Dubbelplaneten. Vakantiecursus

Transcriptie

1 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december Raner Kaenders Semnar für Mathematk und hre Ddaktk Mathematsch-aturwssenschaftlche Fakultät Unverstät zu Köln Gronewaldstrasse Köln r.kaenders@un-koeln.de Vakantecursus Dubbelplaneten De maan verwjdert zch elk jaar van de aarde met aan afstand van 3,82 cm en de satellet Phobos van Mars zal n de toekomst eens op het Marsoppervlak te pletter slaan. Hoe zjn deze verschjnselen te verklaren? In dt artkel kunnen we dt met relatef eenvoudge vectordynamca begrjpen. Het verscheen eerder n de bundel behorende bj de vakantecursus 2007 wskunde. Deze cursus, de jaarljks georganseerd wordt door het Centrum voor Wskunde en Informatca n Amsterdam n samenwerkng met de ederlandse Verengng van Wskundeleraren, heeft dt jaar het thema Wskunde n Bewegng. Het thema s specaal gekozen met het neuwe havo- vwovak wskunde D n gedachten. Met dt vak hebben de dfferentaalvergeljkngen hun rentree gemaakt n het mddelbaar onderwjs. Dubbelplaneten van Raner Kaenders ljkt daartoe als vakoverstjgend project zeer geschkt. In 695 heeft de Engelse astronoom Edmond Halley voorspeld dat de maanden dat wl zeggen de omlooptjd van de maan rond de aarde n de loop van de zeshonderd jaar vóór zjn tjd ongeveer een tenduzendste uur korter zjn geworden [2]. Hoe kon hj met de mddelen van toen een dergeljke utspraak doen? Twee jaar eerder, n 693, heeft Halley samen met een Oxfordse arabst de vertalng door een zekere Plato Tburtnus van de observates van de astronoom al-battan vanut een vakdeskundg perspectef herzen []. De Araber al-battan , wens naam door Halley tot Albategnus werd gelatnseerd, beschreef verschllende maans- en zonsverdusterngen. aar aanledng hervan beweerde Halley [2] dat hj aan kon tonen dat de maanden korter werden. De Utrechtse astronoom Frank Verbunt speculeert n [4], [6] hoe Halley tot deze concluse gekomen zou kunnen zjn: Omdat zonsverdusterngen utslutend bj een neuwe maan plaatsvnden moet er altjd een geheel aantal maanden tussen twee zonsverdusterngen ztten. Halley kende de lengte van een maand al engszns nauwkeurg en kon dus terugrekenen wanneer en waar 800 jaar oftewel ongeveer maanden eerder al-battan een zonsverdusterng gezen zou kunnen hebben. Stel nou dat Halley had berekend dat er toen een zonsverdusterng n Alexandrë plaats moest hebben gevonden terwjl al-battan een zonsverdusterng op deze dag n Bagdad verslaat. Dt had Halley dan kunnen verklaren door aan te nemen dat de zonsverdusterng een uur eerder plaatsvond dan hj had berekend, hetgeen betekent dat de doorsnee maandlengte tjdens deze 800 jaar met 0 4 uur langer was dan n zjn tjd. De derde wet van Kepler, de we later nog zullen leren kennen, legt een verband tussen de omlooptjd en de afstand tussen aarde en maan en heeft tot gevolg dat met de lengte van de maanden ook de afstand tussen aarde en maan af moet nemen. Tegenwoordg weten wj echter door mddel van lasermetngen aan de planeet Mars dat deze afstand tussen aarde en maan met 3,82 cm per jaar toeneemt en daarmee de maanden langer zouden moeten worden. Hoe s dt te verklaren? Had Halley gewoon ongeljk? Deze vraag van Halley s een vraag zoals de werkeljk n de wetenschap, of precezer n de astrofysca speelt. De vraag oefent een fascnerende werkng ut op astronomen maar ook op leerlngen, leraren en andere belangstellenden. Ook al spreken de metngen Halley tegen, toch s de vraag: Op grond waarvan heeft Halley zjn concluse getrokken? Het antwoord s te vnden n de analyse van het achterlggende wskundge model. Aarde en maan vormen een zogenaamde dubbelplaneet en dubbelplaneten zjn weer draaende systemen de onderhevg zjn aan de wet van behoud van mpulsmoment of draa-mpuls. Dt s de natuurkundge note om de hoeveelhed draang van een systeem te kwantfceren. Door een zorgvuldge analyse van deze wet voor aardemaan s de constaterng van Halley logsch te verklaren [4], [5], [6]. aast de toename van de maandlengte heeft het behoud van mpulsmoment nameljk ook een sterkere toename van de daglengte tot gevolg. Als de maanden n dagen worden gemeten dan worden zj daadwerkeljk korter en had Halley dus toch geljk. Utendeljk kan door toepassng van de wet van behoud van mpulsmoment de toekomst van de dubbelplaneten aarde-maan, Mars-Phobos en eptunus-trton worden voorspeld. Voor alle dre de dubbelplaneten geldt dezelfde wet maar toch gaat elk van hen een ander noodlot tegemoet. In deze bjdrage zullen we de wskundge achtergronden belchten van begrppen als koppel en mpulsmoment en daarmee de wet van behoud van mpulsmoment afleden. De wetten van ewton worden toegelcht en vormen de enge nbreng vanut de

2 2 288 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders Fguur Lnks: Edmond Halley, rechts: de Halley-komeet natuurkunde de rest s wskunde. Vectorfunctes, dat wl zeggen functes van R naar R 3, worden ngevoerd en de productregel voor n- en utproducten van zulke vectorfunctes afgeled. Daarmee lgt de wet van behoud van mpulsmoment al voor het oprapen. In het vervolg gaan we deze wet nterpreteren. Daarvoor kjken wj naar zwaartepunten, hoeksnelheden, mddelpuntzoekende krachten en traaghedsmomenten. Als loon voor deze moete zullen we zen dat planeten n een vlak bewegen, dat de perkenwet van Kepler geldt. Hermee kunnen we het gyroscopsch effect begrjpen. De stude van het mpulsmoment n ons zonnestelsel en n het bjzonder het antwoord op het probleem van Halley vormen een schoolvoorbeeld voor de kracht van wskunde n de natuurwetenschap. De observates leveren een tegenspraak op, de alleen op te lossen s door een gepast wskundg model dat n dt geval door de klasseke mechanca van ewton s gegeven. Met dt model wordt vervolgens puur wskundg geredeneerd en dat levert utendeljk resultaten op de naar de werkeljkhed terug kunnen worden vertaald. Daarmee zjn dan de paradoxaal ljkende observates te verklaren. Zodra het probleem van Halley s doorgrond wordt dudeljk dat dt model veel meer dan een enkele vraag op kan lossen het maakt voorspellngen n uteenlopende stuates mogeljk: de ene formule over behoud