Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games)

Transcriptie

1 Technische Univesiei Delf Faculei Elekoechniek, Wiskunde en Infomaica Delf Insiue of Applied Mahemaics Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games) Veslag en behoeve van he Delf Insiue of Applied Mahemaics als ondedeel e vekijging van de gaad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE doo MEREL ISABEL STOUT Delf, Nedeland Juni 2012 Copyigh c 2012 doo M.I. Sou. Alle echen voobehouden.

2

3 BSc veslag TECHNISCHE WISKUNDE Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games ) MEREL ISABEL STOUT Technische Univesiei Delf Begeleide D. J.A.M. van de Weide Oveige commissieleden Pof.d.i. C. Vuik D.i. M.C. Veaa D. J.G. Spandaw Juni, 2012 Delf

4

5 Voowood Di veslag is en behoeve van he Delf Insiue of Applied Mahemaics als ondedeel e vekijging van de gaad van Bachelo of Science in Technische Wiskunde. In he veslag wod e gekeken naa een gunsig spel in een eindig binomiaal model. De vaag is welke saegie e oegepas moe woden om gegeven een sakapiaal f en nog spellen e gaan de kans da je pofolio uieindelijk mee dan c waad is e maximaliseen, waabij c > f een van evoen vasgeselde posiieve consane is. Ik wil gaag d. J.A.M. van de Weide bedanken voo zijn begeleiding gedue he pojec. 4

6 Inhoudsopgave 1 Inleiding 6 2 Binomiaal spel Inze en saegie Nusfuncie Gunsig spel Binomiale kansvedelingen Eigenschappen van de binomiale vedeling Veband ussen he kapiaal en de uibealingsfaco Opimale inzeen me nog weing spellen e gaan Nog één spel e gaan Nog wee spellen e gaan Nog die spellen e gaan Binaie saegieën Binaie kapialen Binaie inze Binaie saegie Numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ) Vewache nusfuncie Boven- en ondegens voo een opimale inze Binomiale saegieën Binomiale kapialen Nog één spel e gaan Nog wee spellen e gaan Nusvewaching en opimale inzeen Conclusie 46 A Bijlagen 50 A.1 Bewijs selling A.2 Malab code voo numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ).. 60 A.3 Malab code voo een binaie inze A.4 Malab code voo een binaie saegie A.5 Malab code voo simulaies onde een binaie saegie A.6 Malab code voo U(f, ) binai A.7 Malab code voo U(f, ) binomiaal

7 1 Inleiding Na he volgen van de mino Finance is mijn ineesse gewek voo financiële wiskunde. Ui he boek van Sheve [1] da gebuik wod voo he vak Kansmodellen voo Finance is de beginopdach afgeleid: Een ijke inveseede sel een klein budge e beschikking om je beleggingssaegie ove de kome peiodes e esen in een binomiaal model. Als aan he einde je pofolio minsens een waade c heef, een posiieve consane vasgelegd doo de inveseede, dan is he doel beeik en wod e een goe budge o je beschikking geseld. De vaag is welke saegie aangehouden moe woden om de kans da he pofolio uieindelijk een waade c heef beeik e maximaliseen. Vanui di pobleem kwam ik al snel ui op een aikel van M. Kulldoff [2] waain gezoch wod naa opimale saegieën voo gunsige spellen in een casino. He meeel van de sellingen en poposiies die in di veslag zijn afgeleid vinden hun oospong in di aikel. Daanaas is ook he aikel van Beiman [3] da vooaf gaa aan [2] gebuik. Binnen he vinden van opimale saegieën kan e ondescheid gemaak woden ussen de volge gevallen: gunsig of nie-gunsig en een eindige of oneindige beschikbae ijd. Een opimale saegie hoef nie uniek e zijn. In di veslag wod e gekeken naa een opimale saegie en he bijbehoe vewache nu voo een gunsig spel in een eindig binomiaal model. E wod seeds hezelfde spel in he casino gespeeld. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies die onde een vase kans vookomen. Voo ons kansmodel zullen we dus veel gebuik maken van de binomiale vedeling die de kans geef da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. Voo de binomiale kansvedeling woden enkele eigenschappen afgeleid die zowel bij he modelleen van he spel, als bij he bepalen van een opimale inze oepasbaa zijn. Om he veloop van he spel bee e begijpen wod e vevolgens gekeken naa opimale saegieën me nog een klein aanal spellen e gaan. Daana wod e binnen een speciaal geval uidukkingen gevonden voo he vewache nu en een opimale saegie voo eindige N, de zogenaamde binaie saegie. De paiie inevallen [ n 2, n+1 ) 2 zullen hiebij een belangijke ol spellen. Vevolgens kan deze saegie uigebeid woden naa he algemene geval: de binomiale saegie. 6

8 2 Binomiaal spel Beschouw de volge siuaie: we spelen seeds hezelfde spel in he casino, me pe spel wins of velies als mogelijke uikomsen. De winskans wod gegeven doo w. Noem he oegewezen beginkapiaal me nog spellen e gaan f. De uibealing die pe spel gedaan wod hang af van die inze s [0, f ] en de uibealingsfaco (1 )/ bij wins f + 1 s me kans w; f 1 = f s me kans (1 w). waabij w (0, 1) en (0, 1) doo he casino bepaald woden en vas liggen. Hiebij loop, he aanal nog e spelen spellen, dus af naa nul:, 1,..., 2, 1, 0. We willen me he spel een eindkapiaal c > f beeiken. De vaag is hoe he spel gespeeld dien e woden om de kans op he beeiken van c e maximaliseen. Een eindkapiaal da mee dan c waad is, heef geen meewaade en opziche van pecies op c ui komen. Opmeking. Doo heschaling naa he eenheidsineval [0, 1] kan zonde velies van algemeenheid geseld woden: f [0, 1) en c = 1 He sakapiaal f wod dan als pecenage van he e beeiken doel c gezien. 2.1 Inze en saegie Een saegie me nog spellen die gespeeld kunnen woden, wod gegeven doo een ij inzefuncies s, s 1,... s 1, waabij s i (f i ) de inze is als me nog i spellen e gaan he kapiaal gelijk aan f i is. He is nie mogelijk om een negaief bedag in e zeen en de inze kan he budge ook nie oveschijden: s i (f i ) [0, f i ]. De opimale saegie is die saegie waabij de inzeen zo gekozen woden da de kans da he kapiaal uieindelijk c waad is maximaal is. Een opimale saegie hoef nie uniek e zijn, daa komen we lae op eug. 2.2 Nusfuncie E dien een saegie gevonden e woden die goed genoeg is om een waade c e beeiken. He heef geen meewaade om hoge dan di age e eindigen. Een nusfuncie geef een waadeoodeel ove he beeike kapiaal. De nusfuncie u(f 0 ) kan na he spelen van he laase spel de volge waaden aan nemen: 7

9 1 als f 0 1 u(f 0 ) := 0 als f 0 < 1 Dus de inveseede hech e geen waade aan als we op een eindkapiaal van mee dan één uikomen. Doo de inze goe e kiezen dan he veschil ussen je huidige kapiaal en he doel: s i > 1 f i wod e een onnodig isico genomen, de exa inze kan wel woden veloen maa bij wins leve he geen exa nu op. Noee vede U(f, ) voo de vewache nusfuncie onde een opimale saegie, bij een huidig kapiaal f en nog spellen e gaan. Na he spelen van he laase spel geld: U(f 0, 0) = u(f 0 ). Opmeking. U(f, ) = u(f 0 1)P(f 0 1 f, ) + u(f 0 < 1)P(f 0 < 1 f, ) = 1 P(f 0 1 f, ) + 0 P(f 0 < 1 f, ) = P(f 0 1 f, ) (2.1) Dus de nusvewaching onde een opimale saegie is gelijk aan de voowaadelijke kans da he doel beeik wod onde die saegie. 2.3 Gunsig spel De wins die pe spel gemaak kan woden hang naas de inze ook van de winskans w en de uibealingsfaco (1 )/ af, me (0, 1). Beide waaden woden doo he casino bepaald en liggen vas. Aangezien 0 < < 1, neem deze uibealingsfaco waaden ussen nul en oneindig aan: 0 < 1 < Figuu 1 beva de gafiek van (1 )/ als funcie van. We zoeken de opimale saegie bij een gunsig spel. Da houd in da de kans op wins goe is dan de kans op velies: w > 1/2. Vede moe ook de vewache opbengs pe spel posiief zijn. De opbengs van een spel is gelijk aan f 1 f : E[f 1 f ] = w 1 s (f ) (1 w)s (f ) ( = s (f ) w 1 ) (1 w) ( ) w w + w = s (f ) ( ) w = s (f ) 8

