aantal onderzochte nodes toeneemt. Dt s telkens zo voor de meest cyclsche klasse ut de tabel. Met de meest cyclsche klasse wordt de klasse bedoeld de, n vergeljkng met de andere klassen, de meest stabele personeelsveresten heeft en dus de laagste waarde voor DCD en/of SCD heeft. Inden SCD constant gehouden wordt op nul, dan s dt het geval voor TCC=0,5 en wanneer DCD geljk bljft aan nul voor TCC=0, Vermnderde cyclctet Rekenng houdend met de vaststellng dat er n de meeste gevallen wel degeljk een soort van omgekeerde relate bestaat tussen het aantal nodes en de oplossngswaarde, s het nteressant om te kjken welk effect een vermnderng n de cyclctet heeft op de waarde van de oplossng. De veronderstellng de herbj gemaakt wordt, s dat het aantal nodes zou moeten toenemen door het mnder strkt maken van de cyclctetsbeperkng. Het verwachte gevolg van deze acte s dat de waarde van de oplossng zal vermnderen. Enkel de probleemnstantes waarbj de oplossng gevonden werd na het doorlopen van slechts één node (ze tabel 26 voor de resultaten waarbj TCC=0,2, tabel 27 voor TCC=0,35 en tabel 28 voor TCC=0,5), zullen aan de vermnderng van de beperkng op cyclctet worden onderworpen. De reden voor deze keuze s dat, voor de probleemnstantes de meerdere nodes hebben doorlopen, bljkt dat het vnden van de oplossng, voor een 100% cyclsch schema, reeds vrj lang duurde. Dt zou tot gevolg kunnen hebben dat de tjd nodg om een mnder cyclsche oplossng te vnden veel te hoog wordt (ze Mllar en Kragu 1998) om nog relevant te zjn. Bovenden wordt er verwacht dat voor deze 49

61 nstantes het vermnderen van de cyclctet een klener effect zal hebben op de waarde van de ntegere oplossng aangezen er reeds meerdere nodes onderzocht werden. TCC=0,2 - DCD=0 - SCD=0 TCC=0,2 - DCD=0 - SCD=0,75 TCC=0,2 - DCD=0,25 - SCD=0,25 TCC=0,2 - DCD=0,25 - SCD=0,75 aantal nodes IP oplossng TCC=0,2 - DCD=0 - SCD=0,5 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,2 - DCD=0,25 - SCD=0 nodes oplossng , , , , , , , , aantal IP TCC=0,2 - DCD=0,25 - aantal IP nodes oplossng SCD=0,5 nodes oplossng , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,2 - DCD=0,5 - SCD=0 nodes oplossng , , , , , , , , TCC=0,2 - DCD=0,5 - SCD=0,25 aantal nodes IP oplossng TCC=0,2 - DCD=0,75 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , ,

62 TCC=0,2 - DCD=0,75 - SCD=0,5 TCC=0,2 - DCD=1 - SCD=0,5 aantal nodes IP oplossng TCC=0,2 - DCD=0,75 - SCD=1 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,2 - DCD=1 - SCD=1 nodes oplossng , , , , , , , , Tabel 26: resultaten % cyclctet TCC=0,35 - DCD=0 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35 - DCD=0,25 - SCD=0,25 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , TCC=0,35 - DCD=0,5 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35 - DCD=1 - SCD=0,5 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35 - DCD=1 - SCD=0, , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,35 - DCD=1 - SCD=1 nodes oplossng , , , , , , , , Tabel 27: resultaten % cyclctet 51

63 TCC=0,5 - DCD=0,25 - SCD=1 aantal nodes IP oplossng , , , , TCC=0,5 - DCD=0,75 - SCD=1 aantal nodes IP oplossng , , , , TCC=0,5 - DCD=1 - SCD=1 aantal nodes IP oplossng , , , , Tabel 28: resultaten % cyclctet Opneuw valt het op (tabel 26) dat er heel wat probleemnstantes, met SCD geljk aan 0, slechts 1 node doorlopen hebben vooraleer de optmale oplossng gevonden werd. Dt wjst erop dat de verbeterng door het vermnderen van de cyclctet n deze gevallen eerder beperkt s. Er zjn twee nstantes de vergeleken kunnen worden, zoals n fguur 3 en 5. Deze nstantes zjn TCC=0,2 DCD=0 SCD=0 en TCC=0,2 DCD=0,5 SCD=0 enerzjds en TCC=0,35 DCD=0 SCD=0 en TCC=0,35 DCD=0,5 SCD=0 anderzjds. TCC=0,2 - DCD=0 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35 - DCD=0 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , Tabel 29: vergeljkng (DCD=0-SCD=0) Ut tabel 29 bljkt dat het maxmaal aantal nodes de doorlopen worden voor TCC=0,2 zeer beperkt bljven. Wanneer er echter dan toch 2 nodes doorlopen worden, s de verbeterng n de oplossng spectacular. Ook voor TCC=0,35 s het aantal onderzochte nodes eerder beperkt. De verbeterng n de oplossng s her echter mnder spectacular. 52