van mpulsmoment levert uteenlopende voorspellngen op n de dre gevallen aarde-maan, Mars-Phobos en eptunus-trton. Het probleem van Halley s een vraag de leerlngen toegang zou kunnen verlenen tot het cultuurgebed van wetenschap de berust op ws- en natuurkunde. Bjvoorbeeld het schoolboek [3] s een aanrader voor edereen de op schoolnveau verder wl lezen over hemelmechanca en rumtevaart. Het wskundg gereedschap De wskunde de nodg s om dt hoofdstuk ut het boek van de astronome te begrjpen s wat elementare lneare algebra en de note van geparametrseerde krommen n het vlak en de rumte en haar afgeleden. In s en out s van producten n R 3 We begnnen met een hernnerng aan n- en utproducten n R 3. De symbolen u, v, w en e, met of zonder ndces, staan n deze paragraaf voor vectoren n R 3. Inproduct Het nwendgproduct van twee vectoren u = a, a 2, a 3 en v = b, b 2, b 3 ut R 3 s gedefneerd als u, v = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. Wj spreken het nproduct ut als u n v en het s een voorschrft om ut twee vectoren een reëel getal te berekenen. Eenvoudg na te gaan s dat het nproduct symmetrsch dat wl zeggen u, v = v, u en n bede argumenten lnear s dt noem je dan blnear. Wj noemen u = u, u de norm van een vector u ut R 3 en met de stellng van Pythagoras zet men dat de waarde van de norm geljk s aan de lengte van de vector u. Als wj het pjltje boven een vector u weglaten, dan bedoelen wj de absolute waarde u = u van deze vector. Het nproduct s zeer geschkt om de projecte van een vector u op een vector v te berekenen. Er bestaat een op v loodrechte vector van de vorm u λ v. Het getal λ bepaal je door te esen dat deze vector loodrecht staat op v. Met het nproduct betekent dt u λ v, v = 0 λ = u, v v 2. De projectevector en de loodvector van een vector u op een vector v worden gegeven door u, v u v := v 2 v en u u, v v := u v 2 v. Projecte- en loodvector geven aanledng tot een ontbndng u = u v + u v van de vector u n een vector n de rchtng van v en een vector de loodrecht op v staat. Utproduct In de natuurkunde en de technek kom je vaak stuates tegen waar grootheden loodrecht op elkaar staan. Wj zoeken dus een maner om aan twee vectoren u en v n R 3 een derde vector u v ut R 3 toe te kennen zodat, als u = 0 en v = 0, de volgende egenschappen gelden:

3 3 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december u v staat loodrecht op u en v, u, v en u v vormen een rechtshandg assenstelsel ze fguur op bladzjde 290, als u en v loodrecht op elkaar staan geldt: u v = u v, u v = u v u = u v v. Als één van de vectoren de nulvector s, dan s ook het utproduct geljk aan de nulvector. Voor vectoren u en v geldt: u u = 0 en u v = u v. De tweede egenschap volgt ut de toepassng van de eerste egenschap op het utproduct u + v u + v. De egenschappen herboven maken dudeljk dat u v de eendudg bepaalde vector s waarvoor geldt dat hj loodrecht staat op het door u en v opgespannen parallellogram, zjn lengte geljk s aan de oppervlakte ze de opgave herboven van dat parallellogram, waarbj u, v en w georënteerd zjn volgens de rechterhand-regel. Defnte: Wj noemen u v het utwendgproduct van de vectoren u en v spreek ut: u ut v. Het koppel Een andere toepassng voor het utproduct s de defnte van het koppel. Als men een schroef wl schroeven dan gaat dat het beste met een arm de loodrecht staat op de schroef: een schroevensleutel. Hoe groter de afstand s tussen de schroef en het punt op de schroevensleutel waarop een kracht wordt utgeoefend hoe beter de schroef te draaen zal zjn. Als de arm net loodrecht staat dan s het enge wat voor het schroeven telt het loodrechte deel van de arm. Bjvoorbeeld als emand probeert te schroeven door de schroevensleutel n verlengng op de schroef erop te zetten dan s de schroefkracht kenneljk nul. Op een punt van de arm wordt er bj het schroeven een kracht utgeoefend en het enge wat er voor de schroefkracht toe doet s het gedeelte van de kracht dat loodrecht staat op de schroef en de schroevendraaer. De effectvtet van het schroeven n een gegeven rchtng heeft te maken met enerzjds de lengte van de schroevensleutel en de mate waarn hj loodrecht staat op de schroef en anderzjds met de kracht de op een punt van de schroevensleutel wordt utgeoefend en de mate waarn deze kracht loodrecht staat op de schroef en de schroevensleutel. We kunnen ook andersom redeneren. Gegeven een arm of hefboom, wskundg voorgesteld door een vector r, en een krachtsvector F. Deze vectoren r en F leggen een rchtng vast waarn het beste geschroefd kan worden. Hoe sterker de kracht s en hoe langer de arm, hoe effectever er geschroefd kan worden. Ut de bovenste beschouwngen bljkt dat de mate en de rchtng waarn er effectef geschroefd kan worden gegeven wordt door het zogenaamde koppel ten opzchte van de oorsprong O dat wordt utgedrukt door: = r F. Als er een kracht werkt op een massadeeltje dan kunnen we het koppel van dat deeltje ten opzchte van elk wllekeurg punt berekenen, hetgeen weergeeft n welke rchtng en hoe goed deze kracht toegepast op een hefboom naar dat wllekeurg punt n staat zou zjn om een draang n gang te zetten. Geparametrseerde rumtekrommen In het vervolg kjken we naar afbeeldngen van R naar R 3 waarbj wj denken aan de bewegng van puntmassa s n de dredmens- Mars en Phobos; foto Mars Global Surveyer 998

