3 De wetten van Newton

Transcriptie

1 3 De wetten van Newton I Cultuuhistoische achtegond Hoe dachten de mensen voege en hoe denken ze nu ove de fysische wekelijkheid? Daaove gaat deze paagaaf De vagen die daain gesteld woden zijn "open" gesteld: e is niet zo'n eenduidig antwood op Het is de bedoeling dat je nadenkt ove de vaag wat e wekelijk waa is En dat is niet zo duidelijk De Giek Aistoteles (384 vch-3 vch) wodt beschouwd als een van de invloedijkste klassieke filosofen in de westese taditie Zijn opvattingen hebben eeuwenlang het denken van de mensen beheest Die van zijn ideeën: - Zwae voowepen vallen snelle dan lichte voowepen - Voo een beweging is blijvend contact van de bewege noodzakelijk - Elk voowep zoekt zijn natuulijke plaats op (innelijke dang van het voowep) Deze opvattingen liggen voo de hand Pas veel late in de zeventiende eeuw bleken deze gedachten fout te zijn Opgave 1 Leg aan de hand van voobeelden uit dat de die ideeën van Aistoteles (en na hem eeuwenlang de hele mensheid) kloppen met de evaingen E was heel wat voo nodig om met Aistoteles' opvattingen te beken In de vijftiende en zestiende eeuw is daa langzaamaan een begin mee gemaakt Dat gebeude in het heel West Euopa Pas in de 17 de eeuw kegen de nieuwe inzichten hun beslag doo Newton We zetten Aistoteles' opvattingen en die van Newton even tegenove elkaa 18

2 Aistoteles: de natuulijke toestand is ust Elke beweging houdt op zonde ingijpen van de mens Newton: e is actie nodig om een beweging te veandeen Opgave Noem een voobeeld dat Aistoteles mening ondesteunt Ook een dat voo Newtons opvatting pleit Aistoteles: het zit in de aad van het object of het naa boven gaat of naa beneden Newton: massa's tekken elkaa aan Opgave 3 Denk aan een steen die wodt losgelaten en op aade valt Aistoteles en Newton bekijken dat gebeuen heel veschillend Beschijf het gebeuen in je eigen wooden zoals Aistoteles het bekijkt en ook hoe Newton het bekijkt Je zou kunnen zeggen dat Aistoteles' opvattingen veel bete met de evaingen oveeenstemmen dan Newtons theoie In de volgende vagen kijg je daavan nog een staaltje Opgave 4 Volgens Newton tekken de aade en een knikke elkaa aan Wie tekt het hadst: de knikke aan de aade of de aade aan de knikke? Opgave 5 Je hebt twee ballen, een van 1 kilogam en een van 0,5 kilogam Je slaat met een knuppel tegen de ene bal en daana even had tegen de andee bal Kijgen de ballen dan dezelfde snelheid? 19

3 II Bewegingen Voo deze paagaaf is het handig als je enige evaing hebt met vectoen en met de begippen plaats, snelheid en vesnelling In deze paagaaf maakt het niet uit in welke dimensie we weken, in het platte vlak (dimensie ), in de uimte (dimensie 3) of zelfs op een lijn (dimensie 1) Een beweging is het gemakkelijks te tekenen in het tweedimensionale vlak, maa de edeneingen en beekeningen gaan lettelijk doo in het diedimensionale en eendimensionale geval We kiezen een vast punt O en bekijken een beweging steeds vanuit dat punt Dat punt is de zogenaamde oospong Op elk tijdstip t is een bewegende massa op een zekee plaats, heeft zij een zekee snelheid en een zekee vesnelling De plaats, snelheid en vesnelling zijn alledie vectoen; ze hebben een ichting en een gootte = plaatsvecto v = snelheidsvecto a = vesnellingsvecto De lengte van de plaatsvecto noteen we zó: of gewoon Dat is de afstand tot de oospong Evenzo is v (of v) de gootte van de snelheid; de ichting van v geeft aan in welke de massa zich beweegt En a (of a)is de gootte van de vesnelling; de ichting van a geeft aan in welke ichting de snelheid veandet O v Vaak wodt de naam van een vecto bij het eindpunt van de pijl gezet De vesnellingsvecto kan niet handig in beeld gebacht woden v vetelt je hoe de plaats van de massa veandet Als bijvoobeeld de massa op een moment langzaam naa echts beweegt, zal de snelheidvecto op dat moment kot zijn en naa echts wijzen In het algemeen veandet de snelheidsvecto ook in de tijd Hoe de veandeing van ichting is en hoe snel die veandeing plaatsvindt, wodt aangegeven doo de vesnellingsvecto Als bijvoobeeld de massa op een moment langzaam naa echts beweegt, en even late stek naa boven, dan is e een flinke vesnelling aan het wek geweest, voonamelijk geicht naa boven, en iets naa links Een auto heeft op een zeke moment een snelheid van 80 km/u Dat betekent dat: als de auto die snelheid constant een uu lang houdt, hij een weg van 80 km zal afleggen Opgave 6 Tussen de tijdstippen 3 uu en twintig minuten ove 3 heeft een auto zich veplaatst zoals aangegeven doo pijl 1 Tussen de tijdstippen 3 uu en tien minuten ove 3 heeft de auto zich veplaatst zoals aangegeven doo pijl pijl1 pijl 0

4 a Wannee eed de auto (gemiddeld) het snelst, tussen 3 en 3:0 of tussen 3 en 3:10? Hoe weet je dat? b Kun je ook achehalen wannee de auto het snelst eed, tussen 3 en 3:10 of tussen 3:10 en 3:0? Een massa beweegt We bekijken de beweging tussen de tijdstippen 3 en 7 Op enkele tijdstippen in dit inteval is de plaats met een dikke stip aangegeven en met een vecto is de snelheid aangegeven v (3) v (3,5) v (4) O v (5) v (6) v (7) Opgave 7 Elk van de getekende snelheidsvectoen ligt op de aaklijn aan de baan a Logisch? b Op welk van de gebuikte zes tijdstippen was de snelheid het gootst? c Teken de veplaatsingsvecto tussen de tijdstippen 4 en 6 De snelheidsvectoen op de tijdstippen 3 en 4 zijn veschillend Dus moet e tussen die tijdstippen een vesnelling hebben plaatsgevonden Die vesnelling was niet steeds hetzelfde, maa je kunt toch wel iets globaals zeggen ove de vesnelling d In welke ichting wekte de vesnelling ongevee tussen de tijdstippen 3 en 4? Opgave 8 Een massa beweegt zich langs een echte lijn a Wat weet je dan van de vesnelling op een willekeuig tijdstip? Een massa beweegt met constante snelheid ove een cikelvomige baan b Je zou kunnen denken dat e dan geen vesnelling is Maa die is e wel! Leg dat uit c Beedenee dat de vesnelling adiëel geicht is, dwz in de ichting van de staal 1

5 III Die bijzondee bewegingen Opgave 9 Een massa beweegt met een constante snelheidsvecto, dat wil zeggen dat de snelheid v op elk tijdstip t hetzelfde is a Wat weet je dan van haa baan? De plaatsvecto (0) (0) en de constante snelheids- vecto v zijn hienaast getekend b Teken (5) en ( 3) c Teken de baan, d Geef een fomule voo de plaatsvecto (t), uitgedukt in (0) en v e Wat is dan de vesnellingsvecto? Men zegt dan dat de massa"s uit de laatste twee opgaven zich eenpaig echtlijnig bewegen O v Als de vesnellingsvecto constant is (niet 0 ), neemt de snelheid in elke seconde met eenzelfde vecto a toe Dus dan is v = v (0) + t Men zegt dan dat de massa zich eenpaig vesneld beweegt Opgave 10 a Teken de snelheidsvecto v (1) (0) In het tijdsinteval tussen 0 en 1 vaieet de snelheid van v (0) naa v (1) b Teken de snelheidvecto halvewege het tijdsinteval: v ( 1 ) O v (0) a p p Op het tijdstp is de snelheidsvecto v (0) + a, p = 0, 1, 10 10,, 10 Met al die veschillende snelheidsvectoen heb je te maken tussen de tijdstppen 0 en 1 Het gemiddeld van al deze snelheidsvectoen is v (0) + 5 a = v (0) + 1 a En 10 daamee kunnen we de plaatsvecto (1) vinden a Teken (1)

6 d Duk () uit in (0), v (0) en a en teken () Conclusie Bij een eenpaig vesnelde beweging is de plaatsvecto na t seconden: (0) + v (0) t + ½ a t Opgave 11 Hienaast is een beginstelheid v 0 en constante vesnellingsvecto a gekozen (0) v 0 a a Teken de snelheidsvectoen na 1, en 3 seconden b Bepaal de plaatsvectoen na 1, en 3 seconden c Schets de baan De eenpaige cikelbeweging: de massa beweegt zich met constante snelheid v ove een cikel, zeg met staal R Deze beweging is het eest bestudeed doo Robet Hooke ( ) Hooke edeneede als volgt (1674): De maan beweegt in een (ongevee) cikelvomige baan om de aade De maan valt naa de aade toe in plaats van een echte baan te volgen Dus moet e een vesnelling zijn Omdat de snelheid van de maan nagenoeg constant is, moet e een kacht zijn in de ichting van de aade (namelijk loodecht op de baan) Andes vliegt de maan uit haa baan Dat noemen we de zwaatekacht We nemen het middelpunt van de cikel als oospong De plaatsvecto daait ond in de tijd De omwentelingstijd (de tijd nodig voo 1 omwenteling) noemen we T (seconde) ω φ 3

