1 Gedeelde differenties

Transcriptie

1 Inhoudsopgave Gedeelde dfferentes Verband met de nterpolerende veelterm 2 Een explcete formule 2 3 Verband met afgeleden 3 4 Verband met de nterpolerende veelterm van Newton 4 5 Productformule (formule van Lebnz) 4 2 B-splnes 5 2 Recurseformule 7 22 Normalsate van B-splnes 8 Gedeelde dfferentes Verband met de nterpolerende veelterm In deze secte wordt bewezen dat f[x 0,, x n ] gelj s aan de hoogstegraadscoëffcënt van de nterpolerende veelterm van graad n door de punten x 0,, x n Stellng Voor vaste punten x 0,, x s de functe : R R R : f f[x 0,, x ] een lneare afbeeldng Stellng 2 Zj r Dan s x r [x 0,, x ] e 0 e r 0 xe xe () We sommeren voor alle dudeljhed over {(e 0,, e ) N e 0 e r } Voorbeeld 3 x 5 [x 0, x ] x 4 0 x3 0 x x 2 0 x2 x 0x 3 x4 2 x 3 [x 0, x, x 2 ] x 0 x x 2 Bewjs Het bewjs gaat per nducte op 0 x r [x 0 ] x r 0 e 0 r 0 0 (2) 2 > 0 x r [x 0,, x ] xr [x 0,, x ] x r [x,, x ] (3) x 0 x 0 x 0 x xe x e xe x 0 x e 0 e r e e λr e e r (4) x e xe 2 2 xe (xλ 0 x λ ), (5)

2 Waarbj we (5) beomen ut (4) door n de eerste som e 0 en n de tweede e door λ te vervangen en vervolgens dstrbutvtet toe te passen We unnen nu de factor x 0 x n de som bnnenbrengen en samennemen met x λ 0 xλ : x λ 0 xλ λ x x 0 x 0x λ 0 e 0 e λ 0 xe, (6) zodat x r [x 0,, x ] e e λr e 0 e r x e xe 2 2 xe 0 xe xe 0 xe e 0 e λ (7) Gevolg 4 x r [x 0,, x r ] en voor s > r s x r [x 0,, x s ] 0 2 Zj f een veelterm van graad n Dan s f[x 0,, x n ] gelj aan de hoogstegraadscoëffcënt van f Bewjs Ut lemma 2 volgt: x r [x 0,, x r ] e 0 e r0 0 xe xer r x 0 0x 0 x 0 r (8) Omdat de r-de orde gedeelde dfferente constant s, zullen alle hogere orde dfferentes dan gelj zjn aan 0 2 Zj f n 0 a x Dan s f[x 0,, x r ] n a x [x 0,, x r ] (9) 0 Wegens puntje weten we dat voor < r : x [x 0,, x r ] 0, en x r [x 0,, x r ], zodat f[x 0,, x r ] a r Stellng 5 Zj f : R R een functe en y n de nterpolerende veelterm van graad n door de punten x 0, x, x n Dan s f[x 0,, x n ] gelj aan de hoogstegraadscoëffcënt van y n Bewjs Omdat f en y n dezelfde functewaarden hebben n x 0, x,, x n, zjn hun dfferentes gelj Gevolg 6 Een gedeelde dfferente s onafhanelj van de volgorde van de argumenten 2 Een explcete formule Stellng 7 f[x 0,, x n ] waarbj π(x) n 0 (x x ), en dus π (x j ) n 0; j (x j x ) 2 n j0 f(x j ) π (x j ), (0)

3 Bewjs Noteer l (x) n j0,j x x j x x j, () de -de bassveelterm van Lagrange De hoogstegraadscoëffcënt van l s gelj aan n j0,j x x j π (x ) (2) De nterpolerende veelterm y n van f s te schrjven als y n n j0 f(x j) l j, en de hoogstegraadscoëffcënt van y n zal dan gelj zjn aan n j0 Wegens stellng 5 s dan oo f[x 0,, x n ] heraan gelj 3 Verband met afgeleden f(x j ) π (x j ) (3) Stellng 8 Zj f : R R n eer afledbaar en stel x 0 < x < < x n Dan s er een ξ [x 0, x n ] zodat f[x 0,, x n ] f (n) (ξ) n! Bewjs Zj y n de nterpolerende veelterm door x 0, x,, x n Defneer g f y n Dan s g(x ) 0 voor ele Herhaaldelj de mddelwaardestellng van Rolle toepassen levert ons nulpunten x () 0,, x() n van g, waarbj x () [x, x ] x (2) 0,, x(2) n 2 van g, waarbj x (2) [x (), x () ] x (n ) 0, x (n ) van g (n ), waarbj x (n ) [x (n ), x (n ) ] ξ : x (n) 0 van g (n), dus ξ [x (n ) 0, x (n ) ] [x 0, x n ] Nu s f (n) (ξ) y n (n) (ξ) n!f[x 0,, x n ], omdat f[x 0,, x n ] de hoogstegraadscoëffcënt s van y n Dus s f[x 0,, x n ] f (n) (ξ) n! Gevolg 9 Zj f een C n -functe Dan s lm f[x 0,, x n ] f (n) (x) (4) x 0,,x n x n! 3