4 4 290 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders De vectoren a, b en a b vormen een zogenaamd rechtshandg assenstelsel. onale rumte. Zo n afbeeldng F : R R 3 wordt gegeven door dre gewone dfferenteerbare functes: f t Ft = f 2 t. f 3 t De parameter noemen we meestal t, omdat wj herbj denken aan de tjd. De afgelede van een dergeljke afbeeldng kunnen we net als bj gewone functes verkrjgen door Opgave d F t = lm dt 0 = Ft + Ft lm 0 f t+ f t lm 0 f2 t+ f 2 t lm 0 f3 t+ f 3 t. a. Bewjs dat geldt u, v = u, v u = u v, v. b. De vectoren u en v spannen een parallellogram op. Laat zen dat de oppervlakte daarvan geljk s aan Opgave 2 u v v = v u u = u 2 v 2 u, v. a. Toon aan dat: u, v = u v cosθ en u v = u v snθ, waarbj θ de hoek tussen u en v s. b. Bewjs dat voor vectoren u en v geldt: u v u = u 2 v u, v u = u v u. c. Gegeven twee vectoren u en v dan geldt: u v u 2 v 3 v 2 u 3 u v = u 2 v 2 = u v 3 + u 3 v. u 3 v 3 u v 2 v u 2 Zodra men herbj denkt aan de afgelede naar de tjd geeft deze afbeeldng voor elk moment de rchtng en de snelhed aan waarmee een denkbeeldg massapunt beweegt. Als het gaat om de tjd, schrjven ws- en natuurkundgen Ft voor d F dt. De utdrukkng Ft + Ft waarn de vectoren Ft + en Ft worden vermengvuldgd met het reële getal schrjven wj soms ook als Ft+ Ft. Productregel voor n- en utproduct van functes Met dergeljke afbeeldngen F en G kan men rekenen als met vectoren waarbj wj denken dat ze met de tjd veranderen. Bjvoorbeeld: de afbeeldngen F G en F, G zjn gedefneerd door F Gt = Ft Gt en F, G t = Ft, Gt waarbj aan de rechterkant voor elke t producten van gewone vectoren staan. De afgeleden van deze afbeeldngen F G en F, G kunnen we net zo bepalen als wj dat kennen van gewone functes met de productregel. Het bewjs hervoor s bjna letterljk hetzelfde als bj de productregel voor gewone functes. F Gt + F Gt = [ ] Ft + Gt + Ft + Gt [ ] + Ft + Gt Ft Gt [ ] [ = Gt + Gt Ft + Ft Ft + + Gt ] Als men nu naar nul laat gaan bljkt dat ook voor het utproduct de gewone productregel geldt: F G dt = d F dt G + F d G dt = F G + F G. ewton mechanca Het natuurkundge utgangspunt voor alle wskunde de nu volgt, wordt gegeven door de klasseke wetten van ewton. Laat r, r en r 2 de postevectoren van deeltjes met massa s m, m, m 2 ten opzchte van O zjn. De vectoren r, r en r 2 zjn herbj functes van de tjd t. Wskundg gezen gaat het her om dre rumtekrommen zoals we de herboven hebben ngevoerd en dre posteve getallen m, m, m 2. Dan noteren wj de bjbehorende snelheden als v, v en v 2. Herbj horen mpulsen P, P en P2 gegeven door P = m v = m r als ook P = m v = m r en P2 = m 2 v 2 = m 2 r 2 de kunnen worden opgevat als de hoeveelhed bewegng. ewtons eerste wet Een lchaam bljft stl staan of beweegt eenparg zonder versnellng als er geen kracht op wordt utgeoefend. ewtons tweede wet De versnellng de een lchaam ervaart s evenredg met de op hem werkende kracht en omgekeerd evenredg met de massa van het lchaam: a = m F of F = m v = m r. Kort: F = P. ewtons derde wet acto = reacto Als twee lchamen onderlng krachten op elkaar utoefenen dan wordt er op bede lchamen een even grote kracht utgeoefend n tegengestelde.

5 5 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december rchtngen. dat wl zeggen de som van de kracht F2 op het eerste lchaam vanut het tweede lchaam 2 en de kracht F2 op het tweede lchaam 2 vanut het eerste lchaam s geljk aan nul,.e. F2 + F2 = 0 oftewel F2 = F2. ewtons wet van unversele gravtate Verder heeft ewton de gravtatewet geformuleerd de beschrjft hoe sterk de kracht s de een lchaam met massa m utoefent op een lchaam met massa m 2. Als we met r 2 = r 2 r de vector tussen de twee lchamen aangeven met afstand d dan geldt voor deze kracht: F = F2 = G m m 2 d 2 r 2 d = G m m 2 d 3 r 2. De constante G heet de gravtateconstante. Haar waarde s m2 G 6, kg 2. Bewegen op een crkel Voor crkelvormge bewegngen s er een bjzondere mddelpuntzoekende kracht nodg en de beschrjvng van de snelhed van deze bewegng kan het beste va de hoeksnelhed gebeuren. Mddelpuntzoekende kracht We kjken nu naar crkelvormge bewegngen n de rumte. Stel dat r de postevector s van zulk een crkelvormge bewegng met constante absolute snelhed. Dan s r 2 = r, r constant en met de productregel vnden wj de eerste afgelede naar de tjd: r, r + r, r = 2 r, r = 0. Dus r = v staat loodrecht op r. Omdat de snelhed van de bewegng constant s, s v 2 = r, r constant. Daarom s de afgelede hervan nul waarut volgt dat r dus weer loodrecht staat op r en dus n de rchtng van r of n de tegengestelde rchtng wjst. In de eerder gebrukte notate betekent dt: r = r r = r, r r 2 r = r, r r r r. Dfferentëren van r, r levert dan ook op r, r + r, r = 0. Anders geschreven vnden wj de utdrukkng voor de mddelpuntzoekende versnellng: r = v 2 r r r. Voor de grootte van de versnellng s dus a = v2 r met a = r. Met de tweede wet van ewton s de centrpetale kracht of mddelpuntzoekende kracht geljk aan Fcentrpetaal = m v2 r r r en voor de grootte van deze kracht geldt: F centrpetaal = m v2 r. Deze kracht s dus nodg om een deeltje op een crkelbaan te laten bewegen. Hoeksnelhed De snelhed van een draang kan het beste worden weergegeven door de hoeksnelhed de aangeeft hoe een hoek θ n radalen met de tjd verandert, dus ω = dθ dt. De hoeksnelhed s dus net meer de snelhed van bewegng maar wel de snelhed van een draang. Voor de snelhed zelf geldt dan v = ωr omdat voor de afgelegde afstand s geldt s = θr. Hermee kan de centrpetale kracht worden utgedrukt door F centrpetaal = mrω 2. Wj zen herut dat bj een gegeven hoeksnelhed de mddelpuntzoekende kracht lnear groet met de afstand naar het mddelpunt. Het utproduct geeft ons de mogeljkhed om voor een crkelvormge bewegng de snelhed en de rchtng van de draang n een enkele groothed, de hoeksnelhedsvector, samen te vatten. De snelhedsvector v van een crkelvormg, rond een punt O bewegend deeltje kan als veralgemenserng van v = ωr worden utgedrukt door v = ω r. Daarbj wjst de vector ω n de rchtng van de draaas en staat loodrecht op de postevector r en daarom geldt dan ook her v = ωr met v = v, ω = ω en r = r. Wj zen dus dat de lengte ω van deze vector geljk s aan de hoeksnelhed zoals boven weergegeven. Impuls, koppel en mpulsmoment u leggen wj ut hoe ut de wetten van ewton het behoud van mpuls en mpulsmoment draa-mpuls volgt. Impulsbehoud Laat r, r en r 2 de postevectoren zjn van deeltjes met massa s m, m, m 2 ten opzchte van O. Deze dre postevectoren zjn herbj functes van de tjd t en de bjbehorende mpulsen zjn P, P en P2. ewtons derde wet acto = reacto zegt nu dat als twee lchamen krachten op elkaar utoefenen, de som van de kracht F2 op het tweede lchaam 2 vanut het eerste lchaam en de kracht F2 op het eerste lchaam vanut het tweede lchaam 2 geljk s aan nul,.e. F2 + F2 = 0. Herut volgt met de tweede wet dat P + P2 = 0. Dus s P + P2 constant de wet van