64 Ondanks deze verbeterngen n de oplossng, s het net nuttg om, voor de bjhorende personeelsveresten, een vermnderng van cyclctet door te voeren. De tjd de nodg s om tot een oplossng te komen s her voor bede waarden van TCC gewoon te hoog. Deze vareert voor TCC=0,2 van 16279,93 tot 17003,72 seconden voor de twee gevallen waarbj 2 nodes doorlopen worden. Dt betekent dat het bjna 5 uur duurt om de oplossng te vnden. Voor TCC=0,35 s dt van 13694,43 (bjna 4 uur) tot 18636,23 seconden (meer dan 5 uur). TCC=0,2 - DCD=0,5 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35 - DCD=0,5 - SCD=0 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , Tabel 30: vergeljkng (DCD=0,5-SCD=0) Tabel 30 geeft aanledng tot dezelfde concluses. Her zjn het aantal doorlopen nodes echter wel veel hoger. Als voorlopge concluse kan gesteld worden dat bj TCC=0,2 mnder nodes doorlopen worden, maar als er dan toch meer dan 1 node onderzocht wordt, s de verbeterng veel groter voor TCC=0,2 dan voor TCC=0,35. Ook bj de andere klassen zjn er redeljk veel nstantes met slechts 1 doorlopen node. Het bljkt echter wel dat wanneer er meer dan 1 node onderzocht werd, het resultaat ook voor deze nstantes sterk verbeterde. Voor de volledghed en vergeljkbaarhed, tussen de verschllende graden van cyclctet, zjn de nstantes met volledge cyclctet ook n bovenstaande tabellen opgenomen. Nu moet onderzocht worden of er wel degeljk een verband bestaat tussen het verlagen van de cyclctet en de grootte van de oplossng. Bovenden zal ter bevestgng ook nog eens de relate tussen het aantal nodes en de utkomst onderzocht worden. Om deze verbanden te kunnen beoordelen zal opneuw een correlatetest utgevoerd worden, maar deze keer voor zowel de cyclctetsklasse als voor de nodes. Aangezen het n bepaalde gevallen zo s dat deze herberekenngen voor dezelfde waarden voor DCD en SCD gedaan werden, kunnen de correlates tussen deze nstantes vergeleken worden. Onderstaande tabellen (tabellen 31-33) bevatten al de correlates voor alle nstantes, voor zowel de nodes als de cyclctetsklassen. 53

65 TCC=0,2 correlate IP-nodes correlate IP-klasse DCD=0-SCD=0-0, , DCD=0-SCD=0,5-0, , DCD=0-SCD=0,75-0, , DCD=0,25-SCD=0-0, , DCD=0,25-SCD=0,25-0, , DCD=0,25-SCD=0,5-0, , DCD=0,25-SCD=0,75-0, , DCD=0,5-SCD=0-0, , DCD=0,5-SCD=0,25-0, , DCD=0,75-SCD=0-0, , DCD=0,75-SCD=0,5-0, , DCD=0,75-SCD=1-0, , DCD=1-SCD=0,5-0, , DCD=1-SCD=1 NVT 0, Tabel 31: correlates TCC=0,2 TCC=0,35 correlate IP-nodes correlate IP-klasse DCD=0-SCD=0-0, , DCD=0,25-SCD=0,25-0, , DCD=0,5-SCD=0 0, , DCD=1-SCD=0,5-0, , DCD=1-SCD=0,75-0, , DCD=1-SCD=1 NVT 0, Tabel 32: correlates TCC=0,35 TCC=0,5 correlate IP-nodes correlate IP-klasse DCD=0,25-SCD=1-0, , DCD=0,75-SCD=1-0, , DCD=1-SCD=1 NVT 0, Tabel 33: correlates TCC=0,5 In het grjs staat, bj de correlate tussen de oplossng en het aantal doorlopen nodes, net van toepassng. Dt s zo omdat het aantal nodes n dt geval noot veranderde (tabel 26, 27 en 28). Bjgevolg zal de standaarddevate geljk zjn aan nul en aangezen deze standaarddevate n de noemer van de formule van de correlate staat, kan deze dus net berekend worden. De rood aangedude cel n tabel 32 s de enge nstante waarbj de redenerng van extra nodes leden tot lagere oplossngen, net volledg opgaat (ze tabel 30 voor de evolute van het aantal nodes). Merk wel op dat deze correlates, zowel tussen de oplossng en de nodes als tussen de oplossng en de graad van cyclctet, slechts ndcates geven. Het s dus goed mogeljk dat er gevallen zjn waarbj de 54

66 oplossng stjgt naarmate het aantal nodes toeneemt terwjl de algemene trend n de klasse een negatef verband weergeeft. Een eerste observate de volgt ut tabel s dat bj DCD=1 en SCD=1, en dus bj de meest acyclsche personeelsveresten, de correlate tussen de oplossng van het probleem en graad van cyclctet het hoogst zjn. De verbeterngen n de oplossng (tabel 26, 27 en 28) zjn net utzonderljk, maar wel consstent. In zulke gevallen s het dus zeker aangeraden om de cyclctet van het vooropgestelde schema te vermnderen. Ook s deze correlate bj TCC=0,5 lchtjes hoger dan bj TCC=0,2. Dt betekent dat het effect van het vermnderen van de cyclctet net ets hoger lgt voor hogere TCC-waarden dan voor klenere. Merk wel op dat ut de resultaten ut tabel 23 bljkt dat de correlate voor TCC=0,35 klener s dan nden TCC=0,2. Rekenng houdend met de resultaten ut tabel 23, zou het nteressant kunnen zjn om een aantal extra nstantes opneuw te berekenen met n acht name van de verschllende graden van cyclctet. Door dt te doen, wordt het aantal nstantes de over de TCC-klassen kunnen vergeleken worden groter. Nu s dt enkel maar mogeljk voor DCD=1 en SCD=1, wat net tot heel algemene concluses kan leden. De volgende nstantes komen hervoor n aanmerkng: TCC=0,35 DCD=0,75 SCD=1; TCC=0,5 DCD=0,5 SCD=0; TCC=0,5 DCD=1 SCD=0,5; TCC=0,2 DCD=1 SCD=0,75 en TCC=0,5 DCD=1 SCD=0,75. Deze vjf problemen zjn het meest geschkt voor verder onderzoek omdat het aantal nodes, de doorlopen werden n de zoektocht naar een oplossng, én de tjd, de daarvoor nodg was, vrj klen zjn n vergeljkng met andere oplossngen. Zo werd voor TCC=0,5 DCD=0,5 SCD=0 5 nodes doorlopen n 1762,82 seconden. Rekenng houdend met de meeste andere tjden voor de andere nstantes s deze tjd vrj laag. Voor de andere geselecteerde nstantes waren er zelfs slechts 2 of 3 nodes de doorlopen werden met een tjd van mnder dan 10 mnuten. Aangezen reeds aangetoond werd dat er n de meeste gevallen een negatef verband bestaat tussen het aantal nodes en de waarde van de oplossng, zullen voor deze extra nstantes enkel de correlates tussen de ntegere oplossng en de verschllende klassen van cyclctet vermeld worden (tabel 34). correlate IP-klasse TCC=0,35-DCD=0,75-SCD=1 0, TCC=0,5-DCD=0,5-SCD=0 0, TCC=0,5-DCD=1-SCD=0,5 0, TCC=0,2-DCD=1-SCD=0,75-0, TCC=0,5-DCD=1-SCD=0,75 0, Tabel 34: extra correlates 55