10 Figuu 1: gafiek (1 )/ Dus: E[f 1 f ] > 0 w > 0 Voo een gunsig spel dien he casino dan alijd w > e kiezen. 9

11 3 Binomiale kansvedelingen We spelen seeds hezelfde spel in he casino. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies, die onde een vase kans vookomen. He gebuike kansmodel me nog spellen e gaan is da van een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen ξ 1, ξ 2,... zo da P(ξ i = 1) = p en P(ξ i = 0) = 1 p. Voo ons kansmodel zullen we dus veel gebuik maken van de binomiale vedeling die de kans geef da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. In di hoofdsuk gaan we in op de eigenschappen van de binomiale vedeling en leiden we enkele combinaoische lemma s af, die in he vedee veslag van pas zullen komen. 3.1 Eigenschappen van de binomiale vedeling Zij p [0, 1], en laa N he aanal e spelen spellen en k N he aanal kee da een gebeuenis zich voodoe zijn. Noee de binomiale kansvedeling: ( ) k p k 1 p) k als k {0, 1,..., }; P (k, p) := 0 als k < 0. en noee: F (k, p) := k i=0 P (i, p) 0 als k < 0; 1 als k >. als k {0, 1,..., }; Dan beschouwen we de volge eigenschappen van de binomiale vedeling: Lemma 3.1. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., }. F (k, p): Dan geld voo F (k, p) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p) (3.1) Bewijs. Zij ξ 1, ξ 2,... een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen zo da P(ξ i = 1) = p. Dan geld: aangezien: F (k, p) = P(ξ ξ k) (3.2) 10

12 P(ξ ξ k) = P(ξ ξ k, ξ = 1) + P(ξ ξ k, ξ = 0) = P(ξ = 1)P(ξ ξ 1 k 1) + P(ξ = 0)P(ξ ξ 1 k) dan volg voo F (k, p): F (k, p) = P(ξ ξ k) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p) Lemma 3.2. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., }. Dan geld: F (k 1, p) F (k 1 1, p) F (k, p) (3.3) en F (k 1 1, p) = F (k 1, p) + k P (k, p) (3.4) Bewijs. Zij ξ 1, ξ 2,... een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen gedefinieed zoals in (3.2). Ongelijkheid (3.3) volg dan ui: {ξ ξ 1 + ξ k 1} {ξ ξ 1 k 1} {ξ ξ 1 + ξ k} Ui ongelijkheid (3.3) volg da F (k 1 1, p) gescheven kan woden als een convexe combinaie: waa voo q [0, 1] geld: (1 q)f (k 1, p) + qf (k, p) (3.5) q = = F (k 1 1, p) F (k 1, p) F (k, p) F (k 1, p) F (k 1 1, p) F (k 1, p). P (k, p) Ui lemma 3.1 volg: F (k 1 1, p) F (k 1, p) = F (k 1 1, p) pf (k 2 1, p) (1 p)f (k 1 1, p) = pp (k 1 1, p) dus q = p( ) 1 k 1 p k 1 (1 p) k ( = k) k p k (1 p) k [0, 1]. 11

13 Deze uidukking voo q invullen in vegelijking (3.5) geef: ( F (k 1 1, p) = 1 k ) F (k 1, p) + k F (k, p). (3.6) Hieui volg: F (k 1 1, p) = F (k 1, p) + k P (k, p). (3.7) Opmeking. Ui vegelijkingen (3.1) en (3.6) volg da we ecusies hebben gevonden voo F (k, p) die lijken op de diehoek van Pascal voo binomiaal coëfficienen. 3.2 Veband ussen he kapiaal en de uibealingsfaco De uibealingsfaco hang af van de keuze voo (0, 1). Sel nu p = (1 ). Voo iede kapiaal f [0, 1] is e dan een geal k {0, 1,..., } e vinden zoda: F (k 1, 1 ) f < F (k, 1 ). He geal k is doo f uniek bepaald. Vede definiëen we q [0, 1) als de unieke oplossing van de vegelijking: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Opmeking. De keuze voo p = (1 ) en nie p = heef e maken me de manie waaop de winskans en de uibealingsfaco gedefinieed zijn. Lae in he veslag zal blijken da k aangeef hoevaak e hoogsens veloen mag woden om hel doel nog e kunnen beeiken. Definiie 3.1. Zij (0, 1) vas. Laa 0 q < 1 en k {0, 1,..., } de unieke geallen zijn waavoo geld: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) Beschouw figuen 2 en 3 voo de gafieken van k en q uigeze egen f bij = 0.5 en = 2. Lemma 3.3. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., } en laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan geld voo f [0, 1]: F (k 1, 1 ) f F (k 1 1, 1 ) 0 q k en F (k 1 1, 1 ) f < F (k, 1 ) k q < 1 12

14 Bewijs. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan kan elk kapiaal f [0, 1] gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) Ui lemma 3.2 volg da q = k/ voo f = F (k 1 1, 1 ). Dus voo f waabij q < k/ geld da f kleine is dan F (k 1 1, 1 ) en de kapialen me q > k/ zijn goe dan F (k 1 1, 1 ). Lemma 3.3 zal lae gebuik woden bij he vinden van een ondegens voo opimale inzeen. Figuu 2: Gafiek van k voo = 0.5 en = 2 Figuu 3: Gafiek van q voo = 0.5 en = 2 13

15 Daanaas leiden we nog he volge combinaoische lemma af voo f : Lemma 3.4. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan geld voo elke f [0, 1]: ( f = F (k 1 1, 1 ) + q k ) ( ) (1 ) k k (3.8) k Bewijs. Ui definiie 3.1 volg: Vede zeg lemma 3.2: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) F (k 1, 1 ) = F (k 1, 1, 1 ) k P (k, 1 ) (3.9) Vegelijking (3.8) volg hie diec ui. 14

16 4 Opimale inzeen me nog weing spellen e gaan We beschouwen nu he speciale geval = 1/2. He veloop van he spel zie e dan nu als volg ui: f + s (f ) me kans w; f 1 = f s (f ) me kans (1 w). Pe spel kan de inze gewonnen of veloen woden. Mek op da de inze maximaal even goo kan zijn als he kapiaal dus da he kapiaal binnen één spel hoogsens vedubbeld kan woden. Om de vewaching U(f, ) en de bijbehoe opimale inzeen s,..., s 2, s 1 bee e kunnen begijpen ondezoeken we ees de siuaies waain e nog maa weinig spellen e gaan zijn. Maak hiebij gebuik van vegelijking (2.1) da U(f, ) gelijk is aan de voowaadelijke kans op he beeiken van he doel: P(f 0 1 f, ). 4.1 Nog één spel e gaan [ 0, 1 2) en [ 1 2, 1) van he een- Beschouw voo = 1 de paiie inevallen: heidsineval [0, 1). Als f 1 [ 0, 1 2) dan is he me nog maa één spel e gaan nie mee mogelijk om op één ui e komen, aangezien he kapiaal hoogsens vedubbeld kan woden en da nie voldoe is. Dus U(f 1, 1) = 0 voo f 1 [ 0, 1 2) ongeach de inze. Als f 1 [ 1 2, 1) dan dien he spel bij een inze van 1 f 1 gewonnen e woden om he doel e beeiken en zal bij velies he doel nie gehaald zijn. He vewache nu is dan gelijk aan de kans da he spel gewonnen wod: U(f 1, 1) = w voo f 1 [ 1 2, 1), mis s 1 (f 1 ) 1 f 1. Als f 1 = 1 is he doel al beeik en wod e niks geze. vewache nu geld dan: U(f 1, 1) = 1. Op = 1 voldoe een opimale inze dus aan: 0 s 1 (f 1 ) f 1 als 0 f 1 < 1 2 ; 1 f 1 s 1 (f 1 ) f 1 als 1 2 f 1 < 1; s 1 (f 1 ) = 0 als f 1 = 1. Voo he Figuu 4 laa he opimale gebied voo s 1 (f 1 ) zien, waabij de goene lijn een bovengens is voo een opimale inze en de blauwe lijn een ondegens. 15

