Oplossing oefening 3.4.

Transcriptie

1 Opossin oefenin 3.4. Opave Zoek ae symmetiën van de vom q = q + ɛξ(t, q t = t } q i = q i + ɛ ξ i (t, q, q, ( voo de hamonische osciato aaniaan: L = ( m q kq. ( Mek op dat we hie de tijdstansfomaties buiten beschouwin aten; die zouden no 3 exta symmetieën opeveen waaonde de symmetie uit oef. 3.. Opossin De tansfomatie ( is sechts een symmetie as en sechts e een functie f(q, t bestaat zodani dat: ξ L We weken deze veeijkin uit: ( ξ qkξ + t + ξ L q = f, q, q, t. (3 ξ + q m q = f t + q f Dit kan maa eden voo ae q, as de coëfficiënten van q, q, q nu woden: (4 kqξ = f t m ξ t = f m ξ =. (5a (5b (5c Uit veeijkin (5c vot dat ξ enke functie is van t: ξ = ξ (t. Veeijkinen (5a en (5b even aaneidin tot een inteabiiteitsvoowaade: vemits onde uime voowaaden patiëe afeeiden commuteen: ( f t vot met (5a en (5b en ξ = ξ (t: = t ( f, (6 m ξ + kξ =. (7

2 De opossin hievan uidt: met ω = k m ξ (t = c cos ωt + c sin ωt, (8. Komen we teu op voowaade (5b hescheven: en inteeen we die, dan vinden we: f = m ξ, (9 f(q, t = m ξ q + a(t, ( met a(t een wiekeuie functie. Vuen we dit in in voowaade (5a in: m ξ q + ȧ = kqξ, ( dan zien we dat ȧ = en dat we onze inteabiiteitsvoowaade teuvinden, vemits zowe de coëfficiënt van q as q moet nu zijn. Samenvattend vinden we voo de aemene symmetietansfomatie (met twee constanten, zodat e in feite ineaie onafhankeijke symmetietansfomaties zijn en de behouden ootheid; ξ(q, t = c cos ωt + c sin ωt F (q, t = c (m q cos ωt + mqω sin ωt + c (m q sin ωt mqω cos ωt + c. ( Te contoe: ichten we onze aandacht op de eeste tansfomatie (c =, c = : q = q + ɛ cos ωt, (3 en vevanen we in de Eue-Laane veeijkin m q + kq = de q doo q : m( q ɛω cos ωt + k(q + ɛ cos ωt = m q + kq, (4 dan vinden we indedaad de oosponkeijk Eue-Laane veeijkin teu (symmetie. Ook edt dat, ebuik makende van de Eue-Laane veeijkin: F = m q cos ωt m qω sin ωt + m qω sin ωt + mqω cos ωt =, (5 zodat F indedaad een behouden ootheid is.

3 Opossin oefenin 7.3 Opave Kepe-pobeem: L = m + k. Ga ove naa het Hamiton-fomaisme. Beschouw de Lapace-Rune-Lenz vecto: Ā = p L mk. (6 Beeken {L i, H} en {L i, f(}. Gebuik dit om {A i, H} uit te ekenen. Opossin Het momentum toeevoed aan = (x, y, z is p = (p x, p y, p z met De hamitoniaan wodt dan: p = L = m. (7 H = p m k. (8 We beekenen eest: {L i, f(} = ɛ ijk j {p k, f(} = ɛ ij j df d = (9 p {L i, H} = {L i, m } = ɛ ijkp k { j p, m } = ɛ p ikp k m =, waabij in de tweede ijn a ebuikt wed emaakt van het esutaat van de eeste ijn en waabij de aatste uitdukkinen op eke ijn nu woden omdat een antisymmetische tenso (ɛ wodt econtaheed met een symmetische uitdukkin. Ook wed ebuik emaakt van: = x + y + z i i Met deze inediënten kunnen we uiteindeijk het Poisson-haakje van de Lapace- Rune-Lenze vecto met de hamitoniaan aanpakken: {Ā, H} = { p L mk, H} = i. ( = { p, H} L mk{, H} = { p, k ( } mk p m + = k k 3 ( ( p + p = k 3 ( ( p ( p + p = p m ( 3

4 Bijevo edt dā = {Ā, H} =, ( dt zodat de Lapace-Rune-Lenze vecto een constante van de bewein is. Dit aatste kan ook aanetoond woden doo dā echtsteeks uit te ekenen en ebuik dt te maken van de beweinsveeijkinen. L is een pseudovecto In de fiuu zijn, p en s ewone vectoen. L = p is echte een pseudovecto, want zij bevat de ɛ-tenso. Onde spieein (oneienijke otatie, dus met deteminant tansfomeet L met een exta minteken teenove de ewone vecto s. Oneienijke otaties (dus ook deze spieein woden bekomen doo de samenstein van een puntsymmetie en een (eienijke otatie. s s L p L p Spiee 4

