Multiplicatieve functies

Transcriptie

1 Multplcateve functes 1 Defnte Een ekenkundge functe s een functe f :: N C. Een ekenkundge functe dukt een zekee egenschap van de natuuljke getallen ut. Defnte 1.1. Een ekenkundge functe f s multplcatef elk tweetal ondelng ondeelbae getallen m en n geldt dat als voo f(m.n) = f(m).f(n) Omdat elk natuuljk getal ontbonden kan woden n pemfactoen, s een multplcateve functe gekend als je de beelden van de pemfactoen kent. We geven enkele evdente egenschappen van deze multplcateve functes: Stellng 1.2. Als f een multplcateve functe s, dan s f(1) = 1 ofwel s f 0. Bewjs. We weten dat f(n) = f(n.1) = f(n).f(1). Als f(1) = 0, dan s f(n) = 0 voo elk natuuljk getal n en dus s f 0. Als f(1) 0, dan moet f(1) = 1. Stellng 1.3. Het poduct van twee of mee multplcateve functes s ook een multplcateve functe. Bewjs. Veondestel dat f en g multplcateve functes zjn en dat m en n 1

2 ondelng ondeelbae natuuljke getallen zjn, dan s (f.g)(m.n) =f(m.n).g(m.n) =f(m).f(n).g(m).g(n) =(f.g)(m).(f.g)(n) 2 Voobeelden De constante functe op 1, de denteke functe, een machtfuncte : allemaal evdnete voobeelden van een multplcateve functe. Elk natuuljk getal n kan ontbonden woden n pemfactoen. Veondestel dat n = p α 1 1.p α 2 2..p α. Defnee nu de volgende functes van N naa N: τ(n) s het aantal posteve deles van n σ(n) s de som van alle posteve deles van n π(n) s het poduct van alle posteve deles van n Stellng 2.1. De functe τ s multplcatef. Bewjs. Om het aantal deles van n te beekenen schjven we n n zjn pemontbndng. Een dele s bepaald doo de keuze van de macht van een pemfacto. Daadoo s τ(n) = (α + 1) =1 Omdat n en m ondelng ondeelbaa zjn, hebben n en m geen pemfacto gemeenschappeljk en kunnen we m schjven als m = q β 1 1.q β 2 2..qs βs. Dan s: τ(n.m) = (α + 1).(β j + 1) met = 1,, en j = 1,, s = (α + 1). (β j + 1) =τ(n).τ(m) 2

3 Stellng 2.2. De functe σ s multplcatef. Bewjs. We pobeen eest een explcete fomule af te leden voo de som van alle deles van n. σ(n) = d n d = ( ) 0 µ α =1 pµ = ( α ) =1 µ =0 pµ Doo gebuk te maken van de som van de temen van een meetkundge j vnden we: σ(n) = =1 p α +1 1 p 1 Omdat n en m ondelng ondeelbaa zjn, hebben n en m geen pemfacto gemeenschappeljk en kunnen we m schjven als m = q β 1 1.q β 2 2..qs βs. Dan s: σ(n.m) = p α +1 1 p 1 q β j+1 j 1 q j 1 = p α +1 1 p 1. β q j +1 j 1 q j 1 =σ(n).σ(m) met = 1,, en j = 1,, s Stellng 2.3. De functe π s net multplcatef. Bewjs. We geven een tegenvoobeeld. Neem n = 3 en m = 4. Dan s π(3.4) = π(12) = = Maa π(3).π(4) = (1.3).(1.2.4) = 24 Naa analoge met de voge bewjzen wllen we toch een fomule geven om π(n) te beekenen. Als n geen volkomen kwadaat s dan komen alle deles n koppels voo: d en n τ(n). Het poduct van de twee deles s n. E zjn zo d 2 koppels, dus s π(n) = 2 τ(n) 2 Als n een volkomen kwadaat s, dan zjn e τ(n) 1 koppels en 1 dele apat, 2 nameljk n. Het poduct van alle deles s dan 2 τ(n) en zo vnden we dezelfde utkomst als heboven. 3

4 3 De Möbus en Dchlet functe s een e- Een somfuncte van een ekenkundge functe f, genoteed als S f kenfundge functe waavoo geldt dat: S f (n) = d n f(d) Notee de functes I(n) = 1 en Id(n) = n, dan geldt S I = τ en S Id = σ. Nu weten we dat I, Id, τ en σ multplcateve functes zjn. Zou het kunnen dat de somfuncte van een multplcateve functe, teug een multplcateve functe s? Stellng 3.1. Een ekenkundge functe f s multplcatef als en slechts als zjn som functe S f multplcatef s. Bewjs. Veondestel eest dat f multplcatef s en dat x 1, x 2,, x k alle deles zjn van x en y 1, y 2,, y l alle deles van y. Veondestel ook dat x en y ondelng ondeelbaa zjn. Heut volgt dat elke x ondelng ondeelbaa s met elke y j en dat de vezamelng {x y j } alle deles bevat van xy. Dan geldt: S f (x).s f (y) = k f(x ). =1 =,j l f(y j ) j=1 f(x )f(x j ) =,j f(x y j ) =S f ((xy) Bjgevolg s S f multplcatef. Veondestel nu dat S f multplcatef s. Neem twee getallen n 1 en n 2 de ondelng ondeelbaa zjn en met n = n 1 n 2. We bewjzen doo nducte op n, dat f(n) = f(n 1 )f(n 2 ). Voo n = 1 s f(1) = S f (1)(= 1 of 0) en dus geldt de egenschap zeke al voo n = 1. Veondestel dat de egenschap klopt voo 4