17 Figuu 4: Gafiek van s 1(f 1). Voo he vewache nu onde een opimale saegie geld dan: 0 als 0 f 1 < 1 2 ; U(f 1, 1) = w als 1 2 f 1 < 1; 1 als f 1 = 1. He vewache nu onde een opimale inze blijf dus binnen de inevallen [ 0, 1 2) en [ 1 2, 1) consan, zie ook figuu 5 voo de gafiek van U(f 1, 1). Figuu 5: Gafiek van U(f 1, 1) voo w =

18 4.2 Nog wee spellen e gaan Me nog = 2 spellen e gaan delen we he eenheidsineval nu op in 2 2 paiie inevallen. We ondezoeken wee de opimale inzeen en he vewache nu. Mek op da e voo een opimale saegie alleen maa gekeken hoef e woden naa de eese inze s 2, omda we eede al voo elke f 1 [0, 1] de opimale inze hebben gevonden. Als f 2 [ 0, 1 4) dan is he nie mee mogelijk om op één ui e komen, aangezien he kapiaal hoogsens wee maal vedubbeld kan woden. Dus U(f 2, 2) = 0 voo f 2 [ 0, 1 4), ongeach de inze. Als f 2 [ 1 4, 2) 1 moe e wee kee gewonnen woden om he doel e beeiken. Dus U(f 2, 2) = w 2 voo f 2 [ 1 4, 1 2), mis de inze s2 voldoe goo is om me weemaal wins één e beeiken. Kies daaom: 1 2 f 2 s 2 (f 2 ) f 2. Als f 2 [ 1 2, 4) 3 kan he doel binnen één spel beeik woden indien e een inze: 1 f 2 gedaan wod. De uikoms van he weede spel heef dan geen invloed. Als e veloen wod kom he kapiaal eech in he ineval [ 0, 1 2) me nog maa één spel e gaan en kan he doel nie mee gehaald woden. Dus U(f 2, 2) = w 2 + w(1 w) = w voo f 2 [ 1 2, 4) 3, mis e gekozen wod voo een voldoe goe inze om he doel binnen één spel e halen: s 2 : 1 f 2 s 2 (f 2 ) f 2. Maa voo = 1 hadden we gezien da een f 1 [ 1 2, 1) ook een kans w had om he doel e beeiken. He doen van een inze 0 s 2 (f 2 ) f is dus in di geval even opimaal. Aangezien he kapiaal dan op = 1 zich me zekeheid in he paiie ineval [ 1 2, 1) bevind. Als f 2 [ 3 4, 1) wod me een eese inze 1 f 2 he doel bij wins beeik, ongeach de uikoms van he weede spel, en bij velies is e nog één spel e gaan, me een kapiaal f 1 [ 1 2, 1). Dus U(f 2, 2) = w 2 +w(1 w)+(1 w)w voo f 2 [ 3 4, 1), onde een opimale inze. Dus alle uikomsen waabij e nie wee kee veloen wod: U(f 2, 2) = 1 (1 w) 2. E moe voldoe ingeze woden om bij wins he doel e beeiken, maa bij velies mag e nie mee dan f veloen woden, zoda f 1 [ 1 2, 1) en e dus me he weede spel alsnog één gehaald kan woden: 1 f 2 s 2 (f 2 ) f Als f 2 = 1 is he doel al beeik en wod e niks geze. vewache nu geld dan: U(f 2, 2) = 1. Voo he Dus me nog = 2 spellen e gaan is een inze s 2 (f 2 ) opimaal indien hij voldoe aan: 17

19 0 s 2 (f 2 ) f 2 als 0 f 2 < 1 4 ; 1 2 f 2 s 2 (f 2 ) f 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; 1 f 2 s 2 (f 2 ) f 2 of als 1 2 f 2 < 3 4 ; 0 s 2 (f 2 ) f f 2 s 2 (f 2 ) f als 3 4 f 2 < 1; s 2 (f 2 ) = 0 als f 2 = 1, Waabij e dus voo f 2 [ 1 2, 3 4) wee mogelijkheden zijn. Figuu 6 laa he opimale gebied van s 2 (f 2 ) zien, waabij de goene lijn een bovengens is voo een opimale inze s 2 en de blauwe lijn een ondegens. Figuu 6: Gafiek van s 2(f 2). Onde een opimale saegie geld dan da e bij iede paiie ineval een uikoms bij kom die o he doel kan leiden. Figuu 7 beva de gafiek van U(f 2, 2). De nusfuncie U(f 2, 2) wod gegeven doo: 0 als 0 f 2 < 1 4 ; U(f 2, 2) = w 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; w als 1 2 f 2 < 3 4 ; 1 (1 w) 2 als 3 4 f 2 < 1; 1 als f 2 = 1. 18

20 Figuu 7: Gafiek van U(f 2, 2) voo w = Nog die spellen e gaan We kunnen di op dezelfde manie uibeiden voo = 3. Figuu (8) beva he gebied voo de opimale inzeen bij = 3. Ook nu spelen de oosepunen {0, 1/8, 2/8,... 7/8, 1} een belangijke ol. Mek op da e nu spake is van 2 3 paiie inevallen waa binnen he vewache nu onde een opimale inze consan blijf. Voo de kapialen ussen de oosepunen zijn alle inzeen binnen he gijze gebied mogelijk, ewijl de oosepunen zelf maa een eindig aanal opimale inzeen hebben, die pecies goo genoeg zijn om op = 2 wee op een oosepun ui e komen, ongeach wins of velies van he eese spel. Voo he oosepun 1 2 zouden e misschien die mogelijke inzeen vewach woden, vanwege he paoon van de oegesane gebieden. Di blijk nie he geval e zijn, aangezien de inzeen s 3 = 0 en s 3 = 1 2 allebei een vewach nu van w hebben, ewijl he vewache nu onde een inze s 3 = 1 4 gelijk is aan w 3 + 3w 2 (1 w). 19

21 Figuu 8: Gafiek van s 3(f 3) Figuu 9: Gafiek van U(f 3, 3)

22 5 Binaie saegieën In di hoofdsuk gaan we nog seeds ui van = 1/2. He vewache nu onde een opimale saegie is dus voo nog een klein aanal spellen e gaan: {0, 1, 2, 3} consan voo alle sakapialen f binnen een paiie ineval I n = [ n 2, n+1 ) 2 me n = 0, 1,..., 2 1, aan he vewache nu voo he linkeoosepun: ( n ) U(f, ) = U 2, me n 2 f < n + 1. De oosepunen n 2 spelen een belangijke ol bij he bepalen van een opimale saegie. In di hoofdsuk laen we zien da di ook voo algemene op gaa. 5.1 Binaie kapialen Elke f kan volgens definiie 3.1 gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Waabij k en 0 q < 1 uniek bepaald zijn. Vanwege = 1/2 volg: k 1 ( ) ( ) 1 f = + q i 2 i=0 ) ( + q k) = k 1 i=0 ( i 2. ( k ) ( 1 2 De oosepunen van de paiie inevallen: 2, me n = 0, 1,..., 2 zijn dan de kapialen waavoo q ( k) een geheel geal is, zoda geld: ( k ( ) ( ) ) 2 f = + q N. i k i=0 n ) Definiie 5.1 (Binai kapiaal). Een kapiaal f hee een binai kapiaal me nog spellen e gaan als q ( k) een geheel geal is, me q en k gedefinieed als in definiie 3.1 zoda elke f [0, 1] gescheven kan woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Me andee wooden, alle kapialen f = n 2 me n = 0, 1, 2,..., 2 zijn binai. Me nog spellen e spelen zijn e dan (2 +1) veschille binaie kapialen e vinden die he eenheidsineval in 2 paiie inevallen I n = [ n 2, n+1 2 ) opdelen. 21

