Methode met ladder operatoren deel 2

Transcriptie

1 Methode met ladder operatoren deel We zullen de ladder operatoren gebruken om egenschappen van de egenfunctes van de Hamlonaan te bepalen. Hermtsch geconjugeerde We defnëren de hermtsche geconjugeerde A van een operator A met de relate: φ (x) (Aϕ(x)) dx ( A φ(x) ) ϕ(x) dx. (1) Alle waarneembare grootheden worden gegeven door een hermtsche operator, waarvoor we later zullen bepalen dat de egenwaarden van een hermtsche operator reëel zjn. Als voorbeeld kunnen we kjken naar de plaats ˆx. Er volgt φ (x) (xϕ(x)) dx omdat de operator ˆx de golffuncte slechts met x vermengvuldgt. operator. Voor de mpuls ˆp ( h/) / hebben we φ (x) ( h ) ϕ(x) dx h h φ (x) ϕ(x) dx φ (x) ϕ(x) dx (xφ(x)) ϕ(x) dx, () De operator ˆx s een hermtsche ( h ) φ(x) ϕ(x) dx, (3) waarbj we halverwege gebruk gemaakt hebben van partële ntegrate. Daarmee s ook ˆp een hermtsche operator. Voor de ladder operator â + hebben we (â + ) mω ( ˆx ) ( mω mω ˆp ˆx + ) mω ˆp â, (4) en evenzo (â ) â +. De ladder-operatoren zjn daarmee elkaars hermtsch geconjugeerde. Omdat elke operator afzonderljk net geljk s aan zjn hermtsch geconjugeerde, zjn ze daarmee ook geen waarneembare grootheden. Voor de nummer operator ˆn volgt waarmee ˆn een hermtsche operator s. (ˆn) (â + â ) (â ) (â + ) â + â ˆn, (5) Normerng van de egenfunctes We weten dat de create (â + ) en annhlate (â ) operator de energe van de harmonsche oscllator respectveljk verhoogd of verlaagd met hω. Echter, de normerng van de toestanden s nog net bekend. Daarvoor stellen we â + ψ n c n ψ n+1 en â ψ n d n ψ n 1. (6)

2 Methode met ladder operatoren deel en we wllen nu de coeffcënten c n en d n bepalen. Omdat â de hermtsch geconjugeerde s van â +, kunnen we schrjven: ψ n (â + â ψ n ) dx (â ψ n ) (â ψ n ) dx. (7) Nu s â + â ψ n nψ n en gebruken we dan verg. (6) voor de rechterkant van de vergeljkng, dan volgt n Omdat de golffunctes ψ n genormalseerd zjn, volgt drect Op vergeljkbare maner kunnen we schrjven en dt ledt meteen tot ψnψ n dx d n ψn 1ψ n 1 dx. (8) ψ n (â â + ψ n ) dx d n n. (9) (â + ψ n ) (â + ψ n ) dx, (10) c n n + 1. (11) Ut de laatste vergeljkng bljkt meteen, dat we samen met verg. (1) van de notte Ladders voor alle genormalseerde golffunctes kunnen schrjven: ψ(n) 1 n! (â + ) n ψ 0. (1) Herbj s ψ 0 gegeven door verg. (0) van de notte Ladders. Orthogonaltet van de egenfunctes Omdat de nummer operator ˆn â + â een hermtsche operator s, geldt ψ m (â + â ψ n ) dx (â + â ψ m ) ψ n dx. (13) Door de nummer operator toe te passen op de golffunctes ψ n (lnks) en ψ m (rechts) krjgen we n ψ mψ n dx m ψ mψ n dx. (14) Als m n dan moet de ntegraal wel nul zjn, terwjl we voor m n weten ut de normerng dat de ntegraal dan 1 s. Oftewel, de ntegraal wordt hermee en dt s preces de orthonormaltet de we wllen van egenfunctes. ψ mψ n dx δ mn, (15) Quantum Mechanca 1 Departement Natuur- en Sterrenkunde Unverstet Utrecht