4 4 Verband met de nterpolerende veelterm van Newton Stellng 0 Noteer ϕ j0 (x x j) Zj f : R R een functe en y n n 0 b ϕ de nterpolerende veelterm van graad n Dan s b f[x 0,, x ] Bewjs Zj y de nterpolerende veelterm van graad door x 0,, x, dan s y 0 b ϕ Inderdaad, voor j s b ϕ (x j ) y n (x j ) 0 n b ϕ (x j ) y n (x j ) f(x j ) (5) Dus s f[x 0,, x ] gelj aan de hoogstegraadscoëffcënt van y, en dt s preces b 5 Productformule (formule van Lebnz) Stellng Zj f g h Dan s f[x 0,, x n ] n j0 g[x 0,, x j ] h[x j,, x n ] Bewjs Noteer - ϕ 0j (x) j 0 (x x ), de j-de bassveelterm van Newton, en - ϕ nj (x) n j (x x ), de (n j)-de bassveelterm n achterut Volgens stellng 0 unnen we dan de nterpolerende veelterm y g van g door de punten x 0,, x n schrjven als n y g (x) g[x 0,, x j ] ϕ 0j (x), (6) j0 en als we de punten x 0,, x n n omgeeerde volgorde nemen, unnen we analoog de nterpolerende veelterm y h van h schrjven als y h (x) n h[x j,, x n ] ϕ nj (x) (7) j0 Defneer nu p y g y h Dan zal voor el nterpolatepunt x zeer p(x ) g(x ) h(x ) f(x ) Wer p een len beetje ut: ( n n ) p(x) y g (x) y h (x) g[x 0,, x j ] ϕ 0j (x) h[x,, x n ] ϕ n (x) (8) j0 n j0 0 0 n g[x 0,, x j ] h[x,, x n ] ϕ 0j (x) ϕ n (x) (9) We bejen nu de veeltermen ϕ 0j ϕ n van naderbj Mer ten eerste op dat ϕ 0j graad j heeft en ϕ n graad n Dus ϕ 0j ϕ n heeft graad n (j ) Ten tweede s dudelj dat voor < j : ϕ 0j (x ) 0 en voor > : ϕ n (x ) 0 Wanneer < j zal ofwel < j ofwel >, dus zal (ϕ 0j ϕ n )(x ) 0 voor el nterpolatepunt x Mer op dat < j asa deg(ϕ 0j ϕ n ) > n 4

5 Defneer nu q(x) n j0 0 j g[x 0,, x j ] h[x,, x n ] ϕ 0j (x) ϕ n (x) (20) Met andere woorden, q s p, maar dan zonder de termen met graad groter dan n Dus zal nog steeds q(x ) p(x ) f(x ) voor el nterpolatepunt x Bovenden s deg(q) n, waarut volgt dat q de nterpolerende veelterm van f door x 0,, x n s Wegens stellng 5 s f[x 0,, x n ] dan gelj aan de hoogstegraadscoëffcënt van q De vnden we door de coëffcënten bj de veeltermen ϕ 0j ϕ n van graad n te sommeren Nu s deg(ϕ 0j ϕ n ) n asa j We besluten dat f[x 0,, x n ] n j0 g[x 0,, x j ] h[x j,, x n ] 2 B-splnes We zoeen een splne-functe de op zo veel mogelj ntervallen (maar net overal) dente 0 s Noem de nooppunten van de verzamelng splne-functes waarn we weren, t Om ons net dru te moeten maen over de randverschjnselen, weren we met (aftelbaar) onendg veel nooppunten, genummerd n stjgende ljn Stellng 2 Zj 0 en p Z Er bestaat, op een constante factor na, een unee splnefuncte s van graad zodat x < t p : s(x) 0, x t p : s(x) 0, s s net de nulfuncte Met name s s(x) (t x) [t p, t p,, t p ] t (de gedeelde dfferente naar de veranderlje t, geëvalueerd n x) Bewjs Zonder verles van algemeenhed stellen we p 0 Unctet Zj s zo n functe We weten dat {, x, x 2,, x } { (t x) Z } een bass vormt voor de splne-functes van graad We unnen s(x) dus schrjven als s(x) a (t x) b x (2) Z Omdat s een splne-functe s, s de beperng van s tot el nterval [t j, t j [ een veeltermfuncte Noteer de overeenomstge veelterm dan met s j R[x] Dan s (let op de eerste sommate) s j a (t x) b x, (22) en dus j 0 0 s j s j a j (t j x) (23) Ut de voorwaarden volgt dat voor j < 0 en voor j > : s j 0 Herut en ut (23) volgt dat voor j < 0 en voor j > : a j 0 Maar dan s s 2 a (t x) b x b x (24) 5 0 0