mpulsbehoud. Herut kan men bjvoorbeeld rechtstreeks eenvoudge gevolgtrekkngen maken voor de botsng van twee deeltjes, zj het elastsch dat ze weer ut elkaar vlegen of nelastsch dat ze samen bljven klonteren, de n natuurkundeboeken utgebred worden besproken. Impulsmoment of draa-mpuls Laat r de postevector als functe van de tjd t van een deeltje met massa m ten opzchte van een wllekeurg punt O zjn met mpuls P. Dan heet J = r P het mpulsmoment of de draa-mpuls met betrekkng tot oorsprong O vaak gebrukt men ook de letter L resp. L, = r F het koppel of draamoment met betrekkng tot oorsprong O hervoor wordt ook de letter τ resp. τ gebrukt. Het mpulsmoment kan worden opgevat als de hoeveelhed draang. Door de productregel voor het utproduct van de vectorfunctes toe te passen vnden wj eenvoudg: Stellng Voor een enkel massadeeltje geldt: d J dt =. In het resterende gedeelte van deze bjdrage worden alleen nog maar concluses ut deze stellng getrokken. Her al enkele eenvoudge gevolgen voor een enkel massadeeltje. Als het deeltje n een centraal krachtenveld beweegt waarbj de oorsprong O n het centrum van dat krachtenveld lgt en alle krachtsvectoren naar de oorsprong wjzen, dan s = r F = 0 omdat r en F n tegengestelde rchtng wjzen. Met de stellng volgt herut dat het mpulsmoment J = r P = 0 bljft behouden. Dat betekent dus dat de met de tjd veranderende vector r

6 6 292 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders Fguur 2 De tweede wet van Kepler: de perkenwet altjd loodrecht staat op de vaste vector J. Dat betekent dat de vector r alleen nog maar n een vlak kan bewegen nameljk het vlak van alle vectoren de loodrecht staan op deze vaste vector J. Het fet dat J = r P constant s, betekent dat r v constant bljft. Als wj nu voor klene tjdsntervallen de afgelede benaderen door r r, dan s r = r r voor klene tjdsntervallen altjd even groot. De utdrukkng r r geeft twee keer de oppervlakte aan van de drehoek de wordt opgespannen door r en r. Bj benaderng s dat de oppervlakte de de postevector r n de tjd heeft bestreken. Als wj nu met At de oppervlakte noteren de de postevector vanaf een tjdstp t 0 heeft bestreken dan volgt ut het bovenstaande A 2 r r en daarom geldt: Ȧ = lm r 0 2 r = 2m J en dat s constant. Dus s de oppervlakte een lneare functe n t. Ut het behoud van het mpulsmoment n een centrale kracht zonder dat er meer over bekend s volgt de zogenaamde perkenwet van Kepler de ook bekend staat als zjn tweede wet. Deze kan ook zonder de boven geschetste benaderngen worden afgeled. De snelhed van een planeet n haar omloopbaan verandert zodang dat n geljke tjdsntervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte ljn voerstraal tussen de zon en de planeet, geljk s. Opmerkng: Als het deeltje met massa m net als boven n een centraal krachtenveld beweegt dat ontstaat door de zwaartekracht vanut een andere massa M n de oorsprong O, dan s de kracht dus bepaald door de unversele gravtatewet. Herut kan dan worden afgeled dat het deeltje op een ellpsbaan beweegt. Dt s de eerste wet van Kepler en het was Isaac ewton de ut Kepler s wetten de unversele gravtatewet wst af te leden. In het vervolg van dt stuk echter veronderstellen wj de planetenbanen als crkelvormg. Gezen de klene excentrcteten van de beschouwde ellpsbanen bljft dt het gedrag van de dubbelplaneten goed beschrjven. Behoud van het totale mpulsmoment Veel systemen bestaan ut meerdere puntmassa s: aan de ene kant kunnen bjvoorbeeld planeten worden opgevat als samenvoegng van afzonderljke klene puntmassa s en aan de andere kant kunnen systemen van meerdere planeten worden opgevat als puntmassa s de n hun zwaartepunten zjn geconcentreerd. In het eerste geval denken wj aan eptunus en Trton; foto: Voyager II, 3 jul, 989 Opgave 3 Bewjs stellng. Voor een deeltje waarop geen utwendge kracht werkt, geldt dus dat J constant s. Hoe verhoudt zch dt tot de eerste wet van ewton?

7 7 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december onendg veel deeltjes en kunnen tot de lmet overgaan en n het tweede geval gaat het maar om enkele massadeeltjes. Gegeven zjn deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r vanut een wllekeurg punt O. Het totale mpulsmoment van het systeem s dan gegeven door Jtot = = r P en het totale koppel s tot = = r F. De boven bewezen stellng ledt rechtstreeks tot de volgende stellng. Stellng Voor het totale mpulsmoment en het totale koppel geldt: d Jtot dt = tot. Als het totale koppel verdwjnt, bljft ook het totale mpulsmoment behouden. Op het -de deeltje werkt een kracht F de s samengesteld ut de krachten F j de door de andere deeltjes worden utgeoefend en een externe kracht F,ext. Dus F = F j + F,ext. j=, j = Het aandeel j=, j = F j van de kracht F noemen we de nterne kracht F,nt op deeltje. Dus F = F,nt + F,ext op deeltje. Stellng Als een aantal puntmassa s óf zonder externe krachten, óf n een centraal krachtenveld beweegt, s het totale koppel geljk aan nul en het totale mpulsmoment bljft behouden. Bewjs: In bede gevallen geldt voor de -de puntmassa: r F,ext = 0: als er geen externe kracht s geldt F,ext = 0 en n een centraal krachtenveld wjzen r en F,ext n dezelfde rchtng, dus ook her geldt: r F,ext = 0. De krachten F j de door de massadeeltjes op elkaar worden ugeoefend wjzen n dezelfde of de omgekeerde rchtng als r r j en er geldt: F j = F j. = r F = = = = = } {{ } =0 = = < j = r F,ext + r F,ext + F,nt = r F,nt r F j = r F j + r j Fj j = < j r r j F j = 0. < j Rotates Als we kjken naar een draaende hoepel of een fetswel met massa m vanut het mddelpunt dat wj ons voorstellen als bestaand ut klene puntmassa s m,..., m, dan s het totale mpulsmoment J = r P = = m r v. = = De vectoren r en v staan altjd loodrecht op elkaar en daarom wjst r v n de rchtng van de draaas en heeft lengte r v = r v waarbj r en v de afstand van de puntmassa naar het mddelpunt en de snelhed aangeven de voor elke puntmassa hetzelfde zjn. Dus J wjst n de rchtng van de draaas en Het maanoppervlak

