Commutatie-relaties voor impulsmoment

Transcriptie

1 Commutatie-relaties voor impulsmoment Inleiding De operatoren voor impulsmoment in de quantum-mechanica zijn gedefiniëerd door de volgende commutatierelaties: i, j = i hε ijk k, 1) met ε ijk het evi-civita symbool. Uit deze vergelijking kunnen we andere commutatie-relaties afleiden, die gegeven zijn in de volgende vergelijkingen., = 0 a) z, ± = ± h ± b), ± = 0 c), = h z d) We willen nu deze vergelijkingen één voor één afleiden. Voor verg. a) definiëren we het impulsmoment = x, y, z ) en daarmee = x y z. Daarmee hebben we, x = x, x y, x z, x = y y, x y, x y z z, x z, x z = y i h z ) i h z ) y z i h y ) i h y ) z = 0. 3) Hiermee hebben we verg. a) bepaalt. Voor verg. b) definiëren we de ladder-operatoren ± als Dan hebben we z, ± = z, x ± i z, y ± x ± i y. 4) = i h y ± i i h x ) = ± h x ± i y ) = ± h ±. 5) Verder zien we meteen dat verg. c) geldt, omdat met zowel x en y commuteert. Voor verg. d) volgt Hiermee hebben de relaties afgeleid., = x i y, x i y = i y, x i x, y = h z. 6) Gemeenschappelijke eigenfuncties We willen laten zien, dat als ψ een eigenfunctie is van en z, dat de golffunctie Λ ± ψ ook een eigenfunctie is. We schrijven hiervoor: ψ = λψ en z ψ = µψ. 7) We willen niet alleen bewijzen dat ± ψ een eigenfunctie van en z is, maar ook de waarde van λ en µ bepalen.

2 Commutatie-relaties voor impulsmoment Voor is dat makkelijk door gebruik te maken van verg. c): ± ψ) = ± ψ ) = ± λψ) = λ ± ψ), 8) waarmee niet alleen bewezen is dat ± ψ een eigenfunctie is van, maar ook dat de eigenwaarde λ is, evenals de eigenwaarde van ψ. Voor ± gebruiken we verg. b). We schrijven dan z ± ψ) = z ± ± z ) ψ ± z ψ) = ± h ± ψ ± µψ) = µ ± h) ± ψ, 9) waaruit blijkt dat ± ψ niet alleen een eigenfunctie is van z, maar dat de eigenwaarde ten opzichte van de eigenwaarde van ψ verandert met ± h. Dat definiëert voor één waarde van λ een ladder, waarbij de werking van ± de eigenwaarde van z verandert met ± h. ψ t 4 ψ 3 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ b m t h μ 4 h μ 3 h μ h μ h μ μ h μ h m b h De ladder voor de impuls-operator voor één waarde van λ. Door toepassen van = x i y op de eigenfunctie ψ krijgen we wederom een eigenfunctie van z, waarbij de eigenwaarde met h is veranderd. Toepassen van = x i y verandert de eigenwaarde met h. Omdat de lengte van de vector beperkt is, kan de absolute waarde van de z-component niet groter zijn dan de lengte van. Daarom is de ladder naar onder en naar boven begrenst door de waarden m b h en m t h. Eigenwaarden Voor de verwachtingswaarde van het kwadraat van het impulsmoment hebben we = x y z. 10) Merk op, dat de verwachtingswaarde van het kwadraat van een operator de norm is van de golffunctie Qψ: Q = ψ Q ψ = Qψ Qψ = Qψ, 11) en daarmee dat alle termen in verg. 10) positief zijn. Voor één eigenwaarde λ van moet daarmee de absolute waarde van de eigenwaarde van z begrensd zijn, namelijk µ λ. We noemen de minimale waarde van µ daarom m b h en de maximale waarde m t h. Dan hebben we We willen nu m b en m t bepalen. We schrijven hiervoor = x y z m b h z m t h. 1) ) 1 4 ) z = 1 4 ) 1 4 ) z = 1 ) z = 1, ) z = h z z, 13)