67 Door deze extra berekenngen s het mogeljk om de nvloed van de waarde van TCC beter n te schatten. Tabel 33 bevat deze cjfers voor de dre verschllende waarden voor TCC om de vergeljkng te vereenvoudgen. De correlates n cursef zjn deze de extra berekend werden. TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,75-SCD=1 0, , , DCD=0,5-SCD=0 0, , , DCD=1-SCD=0,5 0, , , DCD=1-SCD=0,75-0, , , Tabel 35: vergeljkng correlates In de eerste dre gevallen s er een dudeljke trend waarbj de relate tussen de grootte van de oplossngswaarde en de verschllende graden van cyclctet toeneemt naarmate de waarde voor TCC stjgt. De achterlggende reden zou dezelfde kunnen zjn als degene de herboven aangehaald werd. Hoe meer werknemers, hoe gemakkeljker het cyclsche schema kan voldaan worden en hoe mnder nuttg een vermnderng n de graad van cyclctet s. Het s echter wel opvallend dat voor DCD=1 en SCD=0,75 deze trend net bevestgd kan worden. In dt geval zal voor TCC=0,2 de waarde van de oplossng zelfs een lchte stjgng ondervnden naarmate de cyclctet vermnderd wordt. Dt s net helemaal tegenstrjdg met de herboven aangehaalde reden de stelt dat door het groter aantal werknemers een cyclsch schema beter toepasbaar s. Het egenljke probleem zt n de overgang tussen de twee andere waarden voor TCC. De verwachtng was dat de correlate hoger zou zjn voor TCC=0,5. Zo n tegenstrjdghed bestaat ook wanneer zowel DCD als SCD geljk zjn aan nul. In dt geval s de gevonden correlate groter voor TCC=0,2 (=0, ) dan voor TCC=0,35 (=0, ). Door het bestaan van deze tegenstrjdgheden, werd er op zoek gegaan naar een andere klasse van geljke waarden voor zowel DCD als SCD. De voorkeur gaat her ut naar nstantes waarbj voor twee van de dre waarden voor TCC na 1 node reeds een oplossng gevonden werd. Dt ledt naar DCD=0,25 en SCD=0,25. Voor deze parameters werd na 1 node reeds een oplossng gevonden voor TCC=0,2 en TCC=0,35. De extra correlate de dus berekend moet worden, s deze voor TCC=0,5 DCD=0,25 SCD=0,25. Opneuw s her de correlate voor TCC=0,35 wel hoger dan deze voor TCC=0,2 maar de voor TCC=0,5 bljkt lager te zjn dan deze voor TCC=0,35 (tabel 36). TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 DCD=0,25-SCD=0,25 0, , , Tabel 36: extra vergeljkng correlates Het resultaat van al deze vergeljkngen s dat de correlates meestal een stjgende ljn volgen van TCC=0,2 naar TCC=0,5. Echter, er kan geen sprake zjn van een sgnfcant verschl tussen de correlates voor TCC=0,35 en TCC=0,5. Ondanks het fet dat n dre van de vjf gemaakte vergeljkngen het verwachte patroon (een stjgende correlate van een lage naar een hogere TCC) 56

68 wel aanwezg was, kan geen dudeljk verschl gevonden worden tussen TCC=0,35 en TCC=0,5. Hoewel er één utzonderng aanwezg s op de trend, gevonden n de vjf vergeljkngen, kan er wel gezegd worden dat dt verschl n correlate tussen TCC=0,2 en TCC=0,35 dudeljker aanwezg s. Deze utzonderng bestaat voor TCC=0,2 DCD=0 SCD=0 en TCC=0,35 DCD=0 SCD=0. Merk op dat de correlatecoëffcënten net noodzakeljk ets zeggen over de grootte van de verbeterng n de oplossng en dat zj sterk onderhevg zjn aan outlers. Dt zjn waarnemngen de, door hun utzonderljke karakter, een grote nvloed kunnen hebben op de utkomst van de regresseljn. Als laatste stap n de vergeljkng, tussen de verschllende waarden voor TCC, van de toepasbaarhed van een cyclsch schema zal daarom gekeken worden naar de aanwezghed van zulke waarnemngen en hun nvloed op de utendeljke correlatecoëffcënt. 1. Bj de eerste observate (DCD=1 en SCD=1) de her gemaakt werd, s er geen enkel probleem met outlers. Aangezen het aantal onderzochte nodes bj elk van de verschllende graden van cyclctet geljk was aan 1, s dt net zo verwonderljk. 2. Ook werd een utzonderng gevonden op de algemene trend tussen nstantes waarbj TCC=0,2 of TCC=0,35 s. DCD=0-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0, , , , , Tabel 37: outlers (DCD=0-SCD=0) Voor zowel TCC=0,2 en TCC=0,35 zjn er twee observates de respecteveljk veel lager en veel hoger zjn dan de andere oplossngswaarden. 3. Bj de vergeljkngen de gemaakt werden (tabel 35 en 36) zjn, n tegenstellng tot puntje 1, zulke observates wel aanwezg. Aangezen er twee vergeljkngen zjn de een etwat contrantuïtef resultaat opleveren, zullen deze gecontroleerd worden op utzonderljke observates (tabel 38 en 39). De tabellen de de overge vergeljkngen bevatten, staan n appendx E. DCD=0,25-SCD=0,25 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, , , , , Tabel 38: outlers (DCD=0,25-SCD=0,25) 57