23 Opmeking. Na he spelen van he laase spel zijn alleen de waaden 0 en 1 binai, aangezien f 0 een binai kapiaal is dan en slechs dan als: f 0 = n 2 0, me n {0, 1}. De oosepunen waa seeds ove gespoken wed, woden vanaf nu dus binaie kapialen genoemd. He vemoeden is da e een opimale saegie is die ove de binaie kapialen loop. Nie voo elk kapiaal kan een inze gevonden woden die ongeach de uikoms van he spel alijd op een binai kapiaal ui kom. Voobeeld 5.1. Vind een binaie inze me nog = 1 spel e gaan. Maak ondescheid ussen f 1 is binai, dus f 1 {0, 1 2, 1}, en f 1 is nie binai. Beschouw de veschille gevallen: Binaie kapialen: Als f 1 = 0 kan e geen inze mee gedaan woden. He kapiaal eindig dan ook op nul: f 0 = 0. Als f 1 = 1 2 dan is s 1(f 1 ) = 1 2 een inze die op een binai kapiaal uikom, ongeach wins of velies: bij wins f 0 = f 1 + s 1 = = 1; bij velies f 0 = f 1 s 1 = = 0. Als f 1 = 1 is he doel al beeik en he is onnodig om nog een inze e doen. He kapiaal eindig dan ook op één: f 0 = 1 Nie-binaie kapialen: Als f 1 / {0, 1 2, 1}. Zoek een inze s 1(f 1 ) [0, f 1 ] zoda beide uikomsen voo he eindkapiaal: (f 0 = f 1 +s 1 ) en (f 0 = f 1 s 1 ) in N liggen. We ween da he eindkapiaal alleen binai is als: f 0 = 0 of f 0 = 1 Vanwege f 1 > 0 en s 1 (f 1 ) 0, moe bij wins gelden: f 1 + s 1 (f 1 ) > 0 dus f 1 + s 1 (f 1 ) = 1 is de enige mogelijke binaie oplossing. Een zelfde edenaie geef bij velies f 1 s 1 (f 1 ) = 0 als enige mogelijke binaie oplossing. He opellen van de vegelijkingen voo wins en velies geef: 2f 1 = 1 Deze vegelijking ken allen de oplossing f 1 = 1 2 en di geef een egenspaak me de aanname da f 1 nie binai is. E is dus geen inze s 1 (f 1 ) e vinden die alijd op een binai kapiaal uikom als f 1 nie binai is. 22

24 5.2 Binaie inze Definiie 5.2 (Binaie inze). Een inze s (f ) die gegeven een sakapiaal f na he spelen van he eese spel alijd op een binai kapiaal uikom, ongeach de uikoms van he spel, hee een binaie inze. Me andee wooden, een inze is binai indien f 1 gescheven kan woden in de vom: f + s (f ) = n 1 me n N; f 1 = f s (f ) = n 2 me n N. Ui voobeeld 5.1 volg da e alleen voo de binaie kapialen f 1 {0, 1 2, 1} een binaie inze gevonden kan woden. Lemma 5.1. Gegeven een nie-binai beginkapiaal, dan besaa e geen binaie inze. Bewijs. Gegeven een nie-binai beginkapiaal me nog spellen e gaan: 2 f / N. Sel e besaa wel een binaie inze s (f ) voo f zoda he kapiaal na he spelen van he eese spel gescheven kan woden als: bij wins f 1 = f + s (f ) = m ; bij velies f 1 = f s (f ) = m waabij m 1 en m 2 posiieve gehele geallen zijn. Opellen van de vegelijking geef: 2f = m 1+m 2. Dus: f 2 1 = m 1+m 2 2, maa da geef een egenspaak me 2 f / N. Dus e besaa geen binaie inze s (f ). n Lemma 5.2. Gegeven een binai beginkapiaal 2 me nog spellen e gaan, dan besaa e alijd een binaie inze. Deze binaie inzeen zijn van de vom: ( n ) s 2 = n 2 i { 2 1 me i N en max 0, n 2 2 1} i n 2. (5.1) Bewijs. He beginkapiaal is binai, dus: f = n 2 me n {0, 1,..., 2 }. Vind een inze s (f ) [0, f ] die voldoe aan: bij wins f 1 = n 2 + s (f ) = m ; bij velies f 1 = n 2 s (f ) = m waabij m 1 en m 2 posiieve gehele geallen zijn. Mek op da m 2 waaden kan aannemen in [ 0, n 2 ] en m1 waaden in [ n 2, n]. Voo n > 2 1, da wil 23

25 zeggen als f > 1/2, kan m 1 goe dan 2 1 woden, in da geval is m nie binai op 1. Opellen van de vegelijkingen voo de mogelijke uikomsen geef: 2 n m 1 +m 2. Hieui volg: 2 1 m 1 = n m 2. Elke inze van de vom: s ( n 2 ) = n 2 i 2 1 me i N en 0 i n 2 2 = is dan voo f 1/2 een binaie inze, maa voo f > 1/2 dus als n > 2 1 is he doen van een inze goe dan 1 f nie mee binai. Hieui volg: en dus geld voo i N: max n 2 i n 2 { 0, n 2 2 1} i n 2. Voo de kapialen n 2 en 1 n 2 zijn dan dezelfde binaie inzeen mogelijk. Onde een binaie inze zijn de uikomsen op 1: bij wins f 1 = n i 2 1 ; bij velies f 1 = i Binaie saegie Definiie 5.3 (Binaie saegie). Een saegie die uislui binaie inzeen beva wod een binaie saegie genoemd. Gevolgen. Voo een binai beginkapiaal is alijd een binaie inze e vinden. Bij he spelen me deze binaie inze neem he kapiaal vevolgens pe definiie alleen maa binaie waaden aan. Voo di nieuwe binaie kapiaal besaa e wee een binaie inze. Voo een binai sakapiaal besaa e dus alijd een binaie saegie. Bij he oepassen van een binaie saegie eindig he kapiaal na he spelen van he laase spel alijd op waade 0 of 1. ls he beginkapiaal nie binai, dan kan e geen binaie inze gevonden woden en besaa e dus pe definiie geen binaie saegie. 24

26 Nu kan he vemoeden da he vewache nu onde een opimale saegie voo alle kapialen f binnen een paiie ineval I n even goo is als U ( n 2, ) bewezen woden. Noee n = 2 f voo he gehele geal n = 0, 1,..., 2 waavoo geld n 2 f < n + 1. Poposiie 5.3. Zij f [0, 1] he kapiaal me nog spellen e spelen. Dan geld voo n = 2 f : ( n ) U(f, ) = U 2,. (5.2) Bewijs. Me behulp van inducie naa. De beweing is waa voo = 1 en = 2. Neem aan da de beweing waa is voo een willekeuige, dus U(f, ) = U ( n 2, ) me n = 2 f voo elke f [0, 1]. Laa zien da he dan ook waa is me nog + 1 spellen e gaan. Beschouw he geval me nog + 1 spellen e gaan en een beginkapiaal f +1 waavoo geld: m = 2 +1 f +1. Volgens de inducieveondeselling is he vewache nu onde een opimale saegie binnen de paiie inevallen [ n 2, n+1 2 ) me n = 0, 1,..., 2 consan. Mek op da U(f +1, +1) gescheven kan woden als: U(f +1, + 1) = max 0 s f +1 {(1 w)u (f +1 s, ) + wu(f +1 + s, )}. (5.3) Vanwege de inducieveondeselling me nog spellen e gaan is vegelijking (5.3) gelijk aan: { ( n1 ) ( U(f +1, + 1) = max (1 w)u 2, n2 )} + wu 2,, (5.4) waabij he maximum genomen wod ove de nauulijke geallen n 1 en n 2, me n 1 = 2 (f +1 s) en n 2 = 2 (f +1 + s). He is dus voldoe om e laen zien da f +1 en m onde een opimale eese inze, me nog spellen 2 +1 e gaan in hezelfde paiie ineval eech komen. He vevolg van he bewijs zie e als volg ui: ees laen we zien da he m voo een binai beginkapiaal opimaal is om een binaie inze e doen Vevolgens laen we zien da elke f +1 I m geld: ( m ) U(f +1, + 1) U 2 +1, + 1. De laase sap is om e laen zien da U(f +1, + 1) U ( m 2 +1, + 1 ), doo aan e onen da e voo elke geldige inze s +1 (f +1 ) voo f +1 een m inze gevonden kan woden voo gevonden kan woden, die minsens 2 +1 hezelfde vewache nu heef. 25

