Analyse: vraagstuk van Kepler

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Analyse: vraagstuk van Kepler"

Saskia Koster
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van de sneleidsvector als grootte eeft dan komt dit op et volgende neer: ² = Deel beide leden door twee en je ebt in et linkerlid een elementair stuk oppervlakte (waarbij de straal r reeds geïntegreerd is). Bovendien zien we direct dat na integratie dit oppervlak altijd etzelfde zal zijn bij even grote tijdsintervallen, waarmee we besluiten: Tweede wet van Kepler (Wet der perken): De planeet beweegt rond de zon met dusdanige sneleid dat de voerstraal planeet - zon gelijke oppervlakken in gelijke tijdsintervallen bescrijft. (Deze ele bespreking kan in een notendop samengevat worden; beoud van impulsmoment, aangezien we ier met een centrale kract te maken ebben, zie Teoretisce Mecanica) Deel 2: Afleiden eerste wet en ellipsvergelijking. We keren terug naar de bewegingsvergelijking. We nemen van beide leden et inwendig product met. = ³. Hetgeen, rekening oudend met de componenten van de vectoren in poolcoördinaten, na integratie oplevert: 2 = Met E T de integratieconstante, die als betekening totale energie eeft 2 ( +²²) = We vervangen waar nodig alle tijdsafgeleiden van θ met beulp van: = ² Hetgeen uit analyse van de newtonvergelijkingen een constante blijkt te zijn (zie Teoretisce Mecanica I: Eerste Integralen). Eveneens vervangen we in de tijdsafgeleide van r de dt door dθ(dt/dθ):

oppervlakte (waarbij de straal r reeds geïntegreerd is).

2 2! ²+²²" = 2 #$ % & + ' = Hiermee ebben we een differentiaalvergelijking met twee onbekenden tot een met één onbekende erleid. Tenslotte doen we een substitutie: u = /r = ( ( = ( (² 2 (! +( " ( = Leiden we deze ele vergelijking af naar θ, en elimineren we alle overbodige factoren: ² ²( ² + ²( = 0 Dit is onze finale differentiaalvergelijking (een niet-omogene lineaire armonisce oscillator) met als oplossing: (() = + *cos(.) ² A en ω zijn integratieconstanten. We nemen voor volgende bescouwingen zonder verlies van algemeeneid aan dat ω=0, dat de minimale afstand tot de zon in θ=0 ligt. Hier de reciproke van nemen toont direct aan dat de baan een kegelsnede is: () = + * cos Formeel: () = Het punt bij θ=π/2 noemt men et semilatus rectum. / +0cos (De ele bespreking omtrent de excentriciteit e laat ik ier weg.) Eerste wet van Kepler: De relatieve baan van een planeet om de zon is een ellips, met de zon in een van de brandpunten. 2

oscillator) met als oplossing: (() = + *cos(.) ² A en ω zijn integratieconstanten.

3 Deel 3: Afleiden betrekking voor de totale energie Kijken we even terug naar et resultaat van et vorige deel dan zien we onmiddellijk: * = 0 / = = 2/ Eveneens kunnen we uit de vergelijking voor de ellips direct afleiden wat de kortste en langste afstand planeet zon is: 3 = / +0 4 = / 0 Met deze betrekkingen kunnen we aan de slag om een uitdrukking voor de totale energie te zoeken. We beginnen ier bij een differentiaalvergelijking die we eerder vonden voor u, samen met de oplossing: 2 (! +( " ( = (() = + *cos(.) ² Dit uitwerken (ga ik ier niet doen) en vervolgens A substitueren leidt tot: = (0 ) 2 (< /:0;) Vervolgens realiseren we ons dat als we r m en r M optellen, dit niets minder is dan 2a, met a de grote as van de ellips: Waaruit we direct zien dat : = 2< = 2/ 0 ( 0 ) = Waaruit: = / 2< = 2< Waarbij we bij de laatste stap gesubstitueerd ebben. 3

We beginnen ier bij een differentiaalvergelijking die we eerder vonden voor u, samen met de oplossing: 2 (! +( " ( = (() = + *cos(.

4 Deel 4: Derde wet van Kepler We maken nu even een omweg, aangezien dit stuk in de les pas werd gegeven ná et stuk dat et verband legt tussen de excentrisce en ware anomalie. Mijns inziens is et ecter beter om eerst de derde wet af te leiden, gezien dit beter aansluit bij de vorige drie delen. Nemen we wederom de betrekking waarmee we de wet der perken ebben afgeleid, en integreren we deze: > = = 2 B = = 2? Hetgeen een link legt tussen de oppervlakte van een ellips en zijn periode. Nu gaan we enkele substituties maken: Waarmee we bekomen: We gaan nu wederom substituëren. A = <2 0 = 2/ = 2<( 0 = <B 2 ; = 2@ B (Eigenlijk is dit niets minder dan de gemiddelde angulaire frequentie, maar in de bespreking tijdens de les noemden we dit dus n. Dit wordt in de nota's als integraal uitgewerkt, maar de uitwerking snap ik niet elemaal.) We bekomen: En dus uiteindelijk: < D = ; ; < D = Dit is niets minder dan de derde wet die zegt dat a 3 ~ T². Derde wet van Kepler: Het kwadraat van de omloopstijd van een planeet om de zon is evenredig met de derde mact van de alve grote as van zijn baan. 4

Nemen we wederom de betrekking waarmee we de wet der perken ebben afgeleid, en integreren we deze: > = 2? @<A = 2 B = = 2? Hetgeen een link legt tussen de oppervlakte van een ellips en zijn periode.