69 TCC=0,2 en TCC=0,35 hebben telkens dre hoge en dre lage waarden, terwjl bj TCC=0,5 enkel de waarde de overeenstemt met 80% cyclctet ut de algemene trend valt. DCD=1-SCD=0,75 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, , , , , Tabel 39: outlers (DCD=0,25-SCD=0,25) Bj TCC=0,2 bleek dat de correlate tussen de cyclctetsklassen en de oplossng lchtjes negatef was en tabel 39 toont aan dat dt waarschjnljk te maken heeft met de oplossngswaarden voor 60 en 100% cyclctet. Ut deze en de tabellen n appendx E bljkt dat er omzchtg moet omgesprongen worden met de correlatecoëffcënten en de concluses de herop gebaseerd worden. Hoewel over het algemeen geldt dat outlers best verwjderd worden, bestaat herover toch geen echte consensus n de lteratuur (Osborne en Overbay 2004). Hermee rekenng houdend, zullen deze utzonderljke resultaten dan ook net weggelaten worden. Bovenden zou het wel weglaten ervoor kunnen zorgen dat de realtet net meer voldoende weerspegeld wordt n de correlatecoëffcënten. Het resultaat van de correlatetest moet dus gecombneerd worden met andere vaststellngen. De vaststellng waar her naar verwezen wordt, s het fet dat het aantal maal dat er slechts 1 node onderzocht wordt, het hoogst s voor TCC=0,2 en daalt met een toename n de waarde voor TCC. Doordat slechts één node onderzocht moest worden om tot de beste oplossng te komen, betekent dt dat de tjd de hervoor nodg was, beperkt s gebleven. Dt betekent dus dat voor een groot aantal werknemers sneller een oplossng gevonden kan worden de voldoet aan de verschllende beperkngen, waaronder de beperkng op de cyclctet. Dt s vooral het geval voor lage waarden voor DCD en SCD omdat voor de waarden de personeelsveresten over de verschllende TCC-klassen nog zeer geljkaardg zjn. Door de dalng n het aantal maal dat er maar 1 node onderzocht wordt, zjn er steeds meer nstantes de een langere tjd nodg hebben om tot een oplossng te komen. De concluse de we her ut kunnen trekken s dat hoe meer werknemers er beschkbaar zjn voor geljkaardge personeelsveresten, hoe beter aan een cyclsch schema kan voldaan worden. Dt bljkt ook ut de stude van de correlates, waarbj de correlate tussen de graad van cyclctet en de utkomst over het algemeen het klenst was voor TCC=0,2. Een klene correlate heeft tot gevolg dat een verlagng van de cyclctet slechts een beperkte verbeterng n de oplossng met zch mee brengt. 58

70 Tot nu toe lag de focus op het vergeljken van de toepasbaarhed van cyclsche schema s tussen de klassen met verschllende waarden voor TCC. Bnnen een klasse met een bepaalde waarde voor deze parameter (TCC) kunnen echter ook verschllen optreden n de toepasbaarhed van een cyclsch schema. Om dt te testen zal opneuw naar de correlatecoëffcënt gekeken worden. Deze coëffcënten zjn dezelfde als deze n tabellen 31 tot en met 34. Rekenng houdend met de mogeljkhed dat er bjgevolg outlers kunnen optreden, zal ook naar de tjd gekeken worden de nodg s om een oplossng te vnden. Va de combnate van deze factoren zouden er een aantal trends moeten verschjnen (tabellen 40, 41 en 42). Deze tabellen bevatten een aantal extra berekenngen, n vergeljkng met deze n bovenstaande tabellen, om meer vergeljkngen te kunnen maken. Deze extra berekenng zjn TCC=0,35 DCD=0,25 SCD=1; TCC=0,35 DCD=0,75 SCD=0,5 en TCC=0,5 DCD=0,75 SCD=0,5. Elk van deze extra nstantes had voor 100% cyclctet mnder dan 1 uur nodg voor het vnden van een oplossng. TCC=0,2 tjd correlate IPklasse mnmum maxmum 1 DCD=0-SCD=0 154, ,72 0, DCD=0-SCD=0,5 174, ,97 0, DCD=0-SCD=0,75 304, ,91 0, DCD=0,25-SCD=0 147, ,58 0, DCD=0,25-SCD=0,25 283, ,69 0, DCD=0,25-SCD=0,5 263, ,36 0, DCD=0,25-SCD=0,75 260, ,82 0, DCD=0,5-SCD=0 283, ,43 0, DCD=0,5-SCD=0,25 208, ,71 0, DCD=0,75-SCD=0 4190, ,63 0, DCD=0,75-SCD=0,5 222, ,49 0, DCD=0,75-SCD=1 249,27 440,91 0, DCD=1-SCD=0,5 180,56 449,61 0, DCD=1-SCD=0,75 151,29 363,36-0, DCD=1-SCD=1 102,33 119,91 0, Tabel 40: tjd-correlate (TCC=0,2) 59

71 TCC=0,35 tjd correlate IPklasse Mnmum Maxmum 1 DCD=0-SCD=0 266, ,23 0, DCD=0,25-SCD=0,25 165, ,35 0, DCD=0,25-SCD=1 227, ,13 0, DCD=0,5-SCD=0 9742, ,03 0, DCD=0,75-SCD=0,5 3269, ,18 0, DCD=0,75-SCD=1 93,25 347,00 0, DCD=1-SCD=0,5 98, ,73 0, DCD=1-SCD=0,75 98,41 338,69 0, DCD=1-SCD=1 53,22 64,43 0, Tabel 41: tjd-correlate (TCC=0,35) TCC=0,5 tjd correlate IPklasse Mnmum Maxmum 1 DCD=0,25-SCD=0, , ,30 0, DCD=0,25-SCD=1 1912, ,46 0, DCD=0,5-SCD=0 9254, ,33 0, DCD=0,75-SCD=0,5 782, ,28 0, DCD=0,75-SCD=1 71,44 774,55 0, DCD=1-SCD=0,5 84, ,97 0, DCD=1-SCD=0,75 88, ,83 0, DCD=1-SCD=1 36,25 38,81 0, Tabel 42: tjd-correlate (TCC=0,5) Tabellen 40, 41 en 42 bevatten voor elke nstante de mnmale en maxmale tjd de nodg was om tot de optmale oplossng te komen. Deze mnma en maxma zjn een weergave van de verschllende tjden over de verschllende graden van cyclctet. Merk op dat er, bj het bepalen van bovenstaande mnma en maxma, geen rekenng gehouden werd met de tjd nodg om de nstante met 100% cyclctet op te lossen. Om te weten welke tjd aanvaardbaar s om een bepaald probleem op te lossen, wordt gekeken naar de maxmale tjd de nodg was om de orgnele problemen (100% cyclctet) op te lossen (ze tabel 23). TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Tjd (n seconden) 9345, , ,37 Tabel 43: maxmale tjd 100% cyclctet Tabel 43 toont voor elke TCC-klasse de maxma. Deze maxma zullen gebrukt wordt als rchttjd. Deze tjd, n combnate met de correlate, dent om te bepalen wanneer een vermnderng van de cyclctet al dan net aanvaardbaar s. Aangezen bj cyclsche schema s sneller een oplossng 60

