Kleine Mechanica van de Schaatsslag

Transcriptie

1 Kleine Mechanica van de Schaatsslag Kees Doets Samenvatting Hoe komt het dat je met schaatsen vooruit gaat door zijwaarts af te zetten? Dat mysterie wordt hier opgehelderd. Ook wordt geclaimd dat de voortstuwing van de schaatsslag twee componenten heeft: die van de zijwaartse beweging en die van het terugsturen. Eenvoudige formules beschrijven de snelheidstoename door elk van de componenten. Inleiding De geaccepteerde beschrijving van de voortbeweging per schaats gedurende één schaatsslag op het rechte eind is de volgende (zie [1]). De schaatser glijdt op één schaats. Door zijwaarts afzetten veroorzaakt hij een zijwaartse beweging. De resulterende nieuwe beweging is de vectoriële samenstelling van zijn initiële beweging en deze zijwaartse beweging. Sectie 1 gaat in op deze beschrijving en leidt formule (4) af voor de snelheidstoename die hiervan het effect is. Vlak vóór en gedurende de afzet volgt de afzetschaats als gevolg van terugsturen ( insturen, naar binnen sturen ) een naar binnen gerichte cirkelboog waardoor een centrifugale kracht wordt opgewekt. De arbeid die verricht wordt om deze kracht te overwinnen als de schaatser zijwaarts beweegt heeft een tweede snelheidstoename tot gevolg, ditmaal in de richting waarin hij glijdt. Dit is het onderwerp van Sectie 2, en de hier afgeleide formule (5) berekent de snelheidstoename. De focus ligt op rechtuit schaatsen, maar het meeste is ook van toepassing op schaatsen van een bocht. Als in het volgende x een vector aanduidt, dan staat het pijltjesloze symbool x voor de grootte van die vector. In een notendop Uitgaande van de veronderstelling dat de afzet-arbeid van de schaatser volledig in bewegingsenergie wordt omgezet zijn formules (4) en (5) een-

2 voudig af te leiden. De bewegingsrichting blijft hierbij buiten beschouwing. De uitdrukking voor de bewegingsenergie van (bijvoorbeeld) een schaatser met massa m en snelheid v is 1 2 mv2. Differentiëren van deze uitdrukking naar v levert d( 1 2 mv2 ) = mv dv. Als de schaatser zijwaarts beweegt over een afstand d omdat hij zijwaarts afzet met een kracht F = m p ( p de bijbehorende versnelling) dan verricht hij een hoeveelheid arbeid ter grootte F d. Aangenomen dat die geheel ten goede komt aan de bewegingsenergie hebben we d( 1 2 mv2 ) = F d en dus mv dv = mp d, met als gevolg dat dv = p v d. Hiervan is formule (4) een goede benadering.. Op eenzelfde manier vinden we (5). Als de schaatser tijdens de afzet terugstuurt langs een cirkelboog met straal en zijwaarts beweegt over een afstand d dan zal hij daarbij de centrifugaalkracht groot mv2 moeten overwinnen en een hoeveelheid arbeid mv2 d leveren. In dit geval geldt dus d( 1 2 mv2 ) = mv dv = mv2 d ofwel dv = v d, en dit wordt benaderd door (5). De volgende secties geven uitvoeriger elementaire afleidingen zonder differentiëren, inclusief bewegingsrichting. 1 Zijwaarts bewegen Een schaatser met massa m glijdt op één schaats met een snelheid v. Op zeker moment (hij heeft gezorgd voor een schuine stand ten opzichte van het ijs) zet hij zich af met deze schaats. De reactiekracht F van het ijs kan geen component in de glijrichting v hebben omdat het contact tussen schaats en ijs in die richting zo goed als frictieloos is. Dus staat F, en daarmee de afzet, loodrecht op de glijrichting v. Door het afzetten ondervindt de schaatser een versnelling p waarvoor geldt F = m p. Na de afzet heeft dit geresulteerd in een zijwaartse beweging w, eveneens loodrecht op v. De vectoriële samenstelling van w en v vormt de uiteindelijke beweging u van de schaatser. Deze is groter dan v en zijn richting wijkt van v af met een hoek ter grootte arctan(w/v). (Dit is de gedeeltelijke reden dat de schaatser een zig-zag beweging volgt op het rechte eind.) We berekenen de snelheidstoename 1 = u v die het gevolg is van deze afzet. Omdat v en w loodrecht op elkaar staan geldt volgens Pythagoras u 2 = v 2 + w 2. (1)