5 Deel 5: Verband ware en excentrisce anomalie We gaan nu et verband leggen tussen de ware en excentrisce anomalie. Er zijn twee manieren om de baan de bescrijven, deze met de zon in de oorsprong, en deze met et middelpunt van de ellips in de oorsprong. Noemen we deze respectievelijk (x,y) en (x',y') dan is: en: E = cos6 F = sin6 / I0 = +0J7: 6 E K = <cos = <0+E F K = Asin = F v is ierbij de ware anomalie, E de excentrisce anomalie. Met de vergelijking van x' gaan we nu verder: <cos = <0+ /cos6 +0cos6 = /cos6+<0+<0 cos6 +0cos6 Houden we nu rekening met een betrekking die we in deel 3 bekwamen, namelijk p = a(-e²), dan versimpelt dit de vergelijking: <cos = <( 0+cos6) +0cos6 5

Noemen we deze respectievelijk (x,y) en (x',y') dan is: en: E = cos6 F = sin6 / I0 = +0J7: 6 E K = <cos = <0+E F K = Asin = F v is ierbij de ware anomalie, E de

6 Lossen we dit op naar cos v: cos6 = cos 0 0cos Dit is ecter niet de meest elegante vergelijking die we kunnen bedenken om verband (v,e) te vinden. We voeren daarom een kunstgreep uit: cos6 0cos cos + 0 = +cos6 0cos +cos 0 = +0 cos 0+cos Met beulp van de volgende goniometrisce regel: cos< = cos < 2 sin< 2 is et simpel om de vergelijking nog eleganter te maken: Hetgeen is wat we in dit deel moeten bekomen. tan 6 2 = N +0 0 tan 2 Ten slotte, alvorens we aan et sluitstuk beginnen, nog één laatste betrekking opstelling die r uitdrukt in functie van E, die in et volgende deel van pas zal komen. Als we in = O PQRSTU V WXYZ[R cos v substitueren met dan bekomen we et volgende: P[RWXYZ = <( 0cos) Deel 6: Opstellen vergelijking van Kepler Dit deel is zonder twijfel et moeilijkste, aangezien voor et opstellen van de vergelijking van Kepler allerlei betrekkingen uit versceidene van de vorige 5 delen aan bod komen. De belangrijkste: = 2/ = ² = ; < D = <( 0cos) / = +0cos = 2< We beginnen deze bespreking met een eraling van de energiebeoudswet: 2 ( + ) = 6

eleganter te maken: Hetgeen is wat we in dit deel moeten bekomen.

7 Hierbij ebben we al meteen de eerste van de bovenstaande vergelijkingen toegepast. We zullen nu term per term deze vergelijking uitwerken: = / (+0cos6) 2 = 2/ (+0cos6)² Als je de eerste vergelijking van de tweede aftrekt en dan uitwerkt: Nu nog de resterende twee termen: 2 = 2/ (0 cos²6 ) = 2< 2 ² = < 0 2 :9;²() ² De afgeleide van r aal je gemakkelijk uit de derde vergelijking die vernoemd is aan et begin van dit gedeelte. Alles bij elkaar optellen geeft de volgende vergelijking: 2/ (0 cos 6 )+ < 0 2 :9;() = 2< Als we nu μ substitueren via de tweede gegeven vergelijking alsook p=a(-e²) en alle onnodige factoren scrappen: ; 0 0 cos 6 ; 0 +0 sin = ; We kunnen de middenste term van et LL en et RL vereenvoudigen: Vervolgens alle overbodige e² factoren scrappen: Ook dit vereenvoudigt gemakkelijk: ; + ; 0 = 0 ; 0 ; 0 cos 6 +sin = ; 0 ;sin6 = 2 0²sin sin v, erinneren we ons, is y/r. Maar uit de bespreking van de anomalieën vonden we ook dat y' = y = b sin E. 7

cos²6 ) = 2< 2 ² = < 0 2 :9;²() ² De afgeleide van r aal je gemakkelijk uit de derde vergelijking die vernoemd is aan et begin van dit gedeelte.

8 Dit samen met r = a ( - e cos E) reduceert de vergelijking tot et volgende: ;A = 2 0²<( 0cos) Dit erscikken en integreren levert ons ten slotte: ;( \) = 0sin τ is een integratieconstante die als betekenis eeft et tijdstip waarop de planeet door et perielium gaat. Het linkerlid is feite een denkbeeldige oek die de planeet zou ebben afgelegd over een tijdspanne t - τ op aar baan, als aar oeksneleid constant gelijk was aan n. Deze denkbeeldige oek noemen we M, de middelbare anomalie. Waaruit eindelijk de vergelijking van Kepler: I = 0sin Ten slotte nog opmerken dat deze vergelijking transcendent is in E. Deze kunnen we iteratief oplossen:? = I P = I +0sinI = I +0sin P Einde Samenvatting

Het linkerlid is feite een denkbeeldige oek die de planeet zou ebben afgelegd over een tijdspanne t - τ op aar baan, als aar oeksneleid constant gelijk was aan n.

Vergelijkbare documenten

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking