Eenparige cirkelbeweging

Transcriptie

1 Inhoud Eenpaige cikelbeweging...2 Middelpuntzoekende kacht...4 Opgave: Looping...5 Opgave: McLaen MP Opgave: Baanwielennen (tack acing)...8 Gavitatie...8 Zwaate-enegie...9 Opgave: Satellietbanen...10 Opgave: Ganymede /11

2 Eenpaige cikelbeweging Een voowep dat een eenpaige cikelbeweging uitvoet, beweegt in een cikelbaan met een snelheid die constant is wat beteft gootte. De tijd die het voowep nodig heeft om één volledige cikelbaan af te leggen wodt de omlooptijd T genoemd. De snelheid waamee het voowep de cikelbeweging beschijft wodt de baansnelheid v genoemd. E geldt: v = s t = 2π T Hiein is de staal van de cikelbaan en dus is 2π de omtek van de cikelbaan. Het zal duidelijk zijn dat e bij cikelbewegingen twee sooten snelheid zijn, namelijk het aantal mete pe seconde waamee het voowep de afstand langs de baan aflegt en het aantal ondjes dat het voowep pe seconde beschijft. De baansnelheid, zoals hieboven gedefinieed, is de snelheid die aangeeft met hoeveel mete pe seconde het voowep de afstand langs de baan aflegt (zie nevenstaande afbeelding). De baansnelheid wodt aangeduid met v en uitgedukt in m/s. De andee snelheid wodt de hoeksnelheid genoemd. Deze geeft aan met hoeveel adialen pe seconde de cikelbeweging wodt bescheven. De hoeksnelheid wodt aangeduid met ω en uitgedukt in de eenheid ad/s. E geldt: ω = φ t Hiein is φ de hoek (in adialen) die het voowep aflegt in tijd t. Twee voowepen die een eenpaige cikelbeweging uitvoeen met gelijke hoeksnelheid, maa veschillende staal zullen een ongelijke baansnelheid moeten hebben. Stel voowep 2 beweegt op een twee kee zo gote staal als voowep 1 (zie bovenstaande afbeelding). Als beide voowepen met gelijke hoeksnelheid bewegen (dus de omlooptijd moet voo beide gelijk zijn) zal de baansnelheid van voowep 2 twee kee zo goot moeten zijn dan de baansnelheid van voowep 1 omdat de omtek van cikelbaan 2 twee kee zo goot is als die van cikelbaan 1. In het algemeen geldt: v = ω. Dit is eenvoudig in te zien want ω is niets andes dan de booglengte die een voowep aflegt in één seconde. 2/11

3 Of andes afgeleid: s = φ met s gelijk aan de booglengte, φ de hoek in adialen en de staal in metes. Dit is de definitie van een hoek in adialen. s T = φ T v = φ T v = ω bovenstaande vegelijking links en echts van "=" delen doo T met s = v T met ω = φ/t Een en ande wodt ook uitgelegd in het filmpje onde ondestaande link: 3/11

4 Middelpuntzoekende kacht Je hebt eeds eede te maken gehad met een beweging waavoo de snelheid constant was, namelijk de eenpaige echtlijnige beweging. Het kenmek van deze beweging is dat de snelheid constant is wat beteft gootte en ichting. Je hebt vevolgens geleed dat op een voowep dat een degelijke beweging uitvoet volgens de eeste wet van Newton een esulteende kacht wekt die gelijk is aan 0 N. De eeste wet van Newton zegt dat als de snelheid van een voowep constant is wat beteft gootte en ichting de esulteende kacht op dat voowep gelijk is aan 0 N. Daa bij een eenpaige cikelbeweging de snelheid wel constant is wat beteft gootte, maa niet constant is wat beteft ichting moet e dus een esulteende kacht weken op een voowep dat een eenpaige cikelbeweging uitvoet. De vecto voo de baansnelheid is op elk moment evenwijdig aan de cikelbaan. De esulteende kacht moet op elk moment exact loodecht op de baansnelheid staan, andes zou het voowep vesnellen of vetagen (ga dit na!). Zie nevenstaande afbeelding. Je ziet dat de esulteende kacht op elk moment naa het middelpunt van de cikelbaan geicht is, daaom wodt de esulteende kacht in het geval van een eenpaige cikelbeweging middelpuntzoekende kacht Fmpz genoemd. In het algemeen geldt voo de esulteende kacht: F = m a. In het geval van een eenpaige cikelbeweging geldt: F = F ୫ ୮ = ୫ ୴మ De vesnelling a is dus gelijk aan v 2 /. Deze vesnelling is naa het middelpunt van de cikelbaan geicht en wodt de middelpuntzoekende vesnelling genoemd. De middelpuntzoekende kacht is dus een esulteende kacht en geen echte kacht. Als e gevaagd wodt teken alle kachten die op een voowep weken mag je dus nooit de middelpuntzoekende kacht tekenen, dit is namelijk de optelsom van andee kachten (als je dit toch doet dan tel je als het wae dubbel). Een en ande wodt ook uitgelegd in het filmpje onde ondestaande link: In ondestaande applet wodt geïllusteed hoe de zwaatekacht en de spankacht samen de middelpuntzoekende kacht leveen voo een kettingcaousel. 4/11

5 Opgave: Looping Achtbanen zijn e in vele sooten en maten. E zijn steeds hogee en snellee achtbanen gebouwd. Het idee achte dit soot attacties is dat als je lichaam vesnellingen en met name veandeingen in vesnellingen ondegaat je dit als spannend evaat. Met alle gevolgen van dien voo de adenalinespiegel in je lichaam. Als je wil zien wat de nieuwste ontwikkelingen op het gebied van achtbanen zijn, neem dan eens een kijkje bij ondestaande link. Wist je dat één van s weelds gootste achtbaanpoducenten in Vlodop Limbug zit? Het hoofdkantoo zit in Vlodop en de eigenlijke poductie in Tsjechië of Schiedam. Misschien een leuk ondewep voo een pofielwekstuk? Een ondedeel van de achtbaan dat al enige tijd bestaat is de looping. We gaan hie eens nade naa kijken. Zie nevenstaande afbeelding. In de tekening is een gedeelte van een achtbaan weegegeven. Een kaetje van de achtbaan weegt 800 kg. Neem aan dat de gootte van de snelheid van het kaetje geduende dit deel van de baan constant is. De staal van de looping bedaagt 4,5 m. a) Beeken de snelheid die het kaetje moet hebben om in punt E nog nèt niet los te komen van de baan. b) Geduende een it ijdt het kaetje pecies met de onde a) beekende snelheid. Een pesoon heeft een hoop kleingeld in zijn tas. Loopt de pesoon het isico dat zijn kleingeld in punt E uit zijn tas omlaag valt? Licht je antwood duidelijk toe. Het kaetje gaat in wekelijkheid met een snelheid van 12,0 m/s. Neem wedeom aan dat de snelheid wat beteft gootte constant is op dit deel van de baan. c) Beeken de nomaalkacht die het kaetje ondevindt in punt C. d) Beeken de nomaalkacht die het kaetje ondevindt in punt A. e) Teken alle elevante kachten die op het kaetje weken in punt D. 5/11

6 f) Toon aan dat het volgende veband geldt voo de nomaalkacht. m vଶ F = F cos(α) Hiein is de hoek tussen de nomaalkacht en de zwaatekacht. g) In welk punt is de nomaalkacht die het kaetje ondevindt het gootst espectievelijk het kleinst. Opgave: McLaen MP4-22 a) Een McLaen MP4-22 ijdt op een stuk taject echt doo. Geef in nevenstaande afbeelding bij het echte voowiel de ichting van de schuifwijving aan die het wegdek op de banden uitoefent. b) Tijdens de it neemt de auto een cikelvomige bocht, waavan M het middelpunt is. Bij het nemen van een bocht is nog een exta wijvingskacht nodig. Geef in nevenstaande afbeelding de ichting van deze exta wijvingskacht aan. De exta wijvingskacht tussen de banden en de weg kan niet gote woden dan een bepaalde waade Fw,max. De gootte van Fw,max hangt af van de gootte van de nomaalkacht Fn. De schuifwijvingscoëfficiënt (μ) is gelijk aan 0,70. Fomule-1 acewagens moeten een minimummassa (inclusief bestuude, bandstof en olie) van 605 kg hebben. De meeste wagens hebben touwens een massa die aanmekelijk kleine is. Het veschil moet woden aangevuld met ballastgewichten. Het voodeel is dat het team die ballastgewichten kan plaatsen op plekken waa dat nuttig is, zodat de wagen een betee ligging heeft, mee gip op de weg heeft enz. In het Silvestone-cicuit zit de copse-bocht. Dit is een hoge snelheidsbocht en heeft een staal van 135 m. De massa van de auto met bestuude is 605 kg. c) Beeken de maximale snelheid waamee de bestuude de bocht kan nemen. 6/11

7 In wekelijkheid is de snelheid waamee de copse-bocht in het Silvestone-cicuit wodt genomen veel gote. Fomule-1 wagens zijn onde andee voozien van wings. Deze zogen evoo dat de wagen tegen de gond wodt gedukt (downfoce). Voo deze downfoce geldt: Wings F ୭୵ ୬ = ½ Wୱ H AoA F ρ v ଶ Hiein is Ws de wingspan in m, H de hoogte in m, AoA de angle of attack (de hoek waaonde de wing staat), F de weestandscoëfficiënt, ρ de dichtheid van de lucht in kg/m3 en v de snelheid in m/s. Voo de Mclaen MP4-22 geldt: Vooste vleugel: Wingspan = 0,80 m Height = 0,30 m Angle of Attack = 25 Weestandscoëfficiënt = 0,35 Achteste vleugel: Wingspan = 0,90 m Height = 0,35 m Angle of Attack = 40 Weestandscoëfficiënt = 0,35 Oveigens is het zo dat de vleugels in de pitstop kunnen woden aangepast. Want hoe mee downfoce hoe mee luchtweestand die wee de topsnelheid bepekt. In het algemeen kiest men bij cicuits met veel bochten voo veel downfoce zodat men met gote snelheid doo de bochten kan en bij cicuits met veel echte stukken voo minde downfoce zodat de topsnelheid hoge is. d) Beeken de maximale snelheid waamee de bestuude de bocht kan nemen. e) Beeken hoeveel zijdelingse g-kachten op de bestuude weken in deze bocht. Bij de Maclaen MP4-22 woden nog een aantal andee technieken toegepast om de downfoce te vegoten. De wings zogen voo ongevee tweedede van de totale downfoce. De Copse-bocht in het Silvestone-cicuit kan zo met een snelheid van 245 km/h woden genomen. Wil je mee weten ove de natuukunde die komt kijken bij het ontwepen van een acewagen kijk dan eens op ondestaande sites: /11