8 8 294 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders J = m rv. Als wj de snelhed v met behulp van de hoeksnelhed ω utdrukken, ν = ω r, dan vnden wj J = m r 2 ω. Herdoor bljkt al dat hoe klener de straal r wordt hoe groter de snelhed ω van de draang wordt. Dt s een effect dat ook veelvuldg bj kunstschaatsers en op speeltuntoestellen te observeren s. Gyroscopsch effect Stel wj oefenen nu voor een korte tjd een kracht F n de rchtng van de rotate-as ut op de rand door bjvoorbeeld een slag of door een korte bewegng van het stuur. De formule d J dt = kunnen wj bj benaderng lezen als: J =. Bj een dergeljke toepassng van het koppel op het systeem wjst dus het verschl J van het mpulsmoment n dezelfde rchtng als en net n dezelfde rchtng als de kracht F het koppel staat loodrecht op F of als de draa-mpuls J want de wjst n de rchtng van de draaas. De draaas verandert dus met J van rchtng als voor een moment werkt. Dat s n een andere rchtng dan de utoefenng van de kracht doet vermoeden. Dt noemt men het gyroscopsch effect. Dt effect gaat bj veel mensen tegen de ntuïte n. Het verklaart waarom een tol net kantelt; zodra de zwaartekracht hem naar beneden duwt zorgt dt effect ervoor dat hj n een zjwaartse bewegng, de zogenaamde precesse, terechtkomt waardoor de bovenkant van de tol rondjes gaat draaen. Ook de aantrekkngskracht van de zon op de aarde heeft tot gevolg dat de draaas van de aarde zch n een precessebewegng bevndt. m m r waarbj we m = = m beschouwen Impulsmoment verdelen op zwaartepunten Gegeven zjn deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r. Dan defnëren wj het zwaartepunt van deze deeltjes door r CM = = als massa van het zwaartepunt CM staat voor center of mass. Een zwaartepunt gedraagt zch n veel opzchten als een enkel massapunt. Daardoor zjn enkele grootheden de voor de afzonderljke deeltjes bestaan ook znvol te defnëren voor het zwaartepunt. Als wj met een homogeen lchaam met dchthed ρ te maken hebben, s m = ρv waarbj V de nhoud van het lchaam weergeeft. Vaak stellen wj ons voor dat dt lchaam bestaat ut een groot aantal klene massadeeltjes met massa s m,..., m. Een vast lchaam kan men opvatten als een verzamelng van verschllende klene massadeeltjes m,..., m met postevectoren r,..., r waarvoor geldt: m = m m. De totale mpuls s dan geljk aan de mpuls van het zwaartepunt: PCM = m r CM. Men kan hermee het zwaartepunt opvatten als massapunt met massa m, postevector r CM en mpuls PCM. Impulsmoment van baan en spn De defntes van mpulsmoment en koppel gelden met betrekkng tot een wllekeurg punt O. Her kjken wj nu naar een systeem van deeltjes en onderzoeken de grootheden n kweste door ze zowel te relateren aan het punt O als ook aan het zwaartepunt. Bjvoorbeeld n systemen als de dubbelplaneet aarde-maan kan het zwaartepunt hervan worden gerelateerd aan het mpulsmoment gezen vanut de zon. Gegeven deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r vanut een wllekeurg punt O. Dan kunnen we het totale mpulsmoment ten opzchte van O als volgt spltsen n mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van O baanmpulsmoment en mpulsmoment van alle deeltjes ten opzchte van het zwaartepunt spn-mpulsmoment: J = r P = = = Jspn + r CM PCM. r r CM P = } {{ } spn + r CM PCM } {{ } baan De vectoren r r CM noemen we z. Dan s Jspn = = z P het spn-mpulsmoment of de spn-draa-mpuls het totale mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt en Jbaan s het mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van O, het zogenaamde baan-mpulsmoment of de baan-draa-mpuls. Een vergeljkbare opspltsng als bj het mpulsmoment kan ook voor het totale koppel worden gemaakt. Dan s = nt + ext met nt = = z F en ext = r CM Fext. Daarbj draagt Fext = = F zjn naam terecht want Fext s ook geljk aan = F,ext, zoals wj boven bj de defnte van het zwaartepunt al hebben gezen. Opmerkng: Als wj naar een dubbelplaneet kjken als bjvoorbeeld aarde-maan met massa s m A en m M en totale massa m = m A + m M n het centraal krachtenveld van de zon met massa M, dan s het totale mpulsmoment behouden. Wj kunnen het totale mpulsmoment spltsen n een deel ten opzchte van de zon en een deel ten opzchte van het zwaartepunt van de dubbelplaneet. Het eerste mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van de zon s Jbaan = r CM PCM en de afgelede geeft: d Jbaan dt = r CM PCM + r CM Fext = r CM Fext. Deze vector Fext wjst net noodzakeljk preces n de rchtng van r CM. De externe kracht op de dubbelplaneet s Fext = G Mm A r 3 A r A G Mm M r 3 r M M waarbj r A en r M de postevectoren van de zon naar aarde en maan zjn. Als wj echter veronderstellen dat r A r M ongeveer geljk zjn aan r CM de verschllen zjn verwaarloosbaar klen n verhoudng met de grootte van r CM dan geldt Fext = G Mm ma r 3 m r A + m M m r M G Mm r r 3 CM en daarmee s dan d Jbaan dt = r CM Fext = 0. In de beschouwngen over dubbelplaneten zullen wj daarom ook veronderstellen dat het mpulsmoment J Jbaan van de dubbelplaneet ten opzcht van het zwaartepunt van de dubbelplaneet behouden bljft. Traaghedsmoment De laatste groothed de wj her nvoeren s het traaghedsmoment. Stel je hebt een hoepel met straal r en massa m. Als wj de hoepel opdelen n klene stukjes met massa m, de allemaal met dezelfde snelhed v = rω bewegen waar ω de hoeksnelhed weergeeft, dan s het mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt spn-mpulsmoment geljk aan J = r P = m r v = m r 2 ω = mr 2 ω. De groothed I = mr 2 hangt dus alleen af van het lchaam en net van de snelhed ω van de draang hoeksnelhed. Het deel I, dat alleen maar afhangt van het lchaam, heet het traaghedsmoment van de hoepel. Als we nu kjken naar een star lchaam, dan draaen alle de-