5 alle m 1 m 2 < n. Dan s: S f (n) = f(d d j) Andezjds geldt e ook dat: d n 1,d j n 2 = d d j <n f(d d j) + f(n 1 n 2 ) = d d j <n f(d 1 )f(d j) + f(n 1 n 2 ) S f (n 1 )S f (n 2 ) = f(d ) d n 1 d j n 2 = f(d j) d d j <n f(d 1 )f(d j) + f(n 1 )f(n 2 ) Omdat S f multplcatef s, volgt heut dat f(n) = f(n 1 )f(n 2 ) en dus s ook f multplcatef. Mek op dat als n = p α 1 1.p α 2 2..p α, we de som functe van een multplcateve functe f kunnen schjven als S f (n) = (1 + f(p ) + f(p 2 ) + + f(p α =1 De klasseke Möbusfuncte µ s een belangjke multplcateve functe n getaltheoe en combnatoek. Ze s venoemd naa de Dutse wskundge August Fednand Möbus ( ), doo we deze functe wed geïntoduceed n Defnte 3.2. We defneen de functe µ : N N als: µ(n) = 1 als n een postef kwadaatvj geheel getal s met een even aantal veschllende pemfactoen. µ(n) = 1 als n een postef kwadaatvj geheel getal s met een oneven aantal veschllende pemfactoen. µ(n) = 0 als n net kwadaatvj s. 5

6 Zo s µ(6) = 1 ( twee pemfactoen: 2 en 3), µ(7) = 1 (één pemfacto 7) en µ(8) = 0 ( net kwadaat vj want 4 deelt 8). Een andee belangjke functe s de Dchlet functe δ de oveal de waade 0 aanneemt behalve als n = 1, dan s ze 1. Stellng 3.3. De Dchlet functe δ s multplcatef Bewjs. Omdat de somfuncte van de Dchlet functe, de constante functe op 1 s, volgt het te bewjzen ut voge stellng. Stellng 3.4. De Möbus functe µ s multplcatef Bewjs. Beekenen we de som functe van de Möbus functe. Wannee de exponent van een pemfacto van n gote s dan 1, s het beeld evan onde de Möbus functe geljk aan 0. We zjn dus enkel geïnteesseed n de deles de het poduct zjn van de pemfactoen, dus net van machten evan. De som van de beelden onde de Möbus functe s 1 ( ( 1) + 2) + = (1 1) = 0. Bjgevolg s de somfuncte van de Möbus functe, de Dchlet functe en volgt het te bewjzen ut voge stellng. 4 De Eule functe In de getaltheoe s de ndcato of totënt van een postef natuuljk getal n, genoteed als ϕ(n), het aantal posteve natuuljke getallen klene dan of geljk aan n de ondelng ondeelbaa zjn met n. Zo s bjvoobeeld ϕ(8) = 4, omdat van elk van de ve oneven getallen 1, 3, 5 en 7 ondelng ondeelbaa zjn met 8. Voo een pemgetal p s ϕ(p) = p 1. Ook geldt e dat ϕ(p k ) = p k p k 1. Deze functe wodt veelal n veband gebacht met de Zwtsese wskundge Leonhad Eule, de deze functe utgebed bestudeede en wodt dus ook dkwjls de Eule functe genoemd. Stellng 4.1. De Eule functe ϕ s multplcatef Bewjs. Neem 2 getallen a en b de ondelng ondeelbaa zjn en anschk alle getallen van 1 tot ab n een schema als volgt: 6

7 Als een element ja + elatef pem s met a, dan s elk element van de -de kolom elatef pem met a. Nu zjn e n de eeste j just ϕ(a) elementen de ondelng ondeelbaa zjn met a en dus de ϕ(a) kolommen bevatten al de elementen n het schema de ondelng ondeelbaa s met a. Omdat a en b ondelng ondeelbaa zjn, s het dudeljk dat de b elementen van een kolom bj delng doo b allemaal een veschllende est geven. E zjn met andee wooden n elke kolom just ϕ(b) elementen de ondelng ondeelbaa zjn met b. Bjgevolg zjn e ϕ(a).ϕ(b) elementen n het schema de elatef pem zjn met a en b, dus met ab. Maa dan s ϕ(a).ϕ(b) = ϕ(ab) en dus s de Eule functe multplcatef. Nog enkele opmekngen: Net omdat de Eule functe multplcatef s, kunnen we een explcet vooschft geven. We nemen de ontbndng n pemfactoen van n en dan geldt e dat ϕ(n) = =1 ϕ(pα = ( ) =1 p α p α 1 = ) (1 1p. Dus: =1 pα ϕ(n) = n (1 1 )(1 1 ) (1 1 ) p 1 p 2 p We bepalen de somfuncte van de Eulefuncte. Omdat de Eule functe multplcatef s, s de som functe dat ook zodat S ϕ (n) = ( ). Het pobleem wodt zo heled tot het bepalen van S ϕ (p α =1 S ϕ p α ). Maa dat s 1 + p 1 + p 2 p + + p α p α 1 = p α. Bjgevolg s ndedaad S ϕ (n) = n en s de som functe van de Eulefuncte de denteke functe. 7