Combinatoriek groep 2

Transcriptie

1 Combatore groep Mx: ducte, ladeprcpe, bomaalcoëffcëte, paaseereprcpe Tragsweeed ovember 015 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het mae va opgave s om et allee de theore de je et goed gebrue, maar om oo zelf de geschte theore te selectere Iducte Bj ee bewjs met volledge ducte bewjs je eerst de bewerg voor ee zeere begwaarde 0 ; dt heet de ductebass Vervolges laat je ze dat ut de bewerg voor ee zeere (de ductehypothese volgt dat hj oo geldt voor + 1; dt heet de ductestap Dt moet je late ze voor ele 0 Ut deze twee oderdele volgt u dat de bewerg waar s voor alle 0 Soms hebbe we ee sterere ductehypothese odg om de bewerg te ue bewjze voor + 1, zoals de aaame dat de bewerg al geldt voor é 1 (tweestapsducte of de aaame bestaat ut geldghed va de bewerg voor álle (stere ductehypothese Houd er bj tweestapsducte reeg mee dat je de ductebass oo de eerste twee gevalle bewjst Ladeprcpe Het ladeprcpe et verschllede gedaates: Als je + 1 balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da éé balletje Als je + 1 balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da balletjes Als je oedg veel balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met oedg veel balletjes Bomaalcoëffcëte Defte Laat 0 geheel zj Dt materaal behoort tot het tragsprogramma va de Nederladse Wsude Olympade ter voorberedg op de teratoale wedstrjde

2 We defëre! als het aatal maere om verschllede objecte op ee rj te zette (spree ut: -facultet Nu s! ( 1 1 voor 1 Mer op dat 0! 1 (Je ut 0 objecte op preces 1 maer op ee rj zette Voor gehele met 0 defëre we ( als het aatal maere om objecte ut te eze, waarbj de volgorde et utmaat Nu s (! voor 0!(! Als et geldt dat 0 (dus of < 0 of > zegge we dat ( 0 Lemma 1 (Egeschappe bomaalcoëffcëte Laat e geheel zj Als 0 e 0, da geldt ( ( Als 1 e 0 1, da geldt ( ( + ( Lemma (Het bomum va Newto Voor gehele 0 geldt (x + y 0 ( x y x + ( x 1 y + 1 (Hererg: voor alle reële getalle x geldt x 0 1 Voorbeeld Vul x y 1 het bomum, da staat er 0 ( Of vul x 1, y 1, da staat er, voor > 0, ( ( 1 ( ( ( x y + + xy 1 + y 1 Mer op dat er voor 0 aa bede ate 1 was utgeome, wat oo voor x 0 geldt x 0 1 Paaseereprcpe Het paaseereprcpe s ee methode om slm te telle de zch bjzoder goed laat llustrere aa de had va ee opgave over het verve va paaseere: Voorbeeld I heb 0 (detee paaseere de wl verve de leure blauw, rood, geel e paars Op hoeveel maere a dat? Oplossg Leg de eere op ee rj e verdeel ze ver groepjes, de evetueel oo leeg moge zj Het eerste groepje verve we blauw, het tweede groepje rood, het derde groepje geel e het verde groepje paars Het aatal maere om de paaseere te verve omt

3 dus overee met het aatal maere om de eere ver groepjes te verdele, waarbj de volgorde va de groepjes utmaat (de verdelg (6, 4, 3, 7 s et hetzelfde als (7, 3, 4, 6 Stel je u als afschedg tusse de groepjes eere hejes voor; je hebt dus dre hejes odg De verdelg (6, 4, 3, 7 zet er u ut als I fete staat her ee rj va 3 symbole, waarva er 0 het symbool 0 zj e 3 het symbool + El zo rj correspodeert met preces éé maer om de eere ver groepjes te verdele Het aatal maere om zo rj te mae s smpelweg het aatal maere om 3 plee te eze ut 3, amelj de 3 plee waar de plusjes ome We cocludere dat het aatal maere om de eere te verve gelj s aa ( 3 3 Opgave Opgave 1 Ee baetbaer heeft zes soorte bobos waaroder oo de tot bobo va het jaar veroze bobo Wat s het aatal mogeljhede om (a ee doosje met 1 bobos te vulle, (b ee doosje met 1 bobos te vulle zodat er mmaal bobos va het jaar ztte, (c ee groot doosje met 4 bobos te vulle zodat er va el type mstes ztte, (d ee doosje met 1 bobos te vulle waar maxmaal éé bobo va het jaar zt, (e ee doosje waar maxmaal 4 bobos ue te vulle (hoewel suf, het doosje zou dus leeg ue zj, (f ee grote ba met 36 bobos vulle zodat er va el type ee oeve aatal de ba ztte Opgave Bewjs dat voor posteve gehele geldt: ( ( 1 ( Opgave 3 Op hoeveel maere a je ee atuurlj getal schrjve als som va atuurlje getalle waarbj de volgorde utmaat Voor 3 zj bjvoorbeeld ver mogeljhede; 3, + 1, 1 + e Opgave 4 Chocoladeletters zj er de soorte puur, mel e wt Ja heeft ver chocoladeletters J, va éé of meer va deze soorte Hj telt het aatal maere waarop hj deze letters op ee rj a legge Vervolges oopt hj og ee mel-letter J e og ee pure letter J e telt weer op hoeveel maere hj zj zes letters op ee rj a legge Dt aatal s preces 5 eer zo groot als het vorge aatal Hoeveel wtte chocoladeletters heeft Ja? 3