27 We beginnen dus me he aanonen da voo een binai sakapiaal een opimale inze binai moe zijn. Ui lemma 5.2 volg da voo een binai m kapiaal de volge binaie inzeen gedaan kunnen woden: 2 +1 m 2 +1 i, i A (5.5) 2 waabij A he gebied voo i is zoda de inze binai is: A = { i N : max { 0, m 2 2} i m } 2. He bijbehoe vewache nu onde zo n inze wod dan me nog spellen e gaan gegeven doo: ( m bij wins U m 2 +1 i ) ( ) m i 2, = U 2, ( m bij velies U 2 +1 m i ) ( ) i 2, = U 2, De binaie inzeen liggen op een afsand 1/2 van elkaa af. Voo elke inze 0 s min { m, 1 m } geld dan: +1 s B s < 1 2, waabij s B nu de kleinse binaie inze is me s B s. Elke geldige niebinaie inze s > 0 kan dan gescheven woden als: s = s B δ me 0 < δ < 1 2. De uikomsen na he eese spel woden dan gegeven doo: m bij wins sb δ < m i 2 ; m bij velies 2 +1 sb + δ < i He vewache nu onde een opimale saegie me nog spellen e gaan is dan vanwege de inducieveondeselling: ( ) m i 1 bij wins U 2, ; ( ) i bij velies U 2,. De waade van U(f, ) me nog spellen e gaan is bij velies gelijk gebleven, maa bij wins van he eese spel gaan we e en opziche van de binaie inze s B op acheui. Een nie-binaie inze s > 0 kan dus nie opimaal zijn, aangezien e alijd een beee inze s B besaa. 26

28 Res alleen nog he geval s = 0. Voo even m voldoe he doen van geen inze aan de eisen voo een binaie inze. Dus beschouwen we alleen de oneven waaden van m. He veschil me de kleins mogelijke binaie inze is dan: s B = Als e geen inze gedaan wod is de nusvewaching na he spelen van he eese spel gelijk aan: ( ( m ) 1 U 2 +1, 2 = U m ) 2,. Aangezien m oneven is en 1 2m dus geen geheel geal is wod di onde de inducieveondeselling: ( ) 1 2 (m 1) U 2,. Tewijl onde de kleins mogelijke binaie inze he vewache nu me nog spellen e gaan gegeven wod: ( m bij wins U ) ( ) , 2 (m + 1) = U 2, ; ( m bij velies U ) ( ) , 2 (m 1) = U 2,. Bij wins is de vewaching goe, ewijl he bij velies hezelfde blijf als bij s = 0. Voo oneven m is e dus alijd een beee binaie inze s B e vinden dan s = 0. m Gegeven een binai sakapiaal me nog +1 spellen e gaan. Als voo 2 +1 elke f [0, 1] geld: U(f, ) = U ( n 2, ) me n = 2 f dan is voo elke nie-binaie inze s [ ] m 0, 2 een beee binaie inze e vinden. Me andee +1 wooden, elke opimale inze is dan een binaie inze. Nu kunnen we eug naa een kapiaal f +1 [0, 1] me m = 2 +1 f +1 en definiee: f +1 = m 1 + ɛ, 0 ɛ < De e bewijzen beweing: ( m ) U(f +1, + 1) = U 2 +1, + 1, 27

29 is waa als een opimale eese inze voo f +1 he in vewaching even goed m doe als da he onde een opimale eese inze doe. Voo een binai 2 kapiaal is elke +1 opimale inze binai. Dus: ( m ) { ( ) ( )} m i i U 2 +1, + 1 = max wu i A 2 1, + (1 w)u 2 1,. (5.6) Vanui f +1 kan hezelfde vewache nu me nog spellen e gaan beeik woden doo he doen van de inzeen me dezelfde esicies als bij (5.5). De uikomsen zijn dan namelijk: bij wins bij velies m ɛ + m 2 +1 i 2 = m i 2 + ɛ < m i + 1 ( ) 2 m i = U 2, ; m ɛ m i 2 = i 2 + ɛ < i + 1 ( ) 2 i = U 2,. m Di zijn dezelfde waaden voo f +1 als voo, dus me f is de kans op he beeiken van he doel minsens even goo: ( m ) U(f +1, + 1) U 2 +1, + 1. (5.7) We laen nu zien da de gelijkheid geld, doo aan e onen da e voo elke m mogelijke s [0, f +1 ] een binaie inze voo in [ ] m 0, gevonden kan +1 woden die he even goed doe. Elke inze 0 s min{f +1, 1 f +1 } lig op een maximale afsand van 1 af van de dichsbijzijnde binaie inze: 2 +1 min i A s m i Noem s B de binaie inze op de minimale afsand van s, dus: s s B , dan geld voo elke s me bijbehoe s B de volge ongelijkheden: ( m ) (1 w)u (f +1 s, ) (1 w)u 2 +1 sb, ; (5.8) ( m ) wu(f +1 + s, ) wu sb,, aangezien: 28

30 Als s s B dan geld da s = s B δ me 0 δ De mogelijke uikomsen voo f zijn dan: bij wins m i 2 + ɛ δ < m i ; bij velies i 2 + ɛ + δ < i Onde de inducieveondeselling geld dan: ( ) m i U(f +1 + s, ) U 2, en U(f +1 s, ) = U Als s s B dan geld da s = s B + δ me 0 δ bij wins m i 2 + ɛ + δ < m i ; bij velies i 2 + ɛ δ < i Onde de inducieveondeselling geld dan: ( ) m i U(f +1 + s, ) = U 2, en U(f +1 s, ) U ( ) i 2,. ( ) i 2,. Dus voo elke inze geldinge inze s die gedaan kan woden voo f +1 is e een binaie inze s B m m voo e vinden die voo hezelfde vewache nu geef. ( m ) U (f +1, + 1) U 2 +1, + 1. (5.9) Ui ongelijkheden (5.7) en (5.9) volg nu: ( m ) U (f +1, + 1) = U 2 +1, + 1. (5.10) Opmeking. De opimale vewache nusfuncie is een sapfuncie op de binaie kapialen. Indien een kapiaal f +1 gescheven kan woden als: +ɛ m 2 +1 me m = 2 +1 f +1 dan vehoog ɛ, he veschil ussen he wekelijke kapiaal en he binaie kapiaal, me 0 ɛ < 1, he vewache nu van he 2 +1 kapiaal nie. Coollaium 5.4. Als he beginkapiaal binai is, dan is elke opimale saegie een binaie saegie. Bewijs. Gegeven een binai beginkapiaal f, dan volg ui he bewijs van poposiie 5.3 da elke opimale eese inze binai is. Vevolgens is he kapiaal me nog 1 spellen e gaan ook binai en dus moe elke opimale weede inze binai zijn, enzovoo. Een opimale saegie besaa dan uislui ui binaie inzeen. 29