8 Opgave: Baanwielennen (tack acing) Bij fomule-1 wagens is de snelheid goot genoeg om gebuik te maken van de wings, bij baanwielennen is de snelheid daavoo echte te klein. Hie wodt gebuik gemaakt van een andee methode om de snelheid waamee een bocht genomen kan woden te vegoten. De bocht wodt schuin gelegd (zie nevenstaande afbeelding). In het supedome in San Fancisco ligt een 250 m baan. De bocht ligt onde een hoek van 44 en heeft een staal van 11 m. De massa van een enne + fiets bedaagt 80 kg. De wijvingscoëfficiënt bedaagt 0,70. a) Beeken de maximale snelheid waamee de enne de bocht kan nemen. b) Beeken de minimale snelheid die de enne moet hebben wil hij zijn hoogte kunnen houden en niet langs de helling omlaag zakken. Als je mee wil weten ove de divese disciplines bij baanwielennen kijk dan eens op ondestaande site: Gavitatie Zwaatekacht heb je in de ondebouw al leen kennen als de kacht die de aade op voowepen uitoefent. Daa heb je ook geleed dat op elke kilogam 9,81 N zwaatekacht wekt. In de module ove kachten heb je de fomule Fz=m g geleed, waain m de massa in kilogam en g de valvesnelling is. In het algemeen geldt dat de zwaatekacht de kacht is die twee massa s op elkaa uitoefenen. Newton heeft deze kacht bestudeed en gevonden dat de kacht waamee twee massa s elkaa aantekken voldoet aan: F = F = G mଵ mଶ ଶ Hiein is FG de gavitatiekacht in Newton, G de gavitatieconstante, de afstand tussen de massamiddelpunten van de twee massa s in mete en m1 espectievelijk m2 de beide massa s in kilogam. De gavitatieconstante G is gelijk aan 6, m3/kg s2. De constante is pas 70 jaa na de dood van Newton daadwekelijk gemeten doo Heny Cavendish ( ). De tem zwaatekacht wodt meestal gebuik voo de gavitatiekacht aan het oppevlak van een hemellichaam zoals de aade of de maan. De tem gavitatiekacht is de algemene tem. Als je mee wilt weten ove het expeiment van Cavendish kijk dan eens naa het filmpje onde ondestaande link: 8/11

9 Zwaate-enegie In de viede klas heb je geleed dat de zwaate-enegie wodt gegeven doo de fomule: E = m g h Hie geldt eveneens dat deze fomule alleen geldt aan het aadoppevlak waa g in goede benadeing constant is. De fomule is namelijk afgeleid op basis van de abeid die de zwaatekacht veicht als een voowep ove een afstand h wodt opgetild. Deze abeid is gelijk aan het oppevlak onde het (Fz,h)-diagam zoals weegegeven in nevenstaande afbeelding. De zwaate-enegie is de potentiële enegie van een voowep in een zwaatekachtveld. Zoals je hebt gezien bij de potentiële enegie in een elektische schakeling (de potentiaal) moet je egens een nulpunt kiezen. Bij elektische schakelingen ligt dit nulpunt meestal bij de min-pool van de spanningsbon. Bij deze fomule voo de zwaate-enegie ligt dit nulpunt in het algemeen op de gond, zodat de zwaate-enegie toeneemt naamate je een voowep hoge optilt. In het algemene geval, waa we de zwaatekacht vevangen doo de gavitatiekacht, ziet het e iets ingewikkelde uit, maa in wezen doen we pecies hetzelfde. De gavitatiekacht als functie van de afstand tot het middelpunt van de aade ziet e uit zoals weegegeven in nevenstaande afbeelding. Ook nu geldt dat de potentiële enegie gelijk is aan het oppevlak onde de gafiek. In dit geval is het echte handige om het nulpunt voo de potentiële enegie in het oneindige te kiezen (daa waa FG 0 wodt). De fomule voo de gavitationele potentiële enegie luidt dan: E = G mଵ mଶ Je ziet dat e een min-teken in de fomule staat zodat ook nu geldt dat als een voowep wodt opgetild de potentiële enegie toeneemt. De negatieve waaden ontstaan doo de keuze van het nulpunt. Dit is hetzelfde veschijnsel dat we ook eeds bij elektische schakelingen hebben gezien. Bij elektische schakelingen geldt eveneens dat als het nulpunt niet bij de min-pool wodt gekozen e negatieve waaden voo de potentiaal kunnen vookomen. Ook nu wee geldt dat de waade van de potentiële enegie niet bepalend is voo natuukundige veschijnselen maa het veschil in potentiële enegie bepalend is. De keuze van het nulpunt heeft alleen invloed op de waade van de potentiële enegie maa niet op een veschil in potentiële enegie. Voo de wiskundig geïnteesseeden onde ons (oppevlakte bepalen = integaal nemen). ஶ E න ஶ mଵ mଶ mଵ mଶ ஶ mଵ mଶ mଵ mଶ න ଶ ቂ ቃ =0 G = G - want FG en d zijn tegengesteld geicht. 9/11

