De Waarde van Toekomstige Kasstromen

Transcriptie

1 De Waarde van Toekomstge Kasstromen De kosten van onderpandmnmalserng Jeroen Kerkhof, VAR Strateges BVBA Introducte Voor de fnancële crss hadden fnancële ngeneurs op bass van een aantal redeljke assumptes een wskundg zeer geavanceerd framework opgebouwd om de wereld van fnancële nstrumenten n kaart te brengen (ze bjvoorbeeld werken als Hull[2008], Shreve[2004] en vele andere referenteboeken). Snds de fnancële crss zjn een aantal van deze voorheen redeljke assumptes zeer dscutabel geworden en zjn een aantal afgelede theoreen en modellen net meer toepasbaar of bedudend gecomplceerder geworden. In veel gevallen moeten we helemaal terug naar de bass om te begrjpen waarom deze modellen net meer toepasbaar zjn. Vooral n de wereld van gestructureerde hypotheken van lage kwaltet en gestructureerde kredetproducten zjn veel modellen door de mand gevallen. De fnancële crss heeft echter ook een substantele doch mnder dramatsche nvloed gehad op rjpere markten zoals de rente-swap markt. Deze laatste speelt een fundamentele rol bj het waarderen en analyseren van nomnale verplchtngen n de Nederlandse pensoen- en verzekerngsndustre. In dt artkel ga k n op het meest fundamentele waarderngsvraagstuk bnnen de fnancële wskunde en de fnancële praktjk: Het bepalen van de hudge waarde van een nomnale kasstroom n de toekomst. Uteraard s dt vraagstuk al duzenden malen utgebred beschreven n fnancële cursussen en standaardwerken op het gebed van de fnancële econome (ze, naargelang uw voorkeur voor mathematsche depgang, boeken zoals Hull[2008], Shreve[2004], Delbaen Schachermayer[2006] of een van de vele andere werken op dt gebed.). In het kort komt het er op neer dat als er een rsco-vrje rentevoet bestaat men deze rentevoet kan gebruken om de verdsconterngsfactor te berekenen en daarmee de hudge waarde van een rscovrje kasstroom n de toekomst bepalen. Uteraard s er nets ms met deze redenerng. Het probleem s echter dat n de praktjk geen rscovrje kasstromen en geen rscovrje rentevoet bestaan. ok dt behoeft net drect een probleem te zjn en n de meerderhed van de standaardwerken wordt gemeld dat n de praktjk Lbor / Eurbor een goede benaderng zjn voor de rscovrje rentevoet. Het s deze benaderng de snds de fnancële crss op zjn zachtst gezegd engszns onder druk s komen te staan. De mpact hervan op over-the-counter dervaten zal k n dt artkel toelchten. TC dervaten en CSA s End 2008 was het volume van dervaten de over-the-counter (TC) verhandeld worden om en nabj de $592.0 trllon (ze bjv. BIS[2009]) aan utstaande hoofdsommen. Aangezen deze markt bestaat ut blaterale contracten waarvan de kasstromen vaak pas over aanzenbare tjd worden utgekeerd s tegenpartjrsco een potenteel probleem. m het tegenpartjrsco n te dammen gaan partjen vaak een blateraal kredetvermnderngscontract aan, de zogeheten Credt-Support-Annex In dt artkel focus k op de Europese markt en zal k Eurbor verder gebruken en Eona voor de overnght ndex. Uteraard kunnen dezelfde argumenten gebrukt worden n andere markten.