31 5.4 Numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ) Me nog maa weing spellen e gaan kan e nu voo binaie sakapialen gemakkelijk U(f, ) bepaald woden.. Me nog spellen e gaan wod he vewache nu onde een opimale saegie gegeven doo: U(f, ) = max 0 s f {(1 w) U(f s, 1) + w U(f + s, 1)}. Gebuik da elke opimale saegie voo een binai sakapiaal uislui n gebuik maak van binaie inzeen. Gegeven een sakapiaal 2, dan is n elke binaie inze van de vom: 2 i zoals gedefinieed in lemma De mogelijke uikomsen zijn dan: bij wins f + s (f ) = n i 2 1 ; bij velies f s (f ) = i 2 1. Dus voo een binai sakapiaal hoef e alleen gemaximaliseed e woden op de binaie inzeen: ( n ) { ( ) ( )} i n i U 2, = max (1 w) U 0 i n 2 2 1, 1 + w U 2 1, 1. (5.11) Op = 0, na he spelen van he laase spel, is de nusvewaching gelijk aan he nu van he eindkapiaal: 0 als f 0 < 1; U(f 0, 0) = u(f 0 ) = 1 als f 0 1. Vanui die waaden kan me vegelijking (5.11) voo = 1, 2,... me behulp n van Malab voo elk binai kapiaal 2 me n {0, 1,..., 2 } de maximale vewaching en de bijbehoe opimale waaden voo i en dus s (f ) gevonden woden. In abel 1 zijn deze beeke waaden voo U ( n 2, ) voo = 0, 1,..., 4 en een winskans pe spel van w = 0.6 gegeven. Ui poposiie 5.3 volg da de gevonden waaden voo alle f binnen een ineval I n me n = 2 f van oepassingen zijn. Dus nie alleen voo de binaie kapialen maa voo elke f [0, 1] kan U(f, ) bepaald woden. De waaden in abel 1 gelden voo alle f binnen een paiie ineval I n = [ n 2, n+1 ) 2. Figuu 10 beva de gafiek van U(f, ) als sapfuncie op de binaie kapialen voo veschille waaden van. De bijbehoe gevonden opimale inzeen voo = 4 zijn af e lezen in abel 2. Voo een nie-binai kapiaal is een binaie inze die opimaal is voo n 2 ook een opimale inze. De beeke opimale inzeen ui abel 2 zijn 30

32 Tabel 1: Waaden van U(f, ) voo = 0, 1,..., 4 en w = 0.6 U(f 0, 0) U(f 1, 1) U(f 2, 2) U(f 3, 3) U(f 4, 4) I I I I I I I I , 5904 I I I I I I I I I 16 1 dus geldig voo alle f I n. E hoef nie één unieke binaie inze e zijn die opimaal is. Een binai sakapiaal 1/2 heef bijvoobeeld die mogelijke opimale inzeen. In hoofdsuk 4 zagen we di ook bij {1, 2, 3}. De gebuike Malab-code is e vinden in Bijlage A.2. Figuu 10: Gafiek van U(f, ) voo w = 0.6 en = 1, 2,

33 Tabel 2: Opimale waaden van s (f, ) voo = 4 en w = 0.6 I 0 0 I I I I I I I I I I I I I I I I Vewache nusfuncie Voo kleine waaden van zijn de opimale saegieën e vinden doo me behulp van Malab alle mogelijke uikomsen onde een binaie saegie na e gaan en daa he maximum van e nemen, maa naamae goe wod moeen e seeds mee waaden uigeek woden. Om U(f, ) e bepalen moeen namelijk ees alle waaden voo he vewache nu op 1, 2..., 1 uigeek woden. Di zijn waaden. In deze paagaaf gaan we opzoek naa een expliciee uidukking voo U(f, ). Ui de esulaen die me behulp van Malab vekegen zijn lijk he veband ussen U(f, ) en w als volg gegeven e zijn: voo kapialen binnen he paiie ineval I 1 moeen alle spellen gewonnen woden om op één ui e kunnen komen. Voo kapialen in I 2 wod he doel beeik als alle spellen gewonnen woden, maa ook in één siuaie waabij e een spel veloen wod. Voo I 3 zijn e die mogelijke uikomsen die he doel beeiken: als alles gewonnen wod maa ook bij wee van de uikomsen waa e één kee veloen wod. Voo he paiie ineval I 2 1 zijn e 2 1 uikomsen die o he beeiken van he doel kunnen leiden, alleen als alle spellen veloen woden kan één nie beeik woden: ( ) ( ) 1 2 U 2, = w, U 2 = w + w 1 (1 w), ( ) ( 3 2 U 2 = w + 2w 1 ) 1 (1 w),..., U 2 = 1 (1 w) 32

34 Om di e kunnen bewijzen moeen we ees naa alle mogelijke uikomsen bij maal spelen van he spel kijken. Poposiie 5.5. Gegeven een binai beginkapiaal f = n 2 me n {0, 1..., 2 } me nog spellen e gaan en he gebuik van een opimale binaie saegie. Dan zijn e aan he einde van he laase spel n mogelijkheden om op 1 ui e komen en 2 n mogelijkheden om op 0 e eindigen. Bewijs. Bij maal spelen zijn e 2 uikomsen mogelijk. Gegeven een binai beginkapiaal en he gebuik van een binaie saegie, eindig een spele na he spelen van he laase spel alijd op een kapiaal 0 of 1. Sel w = 0.5 dan onsaa e een maingaal voo he kapiaal, da wil zeggen da gegeven een kapiaal f op ijdsip, onde iedee mogelijke saegie he vewache kapiaal op 1 gelijk is aan f : E [f 1 ] = 1 2 (f + s (f )) (f s (f )) = f. De maingaal eigenschap en de zogenaamde owe popey hebben o gevolg da he kapiaal in vewaching gelijk blijf aan he kapiaal op : E [f 0 ] =... = E [f 2 ] = E [f 1 ] = f = n 2. Zie ook he boek van Sheve [1] voo mee infomaie ove maingalen. Onde een binaie saegie neem he eindkapiaal f 0 waade nul of één aan, dus voo de vewaching van f 0 geld dan: E [f 0 ] = 1 P (f 0 = 1) + 0 P (f 0 = 0) = P (f 0 = 1). He vewache nu onde een opimale saegie is gelijk aan de voowaadelijke kans da he doel beeik wod: U(f, ) = P (f 0 = 1). Hieui volg: n ( n ) 2 = P (f 0 = 1) = U 2,. De kans op he beeiken van he doel P (f 0 = 1) is de som van de kansen van alle mogelijke uikomsen waabij he kapiaal op één eindig. Aangezien w = 0.5 is elk van deze uikomsen even waaschijnlijk me kans 1/2. E moeen dus n uikomsen zijn waabij he doel beeik wod. E blijven dan nog 2 n uikomsen ove waabij he doel nie beeik wod en die dus op nul uikomen. De beweing is dus waa voo w = 0.5. Aangezien he esulee kapiaal van een uikoms nie afhankelijk is van de winskans w is he ook waa voo alle w >

35 Definiie 5.4. Beschouw alle 2 mogelijke uikomsen en numme de bijbehoe kansen W 1, W 2,... W 2 zodanig da: W 1 W 2... W 2. Zij j = 1, 2,..., 2 me: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j < , 0 k 0 k k + 1 dan geld vanwege w > 0.5: Bijvoobeeld: W j = (1 w) k w k. (5.12) W 1 = w, W 2 = w 1 (1 w),..., W 2 = (1 w). Dan is n j=1 W j de som van de n hoogse kansen. Hie kunnen we de volge combinaoische uidukking voo vinden: Lemma 5.6. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en W als in definiie 5.4. Dan geld: n W j = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w). (5.13) j=1 Bewijs. Ui definiie 5.4 volg: W j = (1 w) k w k, me j = 1, 2,..., 2 en ( ( 0) ( k) j < ( 0) ) ( k + k+1). Vede kon elke f [0, 1] volgens definiie 3.1 gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ), waabij k en q uniek bepaald zijn me 0 q < 1. In he speciale geval van de binaie kapialen f = n 2, me n = 0, 1,..., 2, kan n dan volgens definiie 5.1 gescheven woden als: k 1 ( ) ( ) n = + q. i k i=0 Sommeen ove de hoogse n kansen is dus gelijk aan he nemen van de hoogse k 1 ( ) ( i=0 i + q ) k kansen. Di zijn de kansen waa de em 1 w he mins vaak vookom. n k 1 ( ) ( ) W j = (1 w) i w i + q (1 w) k w k i k j=1 i=0 = F (k 1, (1 w)) + qp (k, 1 w). (5.14) 34

