1. Langere vraag over de theorie

Transcriptie

1 1. Langee vaag ove de theoie a) Beschijf in detail het opladingspoces voo een condensato die in seie wodt geschakeld met een gelijkspanningsbon en met een weestand (de inwendige weestand van de gelijkspanningsbon mag vewaaloosd woden). Wat is de tijdsconstante van het opladingspoces voo deze -keten? Toon aan dat e behoud van enegie is bij het opladingspoces. b) Beschijf in detail het ontladingspoces voo een condensato die in seie wodt geschakeld met een weestand Wat is de tijdsconstante van het ontladingspoces voo deze -keten? Toon aan dat e ook bij het ontladingspces behoud van enegie is. Deze eeste vaag peilt naa het kennen van de leestof. Het antwood is dan ook diect teug te vinden in de beteffende PowePoint pesentatie.

2 Oplading van een -keten In een gelijkstoomketen met een weestand en een condensato in seie, zal de stoom vaiëen in functie van de tijd. Wannee de keten wodt gesloten met de schakelaa S op tijd t = 0, begint de condensato op te laden. De condensato blijft opladen totdat hij zijn maximale lading Q beeikt: Q Cε Wannee de condensato volledig is opgeladen, valt de stoom in de keten opnieuw naa nul.

3 Oplading van een -keten, vevolg 1 Op het moment dat de schakelaa gesloten wodt, is de lading op de condensato gelijk aan nul. Naamate de platen van de condensato woden opgeladen, zal het potentiaalveschil ove de condensato toenemen. Eens de maximale lading beeikt, zal de stoom in de keten teug gelijk aan nul woden. Het potentiaalveschil ove de condensato is dan in gootte gelijk aan het potentiaalveschil ove de polen van de batteij ( open king ). Tweede egel van Kichhoff toepassen voo de gesloten lus levet: q( C I( R 0 q( C R dq( dt 0 Dit is een diffeentiaalvegelijking voo q(.

4 Oplading van een -keten, vevolg We kunnen deze diffeentiaalvegelijking oplossen doo scheiding van de veandelijken : C q( dq( dt Vevolgens integeen we beide leden van deze vegelijking tussen t = 0 en de tijd t waaop de lading op de condensato de waade q heeft beeikt: q t 1 0 ε 0 0 dq( q( dq q C t dt ln q C Cε Om q( te vinden nemen we dan de e-macht van beide leden en kijken ook nog na of de oplossing voldoet aan het feit dat voo heel gote tijden de lading op de condensato gelijk wodt aan Q. C ε dt Cε

5 Oplading van een -keten, vevolg 3 De tijdsafhankelijkheid van de lading op de condensato wodt dan uiteindelijk: t q t C 1 e Q 1 e Afleiden naa de tijd levet de tijdsafhankelijkheid van de stoom tijdens het opladen: I t 0 t e It e R We definiëen dan de tijdsconstante τ voo de -keten als t t τ

6 Oplading van een -keten, vevolg 4 De tijdsconstante τ = komt oveeen met de tijd die nodig is om de lading te vehogen van nul tot 63.% van de maximale lading, dit is tot Q C 11 / e. Geduende diezelfde tijd is de stoom geeduceed met een facto 1/e, dit is tot 36.8% van zijn initiële waade (zie ook voobeeld 6-11). We kunnen ook beekenen hoeveel enegie de emk-bon heeft geleved tijdens het opladen: emk U Q Q emk U du dq dq Q C ε ε ε ε Uit hoofdstuk 4 weten we wat de enegie is die opgeslagen zit in de condensato: U C C ε

7 Oplading van een -keten, vevolg 5 E wed ook enegie gedissipeed in de weestand: U R t P du dt I R dt I R R e Redt R R U t t ε ε e dt e R 0 R 0 De enegie geleved doo de emk wed netjes vedeeld ove de weestand en de condensato! ε t R C ε E U U U emk C R wamte