2 (vaak afgekort als CSA). 2 De CSA specfceert de rechten en plchten van bede partjen wanneer er sprake s van een tegoed voor één der bede partjen. In de meeste CSA s betekent een tegoed (n de toekomst) voor de ene partj dat de andere partj de contante waarde hervan als onderpand moet betalen. p deze maner s het tegenpartjrsco aanzenljk vermnderd. CSA s zjn over het algemeen behoorljk complexe documenten, waarn voorwaarden staan met betrekkng tot de betalng van het onderpand zoals ) n welke valuta er betaald kan worden, 2) welke nstrumenten er gebrukt mogen worden (cash, oblgates, etc.) 3) wat de vergoedng s aan de betalende partj op het onderpand enzovoort. In dt artkel zal k mj beperken tot een eenvoudge CSA waar men louter cash als onderpand kan nbrengen n de valuta van de onderlggende transacte. In het bjzonder zal k de nvloed van de te betalen nterest op het cash onderpand toelchten. Lenng Stel een pensoenfonds leent 00mln aan een andere fnancële nstellng de over jaar terug moet worden betaald met 2maands-Eurbor rente. m te concentreren op de nvloed van de CSA veronderstel k dat het tegenpartjrsco verwaarloosbaar s. Laten we daarom het Abu Dhab Soveregn Wealth Fund (A) en het Noorse Petroleumpensoenfonds (N) als tegenpartjen nemen. 3 Momenteel hebben A en N een bjzonder eenvoudge CSA afgesloten tegen 2 maands-eurbor rente waarbj de postes worden afgedekt met onderpand de op jaarljkse bass wordt vereffend. 4 A L: 00m N Vandaag: : 00m A ) ver jaar: L: 00m (+R 2m (0)) : 00m (+R 2m (0)) N A 2) Dageljks: (j) L: 00m (+R 2m (0)) () : (t ) (+R (t )) N Fguur : Kasstromen van een lenng met onderpand. L geeft lenngkasstromen weer en geeft onderpandkasstromen weer. 2 Ze voor een standaard CSA en ISDA[2005]. 3 Nog net zolang geleden zou men her zonder problemen de US Treasury en GM als voorbeeld gebrukt hebben. 4 In de praktjk s het gebrukeljker om m-eurbor CSA s te hebben, maar k heb een 2m-Eurbor contract gebrukt om de llustrate te vereenvoudgen.

3 Als partj N 00mln heeft geleend van partj A, hoeveel onderpand moet N dan storten bj A? ver een jaar zal N de 00mln met rente, 2 maands-eurbor, moeten terug betalen. De waarde van de lenng over een jaar s dan gegeven L ( ) 00 ( + R 2 m(0)), waar R 2m (0) de 2 maands-eurbor rente vandaag (tjdstp 0) weergeeft. De CSA stpuleert dat de netto contante waarde van de lenng vandaag als onderpand dent te worden overgemaakt. De CSA bepaalt ook dat de rente op het onderpand, de 2 maands-eurbor rente, R 2m (0), s. Dt geeft dat de waarde van het onderpand vandaag geljk s aan L() 2 m( 0) L() D2 m(0,) 00 + R2m (0) waar D 2m (0,) de verdsconterngsfactor voor jaar weergeeft met 2 maands- Eurbor. Kortom, de netto-kasstromen vandaag en over één jaar zjn 0 n het geval van een 2 maands-eurbor CSA. Laten we nu de CSA veranderen van een jaarljkse 2 maands-eurbor CSA naar een daags-eona 5 CSA. Heeft de aanpassng van de CSA gevolgen voor de kasstromen? Zo ja, welke? N leent nog altjd 00mln met 2 maands-eurbor rente van A. De lenngkasstromen zjn daarom dentek. Voor het onderpand s dt echter net het geval. In tegenstellng tot jaarljkse kastroom zullen er nu dageljkse kastromen zjn. Verder zal de contante waarde van de kasstromen n het algemeen verschllen van de 2 maands- Eurbor stuate. m deze contante waarde te bepalen, laten we eerst eens kjken wat de waarde van de lenng zou zjn op de voorlaatste handelsdag (of dag voor de lenng moet worden terugbetaald). In dt geval hebben we na handelsdagen (op t ) 6 waarbj R (t) de daags-eona rente op tjdstp t weergeeft. Door mddel van terate vnden we dat vandaag de waarde geljk s aan (0) L() 00 ( + R2m (0)) + F (0; t ) + F (0; t ) D ( t ( t 0 ) ( + R (0,) L() 00 + R ) 00 + R ( t )) L() (0) ( t ) 0 waar F (t;t ) de daags-forward Eona rente op tjdstp t voor [t, t + ] weergeeft en D (0,) de verdsconterngsfactor voor jaar weergeeft met daags-eona rente. Tenzj Eona en Eurbor rscovrje rentes zjn zal (0) geljk zjn aan 00 (ze Appendx), maar normalter zal (0) groter zjn dan 00. De reden s de rentes gebaseerd zjn op quotes van net-rscovrje banken. De vergoedng de verlangt wordt voor het lopen van het kredetrsco op de banken neemt toe naarmate de looptjd langer s. Daarom zen we n de markt van de zogenaamde tenor bassswaps 2m 5 Euro vernght Index Average. 6 Ik veronderstel 262 handelsdagen per jaar.