9 9 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december len van het lchaam welswaar met verschllende absolute snelheden afhankeljk van de afstand naar de draaas maar met dezelfde hoeksnelhed ω. We kjken nu naar een massadeeltje met massa m, postevector r vanut het zwaartepunt van het lchaam en snelhed v. u kunnen we de hoeksnelhed beschouwen als vector ω met lengte ω waarvoor geldt v= ω r. De hoeksnelhed ω wjst n de rchtng van de draaas. Hermee zjn wj n staat om een utdrukkng voor het mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt te vnden de alleen afhangt van vorm en dchthed van het lchaam en de hoeksnelhed ω. In prncpe gaat dt net als bj de hoepel. Het totale mpulsmoment s n het algemeen Jtot = m r ω r. et als bj de hoepel wllen wj herut een utdrukkng afleden waarn de hoeksnelhedsvector los staat van de rest van de utdrukkng de dan alleen nog maar afhangt van de egenschappen van het lchaam. Bj een wllekeurg lchaam ledt dt tot de defnte van de zogenaamde traaghedstensor. In het geval van een homogeen bolvormg lchaam met straal R en dchthed ρ s dt echter net veel moeljker dan bj de hoepel. Herbj herhalen wj n wezen het bewjs van de n opgave 2 te bewjzen formule u v u = u 2 v u, v u = u v u voor vectoren u en v. Elke vector r kunnen wj opspltsen n een deel a dat loodrecht staat op ω en een deel u dat n dezelfde of n de tegengestelde rchtng van ω wjst. Dus r = a + u met a = r ω en u = r ω. Dan berekenen wj J als volgt: J = m r ω r = m r ω a = m a ω a + u ω a = m a 2 ω ω u a m a 2 ω ω m u 2 a. = Het gedeelte ω m u 2 a verdwjnt echter bj een bolvormg lchaam omdat een bolvormg lchaam op zo n maner n klene massastukjes kan worden opgedeeld dat er een even aantal bjbehorende postevectoren r +,..., r + en r,..., r ontstaat, bestaande ut paren van telkens twee vectoren r ± = u ± a waar de loodrecht op ω staande delen ± a elkaar opheffen. Voor een bolvormg lchaam houden we dus over: J = ω m a 2 = I bol ω, waarbj I bol = m a 2 het traaghedsmoment s. Herbj kan m worden gezen als ρv met het bjbehorende deel V van de nhoud V. Om het traaghedsmoment te berekenen delen wj de bol op n even grote schjfjes van dkte h. Op hoogte h heeft een dergeljke schjf breedte B, waarbj geldt: B = R 2 h 2. Deze schjfjes de- Opgave 4 Laat aan de hand van de wetten van ewton zen dat als op het -de deeltje een kracht F werkt, dat dan met Fext = = F ook voor het zwaartepunt de tweede wet van ewton geldt,.e. Fext = m r CM of Fext = PCM. len wj vervolgens op n rngen met een straal van b tot b + b en dkte h. Het traaghedsmoment voor zo n rng s dan ρπ b + b 2 b 2 h b 2. Als we dt verder utwerken krjgen we: ρπ 2b b + b 2 h b 2 = ρπ2b b h b 2 + ρπ b 2 h b 2. u nemen we de som over de rngen n de schjf met straal B. Dan wordt de som over ρπ b 2 h b 2 wllekeurg klen als we b klen kezen. Het mpulsmoment van een dergeljke rng wordt dus gegeven door B ρπ h 2b 3 db = ρ π 0 2 hb4. u sommeren wj over alle schjven en vnden voor het traaghedsmoment: I bol = ρ π R R 2 R 2 h 2 4 dh. Met de formule 4 3 πr 3 voor de nhoud van de bol s J = Ibol ω, waarbj I bol het traaghedsmoment s van een bolvormg lchaam met straal R dat gegeven wordt door: I bol = 5 2 mr2. Behoud van mpulsmoment bj dubbelplaneten Her passen we de boven geschetste theore toe op specale gevallen de een rol spelen voor onze beschouwngen n de astrofysca. Wj hanteren herbj de vereenvoudgende en feteljk onjuste aanname dat de maan rond de aarde langs een crkelbaan beweegt. Eveneens veronderstellen wj dat het zwaartepunt van de twee net, respecteve eenparg, beweegt. Dubbelplaneten Her hebben wj te maken met twee bolvormge vaste lchamen met massa s m en m 2, postevectoren r en r 2 vanut het gemeenschappeljk zwaartepunt en onderlnge afstand r. Dan s de postevector van het zwaartepunt geljk aan met m = m + m 2 en er geldt r CM = m r + m 2 r 2 m r = m 2 m r r 2 en r 2 = m m r 2 r. Daarmee lggen dus m resp. m 2 op afstand r = r = m 2 m r resp. r 2 = r 2 = m m r van het zwaartepunt. u kjken we naar de draang van de twee massa s rond het zwaartepunt en wllen hervoor de hoeksnelhed bepalen. Dt doen wj mddels de derde wet van ewton door de centrfugale kracht en de gravtatekracht aan elkaar geljk te stellen. Op massa m werkt n de rchtng r 2 r de gravtatekracht vanut massa m 2 de zch op afstand r = r 2 r van elkaar bevndt. Deze kracht s dus geljk aan Fgravtate = G m m 2 r r 3 2 r. Tegeljkertjd werkt de centrfugale kracht op massa m de andere kant op: v Fcentr f ugaal = 2 m r r r 2 r = m r ω 2 r 2 r, r

10 296 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders waarbj ω de hoeksnelhed aangeeft met v = r ω. Hermee lukt het de hoeksnelhed te bepalen. G m m 2 r 3 = m r ω 2 ω = G m + m 2 r 3. Wj zen herut bjvoorbeeld dat de lchamen steeds sneller roteren naarmate ze dchter bj elkaar komen. Opmerkng: Ut het evenwcht van gravtatekracht en mddelpuntzoekende kracht bljkt dat de omlooptjd T evenredg s met r 3 2. Dt staat n zjn algemene vorm bekend als de derde wet van Kepler, de een verband aangeeft tussen de afstand van de planeten en de omlooptjd. Behalve voor crkelbanen geldt dt ook voor ellpsbanen r s de halve lange as. Met de voorberedng n de paragrafen hervoor zjn wj nu n staat om het totale mpulsmoment te berekenen. Omdat dubbelplaneten n een centraal krachtenveld ver weg van de zon bewegen, s het totale mpulsmoment J ten opzchte van het zwaartepunt van de dubbelplaneet nagenoeg constant ze opmerkng op pagna 294. Wj spltsen J op n het mpulsmoment ten opzchte van de zwaartepunten van elk van de planeten en de mpulsmomenten van elk massadeeltje van een planeet ten opzchte van het zwaartepunt van deze planeet. r, resp. r 2, met mpulsen P, en P2, zjn de postevectoren van het -de massadeeltje van planeet resp. 2 met massa m, resp. m 2,. Voor de postevectoren vanut de zwaartepunten van de planeten schrjven wj z, = r, r,cm en z 2, = r 2, r 2,CM. Dan vnden wj: J = z, P, + z 2, P2, + r,cm P, + r 2,CM P, waarbj de postevectoren r,cm en r 2,CM utgaan van het algehele zwaartepunt van de dubbelplaneet. P, s geljk aan P, P,CM + P,CM en daarbj s P, P,CM de mpuls waarmee de -de puntmassa rond het zwaartepunt van planeet roteert. z, P,CM = z, P,CM s geljk aan nul als de bolvormge planeet op een symmetrsche maner n massadeeltjes s opgedeeld waarbj er voor elke vector z, zo n tegenovergestelde vector n de som z, te vnden s. Hetzelfde geldt voor planeet 2. Als we dt samenvatten, houden wj de volgende utdrukkng over: J = z, P, P,CM + z 2, P2, P2,CM + r,cm P,CM + r 2,CM P2,CM. Met de berekenngen voor het traaghedsmoment vnden wj: J = IΩ + I 2Ω2 + m r 2 + m 2r 2 2 ω oftewel J = I Ω + I 2 Ω2 + µr 2 ω Herbj s µ = m m 2 m +m 2 de zogenaamde gereduceerde massa. Ω en Ω 2, respecteveljk I en I 2, staan voor de rotatesnelheden, respecteveljk traaghedsmomenten van de planeten en 2. Dt was het voorwerk. Met deze bagage zjn wj nu toegerust om depere nzchten n bjvoorbeeld de egenschappen van dubbelplaneten te verkrjgen. Halley had toch geljk Hoe zt het nu met het verhaal van Halley? Hervoor gaan wj zorgvuldg kjken naar het totale mpulsmoment van aarde en maan. De traaghedsmomenten van aarde I A = 5 2 m AR 2 A en maan I M = 2 5 m MR 2 M zjn nogal verschllend van grootte: I A = 9, kg km 2 en I M = 8, kg km 2, dat wl zeggen I M s mnder dan een duzendste van I A ze tabel. De hoeksnelhed van aarde en maan wordt relatef tot de vaste sterren gemeten. Herbj verwaarlozen wj het tollen van de aardas precesse. Gezen vanut de vaste sterren draat de aarde n 365,2564 dagen 366,2564 keer om haar egen as. Daardoor geldt voor de hoeksnelhed 366, 2564 Ω A = 2π 365, 2564 dag = 6, dag. De maan draat net meer ten opzchte van de aarde maar wel ten opzchte van de vaste sterren. De maanden zoals wj de vanaf de aarde zen de synodsche maanden zjn 29,53 dagen lang. Gezen vanut de aarde draat de maand n één jaar dus 365, ,53 keer rond de aarde. Omdat het hele systeem n een jaar rond de zon draat s 365, ,53 + Ω M = 2π 365, 2564 dag = 0, dag. Dt geeft aan dat n de formule het spn-mpulsmoment van de maan klener dan een tenduzendste s van het spnmpulsmoment van de aarde. Daarom zullen wj het her verwaarlozen. De draaassen ω en Ω A wjzen vrjwel n dezelfde rchtng. Met m geven wj weer de totale massa aan: m = m A + m M. J = µr 2 ω + I A Ω A = µ Gm r 2 + IA Ω A. 2 De wet van mpulsbehoud geeft daarmee een verband tussen r en Ω A waarbj de tweede utdrukkng s afgeled met behulp van de derde wet van Kepler ω = Gm r de de afhankeljkhed tussen r en ω aangeeft. De tweede vergeljkng ut 2 kunnen wj ook schrjven als: Ω A = J I A µ I A Gm r 2. 4 Het s een fet dat de getjden de draasnelhed Ω A van de aarde langzaam af laten nemen ze [4 6]. Ut vergeljkng 2 en het behoud van mpulsmoment zen we dat daarmee r toe moet nemen. Dt s wat er ook werkeljk wordt geobserveerd. De afstand neemt met 3,82 cm per jaar toe. De vergeljkngen 3 en 4 geven aan hoe r, ω en Ω A van elkaar afhangen. Wj weten dat r langzaam toeneemt. Met name

11 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december zjn we nu geïnteresseerd n de afhankeljkhed van de n dagen gemeten maandlengte van r. Wj noemen λ m r de lengte van een maand en λ d r de lengte van een dag zoals wj de op aarde bj een gegeven afstand r tussen aarde en maan zouden waarnemen dat wl zeggen synodsch. Dan geeft λ m /λ d het aantal dagen aan n een maand. Wj wllen nu aantonen dat λ m /λ d voor de dubbelplaneet aardemaan als functe van de afstand r rond de werkeljke afstand r 0 = 3, km dalend s. Omdat de afstand r daadwerkeljk toeneemt weten we dan dat de maanden korter worden als zj n dagen worden gemeten. Hervoor wllen we eerst het verband formuleren tussen λ m en λ d aan de ene kant en ω en Ω A aan de andere kant de ten opzchte van de vaste sterren zjn gedefneerd. Grootheden de ten opzchte van de vaste sterren worden bepaald, noemen we ook sdersch wat afkomstg s van het Latjnse woord sdus = ster. λ j staat voor de lengte van een jaar en de hangt dus net af van r. De maan draat λ j /λ m keer per jaar rond de aarde, gezen vanut de zon. Ten opzchte van de vaste sterren draat hj n één λ jaar j λ m + keer rond zjn egen as. Herbj gebruken wj weer dat de maan ten opzchte van de aarde stlstaat en dus ten opzchte van de zon per maand een rondje om zchzelf draat. De sdersche hoeksnelhed ω van de draaende dubbelplaneet aarde-maan s dan λ j λ ω = 2π m + = 2π +. λ j λ m λ j Wllen we de afhankeljkhed van deze grootheden van r onderzoeken, dan kunnen wj her de afgelede naar r bestuderen de we met een accent aangeven, dus bjvoorbeeld ω = ω r. ω = 2π λ m λm 2. 5 et zo draat de aarde λ j /λ d keer per jaar rond haar egen as, gezen vanut de zon. Ten opzchte van de vaste sterren draat hj n λ één jaar j λ d + keer rond zjn egen as. De sdersche hoeksnelhed Ω A van de aarde s dan Ω A = 2π De afgelede naar r geeft her: λ j λ d + = 2π +. λ j λ d λ j Ω A = 2π λ d λd 2. 6 Wj wllen weten of λ m /λ d voor aarde-maan bj groter wordende r rond de werkeljke afstand r 0 daalt of stjgt. In eder geval vertelt ons de quotëntregel dat geldt: λm λ d < 0 λ m λ d < λ m λ d. Herbj moet wel worden gecontroleerd dat λ d > 0 s. Ut 4 volgt dat Ω A < 0 s en samen met 6 zen we λ d > 0. Ut de formules 5 en 6 concluderen wj λ m λ d = ω λ m λ m Ω A λ. d λ d Aarde Maan Straal 637 km 738 km Massa kg kg Tabel Straal en massa van aarde en maan De n dagen gemeten maanden worden dus daadwerkeljk korter als geldt: ω λ m Ω A λ <. 7 d Door de derde wet van Kepler te dfferentëren volgt: ω = 3 2 Gm r 5 2. De wet van mpulsbehoud geeft na dfferentate naar r: Ω A = µ 2I A Gm r 2. Dt ngevuld n de ongeljkhed 7 levert de condte: ω λ m Ω A λ = 3 µ λ m r 2 <, d I A λ d en dat s werkeljk het geval ze opgave 6. Twee andere dubbelplaneten nader bekeken Een en dezelfde formule kan heel verschllende scenaro s voor een dubbelplaneet tot gevolg hebben. Mars en Phobos De planeet Mars heeft twee manen Phobos en Demos oftewel vrees en verschrkkng. Wj kjken her naar de dubbelplaneet Mars-Phobos. Mars draat langzamer om zjn egen as dan zjn maan Phobos om hem heen draat. Dat betekent dat de hoeksnelhed van Mars Ω M en de hoekssnelhed van Phobos Ω P wel n dezelfde rchtng wjzen, maar dat geldt: Ω M < Ω P. De getjdewerkng zorgt er dan voor dat Ω M toeneemt. De formule J = µr 2 ω + I M ΩM + I P ΩP Opgave 5 Laat zen dat m r 2 + m 2r 2 2 = µr2. Opgave 6 a. Gebruk de data n de tabellen om te laten zen dat bj aarde-maan werkeljk aan dt crterum s voldaan. b. Wat gebeurt er als aarde en maan dchter bj elkaar zouden staan? Opgave 7 Vnd een varant van het argument ut de tekst de rekenng houdt met het fet dat de banen van eptunus en Trton n vlakken lggen de een hoek van 23 met elkaar maken.