5 Opossin oefenin 9. k m m We nemen de hoeken q i = (, as veaemeende coödinaten. Beide woden in teenwijzezin emeten. In functie daavan woden de coödinaten van de twee massa s: x = sin, y = cos, x = + sin, y = cos. (3 De ente van de vee wodt: = ( sin sin + + ( cos cos. (4 Deze eeft aaneidin tot de potentiëe eneie: V vee = k(, (5 waabij de ustente van de vee is en tevens de afstand tussen de twee bevestiinspunten. In de opave staat dat we de veticae bijdae tot de ente van de vee de tem met de cosinussen moen vewaaozen. Je ziet dat die toch van tweede ode is in en en dus een o za speen in onze keine-tiin benadein. De aaniaan wodt dan: L = m ( + k (sin sin + m(cos + cos. (6 Het evenwicht wodt evonden uit de veeijkinen: V = k ((sin sin cos m sin = V = k ( (sin sin cos m sin = (7 Deze veeijkinen zien e vij inewikked uit en as de afstand tussen de twee bevestiinspunten niet mee is dan zuen we ze effectief moeten opossen. As beide massa s of entes van de sines niet mee eijk zijn dan wodt het no inewikkede. In dit eva zien we echte dat (, = (, een minimum is 5

6 van de potentiaa, want het minimaiseet zowe de potentiëe eneie van de vee as van de zwaatekacht. We maken nu een Tayo expansie van de aaniaan L = T V ond dit evenwichtspunt: L = L + T q i q j q i q j V q i q j q i q j (8 De constante bijdae L beschouwen we niet, want ze heeft een invoed op de beweinsveeijkinen. Een tem V q i schijven we niet, want deze tem i is nu as we ond een evenwicht weken weens veeijkinen zoas (7. In pincipe zijn e no temen moeijk: T i q i + T q i q i + T i j q i q j + T i q j q i q j + V q i +. (9 Onde voende voowaaden zijn deze temen echte nu: De aaiaan is een typische mechanica-aaniaan L = T V. Zowe de kinetische as de potentiëe eneie zijn niet expiciet afhankeijk van de L tijd: = T =. Afhankeijkheid van de tijd via de coödinaten of hun t t afeeiden ma natuuijk we. De hoonome vebindinen zijn onafhankeijk van de tijd. functie van de coödinaten en niet van hun afeeiden. Ze zijn enke De ekozen evenwichtstoestand moet bijevo ook onafhankeijk zijn van de tijd. [ ] [ ] V T Voo de matices V = en T = vinden we: i j q i q j [ k V = + m k k k + m ] [ m, T = m ]. (3 We steen een opossin voo van de vom q i = a i e iωt, waabij de vecto a moet vodoen aan [V ω T ] [a] =. De eienwaaden en eienvectoen (op een constante na bepaad woden: ω = a = (, = ω = + k m a = (, =. (3 Deze twee modes zijn e as vot uit: 6

7 = =- De meest aemene opossin is: [ ] [ ] = c cos( m t + φ + c [ ] cos( m + k m t + φ. (3 Mek op dat de eeste tem oveeenkomt met een excitatie van het systeem waabij beide sines in fase beween en bij de tweede tem beween ze in teenfase. Wannee de sines in fase beween edaen ze zich as twee apate sines (vandaa ω = en wannee de sines in teenfase beween wodt de bewein vesned doo de wekin van de vee (vandaa ω = + k. m Bij de stat even we de eeste sine een uitwijkin, tewij de twee sine veticaa hant. Dit komt oveeen met de beinvoowaaden: We vinden dan: =, = = =. (33 c =, c =, (34 en as (paticuiee opossin na het toepassen van de fomues van Simpson: = cos( = sin( Voeen we nu wijvin in: + k + m t cos( + k + m t sin( F = [ f f + k m t + k m t (35 ], (36 dan wodt de eienwaade-veeijkin nu [V iωf ω T ] [a] =. De eienwaaden zijn: ω,± = if ± f + 4 m m ω,± = if ± (37 f + 4m(k + m m 7

8 tewij de eienvectoen dezefde bijven. In de veondestein dat zowe f + 4 m > as f + 4m(k + m > kijen we de som van twee edempte osciaties as opossin: [ ] =c [ + c [ ] f + 4 m e f m cos m t + φ ] ( f e + 4m(k + m f m cos m t + φ. (38 8