72 gevonden wordt dan bj net-cyclsche schema s, moeten deze maxma wel nog engszns verhoogd worden om daarmee rekenng te houden (ze deel 2: lteratuurstude). Tabel 40 toont dudeljk dat de tjd, nodg om een oplossng te vnden, n vergeljkng met tabel 49, tot en met DCD=0,25 en SCD=0,75 (nummer 7) zeer hoog lgt. Ook de correlate bljft n het begn vrj laag en dt tot en met DCD=0,25 en SCD=0,25 (nummer 5). De lage correlates gekoppeld aan de hoge oplossngstjden, zorgen ervoor dat het weng nteressant s om voor deze nstantes de cyclctet te verlagen. Voor de andere twee nstantes,.e. nummer 6 en 7, bljkt wel dat de correlate tussen een vermnderng van de cyclctet en de verbeterng n de waarde van de oplossng hoog s. In combnate met deze hoge correlate s er echter een lange oplossngstjd. Herdoor s het beter om opneuw nog een gewoon cyclsch schema te gebruken. Vanaf DCD=0,5 wordt het nteressanter. De oplossngstjden begnnen lager en lager te worden. Het s echter wel zo dat de correlates voor een lage waarde van SCD (SCD=0 of SCD=0,25) nog net voldoende hoog lggen om een verlaagde cyclctet toe te laten. Vanaf DCD=0,75 (nummer 10) s er een sterke dalng n de oplossngstjd. Ondanks de soms wat lage correlates, s de verlagng van de cyclctet nu wel nteressant. Nu moet nog bepaald worden welke graad van cyclctet het meest nteressant s. Om dt te kunnen bepalen moet tabel 44 vergeleken worden met tabel 26. Deze extra tabel (tabel 44) s nodg omdat de nstante n deze tabel eerst net werd onderworpen aan een vermnderng van de cyclctet, waardoor deze nstante net aanwezg s n tabel 26. TCC=0,2 - DCD=1 - SCD=0,75 aantal nodes IP oplossng , , , , Tabel 44: nodes - IP oplossng Voor DCD=0,75 bljkt ut tabel 26 dat voor SCD=0, de cyclctet best mnstens tot 80% wordt verlaagd. Voor SCD=0,5 en 1 s er een sterke verbeterng n de oplossngswaarde vanaf 40% cyclctet. Voor DCD=1 s het dudeljk, ut zowel tabel 26 als 44, dat de cyclctet best zo laag mogeljk gehouden wordt. Ondanks het fet dat er n tabel 44 redeljk wat varate zt n de oplossngswaarde, ljkt het ook voor deze nstante beter om de cyclctet zo laag mogeljk te houden ( outlers ). Tabel 41 (TCC=0,35) en tabel 42 (TCC=0,5) tonen bede egenljk dezelfde trend als tabel 40. Vanaf het moment dat DCD geljk wordt aan 0,75, s het dudeljk dat de combnate van oplossngstjd en 61

73 de bjhorende correlates zodang s dat vermnderng van cyclctet enkel voordelen kan opleveren. Opvallend s wel dat ook voor DCD=0,25 SCD=1 er een aanvaardbare combnate tussen de twee factoren bestaat. Opneuw s de vraag hoe ver de cyclctet vermnderd moet worden. TCC=0,35-DCD=0,25- SCD=1 TCC=0,35-DCD=0,75- SCD=1 TCC=0,5-DCD=1-SCD=0,5 aantal nodes IP oplossng TCC=0,35-DCD=0,75- SCD=0,5 62 aantal nodes IP oplossng , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,5-DCD=0,75-SCD=0,5 nodes oplossng , , , , , , , , aantal IP aantal IP nodes oplossng TCC=0,5-DCD=1-SCD=0,75 nodes oplossng , , , , , , , , Tabel 45: nodes - IP oplossng Opneuw worden de extra utgevoerde nstantes n tabel 45 weergegeven. Voor DCD=0,25 en SCD=1 kan de cyclctet het best vermnderd worden tot 80%. Deze concluse volgt ut de vergeljkng van tabel 45 en 28. Bj DCD=0,75 SCD=0,5 kan de cyclctet ver teruggedrongen worden maar her bestaat geen consensus tussen TCC=0,35 en TCC=0,5. Hetzelfde kan gezegd worden over de nstantes waarbj DCD=0,25 en SCD=1, DCD=0,75 en SCD=1, DCD=1 en SCD=0,5, of DCD=1 en SCD=0,75. Ook voor TCC=0,35 en TCC=0,5 geldt dat, nden DCD=1 en SCD=1, de cyclctet best zo ver mogeljk kan vermnderd worden. Dt levert mmers telkens een verbeterng n de oplossngswaarde op zonder sgnfcante verhogng n de tjd nodg om deze oplossng te vnden. Over het algemeen kunnen we dus stellen dat cyclctet het best toepasbaar s wanneer er een groot aantal werknemers ngezet kunnen worden n vergeljkng met de personeelsveresten. Bovenden bljkt dat het mnder nteressant s om de graad van cyclctet te laten vermnderen voor DCD=0,