8 Oplading van een -keten, vevolg 6 We bekijken ook nog de gafische voostelling van de tijdsafhankelijkheid van het potentiaalveschil ove de condensato en de stoom in de keten:

9 Ontladen van een -keten Een opgeladen condensato met initiële lading Q kan opnieuw woden ontladen. We tonen hiena aan dat het ontladen gebeut met dezelfde tijdsconstante τ = als het opladen. Ook hie passen we de tweede egel van Kichhoff toe voo de gesloten lus: I( R R q( C dq( dt 0 met q( C dq( I( dt dq( q( dt

10 Ontladen van een -keten, vevolg 1 We integeen tussen tijd nul en tijd t. In dit tijdsinteval vemindet de lading van Q tot q(: q( Q dq q 0 t dt ln q Q t Voo de tijdsafhankelijkheid van de lading kijgen we dat q( Q e t Dit levet dan voo de tijdsafhankelijkheid van de stoom dat I( t dq( Q e I( t 0) dt e t

11 Ontladen van een -keten, vevolg Bij t = = is de lading geeduceed tot Q max. Met andee wooden, de condensato heeft dan 63.% van zijn initiële lading veloen. De enegiebalans van de -keten geeft dan dat U t Q R Q du Pdt I Rdt e dt R C 0 Q C R U R Q C De enegie die oosponkelijk opgeslagen was in de condensato, wodt bij het ontladen doo de weestand omgezet in wamte.

12 Ontladen van een -keten, vevolg 3 We bekijken ook nog de gafische voostelling van de tijdsafhankelijkheid van het potentiaalveschil V C ove de condensato die ontlaadt [V(t = 0) = V 0 ].

13 . Oefening

14 Voo het oplossen van deel 1 van de oefening baseen we ons op de uitdukking voo de elektische weestand als functie van de esistiviteit ρ, de lengte en de doosnede van de weestand: R lengte doosnede Voo een adieel vloeiende stoom moeten we de cilinde dan opdelen in een hele eeks van concentische cilindes die op een infinitesimale afstand d van mekaa liggen. Voo twee nabuige cilindes blijft de doosnede zo goed als constant (de stoomdichtheid blijft ongevee constan en voo de weestand tussen de twee cilindes vinden we d 1 dr d

15 De totale weestand in de adiële ichting is dan de som van de weestandjes van al de gebiedjes tussen nabuige cilindes (som wodt integaal): R 1 d 1 d ln 1 Voo het oplossen van het tweede deel van de oefening beteffende de weestand in de longitudinale ichting maken we opnieuw gebuik van de uitdukking R lengte doosnede

16 In dit geval is opdelen in kleine stukjes niet nodig omdat de stoomdichtheid constant is (doosnede is constan. We moeten dan voo de lengte gewoon de lengte l van de cilindevomige weestand nemen en voo de doosnede het oppevlak tussen de binnenste (staal 1 ) en de buitenste cilinde (staal ). De weestand wodt dan gegeven doo R 1

17 3. Vie kotee vagen 1. Twee deeltjes die iede een massa van 3 mg hebben en een zelfde maa tegengestelde lading van 5 nc hebben, woden tegelijketijd vanuit ust losgelaten op het moment dat ze 5.0 cm van mekaa vewijded zijn. Wat is de snelheid van iede van de deeltjes op het moment dat ze.0 cm van mekaa vewijded zijn? a. 5.0 m/s b. 1.5 m/s c. 3.0 m/s d. 0 m/s e. 6.0 m/s Mijn antwood: b = 1.5 m/s

18 Mijn veantwooding van het gekozen antwood: We maken gebuik van het behoud van enegie (= kinetische enegie + potentiële enegie) en vegelijken de situatie in het begin (snelheid v i = 0 en afstand i = 5.0 cm) met de situatie op het einde (snelheid v f en afstand f =.0 cm): totale enegie mv i ke q i mv f ke q f ke q i mv f ke q f Zowel q = 5 nc, m = 3 mg, i = 5 cm als f =.0 cm zijn gegeven. Uit bovenstaande vegelijking kunnen we vevolgens de snelheid v f beekenen en we vinden dan oplossing b.