3 N.B.: Vermenigvuldiging van deze formule met de factor 1 2 m levert 1 2 mu2 = 1 2 mv mw2, dat wil zeggen: de zijwaartse bewegingsenergie 1 2 mw2 komt volledig ten goede aan de uiteindelijke bewegingsenergie 1 2 mu2. We hebben nu w 2 = u 2 v 2 = (u + v) (u v) = (u + v) 1, en met een goede benadering vinden we: 1 = w2 u + v w2 2v. (2) De grootte van w wordt bepaald door de afzet. Onderstel dat de schaatser zich tijdens zijn afzet over een afstand zijdelings verplaatst. Dan is de hierbij door F verrichte arbeid groot F. Deze arbeid wordt omgezet in bewegingsenergie. Voor w betekent dit, dat 1 2 mw2 = F, oftewel Gecombineerd met (2) vinden we tenslotte: w 2 = 2p. (3) 1 p v. (4) 2 Terugsturen Vergelijking (4) laat zien dat de voortstuwing door de schaatsslag door zijwaarts bewegen vermindert bij toenemende snelheid. De meeste beschrijvingen van de schaatsslag laten het hierbij, maar de voortstuwing heeft nog een tweede component. Goede schaatsers benadrukken de noodzaak om druk op te bouwen vóór de afzet. De reden hiervan is duidelijk: hoe groter de kracht op de schaats, hoe groter de arbeid die wordt verricht bij de afzet en hoe groter de snelheidstoename. (Natuurlijk moet de schaatser wel het vermogen hebben om met die grotere kracht te kunnen afzetten.) Druk opbouwen gebeurt door terugsturen, dat is: het naar binnen sturen van de afzetschaats voorafgaand aan en tijdens de afzet. Hierdoor gaat de schaatser (massa m, snelheid v) een cirkelboog volgen met een denkbeeldig middelpunt C en een straal. Hij wordt daardoor onderworpen aan een centrifugale kracht van de grootte mv 2 en deze kracht vertegenwoordigt juist de gezochte druk. Als de schaatser zich vervolgens zijwaarts beweegt over een afstand in de richting van C,

4 dan zal hij hiervoor een hoeveelheid arbeid (mv 2 /) moeten verrichten die wordt omgezet in een snelheidstoename, hier aangegeven met 2. Om tegelijkertijd richting en grootte te bepalen van deze snelheidstoename is het het eenvoudigst om te kijken naar het impulsmoment dat de schaatser heeft ten opzichte van C. Aan het begin van de afzet bedraagt dit m v. Omdat de schaatser afzet in de richting van C kan dit moment niet van grootte veranderen. Na de afzet is de afstand tot C verkleind tot. Daarom ondervindt de schaatser een snelheidstoename 2 in de richting van v zelf. Zijn nieuwe moment wordt dan m (v + 2 ) ( ), en omdat de grootte onveranderd blijft geldt m (v + 2 ) ( ) = m v. Na herschrijven volgt hieruit dat, met een goede benadering: 2 = 3 Parameters, conclusie v v. (5) Met wordt de totale snelheidsvermeerdering aangegeven die het gevolg is van zowel zijwaarts bewegen als terugsturen. Er geldt dat : tijdens de afzet levert terugsturen de snelheidsvermeerdering 2 in de richting van v, en de snelheidsvermeerdering ten gevolge van de zijwaartse beweging vindt feitelijk plaats ten opzichte hiervan (is dus niet precies 1 ) en bovendien in een iets gewijzigde richting (optellen bij 2 is dus ook niet strict nauwkeurig). We hebben nu: p v + v ( p = v + v ). Afzetlengte. Dit is de horizontale zijdelingse verplaatsing van het lichaamszwaartepunt van de schaatser tijdens het afzetten. (De totale zijdelingse verplaatsing tijdens de afzetfase is veel groter.) Afzetten gebeurt door het afzetbeen te