36 Gegeven een binai sakapiaal n 2 dan zijn e volgens poposiie 5.5 onde een binaie saegie n uikomsen die succesvol blijken e zijn. De som van de n uikomsen me de hoogse waaschijnlijkheid is dan dus een bovengens voo de kans da he doel beeik wod: ( n ) U 2, n W j. Aangezien w > 1 w zijn de n uikomsen me de hoogse kans de uikomsen waain e he mins vaak veloen wod en di zijn dus pecies de uikomsen waa he doel beeik wod. Dus he vewache nu moe gelijk zijn aan de bovengens, wan als geld W i < W j dan implicee da da e bij W j vake wins is opgeeden. Dus als dan bij de uikoms die hoo bij W i he doel beeik wod, dan wod da bij één kee vake winnen ook beeik. Dus sellen we: ( n ) n U 2, = W j. (5.15) Me lemma 5.6 volg dan: Selling 5.7. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en sel = 1/2. Dan geld voo een binai sakapiaal f = n 2 me nog spellen e gaan: ( n ) U 2, = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w). (5.16) j=1 j=1 Bewijs. Volg in hoofdsuk 6 voo algemene waaden van. 5.6 Boven- en ondegens voo een opimale inze n Gegeven een binai sakapiaal 2 dan is volgens coolaium 5.4 elke opimale inze een binaie inze. Vede is de kans da he doel beeik wod volgens selling 5.7 gelijk aan: ( n ) U 2, = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w), waabij k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Al de uikomsen waabij e dus hoogsens k 1 kee veloen wod komen dus onde een opimale saegie op één ui, ne als een q de deel van de uikomsen waa e in oaal k kee veloen wod. Sel we winnen he eese spel. Dan zijn e nog 1 spellen e gaan waavan e nog seeds k 1 of minde kee veloen mogen woden om he doel e beeiken. Di kan op m = k 1 ) i=0 veschille manieen. Als e in iede geval ( 1 i 35

37 m uikomsen op één ui komen, dan moe volgens poposiie 5.5 he kapiaal me nog 1 spellen e gaan minsens gelijk gewees zijn aan: k 1 ( 1 ) m 2 1 = i=0 i 2 1 = F (k 1 1, 1/2). Om bij wins van he eese spel op een kapiaal da minsens zo goo is als F (k 1 1, 1/2) ui e komen moe e een minimale inze: gedaan zijn. s F (k 1 1, 1/2) n 2 (5.17) Vede kunnen e geen uikomsen zijn waabij e in de laase 1 spellen mee dan k maal veloen wod en he doel och beeik wod. Dus kunnen e hoogsens k ( 1 ) i=0 i succesvolle uikomsen zijn. He kapiaal f 1 kan dan nie goe zijn dan: k ( 1 ) i=0 i 2 1 = F (k 1, 1/2) en wod een bovengens voo een opimale inze: s F (k 1, 1/2) n 2. (5.18) Sel we veliezen he eese spel. Alle uikomsen me hoogsens k 2 maal velies komen onde een opimale saegie nog op één ui. Dus moe he kapiaal op 1 minsens gelijk aan F (k 2 1, 0.5) zijn: n s F (k 2 1, 1/2) 2 Voo de bijbehoe inzeen geld dan: s n F (k 2 1, 1/2). (5.19) 2 Vede moe ook elke uikoms waabij e de kome 1 spellen mee dan k 1 kee veloen wod he doel nie beeiken. Dus kunnen e hoogsens k 1 ( 1 ) i=0 i succesvolle uikomsen zijn en geld als ondegens voo een opimale inze: s n F (k 1 1, 1/2). (5.20) 2 Samenvoegen van de gevonden genzen (5.17), (5.18), (5.19) en (5.20) voo een opimale inze geef de volge selling: 36

38 Selling 5.8. Laa P, F, k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en = 1/2. Als f = n 2 een binai beginkapiaal is me nog spellen e gaan, dan is s (f ) een opimale inze dan en slechs dan als: s (f ) een binaie inze is; s (f ) min { n/2 F (k 2 1, 1 ), F (k 1, 1 ) n/2 } ; s (f ) F (k 1 1, 1 ) n/2. Bewijs. Volg in hoofdsuk 6 voo algemene waaden van. He veloop van he spel onde een binaie saegie voo een sakapiaal 1/2 me nog = 4 spellen e gaan is e zien in figuu 11. Op de knopen saa he kapiaal en de bijbehoe inze: (f, s (f )). E zijn 16 mogelijke uikomsen waavan e 8 he doel beeiken. De gebuike saegie is nie de enige mogelijke binaie saegie die opimaal is, zie ook abel 2. De gekozen inzeen hangen nie af van de winskans w. He bijbehoe vewache nu wod gegeven doo: ( ) 1 U 2, 4 = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w) = w 4 + 4(1 w)w 3 + 3(1 w) 2 w 2 = w 2 (3 2w). Voo w = 0.6 geef di: U ( 1 2, 4) = De Malab codes die gebuik woden om binaie saegiën na e gaan en he bijbehoe vewache nu ui e ekenen zijn e vinden in Bijlage A.3, A.4, A.5 en A.6. De ecusies die in hoofdsuk 3 voo F (k, p) zijn afgeleid woden hiebij gebuik. 37

39 Figuu 11: Mogelijk spel veloop onde een binaie saegie.

40 6 Binomiale saegieën Vanaf nu wod e wee gekeken naa een willekeuige waade voo (0, 1) waadoo he veloop van he spel wee eug gaa naa: f + 1 s (f ) me kans w; f 1 = f s (f ) me kans (1 w). Voo = 1/2 is beedeneed wa he vewache nu onde een opimale saegie is en zijn e voowaaden geseld aan de bijbehoe opimale inzeen. Deze beweingen zullen in di hoofdsuk bewezen woden voo algemene waaden van. 6.1 Binomiale kapialen Definiie 6.1. Zij k en q gedefinieed als in definie 3.1 zoda f [0, 1] gescheven kan woden als: ( ) f = F (k 1, 1 ) + q P (k, 1 ). k Definiee dan Q(f, ) als: ( ) Q(f, ) = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w), (6.1) k waabij k en 0 q < 1 dus op unieke wijze van f afhangen. Mek op da U(f, ) voo = 1/2 volgens selling 5.7 hezelfde gedefinieed is als Q(f, ). Ui definiie 6.1 volg: Q(f, ) = F (k 1, 1 w) + [f F (k 1, 1 )] P (k, 1 w) P (k, 1 ) ( ) 1 w k (w ) k = F (k 1, 1 w) + [f F (k 1, 1 )]. (6.2) 1 Definiie 6.2. Zij k en q zo gedefinieed als in definiie 3.1. Een kapiaal f is binomiaal op ijdsip indien q ( k) een posiief geheel geal is. Een inze s (f ) op ijdsip is binomiaal indien e op 1 uigekomen wod op een binomiaal kapiaal, ongeach de uikoms van he spel. Opmeking. De binomiale kapialen zijn voo = 1/2 gelijk aan de binaie kapialen. 39

41 6.2 Nog één spel e gaan Beschouw he geval = 1. De binomiaal kapialen f [0, 1] zijn dan de kapialen waavoo geld: q ( k) N. Voo = 1 zijn di f {0,, 1}. Voo 0 en 1 is he nu en de inze iviaal, dus beschouwen we alleen f =. Een inze s 1 () =, (6.3) is dan opimaal, aangezien we onde deze inze he doel me kans w kunnen beeiken. De inze is ook binomiaal aangezien we of op een kapiaal gelijk aan nul, of op een kapiaal gelijk aan één ui komen. We kunnen he eenheidsineval nu opdelen in wee paiie inevallen: [0, ) en [, 1). Binnen deze inevallen blijf he vewache nu gelijk, aangezien e in één spel he kapiaal f 1 hoogsens me f 1 (1 )/ kan oenemen. Dus bij wins geld voo he eindkapiaal f 0 : f 0 f f 1 = 1 f 1. Dus voo f 1 < kan he doel nooi mee beeik woden. Aangezien e voo kapialen f 1 [, 1) onde een voldoe goe inze één kee gewonnen moe woden om op 1 ui e komen geld voo he vewache nu: 0 als f 1 < ; U(f 1, 1) = w als f 1 < 1; Onde een opimale inze s 1 (f 1 ): 1 als f 1 = 1. 0 s 1 (f 1 ) f 1 als f 1 < ; s 1 (f 1 ) f 1 als f 1 < 1; s 1 (f 1 ) = 0 als f 1 = Nog wee spellen e gaan Beschouw he geval = 2. Dan zijn de binomiale kapialen: { 0, 2,, 1 (1 ) 2, 1 }. Deel he eenheidsineval op in half open paiie inevallen me de binomiale kapialen als oosepunen. Dan kan e op een zelfde manie als in hoofdsuk 4.2 afgeleid woden da he vewache nu ook hie binnen een paiie ineval consan blijf. 40