19 . Het elektisch veld in het getoonde gebied wodt gegeven doo E = (8i + yj) N/C waabij y in mete is. Wat is de gootte van de elektische flux doo het bovenvlak van de kubus in de figuu? a. 90 N m /C b. 6 N m /C c. 54 N m /C d. 1 N m /C e. 16 N m /C Mijn antwood: c = 54 N m /C

20 Mijn veantwooding van het gekozen antwood: We gebuiken de definitie van de flux van het elektisch veld: E Ed A 8i y j dx dz j E y dx dz y dx dz 6N/C 9m 54 Nm /C We bekomen dus antwood c

21 3. Maak gebuik van de wet van Gauss om aan te tonen dat het elektisch veld dicht bij een plaat met heel gote lateale afmetingen gegeven wodt doo σ/(ε 0 ) met σ de oppevlakteladingsdichtheid, en dit zowel voo een metalen plaat als voo een isolato met een homogene ladingsvedeling. Uit de symmetie volgt dat voo de isolato én voo het metaal het veld buiten de platen loodecht staat op de platen met ladingsdichtheid σ en een constante gootte heeft dicht bij de platen. We kiezen als Gaussisch oppevlak een cilinde met as loodecht op de platen. Het veld met gootte E is telkens paallel met het gekomde deel van de cilinde dat dus geen bijdage levet aan de elektische flux. De flux doo een uiteinde van de cilinde dat buiten de platen valt, is EA. Voo de isolato laten we beide uiteinden buiten de plaat vallen zodat de totale flux EA is en de totale omsloten lading σa. Met de wet van Gaus wodt het veld dan E = (σa) / (Aε 0 ) = σ/(ε 0 ). Voo het metaal zit de lading geconcenteed aan iede van de oppevlakken, tewijl E = 0 binnen in het metaal. Bij toepassen van de wet van Gauss laten we dan één van de uiteinden binnen in het metaal vallen (flux is nul) en het

22 andee uiteinde buiten de plaat, zodat de flux daa EA is. Met de wet van Gauss wodt het veld dan E = [(σ/)a] / (A ε 0 ) = σ/(ε 0 ), waabij we de lading in twee gelijke delen hebben vedeeld tussen beide oppevlakken. Zoals aangegeven ondeaan p. 598 en bovenaan p. 599 in het handboek, heeft het metaal een dubbel zo goot veld als we voo het definiëen van de ladingsdichtheid maa één enkel oppevlak van het metaal zouden beschouwen. Ondestaande figuen veduidelijken het antwood. σ/ σ/ isolato metaal

23 4. Bepaal de lading die opgeslagen zit op de condensato C 1 wannee C 1 = 0 µf, C = 10 µf, C 3 = 30 µf en met een doo de batteij gelevede spanning V 0 = 18 V. a mc b. 0.4 mc c. 0.3 mc d mc e mc Mijn antwood: b = 0.4 mc

24 Mijn veantwooding van het gekozen antwood: De condensatoen C en C 3 staan in paallel en kunnen vevangen woden doo een equivalente condensato met capaciteit C pa = C + C 3 = 10 μf + 30 μf = 40 μf. De condensato C pa staat op zijn beut in seie met de condensto C 1 zodat de equivalente capaciteit voo het totale cicuit gegeven wodt doo (1/C eq ) 1 = (1/C 1 ) 1 + (1/C pa ) 1. We vinden dan dat C eq = 40/3 μf. De lading Q die opgeslagen zit in het cicuit wodt gegeven doo Q = C eq V = 40/3 x 18 μc = 40 μc. Vemits we weten dat voo een seie-schakeling van twee condensatoen de lading op beide condensatoen dezelfde is, zal de lading op de condensato C 1 ook gelijk zijn aan 40 μc = 0.4 mc. Antwood b is coect.