12 298 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders tjdseenhed sdersche dag sdersche maand sdersch jaar synodsche maand synodsche dag afstand aarde-maan toename per jaar Tabel 2 Tjdseenheden tjd 8664, seconde 27,3266 dag 365,2564 dag 29, dag dag = 24 h 3, km 3,82 cm excentrctet maanbaan 0,05490 Tabel 3 Betrekkngen tussen aarde en maan wordt met behulp van het verband tussen hoeksnelhed en afstand Mars-Phobos ω 2 r 3 = Gm M + m P tot de denttet: J = µ Gm M + m P r 2 + IM Ω M + I P Ω P. We zen dus dat het mpulsmoment alleen kan worden behouden als met toenemende Ω M de afstand r afneemt. Mars en Phobos gaan dus langzaam naar elkaar toe totdat Phobos op Mars te pletter slaat. eptunus en Trton Trton s met afstand de grootste van 3 bekende manen van eptunus. De klenste dre van deze manen zjn pas snds 2004 bekend en de allerklenste heeft een doorsnede van maar 54 km. Trton s de langst bekende maan van eptunus, waarvan het bestaan al een maand na de ontdekkng van de planeet 846 werd bevestgd. Pas n 949 werd door de Amerkaanse astronoom van ederlandse afkomst Gerard Kuper de tweede maan ereïde ontdekt. In de Grekse mythologe was Trton de oudste zoon van Posedon de n de Romense mythologe eptunus werd genoemd. Bjzonder aan de dubbelplaneet eptunus-trton s dat eptunus om zjn egen as draat maar tegeljkertjd draat zjn maan Trton tegen de draang van eptunus n: Trton beweegt retrograde om eptunus heen. Trton heeft, als enge grote maan n ons zonnestelsel, zo n retrograde baan. Daarnaast heeft de baan van Trton een opmerkeljk grote hoek 23 ten opzchte van de evenaar van eptunus. Herut concludeert men dat Trton net s ontstaan rond eptunus, maar later s ngevangen door eptunus. Het ljkt dan ook goed mogeljk dat Trton vroeger deel utmaakte van de zogenaamde Kupergordel, een gordel van vele mljarden komeetachtge, ut rots en js bestaande objecten, voorbj de baan van eptunus, de achtste planeet van ons zonnestelsel. Ook bewegen eptunus en Trton net n hetzelfde vlak, al gaan we dt her voor het gemak wel aannemen. Het s net moeljk het argument te nuanceren met de toevoegng dat de banen n een hoek van 23 staan. De retrograde bewegng betekent dat de hoeksnelhed van eptunus Ω en de hoeksnelhed van Trton Ω T n tegengestelde rchtng wjzen. De getjdewerkng zorgt er ook her voor dat Ω afneemt. De formule J = µr 2 ω + I M ΩM + I P ΩP wordt dan met behulp van het verband tussen hoeksnelhed en afstand Mars-Phobos ω 2 r 3 = Gm M + m P tot: J = µ Gm + m T r 2 + I Ω + I T Ω T. Het behoud van mpulsmoment zegt ons nu dat als Ω T afneemt de afstand r eveneens af moet nemen. Dus ook Trton zal steeds dchter bj eptunus komen totdat hj zo dchtbj komt dat hj door de getjden uteen wordt gereten nadat hj de zogenaamde Rochelmet heeft berekt. Trton zal naar verwachtng bnnen honderd mljoen jaar op eptunus neerstorten. k Verantwoordng Deze bjdrage komt voort ut de samenwerkng van het Regonale Steunpunt Wskunde D n jmegen met Jan Kujpers, hoogleraar astrofysca en decaan aan de Radboud Unverstet, en een kerngroep van negen wskundedocenten: Mark van den Aarssen, Hanneke Abbenhus, Herman Alnk, Leon van den Broek, Bart Jordens, Mars van Haandel, Dolf van den Hombergh, Rchard Klen Breteler en Jos Wnkel. Ook op de unversteten van Delft, Endhoven en Twente s voor een soortgeljke aanpak gekozen ze [7]. Referentes E. Halley 695. Some account of the ancent state of the cty of Palmyra, wth short remarks upon the nscrptons found there, Phlosophcal Transactons, XIX: E. Halley 693. Emendatones ac notae n vetustas albatên observatones astronomcas, Phlosophcal Transactons, XVII: U. Uffrecht & T. Poppe Hmmelsmechank und Raumfahrt, Klett Verlag, Stuttgart Düsseldorf Lepzg. 4 F. Verbunt 200. Van Halley tot lunar rangng, Zent, aprl, F. Verbunt 200. VLBI, zonsverdusterngen, schelpjes en modder, Zent, jun, F. Verbunt The Earth and Moon: from Halley to lunar rangng and shells, 7 TRU s, samenwerkng van de regonale Wskunde D steunpunten aan de unversteten Delft, Endhoven, Twente en jmegen, 8 Commsse Toekomst WskundeOnderwjs, ct- WO, mnsterële verneuwngscommsse wskunde,