3 Commutatie-relaties voor impulsmoment 3 waarbij we in de laatste stap verg. d) gebruikt hebben. Evenzo kunnen we schrijven = h z z 14) We passen deze relaties nu toe op ψ t en ψ b, dat wil zeggen de eigenfuncties behorende bij de eigenwaarden m t h en m b h van z. Voor ψ t volgt ψ t = h z z ) ψ t = 0 m t h m t h ) ψ t waarmee we bepaald hebben, dat λ = m t m t 1) h. Voor ψ b volgt = h m t m t 1)ψ t, 15) ψ b = h z z ) ψ b = 0 m b h m b h ) ψ b = h m b m b 1)ψ b, 16) en daarmee λ = m b m b 1) h. Stellen we beide waarden van λ aan elkaar gelijk, dan volgt m b = m t 1 of m b = m t. Het eerste geval kan niet kloppen, omdat we hebben m b < m t. Stellen we nu m t = m b = l, dan hebben we λ = ll 1) h. Verder is het aantal stappen N van m b tot m t gelijk aan l, waardoor l = N/. Hieruit volgt, dat l zowel heeltallig als halftallig kan zijn. De conclusie is daarmee, dat ψ = ll 1) h ψ, z ψ = m hψ en m = l, l 1,..., l 1, l, 17) waarbij l zowel heel- als halftallig kan zijn: l = 0, 1 /, 1, 3 /,, 5 / 3, 3,... 18) Vector-beeld voor We willen nu bepalen, hoe we de verwachtingswaarde van en zijn componenten moeten interpreteren. We weten voor de eigenfuncties, dat zowel en z welbepaald zijn; = ll 1) h z = m h 19) Verder kunnen we eenvoudig de verwachtingswaarde van x en y bepalen, namelijk x = 1 = 0, 0) omdat beide operatoren de eigenfunctie van z veranderen, die orthogonaal zijn. Ook voor y krijgen we dan y = 1 i = 0. 1) Daarmee resteert de verwachtingswaarde van het kwadraat van beide operatoren.

4 Commutatie-relaties voor impulsmoment 4 Eerst willen we laten zien, dat de verwachtingswaarde van het kwadraat van beide operatoren aan elkaar gelijk is. Namelijk x = ) en Daaruit volgt y = x. 3) = x y z = x z, 4) oftewel ll 1) h = x m h, 5) waaruit eenvoudig volgt x = y = h ll 1) m ). 6) Hiermee is het vector-beeld van compleet. De lengte van de vector is iets groter dan de maximale z- component. De z-component is gequantiseerd en kan alleen een heeltallig of halftallig keer h zijn. De verwachtwaarde van de x- en y-component is nul, maar de verwachtingswaarde van het kwadraat van de componenten is niet nul. Daarmee ligt de vector op een cirkel in een vlak parallel aan het xy-vlak, waarbij de straal van de cirkel afneemt naarmate de absolute waarde van de z-component toeneemt. adder-operatoren Tot slot willen we de coëfficiënten bepalen voor de ladder-operatoren. Schrijven we en gebruiken we = h z z dan volgt lm = A lm l m 1. 7) lm lm = lm lm hlm z lm lm z lm 8)

5 Commutatie-relaties voor impulsmoment 5 oftewel ll 1) h = A lm A lm l m 1 l m 1 m h m h, 9) waarbij we gebruik gemaakt hebben van het feit, dat de hermitische geconjugeerde van de operator is. Daarmee wordt lm = A lm ) l m 1 en kiezen we A lm reëel. Hieruit volgt Omdat we een vergelijkbare afleiding voor kunnen geven, volgt Hiermee hebben we alle benodigde relaties afgeleid. A lm) = h ll 1) mm 1)). 30) ± lm = h ll 1) mm ± 1) l m ± 1. 31)