4 posteve spreads op de kortst lopende rente versus een langer lopende rente (bjv. 0- jaarsswap met 3M Lbor + posteve spread versus 6M Lbor). Dt ledt n bovenstaand voorbeeld tot de bzarre stuate dat de partj de 00mln leent meer dan 00mln aan onderpand moet storten. Contante waarden berekenen met Eurbor rentes was jarenlang (en voor sommge partjen nog altjd) de marktstandaard (ondanks vele Eona-gebaseerde CSA s). Aangezen de spread tussen Eurbor and Eona tot Augustus 2007 zeer gerng was, gaven de verschllende waarderngsmethodes zeer geljkaardge resultaten. Snds de tjd s de spread economsch sgnfcant geworden en erg volatel geweest (ze Fguur 2) M 2M 6M /0/2005 0/04/2006 0/0/2006 0/04/2007 0/0/2007 0/04/2008 0/0/2008 0/04/2009 0/0/2009 Fguur 2: Hstorsche spread tussen Eurbor en Eona-swap rente voor 3M, 6M en 2M. p 9 November 2009 zou het verschl tussen de waarderng van het contract met Eurbor versus Eona 494,532 (ong. 50 basspunten van de hoofdsom) zjn: ( D (0,) D (0,) ) 00m ( ) 00m 494, 532 d ( 0) 2 m(0) m In het recente verleden zjn de verschllen echter veel groter geweest als valt af te leden ut Fguur "Eona - Eurbor P&L" mllon /0/05 0/04/06 0/0/06 0/04/07 0/0/07 0/04/08 0/0/08 0/04/09 0/0/09 Fguur 3: Waardeverschl tussen 00m verdsconteerd tegen Eona vs Eurbor 2M.