5 strekken. Deze strekking levert niet meer op dan de lengte van het bovenbeen, ongeveer 0, 5 m. Projectie naar het vlak van het ijs introduceert een factor cos Φ, waarin Φ de hellingshoek is die de schaatser maakt met het ijs. In de schaatspraktijk kan de waarde van dus voor een individuele schaatser in een bepaalde situatie tamelijk nauwkeurig worden geschat. Afzetversnelling p. Dit is de gemiddelde versnelling (of kracht per kg lichaamsmassa) waarmee de schaatser afzet, alweer: in het horizontale vlak, en bovenop de tegendruk die hij moet bieden aan de centrifugale versnelling. Om hiervan betrouwbare waarden te krijgen is het nodig de schaatsen te voorzien van druksensoren. De centrifugale versnelling v 2 / kan voor een modale schaatser al makkelijk oplopen tot (v = 10m/s, = 30m) 3m/s 2 (en voor een wedstrijdschaatser het dubbele of meer) en dan hoeft er voor een surplus aan zijwaartse versnelling niet veel meer over te blijven. Dit kan verklaren dat een schaatsersafzet erg rustig lijkt te verlopen. Straal cirkelboog. Op deze parameter lijkt het moeilijk vat te krijgen. In de schaatspraktijk is hij moeilijk meetbaar, misschien alleen indirect via de centrifugale versnelling. Dankzij zijn ronding (gewoonlijk met een straal tussen 19 en 23 m), zal een hellende schaats een cirkelboog willen volgen. Voor de straal van deze boog wordt soms de formule = S/ cos Φ gegeven, waarin S de straal van de schaatsronding is en Φ de hellingshoek. Enige argumentatie hiervoor lijkt te ontbreken, maar de formule heeft wel een aantrekkelijke meetkundige betekenis: het middelpunt van de gezochte cirkel zou het snijpunt zijn van de as van de schaatsronding met het ijs. Gedurende seizoen 2015/6 voerde Gijsen [2] experimenten uit om te bepalen bij verschillende hellingshoeken. De door hem gevonden waarden waren veel kleiner dan door de formule voorspeld, soms zelfs minder dan de helft. Over de vraag in hoeverre de grootte van kan worden beïnvloed door de schaatser wordt verschillend gedacht. Waarschijnlijk is dit toch substantieel, en dan zou het interessant kunnen zijn om schaatser-specifieke metingen te doen op het ijs. De parameter heeft immers grote invloed op de prestatie. Als de snelheid van de schaatser toeneemt vermindert de bijdrage van de zijwaartse beweging en zal de goede schaatser meer en meer van het effect van terugsturen gaan gebruikmaken. De twee effecten zijn even groot bij de snelheid v = p. Als (bijvoorbeeld) = 30 m en p = 2 m/s 2, dan gebeurt dit bij v = 7, 7 m/s of 28 km/h. Voor recreatie-schaatsers (snelheid km/s) is terugsturen al relevant. Voor wedstrijdschaatsers is dit een conditio sine qua non.

6 Ik dank Kees de Vrij (die ook zonder uitrekenen alles al weet) voor zijn belangstelling en op- en aanmerkingen bij een eerdere versie. eferences [1] Henk Gemser et al., Handboek Wedstrijdschaatsen. Eisma [2] Hans Gijsen, april 2016.