10 Opgave: Satellietbanen In de loop van de geschiedenis zijn e uim dieduizend satellieten in een omloopbaan ond de aade gebacht. Daavan zijn e nog zo n achthonded actief. Dit zijn satellieten van allelei pluimage zoals spionagesatellieten, communicatiesatellieten, weesatellieten enz. Afhankelijk van de functie van de satelliet moet een geschikte baan woden gekozen. E zijn twee belangijke typen satellietbanen namelijk de zogenaamde polaie banen en de zogenaamde geostationaie banen. Een satelliet in een polaie baan zal een baan beschijven die ove de Nood- espectievelijk Zuidpool gaat. Een satelliet die een geostationaie baan beschijft zal op een vast punt boven het aadoppevlak blijven hangen. Zie bovenstaande afbeelding. a) Leg uit waaom het niet mogelijk een geostationaie baan boven Nedeland te beschijven zoals weegegeven in bovenstaande afbeelding. b) Beeken op welke hoogte boven de evenaa zich de geostationaie baan bevindt. Spionagesatellieten bevinden zich veelal in polaie banen. c) Leg uit waaom dat zo is. Een bekend esultaat uit de steenkunde is de 3e wet van Kepple. Deze wet zegt dat e, voo voowepen die een cikelbaan ond een centale massa beschijven, een vaste elatie is tussen de afstand tot het middelpunt van deze centale massa en de omlooptijd ond deze centale massa. Tଶ = constant ଷ Dit geldt voo satellieten ond de aade net zoals voo de planeten ond de zon. Met andee wooden: als de staal van de baan met een facto 2 toeneemt moet de omlooptijd met een facto 8 toenemen om een stabiele baan te kijgen d) Leid bovenstaande vom van de dede wet van Kepple af. Als je mee wilt weten ove satellietbanen kijk dan eens naa ondestaande link: 10/11

11 Opgave: Ganymede Ganymede is na Euopa de dede en gootste maan van Jupite en was het eeste doel van de uimtesonde Galileo na aankomst bij Jupite in Uit zijn geinge dichtheid kan men concludeen dat de maan voo de helft uit ijs en voo de helft uit poeus gesteente bestaat. Nevenstaande foto wed in 1996 doo de Galileo sonde genomen. Ganymede heeft een staal van = 2638 km. Hij omondt Jupite op een nagenoeg cikelvomige baan met een staal van 1, m en een omlooptijd van 7,16 dagen. De massa van Ganymede bedaagt 1, kg. a) Beeken de baansnelheid van Ganymede. b) Beeken de massa van Jupite. c) Beeken de gemiddelde dichtheid van Ganymede. d) Beeken de valvesnelling op het oppevlak van Ganymede. e) Beeken de omlooptijd van de tweede maan van Jupite die een cikelvomige baan met een staal van 670,9 106 m beschijft. Galileo vloog op 17 juni 1996 ove Ganymede op een hoogte van 835 km om opnames te maken van het oppevlak om deze vevolgens naa de aade te zenden. De elatieve snelheid van Galileo ten opzichte van het oppevlak van Ganymede bedoeg 7,8 km/s. f) Beeken tot welke snelheid Galileo moet afemmen om in een cikelvomige omloopbaan op een hoogte van 835 km ond Ganymede te komen. g) Beeken hoeveel enegie minimaal nodig is om Galileo af te emmen tot deze snelheid evan uitgaande dat Galileo een massa van 2200 kg heeft. 11/11