4 Opgave 5 Bewjs dat voor posteve gehele geldt: ( ( Opgave 6 I ee verat met zjde va legte 1 zj ege pute gegeve Bewjs dat we dre va deze pute ue eze zodat de oppervlate va de drehoe gevormd door deze pute maxmaal 1 s 8 (Je mag zoder bewjs gebrue dat de oppervlate va ee drehoe de geheel be ee a b-rechthoe lgt te hoogste 1 ab s Opgave 7 I de Eerste Kamer zj er 75 zetels te verdele Hoeveel maere zj er om deze zetels oder dre partje te verdele zodat el tweetal partje ee meerderhed heeft de amer? Opgave 8 Het zogeaamde hoceystclemma ludt: voor et-egateve gehele e p geldt: p ( ( + + p + 1 p ( ( + + p + 1 of p + 1 (a Bewjs dt lemma met ducte aar p (b Geef ee combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal rjtjes met ee bepaald vast aatal ulle e ee bepaald vast aatal ee (hoeveel ulle e hoeveel ee? op twee maere te telle (c Geef og ee tweede combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal oplossge (x 1, x,, x +1 (met alle x et-egatef geheel va de ogeljhed x 1 + x + + x +1 p op twee maere te telle (d Waarom heet dt egelj het hoceystclemma? (Het heet oo wel de so va Pascal Opgave 9 Zj S ee deelverzamelg va {1,,, 013} zodag dat S gee twee getalle bevat de 3 of 5 verschlle Hoeveel elemete bevat S hoogut? Opgave 10 Beree 49 ( 1 ( 99 Opgave 11 Laat, m, l gegeve posteve gehele getalle zj Bewjs de volgede geljhed op ee combatorsche maer: ( + m l ( ( m l m(l, max(0,l m ( ( m l 4

5 Opgave 1 Ee groep va ma-vrouw-pare met gaat dere aa ee rode tafel met stoele Als je aar alle mogelje maere jt waarop me a gaa ztte, hoeveel vrouwe ztte er da gemddeld aast hu ege ma? Opgave 13 Dwerge hebbe ver soorte mute: goude, zlvere, broze e opere mute Broze mute zj 10 opere mute waard, zlvere mute 100 e goude mute 1000 Stel dat ee dwerg ets wl ope dat 011 opere mute ost Op hoeveel maere a hj dt betale, zoder teveel te betale? Opgave 14 Voor alle et-egateve gehele geldt ( + 1( (a Bewjs deze bewerg met ducte (b Geef ee combatorsch bewjs va deze bewerg door de verzamelg op twee maere te telle {(x, y, z x, y, z {0, 1,,, }; x < z e y < z } Opgave 15 Laat S {1,,, 01} Vd het aatal deelverzamelge va S met preces 1 getalle, zodat de som va deze getalle deelbaar s door 4 Opgave 16 Bewjs dat voor et-egateve gehele geldt: 1 (+ Opgave 17 Bewjs dat voor posteve gehele geldt: 0 j0 ( 1 j!j! 1 Opgave 18 Ee voetbalwedstrjd edgt geljspel, zeg We telle het aatal mogelje wedstrjdverlope waarbj de eerste club oot achter heeft gestaa te op zchte va de tweede club? (Ee mogeljhed s AAABBABAABBBAB 1 Bewjs dat er +1( va zul soort wedstrjdverlope zj (Dt zj de zogeaamde Catalagetalle 5