6 Omdat s 0, volgt dan dat alle b 0 We unnen s(x) dus schrjven als en voor j < 0 s s(x) a (t x), (25) 0 s j a (t x) (26) 0 Voor j < 0 moet s j 0, en dt s het geval asa alle coëffcënten bj verschllende machten van x gelj aan nul zjn De coëffcënt c r bj x r s gelj aan ( ) c r a ( ) r t r a t r (27) r Dt levert een ( ) ( 2)-stelsel van Vandermonde op: t 0 t t V (t 0,, t ) a t 0 t t 0 0 a 0 a a a 0 (28) We unnen dt stelsel utbreden tot een verantg stelsel van Vandermonde: a 0 0 t 0 t t a 0 V V (t 0,, t ) a t 0 t t (29) a 0 t 0 t t a λ En er geldt: a s een oplossng van (28) asa er een λ bestaat zodat a een oplossng s van (29) Voor een vaste λ s dt stelsel une oplosbaar Zj W V en w, de laatste olom van W, dan s het dudelj dat λw, een oplossng s van (29) Ut onderstaand lemma volgt dat w, π (t ) Dus zal a λ π (t ) en unnen we, gebrumaend van (25) en stellng 7, s(x) utendelj schrjven als s(x) 0 λ λ π (t ) (t x) (30) 0 (t x) π (t ) (3) λ (t x) [t 0, t,, t ] t (32) Exstente De gegeven functe voldoet aan de esen 6

7 Lemma 3 Zj t 0 t t n V V n (t 0,, t n ) R(n) (n) (33) t n 0 t n t n een Vandermonde-matrx en zj W V Nummer de elementen van de matrces te begnnen bj 0 en zj l de -de bassveelterm van Lagrange, dus l (x j ) δ j Dan s w j gelj aan de coëffcënt bj x j n l In het bjzonder s w n π (x ) Bewjs Noteer f (x) n 0 w x δ j I j (W V ) j n w v j 0 n w t j f (t j ) (34) Als f (t j ) δ j voor alle j, dan moet f l Hermee s het lemma bewezen Defnte 4 De p-de B-splne van graad wordt gedefneerd als 2 Recurseformule Stellng 5 M p, (x) 0 M p, (x) : (t x) [t p,, t p ] t (35) x t p M p, (x) t p2 x M p, (x) (36) t p2 t p t p2 t p Bewjs Zonder verles van algemeenhed veronderstellen we dat p 0 Noteer - π 0 (x) 0 (x t ), - π (x) 2 (x t ), - π(x) 2 0 (x t ) We gebruen stellng 7: x t 0 M 0, (x) x t 0 (t x) t 2 t 0 t 2 t 0 π 0 0 (t ) x t 0 t t 2 t 2 t 0 t 0 x (t x) π (t ) 2 0 x t 0 x t t2 t (t x) t 2 t 0 π (t ) (37) (38), (39) 7

8 waarbj we n de laatste sommate de term voor 2 mogen toevoegen omdat de toch gelj s aan 0 Analoog bereenen we: t 2 x M, (x) t 2 x 2 (t x) t 2 t 0 t 2 t 0 π (t ) t 2 x 2 t t 0 t 2 t 0 t x (t x) π (t ) Tellen we bede op, dan vnden we: 2 0 x t 2 x t (40) (4) t t 0 (t x) t 2 t 0 π (42) (t ) x t 0 M 0, (x) t 2 x M, (x) (43) t 2 t 0 t 2 t (x t 0 )(t 2 t ) (x t 2 )(t t 0 ) (x t )(t 2 t 0 ) (t x) π (t ) 22 Normalsate van B-splnes M 0, (x) (t x) π (t ) Defnte 6 De p-de genormalseerde B-splne van graad wordt gedefneerd als (44) N p, (x) : (t p t p )M p, (45) Stellng 7 Voor wlleeurge x en s N p, (x) (46) p Z Bewjs Zonder verles van algemeenhed veronderstellen we x [t, t [ Voor p en p s dan N p, (x) 0 N p, (x) p Z N p, (x) (47) p0 (t p t p ) (t x) [t p,, t p ] t (48) p0 p0 ((t x) [t p,, t p ] t (t x) [t p,, t p ] t ), (49) waarbj we n de laatste stap van de recurseve defnte van gedeelde dfferentes gebrumaaten Mer op dat het tweede deel van de term voor p wegvalt tegenover het eerste deel van de term voor p Bljft over: N p, (x) (t x) [t,, t 2 ] t (t x) [t 0,, t ] t (50) p Z 8

9 Omdat t 0,, t alle lener zjn dan x, s (t x) 0 voor 0,, Dus s (t x) [t 0,, t ] t 0[t 0,, t ] t 0 Omdat t,, t 2 alle groter zjn dan x, s (t x) (t x) voor,, 2 Dus s (t x) [t,, t 2 ] t (t x) [t,, t 2 ] t, want s de hoogstegraadscoëffcënt bj t n de veelterm (t x) We besluten dat N p, (x) 0 p Z 9