74 DCD=0,25 en DCD=0,5. Herop s telkens wel een utzonderng, nameljk wanneer SCD geljk wordt aan 1. In dat geval s het nuttg om rekenng te houden met de voordelen van een vermnderng n de graad van cyclctet. Deze utzonderng wordt belangrjker naarmate de waarde van DCD ook toeneemt. Verder werd aangetoond dat vanaf DCD=0,75 de combnate correlate en tjd gunstg genoeg s om een mnder cyclsch schema te overwegen. Er kan echter geen eenzjdg beslut genomen worden over welke graad van cyclctet het beste toepasbaar s n zulke gevallen Relaxate andere beperkngen Bj al de vorge resultaten werd nog net vermeld dat de beperkng op het teveel en tekort aan werknemers weggelaten werd. Deze beperkngen zouden er mmers voor zorgen dat voor de meest acyclsch en cyclsche personeelsveresten geen passend schema zou kunnen gevonden worden. Dt komt doordat de personeelsveresten, n het zeer acyclsche geval, zeer sterk geconcentreerd zjn op bepaalde shfts en dagen. Het s met andere woorden, gegeven de andere beperkngen, onmogeljk om al de werknemers n te plannen zonder een overtredng te krjgen op bjvoorbeeld het teveel aan werknemers. Dt komt doordat het met deze beperkng net mogeljk zou zjn om elke werknemer zjn of haar contractueel bepaald aantal uren te laten werken. Om de resultaten vergeljkbaar te houden, s er daarom voor gekozen om deze beperkng voor zowel de meest cyclsche als de meest acyclsche personeelsveresten weg te laten. Merk ook op dat n deel 4 bleek dat het toevoegen van de beperkng op het teveel en te weng aan werknemers, de oplossng net gevonden kon worden bnnen een aanvaardbare tjdslmet. In dt deel zal gekeken worden op welke maner deze beperkngen toch ngevoerd kunnen worden, waardoor het aantal net producteve shfttoewjzngen (Maenhout en Vanhoucke 2011) vermnderd zou moeten worden. Al deze tests zullen utgevoerd op de nstante waarbj TCC=0,5 DCD=1 SCD=1. De resultaten de bekomen worden, zullen vergeleken worden met de resultaten ut tabel 26. Het s zeer waarschjnljk dat andere beperkngen zullen verwjderd moeten worden om een mogeljkhed te vnden waarbj zowel de beperkng op het teveel en tekort aan werknemers kan toegevoegd worden. Een voorbeeld van zo n beperkng, zoals herboven al aangehaald, s het contractueel aantal uren de een werknemer moet werken. Een ander voorbeeld s de beperkng op het aantal shfts de een werknemer moet werken gedurende de plannngsperode. Door deze beperkngen weg te laten moet het mogeljk worden om ervoor te zorgen dat het teveel en tekort aan werknemers beperkt bljft. Na het toevoegen van de beperkngen op het teveel en te weng aan werknemers, en het verwjderen van de beperkng op het werken van het contractueel bepaald aantal uren bljkt dat het 63

75 algortme net tot een oplossng kan komen. Het model s met andere woorden net haalbaar zolang het teveel en tekort op 25% van de personeelsvereste bljft staan. In een volgende stap s er geprobeerd om zowel de beperkng op het teveel/tekort aan werknemers weg te laten als de beperkng op het aantal uren. De gevonden oplossng staat n tabel 46 onder puntje 1. Dt komt overeen met n totaal 313 onproducteve werktoewjzngen, wat betekent dat er n totaal, verspred over de hele plannngsperode, 313 werknemers teveel zullen worden toegekend. De bedoelng s nu om te kjken hoe dt verder kan afnemen. Herna werd het teveel aan werknemers beperkt tot 25% van de personeelsvereste. Bovenden werd de beperkng, de stelt dat een werknemer een bepaald aantal van elke shft moet werken, verwjderd. Dt zorgde echter voor een oplossng waarbj bjna geen enkele werknemer effectef moest werken. Met dt n het achterhoofd, s de beperkng op het aantal shfts terug toegevoegd. Er werden nog meerdere combnates, van verschllende beperkngen op het teveel en tekort aan werknemers, utgeprobeerd maar allen leden tot de volgende concluse: het s, bj deze zeer acyclsche personeelsveresten, net mogeljk om een werkbare oplossng te vnden met een beperkng op het teveel en tekort aan werknemers. In deel 4.6 bleek dat toevoegng van de beperkngen op weekendwerk (denteke weekends en maxmaal aantal toegelaten weekends), een grote stjgng n de waarde van de doelfuncte veroorzaakten. Hermee rekenng houdend werden, n vergeljkng met puntje 1, deze twee beperkngen ook weggelaten. Dt zorgt voor een klene dalng n zowel de waarde van de oplossng en de onproductvtet (ze punt 2 n tabel 46). Het s ook nteressant om eens veranderngen aan te brengen n het maxmaal aantal toegelaten fouten en shftwsselngen. In puntje dre werden deze respecteveljk op 10 en 5 gezet. Dt resulteert opneuw n een verbeterng van de doelfuncte. Er s echter wel een relatef grote toename n de onproductvtet. In punt 4 werd het probleem ook eens opgelost zonder dat fouten toegelaten werden. Hoewel er een dalng s n de onproductvtet s er toch een toename n de doelfuncte. Dt s te wjten aan het fet dat het tekort aan werknemers s toegenomen. Hermee rekenng houdend, zullen de maxma op het aantal fouten en het aantal shftwsselngen terug op respecteveljk 20 en 10 gezet worden. Het bljkt dus dat naarmate het aantal preferente-overtredngen wordt verhoogd, de combnate onproductvtet-tekort daalt. Ook bestaat de vraag of het vermnderen van de cyclctet een verdere nvloed heeft op het aantal onproducteve toewjzngen van shfts. Punt 5 toont dan ook de oplossng voor een volledg acyclsch schema. Dt s een zeer gunstg resultaat. De laatste beperkng de (opneuw) verwjderd wordt, s deze de bepaalt dat werknemers een vastgelegd aantal shfts van een bepaald type moeten werken. Het resultaat hervan staat n punt 6. 64