3 Methode met ladder operatoren deel 3 Vraal theorema voor de harmonsche oscllator Het vraal theorema stelt, dat er voor een gegeven potentaal een bepaalde relate s tussen de knetsche en potentële energe. Om deze relate te vnden voor de harmonsche oscllator bepalen we de verwachtngswaarde van de potentële V en knetsche energe T. We gaan dt nu bepalen met de ladder operatoren voor een egenfuncte ψ n. Voor de potentële energe hebben we V 1 / mω x en met x h/mω(â + + â ) volgt dan ˆx h (â mω + + â + â + â â + + â ). (16) Voor de eerste term aan de rechterkant kunnen we geljk nzen, dat de verwachtngswaarde net bjdraagt. Immers â + (â ) ψ n dx n + 1 n + ψnψ n+ dx 0, (17) ψ n vanwege de orthogonaltet van de golffunctes. Hetzelfde geldt voor de laatste term aan de rechterkant. Voor de tweede term aan de rechterkant volgt â + â ψ n (â + â ψ n ) dx n Evenzo s dan â â + n + 1 (probeer het zelf!). Daarut volgt ψ n (â + ψ n 1 ) dx n ψ nψ n dx n. (18) x h mω (n + 1 / ) en V 1 / mω h mω (n + 1 / ) 1 / (n + 1 / ) hω. (19) Hermee hebben we potentële energe bepaald. Merk op, dat de ladder operatoren voorkomen, dat we zeer ngewkkelde ntegralen moeten oplossen. In plaats hervan kunnen we optmaal gebruk maken van de orthogonaltet van de golffunctes. Voor de knetsche energe kunnen we enerzjds gebruk maken van de totale energe (E T + V ), maar ook dezelfde truc uthalen als herboven. Immers, T ˆp /m en ˆp hmω/(â + â ). Dan s Herut volgt: ˆp hmω hmω (â + â + â â â + + â ) (0 n (n + 1) + 0) (n + 1 / ) hmω. (0) T 1 / (n + 1 / ) hω, E T + V (n + 1 / ) hω en T V. (1) De laatste relate voldoet aan het vraal theorema, dat stelt dat voor een potentaal V x α, dat T αv. Hesenberg onzekerhedsrelate Ook voor het bepalen van de Hesenberg onzekerhedsrelate kunnen we gebruk maken van de ladder operatoren. We kunnen zelfs gebruk maken van bovenstaande relates voor x en p, omdat voor een egentoestand ψ n zowel x 0 en p 0 geldt. Dan volgt σ x x, σ p p, en σ x σ p (n + 1 / ) h. () Quantum Mechanca 1 Departement Natuur- en Sterrenkunde Unverstet Utrecht

4 Methode met ladder operatoren deel 4 De ladder operatoren maken het ons gemakkeljk deze relate af te leden. Tjdsevolute Tot slot gaan we kjken naar de tjdsevolute van de gehele golffuncte. Immers, de egenfunctes zjn statonar en vertonen n het geheel geen tjdsevolute. In het algemeen kunnen we schrjven voor de tjdsevolute van een verwachtngswaarde van een operator A: A m,n0 m,n0 Ψ (x, t)aψ(x, t) dx c mc n e (m n)ωt ψm(x)aψ n (x) dx c mc n e (m n)ωt A mn. (3) Her hebben we gebruk gemaakt van E n (n + 1 / ) hω en defneert de laatste vergeljkng de elementen A mn. Het s opvallend, dat de volledge tjdsevolute n de exponentële term zt, terwjl de elementen A mn onafhankeljk zjn van t. Als we deze elementen berekent hebben, kennen we de tjdsevolute. We gebruken wederom ladder operatoren om verwachtngswaarden ut te rekenen. Begnnen we bj ˆx, dan volgt ut x h/mω(â + + â ): h ( xψ n n + 1ψn+1 + ) nψ n 1, (4) mω en daarmee x mn Dat levert voor de verwachtngswaarde van x: h ( ψmxψ n dx n + 1δm n+1 + ) nδ m n 1. (5) mω h ( x c mc n e (m n)ωt n + 1δm n+1 + ) nδ m n 1 mω m,n0 h ( c mω n+1 c n e +ωt n c n 1c n e ωt n ) n0 c n+1 c n n + 1 cos(ωt + θ n ). (6) mω n0 Hern s θ n het verschl tussen de fase van c n en c n+1. Voor de tweede regel hebben we de delta-functes gebrukt om van de dubbele som over m en n een enkele som over n te maken. Voor de derde regel hebben we twee termen samen genomen. Net als voor de poste van een klasseke oscllator, osclleert de verwachtngswaarde van x met een frequente ω. Ook een vergeljkbare wjze kunnen we schrjven voor p : p mω c n+1 c n n + 1 sn(ωt + θ n ). (7) n0 Quantum Mechanca 1 Departement Natuur- en Sterrenkunde Unverstet Utrecht

5 Methode met ladder operatoren deel 5 Daarmee zjn de verwachtngswaarde van p en x preces π/ ut fase, zoals ook x en p voor een klasseke harmonsche oscllator ut fase zjn. Verder kunnen voor de evolute van p afleden: d p dt ω mω c n+1 c n n + 1 cos(ωt + θ n ) mω x. (8) n0 Dt s de quantum-mechansche equvalent van F dp/dt dv/dx mω x. De verwachtngswaarde van x en p gedragen zch preces zoals je klassek zou verwachten. Quantum Mechanca 1 Departement Natuur- en Sterrenkunde Unverstet Utrecht