5 Rente-Swaps Het bovenstaande voorbeeld s uteraard erg artfceel, maar verschlt n prncpe weng van een rente-swap de ver n of out-of-the money s waardoor de ene partj een grote som onderpand van de ander krjgt. Stel dat A en N een renteswap hadden afgesloten de momenteel 00mln n-the-money s voor A utgaande van een verdsconterng met 2 maands-eurbor. Zoals n het geval van de bovenstaande lenng zal N onderpand moeten storten. Afhankeljk van de CSA zal de waarde van dat onderpand fluctueren. In het geval van een jaarljkse 2 maands-eurbor CSA zal dat exact 00mln zjn. In het geval van een dageljkse daags-eona CSA zal dat meer dan 00mln zjn. Swaps herstructurerng Zoals reeds een aantal keer vermeld, s het crucaal om bj het waarderen van utstaand onderpand de rente te gebruken de gespecfceerd s n de CSA. Marktpartjen de zch te weng bewust zjn van de mpact hervan op de waarderng kunnen zch blootstellen aan, voor hen, zeer ongunstge transactes. Een populare stratege s de volgende: Stel een partj X heeft een rente-swap de sterk n-the-money s en daar momenteel een onderpand voor heeft ontvangen. Theoretsch gezen, dwz volgens de rscovrje theore n de tekstboeken, s partj X ndfferent tussen ) het aanhouden van de oorspronkeljke swap of 2) de oude swap ontbnden, de wnst utgekeerd krjgen en een neuwe swap at-market aangaan. pte 2) heeft het voordeel dat er mnder onderpand utstaat. Dt argument geldt uteraard enkel en alleen als het onderpand correct gewaardeerd s. Als partj X zjn onderpand nog aan Eurbor waardeerde terwjl de CSA Eona specfceerde dan s stratege 2) voor deze partj ongunstg en kan een geïnformeerde partj profteren van het verschl tussen verdsconteren aan Eurbor en Eona. p het oog ljkt dt een gerng bedrag, maar als u de hoofdsommen van pensoenfondsen n rente-swaps meeneemt dan kan het gaan om sereuze bedragen. Laten we een voorbeeld nemen van een 30-jaars swap (hoofdsom van mljard) de op 9 November 2007 s afgesloten tegen een dan geldende markt rente van 4.72%. p 9 November 2009 s de 28-jaars swap rate 4.05% waardoor de ontvanger van de vaste rente een wnst heeft geboekt van 67 basspunten per jaar voor de komende 28 jaar. De contante waarde hervan s ong. 09,2 mljoen als de PV0 op bass Eurbor wordt berekend. S 9 // 07) S (9 // 09) PV 0Eurbor 67bp , 2 [ ] m 30 ( 28 Aangezen de markt ongeveer 23bp spread vraagt voor een 30-jaars Eurbor-3M vs. Eona swap zal de daadwerkeljke PV0 bedudend hoger lggen waardoor de werkeljke contante waarde ongeveer 3 mln hoger lgt. 7 [ S 9 // 07) S (9 // 09) ] PV 0Eona 67bp , 2m 30 ( 28 In dt geval kost het onderpand sluten 30bp van de hoofdsom. Uteraard zal dat lager zjn n geval de swap mnder n-the-money s, maar het gekozen voorbeeld s verre 7 Ik voor het gemak een geljke swap rate genomen onafhankeljke van de dscount aanname. Deze aanname geldt enkel n het geval van een vlakke termjn structuur exact. Anders s het slechts een redeljke benaderng. ns concluse zjn echter net afhankeljk van deze aanname.

6 van extreem gezen de marktontwkkelng de afgelopen jaren (de max mn van de 30jaars swaprente bedraagt 239 basspunten over de afgelopen 2 jaar wat bedudend meer s dan de 67bp de k genomen heb voor het voorbeeld). Wees dus op uw hoede als men u een op het eerste zcht eenvoudge transacte voorstelt om het utstaande onderpand te vermnderen. Concluses In de sterk vereenvoudgde bovenstaande voorbeelden heb k aangetoond dat de mpact van de gespecfceerde rente op cash onderpand een substantele mpact kan hebben op de waarderng van kasstromen van afgelede producten. Daadwerkeljke CSA's zjn echter veel complexer. Naast cash n één valuta hebben tegenpartjen vaak de opte ) om cash n verschllende valuta n te brengen of 2) vervangende nstrumenten zoals oblgates als onderpand n te brengen, etc. Alle condtes n een CSA kunnen van nvloed zjn op de waarderng van de dervaten onder de desbetreffende CSA. Appendx In het geval van een daadwerkeljke rscovrje rentevoet geldt d (0) L() L() 0 + δf d (0; t ) 0 D(0, t ) + δ D(0, t ) δ + D(0, t+ ) L() L() D(0,) L() 0 D(0, t) D(0,0) D(0,) L() 2 m(0) + F (0) 0 2m en zen we dat het onderpand geljk s voor daags-eona en 2 maands-eurbor. Referentes BIS[2009], Internatonal bankng and fnancal market developments, BIS Quarterly Revew September Delbaen, F en W. Schayermayer [2006], The Mathematcs of Arbtrage, Sprnger. Hull, J. [2008] ptons, Futures, and ther Dervatves, 7 th ed. Prentce Hall. ISDA[2005], 2005 ISDA Collateral Gudelnes, ISDA. Shreve, S. [2004], Stochastc Calculus for Fnance II: Contnuous-Tme Models, Sprnger.