76 Herbj s de onproductvtet zelfs gedaald tot 2. Dt s een enorme verbeterng ten opzchte van de orgnele oplossng. Als laatste stap s dan ook hetzelfde model als n stap 6 nog eens utgevoerd maar dan voor een 100% cyclsch schema (punt 7). Orgnele oplossng LP soluton IP_soluton Iterates kolommen nodes seconden 31,47 32,22 31,45 35,36 22,75 26,45 24,68 26,46 onproductvtet Tabel 46: vergeljkng relaxate De resultaten tonen dus aan dat door verwjderng van bepaalde beperkngen grote verbeterngen kunnen bekomen worden. Het moet wel gezegd worden dat het verwjderen van deze beperkngen net altjd even realstsch s. Het s mmers zo dat zonder bepaalde beperkngen, zoals op het contractueel bepaald aantal uren, de werknemers veel te weng zullen werken. Daarom ljkt het nteressant om, wanneer de cyclctet vermnderd wordt, de net-cyclsche werknemers te behandelen als werknemers de enkel nsprngen wanneer het nodg bljkt te zjn. Dt betekent dat er voor hen geen beperkngen zjn op het aantal uren de ze werken, op weekendwerk en op het aantal keer dat een bepaalde shft gewerkt moet worden. De cyclsche werknemers bljven wel nog altjd onderworpen aan de deze beperkngen. Om hervan het voordeel aan te tonen, zal deze logca eens utgevoerd worden voor een 80% cyclsch schema. Deze utkomst wordt n tabel 47 vergeleken met de orgnele oplossng. De tabel toont dat er reeds een grote afname s n de onproductvtet bj een klene vermnderng van de cyclctet. 80% orgneel 80% aangepast LP soluton , ,00 IP_soluton Iterates kolommen nodes 1 1 seconden 37,35 32,24 onproductvtet Tabel 47: vergeljkng 80% cyclctet 65

77 7. Concluse In deze masterproef s er een onderzoek gevoerd naar de toepasbaarhed van een cyclsch personeelsplan onder verschllende omstandgheden. Eerst en vooral moest daarvoor een model opgesteld worden dat, gegeven het onderzoeksopzet, relevant genoeg was. Het model dat utendeljk gebrukt werd, s gebaseerd op een bestaand model. Dt model werd gekozen omdat het een combnate van veel voorkomende doelstellngen en beperkngen n de lteratuur bevat. Voorts zjn n het bassmodel preferentes aanwezg, zodat het egenljk een combnate van een cyclsche component en preferentes bevat. Met dt n het achterhoofd werden aan het bassmodel nog een aantal extra preferentes toegevoegd. De verschllende omstandgheden, waaraan het resulterende model s onderworpen, werden gegenereerd met behulp van dre parameters, nameljk de Total-coverage constranedness (TCC), de day-coverage dstrbuton (DCD) en de shft-coverage dstrbuton (SCD). Deze parameters geven een utdrukkng van de verdelng van de totale personeelsveresten over de verschllende dagen en shfts. Bovenden zullen verschllende waarden voor TCC leden tot een verschl n het aantal werknemers. In totaal werden 75 probleemnstantes gegenereerd va dre verschllende waarden voor TCC en vjf verschllende waarden voor zowel DCD als SCD. Om al deze nstantes te kunnen oplossen s een branch and prce algortme, met behulp van Gurob, geprogrammeerd waarna ut de resultaten s gebleken dat een cyclsch schema het best toepasbaar s voor lage TCC-, DCD- en SCD-waarden. De reden hervoor s dat bj lage DCD en SCDwaarden de personeelsveresten, tussen de verschllende waarden voor TCC, net heel veel verschllen. Bovenden s er bj lagere TCC-waarden een groter aantal werknemers beschkbaar om dezelfde personeelsveresten n te vullen dan het geval s bj hogere TCC-waarden. Utzonderngen op de toepasbaarhed van een cyclsch schema zjn te vnden wanneer DCD groter en SCD geljk aan 1 wordt. Het bljkt dat voor de dre verschllende waarden van TCC vanaf DCD=0,75 een mnder cyclsch schema soweso nteressant s, ongeacht de bjhorende SCD-waarde. Het s echter net mogeljk gebleken om op bass van dt onderzoek een eendudge concluse te geven over de meest gepaste graad van cyclctet onder deze verschllende acyclsche omstandgheden. Om af te sluten werd nog een kort onderzoek gevoerd naar mogeljkheden om de totale onproductvtet te laten dalen. Herut bleek dat het net mogeljk s om dt te bereken door een beperkng te stellen op het teveel of het tekort aan werknemers. Dt kan wel berekt worden door de beperkngen op weekendwerk en de beperkngen op het totaal aantal shfts, de een werknemer moet werken, weg te laten. Zonder deze twee beperkngen werd een afname n de totale onproductvtet waargenomen. 66

78 Alhoewel geprobeerd s om dt onderzoek zo algemeen mogeljk te maken, s het mogeljk dat deze concluses net n alle stuates geldg zjn (bjvoorbeeld andere waarden voor de totale personeelsveresten). Bovenden s er geen eenzjdg beslut over de graad van cyclctet, de het best past, bj de meer acyclsche personeelsveresten. Een mogeljkhed voor toekomstg onderzoek lgt n het bevestgen van deze bassconcluses, bj andere waarden voor de verschllende parameters en de totale personeelsveresten, en het verder utwerken van de toepasbaarhed van de verschllende graden van cyclctet. 67