42 Beschouw bijvoobeeld he paiie ineval [, 1 (1 ) 2). Als he sakapiaal f 2 in di ineval lig dan kan e binnen één spel he doel beeik woden doo voo een inze s 2 (f 2 ) = /(1 ) (1 f 2 ) e kiezen, aangezien we dan bij wins op een kapiaal uikomen da gelijk is aan één: f 1 = f (1 f 2) = 1. Maa bij velies kom f 1 op een waade kleine dan ui: f 1 = f 2 1 (1 f 2) < 1 (1 ) 2 (1 ) = (6.4) En voo f 1 < kan he doel nie mee beeik woden. Dus U(f 2, 2) = w als f 2 [, 1 (1 ) 2) onde een inze: (1 f 2 ) 1 s f 2 Maa e kan ook voo gekozen woden om nies in e zeen. Dan zi f 1 me nog = 1 spel e gaan in he ineval [, 1) en is he vewache nu onde deze saegie ook gelijk aan U(f 2, 2) = w. Voo = 2 geld dan da de volge opimale inzeen mogelijk zijn: 0 s f 2 als 0 f 2 < 2 ; ( f 2 ) 1 s f 2 als 2 f 2 < ; 0 s f 2 of als f 2 < 1 (1 ) 2 ; (1 f 2 ) 1 s f 2 (1 f 2 ) 1 s f 2 als 1 (1 ) 2 f 2 < 1; s = 0 als f 2 = 1. Mek op da voo de binomiale kapialen geld da elke opimale inze een binomiale inze is. Figuu 12 beva deze oegesande gebieden voo een opimale inze s 2 (f 2 ) voo = 1/3. He vewache nu onde deze inzeen wod gegeven doo: 41

43 Figuu 12: Opimale inzeen voo = 2 en = 1/3 U(f 2, 2) = 0 als 0 f 2 < 1 4 ; w 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; w als 1 2 f 2 < 3 4 ; 1 (1 w) 2 als 3 4 f 2 < 1; 1 als f 2 = 1. Di is hezelfde esulaa als da van hoofdsuk 4.2 voo nog wee spellen e gaan me = 1/2. Figuu 13 beva de vewache nusfuncie voo = 2 en = 1/3. He vewache nu voo de binomiale kapialen kan voo = 2 dus wee in de vom U(f 2, 2) = F (k 1 2, 1 w) + q P (k 2, 1 w) = Q(f 2, 2) (6.5) gescheven woden. 6.4 Nusvewaching en opimale inzeen Selling 5.7 en 5.8 kunnen nu voo algemene waaden van gefomuleed woden. Houd bij he vinden van genzen voo een opimale inze ekening me de faco (1 )/. Zoals ook bij de uiweking van opimale inzeen bij = 2 is gedaan. Ga daanaas ui van w >, zoda we een gunsig spel beschouwen. 42

44 Figuu 13: Opimale inzeen voo = 2 en = 1/3. Selling 6.1. Laa w > en Q(f, ) gedefinieed als in definiie 6.1. Voo f binomiaal geld dan me nog spellen e gaan: 1. U(f, ) = Q(f, ) 2. s (f ) is een opimale inze dan en slechs dan als: (a) s (f ) is binomiaal; { } (b) s (f ) max f F (k 1 1, 1 ), 1 (F (k 1 1, 1 ) f ) ; { } (c) s (f ) min f F (k 2 1, 1 ), 1 (F (k 1, 1 ) f ). Bewijs. De sappen die in he bewijs woden gemaak volgen de gemaake sappen van he bewijs van Theoem 1 en Theoem 2 ui he aikel van Kulldoff [2]. De volledige uiweking van he bewijs is e vinden in de bijlagen. He bewijs volg ui inducie naa. De selling is waa voo = 1. Dus neem aan da he waa is voo 1. De volge sap in he bewijs is dan om e laen zien da onde de inducieveondeselling geld: ( U(f, ) (1 w)q(f s, 1) + wq f + 1 ) s, 1 = Q(f, ), waabij s de minimale inze ui de selling is. Deze inze is binomiaal. E wod ondescheid gemaak ussen de gevallen q < k/ en q k/. Daana laen we zien da U(f, ) Q(f, ) geld doo de nusfuncie u (f 0 ) = f 0 e beschouwen, en de funcie E s als volg e definiëen: ( E s (f, ) = (1 w)u (f s, 1) + wu f + 1 ) s, 1. 43

45 Dan geld voo he vewache nu: U (f, ) = max E s (f, ). s Onde een binomiale saegie eindig je na he spelen van he laase spel alijd op nul of één, onde deze saegie geld dan dus u(f 0 ) = u (f 0 ). Hieui volg: U(f, ) = U (f, ) = max E s (f, ). s Doo de afgeleide van E s gelijk e sellen aan nul blijk da E s maximaal is onde inzeen die voldoen aan de eisen ui de selling. En dus: E s (f, ) Q(f, ). Hieui volg U(f, ) Q(f, ) en dus: U(f, ) = Q(f, ) Nu hebben we voo elke < w een expliciee uidukking voo U(f, ) op de binomiale kapialen. He volgen van deze saegie voo binomiale kapialen maximalisee de kans op he beeiken van he doel. Figuu 14 beva U(f, ) als sapfuncie op de binomiale kapialen. Mek op da U(f, ) dan gegeven wod doo: ( ) U(f, ) = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w), (6.6) k waabij x he goose gehele geal n geef waavoo geld: n x. He bewijs van beweing (6.6) zal nie mee in di veslag gegeven woden. De Malab-code die gebuik is bij he geneeen van U(f, ) is e vinden in Bijlage A.7. 44

46 Figuu 14: U(f, ) voo = 1, 2, 3 en 4 me = 1/3.

47 7 Conclusie In he veslag is e gekeken naa een gunsig spel (w > ) in een eindig binomiaal model. We spelen seeds hezelfde spel in he casino. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies, die onde een vase kans vookomen. De vaag is welke saegie e oegepas moe woden om gegeven een sakapiaal f en nog spellen e gaan de kans da je pofolio uieindelijk mee dan c waad is e maximaliseen. He veloop van he spel wod bescheven doo: f 1 = f + 1 s (f ) me kans w; f s (f ) me kans (1 w). We beschouwen hievoo de vewache nusfuncie onde een opimale saegie: U(f, ) en de bijbehoe inzeen s (f ). Zonde velies van algemeenheid kan e heschaald woden naa he eenheidsineval [0, 1]. De binomiale vedeling geef de kans da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. Voo F (k, p) = k ( i=0 i) p k 1 p) i zijn de volge ecusies gevonden: F (k, p) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p); ( F (k 1 1, p) = 1 k ) F (k 1, p) + k F (k, p). Voo iede kapiaal f [0, 1] is e dan een geal k {0, 1,..., } e vinden zoda: F (k 1, 1 ) f < F (k, 1 ). He geal k is doo f uniek bepaald. Vede definiëen we q [0, 1) als de unieke oplossing van de vegelijking: ( ) f = F (k 1, 1 ) + q (1 ) k k. k We beschouwen ees he geval = 1/2. Doo de siuaie me nog een klein aanal spellen e spelen na e gaan is e in inzich e vekijgen in he spelveloop. Zo hoef een opimale saegie nie uniek e zijn en spelen de paiie inevallen [ n 2, n+1 ) 2 een belangijke ol. Binnen deze inevallen blijf he vewache nu onde een opimale saegie consan: ( n ) U(f, ) = U 2,, me n = 2 f. Deze oosepunen noemen we de binaie kapialen, di zijn de kapialen waavoo geld: q ( k) N. He vewache nu onde een 46