79 8. Referentes Ackeln, U. & Whte, P (2004). Buldng better nurse schedulng algorthms. Annals of operatons research 128, Alfares, H. K. (2004). Survey, categorzaton, and comparson of recent tour schedulng lterature. Annals of operatons research 127, Bard, J. F. & Purnomo, H. W. (2005a). A column generaton-based approach to solve the preference schedulng problem for nurses wth downgradng. Soco-Economc Plannng Scences, Vol. 39, Issue 3, Bard, J. F. & Purnomo, H. W. (2005b). Preference schedulng for nurses usng column generaton. European Journal of Operatonal Research 164, Bard, J. F. & Purnomo, H. W. (2006). Cyclc Preference Schedulng for Nurses usng Branch and Prce. Wley InterScence Vol. 54, No. 2, Bard, J. F. & Purnomo, H. W. (2007). Cyclc preference schedulng of nurses usng a Lagrangan-based heurstc. J Sched 10, Bllonnet, A. (1999). Integer programmng to schedule a herarchcal workforce wth varable demands. European journal of operatonal research, Vol. 114, Issue 1, Brusco, J. M. & Jacobs, L. W. (1993). A smulated annealng approach to the soluton of flexble labour schedulng problems. The Journal of the Operatonal Research Socety, Vol. 44, No. 12, Brusco, J. M. & Johns, T. R. (1996). A sequental nteger programmng method for dscontnuous labor tour schedulng. European Journal of Operatonal Research, Vol. 95, Issue 3, Burke, E. K., De Causmaecker, P., Vanden Berghe, G. & Van Landeghem, H. (2004). The state of the art of nurse rosterng. Journal of schedulng 7, Cheang, B., L, H., Lm, A. & Rodrgues, B. (2003). Nurse rosterng problems-a bblographc survey. European Journal of Operatonal Research, Vol. 151, Dowsland, K. A. & Thompson, J. M. (2000). Solvng a nurse schedulng problem wth knapsacks, networks and tabu search. Journal of operatonal research socety 51, I

80 Ernst, A. T., Jang, H., Krshnamoorthy, M. & Ser, D. (2004). Staff schedulng and rosterng: A revew of applcatons, methods and models. European Journal of Operatonal Research 153, Fsher, L. M. (1981). The lagrangan relaxaton method for solvng nteger programmng problems. Management Scence, Vol. 27, No.1, Gärtner, J., Muslu, N. & Slany, W. (2001). Rota: a research project on algorthms for workforce schedulng and shft desgn optmzaton. Journal AI Communcatons, Vol. 14, Issue 2, Hoffman, K. L. & Padberg, M. (1993). Solvng arlne crew schedulng problems by branch and cut. Management Scence, Vol. 39, No. 6, Housos, E. & Valouxs, C. (2000). Hybrd optmzaton technques for the workshft and rest assgnment of nursng personnel. Artfcal Intellgence n Medcne, Vol. 20, Issue 2, Hung, R. (1999). A multple shft workforce schedulng model under annualzed hours. Naval Research Logstcs, Vol. 46, Issue 6, Levne, D. (1996). Applcaton of a hybrd genetc algorthm to arlne crew schedulng. Computers Ops Res., Vol. 23, No. 6, Maenhout, B. & Vanhoucke, M. (2007). An electromagnetc meta-heurstc for the nurse schedulng problem. Journal of heurstcs 13, Maenhout, B. & Vanhoucke, M. (2010a). Days on and days off schedulng of plots under a varable workload. Arlne ndustry: strateges, operatons and safety, Chapter 9, Maenhout, B. & Vanhoucke, M. (2010b). Branchng strateges n a branch-and-prce approach for a multple objectve nurse schedulng problem. J Sched 13, Maenhout, B. & Vanhoucke, M. (2011). Days on and days off plot schedulng. Arlne ndustry: strateges, operatons and safety. Chapter 9, Mllar, H. H. & Kragu, M. (1998). Cyclc and non-cyclc schedulng of 12h shft nurses by network programmng. European Journal of Operatonal Research, Vol. 104, Issue 3, Mller, H. E., Perskalla, W. P. & Rath, G. J. (1976). Nurse schedulng usng mathematcal programmng. Operatons Research, Vol. 24, Issue 5, Muslu, N. (2006). Heurstc methods for automatc rotatng workforce schedulng. Internatonal Journal of Computatonal Intellgence Research, Vol. 2, No. 4, II

81 Muslu, N., Schaerf, A. & Slany, W. (2004). Local search for shft desgn. European Journal of Operatonal Research, Vol. 153, Issue 1, Osborne, J. W. & Overbay, A. (2004). The power of outlers (and why researchers should always check for them). Practcal assessment, research and evaluaton. Vanhoucke, M. & Maenhout, B. (2009). On the characterzaton and generaton of nurse schedulng problem nstances. European Journal of Operatonal Research, Vol. 196, Issue 2, Warner, D. M. (1976). Schedulng nursng personnel accordng to nursng preferences: a mathematcal programmng approach. Operatons Research, Vol. 24, No.5, III

82 Appendx A Het gemddeld aantal werknemers verest per shft op dag j: Het gemddeld aantal werknemers verest per dag: De formule voor TCC: De formule voor DCD: met De formule voor SCD: met IV

83 Appendx B De personeelsveresten voor TCC=0 DCD=0 SCD=0: Ervarngsnveau 1 Ervarngsnveau De personeelsveresten voor TCC=0 DCD=0 SCD=0,25: Ervarngsnveau 1 Ervarngsnveau V

84 shft 1 shft 3 shft 2 shft 1 shft 3 shft 2 shft 1 shft 3 shft 2 shft 1 shft 3 shft 2 shft 1 shft 3 shft 2 shft 1 shft 3 3,5 3 2,5 2 1,5 1 Ervarngsnveau 1 Ervarngsnveau 2 0,5 0 VI

85 Appendx C IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 VII

86 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, Aantal Nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 VIII

87 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, Aantal Nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 IX

88 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, Aantal Nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 X

89 Appendx D IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 XI

90 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, Aantal nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 XII

91 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, Aantal nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 XIII

92 IP oplossng TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 Aantal nodes TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0,5 XIV

93 Appendx E DCD=0,75-SCD=1 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, , , , , DCD=0,5-SCD=0 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, , , , , DCD=1-SCD=0,5 TCC=0,2 TCC=0,35 TCC=0, , , , , XV

94