7 Opgave 1 Stel dat R = 16 (mete) en T = 0 seconden Beeken v Uit de symmetie van de cikelbeweging volgt dat de gootte a van de vesnelling constant is Hoe goot a is gaan we op die manieen afleiden Opgave 13 Op twee tijdstippen die t veschillen zijn de snelheidsvectoen getekend De gijze cikelsecto is voo kleine waaden van t nagenoeg een diehoek I Bekijk bovendien de diehoek II tussen de snelheidsvectoen a De diehoeken I en II zijn gelijkbenig Waaom? b De diehoeken I en II hebben dezelfde tophoek Waaom? I I en II zijn dus gelijkvomig c Wat is de gelijkvomigheidsfacto, uitgedukt in v en R? d Duk de basis van I uit in v en t e Duk de basis van II uit in a en t f Leid uit de antwooden op c, d en e af dat a = v / R II Opgave 14 De massa veplaatst zich in een tijdsduu t van A naa C Dan is e een tangentiële veplaatsing AE = v t en een adiële veplaatsing AD = ½ a ( t) a Ga na dat de diehoeken ACD en CBD gelijkvomig zijn E volgt dat CD = AD BD CD, dus CD = AD BD b Ga na dat hieuit volgt: (v t) = ½ a ( t) (R ½ a ( t) ) E C A D M Mek op dat we a constant hebben veondesteld Dat mag omdat we dit alleen voo kleine waaden van t Deel doo ( t) en laat t tot 0 nadeen c Ga na dat je hetzelfde esultaat kijgt als bij opgave 14 vt B Opgave 15 De valweg van de massa in t sec is v ( t) R R + ( v t) R φ R 4

8 Dit komt omdat voo kleine waaden van p geldt: R p + p R R a Leg dit laatste uit De valweg is ook gelijk aan ½ a ( t) b Ga na dat je hetzelfde esultaat kijgt als bij Opgave 14 Conclusie (Chistiaan Huygens) Bij een eenpaige cikelbeweging is de vesnelling R v, waabij v de snelheid is en R de staal van de cikelbaan Opgave 16 Men speekt van een geostationaie satelliet als de satelliet steeds op dezelfde plek boven de evenaa hangt a Hoe goot is de omloopstijd T van een geostationaie satelliet? De vesnelling die een satelliet van de zwaatekacht ondevindt is alleen afhankelijk van de hoogte boven het aadoppevlak: / R m/s, waabij R de afstand tot het middelpunt van de aade is (in metes) b Beeken R voo een geostationaie satelliet De staal van de aade bij de evenaa is 6378 km c Hoe hoog hangen de geostationaie satellieten boven de evenaa? Opmeking Geostationaie satellieten veandeen niet van plaats boven de evenaa Dit is van goot belang omdat de antenne op aade dan niet steeds andes geicht hoeft te woden De meeste satellieten zijn TV-, adio-, communicatie- of weesatellieten Zoals je in de voige opgave beekend hebt, bevinden ze zich allemaal op dezelfde hoogte 5

9 IV De wetten van Newton Wat moeten we vestaan onde kacht? Plaats is conceet, veplaatsing dus ook Tijd is conceet, veplaatsing pe tijdseenheid dus ook, en daamee snelheid Veandeing van snelheid is conceet, dus ook pe tijdseenheid, en daamee vesnelling Vesnelling kun je echtsteeks meten Bij kacht is dat niet mogelijk Een massa wodt vesneld, dat moet doo "iets" veoozaakt woden Dat "iets" noem je "kacht" Of, een voowep wodt vevomd Dat moet doo "iets" veoozaakt woden Dat "iets" noem je kacht Daamee hebben we een begip dat het makkelijke maakt om ove bewegingsveandeingen en vevomingen te paten Newton1 Een massa volhadt in zijn eenpaig-echtlijnige beweging, bij absentie van een inwekende kacht E is een kacht nodig om de massa te dwingen zijn constante beweging te velaten Opgave 17 a Zeul een kindewagen ove het stand Je laat hem los Hij staat binnen de kotste keen stil Welke kacht bengt hem tot stilstand? b Sla met je vuist op tafel Je vuist komt tegen het tafelblad tot stilstand Welke kacht bengt je vuist tot stilstand? c Je spingt op een tampoline Je gaat omhoog, maa veliest al je snelheid (waana je teugvalt op de tampoline) Welke kacht bengt je tot stilstand? Newton De vesnelling is evenedig met de kacht en omgekeed evenedig met de massa Opgave 18 a Ondewep een massa vandaag aan een kacht en mogen aan een andee kacht Mogen vesnelt de massa kee zo zee als vandaag Wat weet je van de twee kachten, vandaag en mogen? b Ondewep twee massa's elk aan een kacht De ene massa is kee zo goot als de andee massa Hun vesnellingen zijn gelijk Wat weet je dan van de twee kachten? Newton3 actie = -eactie Opgave 19 a Leg uit dat de teugslag van een gewee een voobeeld is van de dede wet van Newton b Leg uit dat aketaandijving een voobeeld is van de dede wet van Newton Het pobleem met de gavitatiekacht is dat hij zo zwak is dat je geen evaing emee hebt in het dagelijks leven Leg twee bollen naast elkaa op tafel, een van 1 kg en een van 10 kg Je mekt niets van het feit dat die twee elkaa aantekken Steke: een knikke boven de aade tekt even had aan de aade, als de aade aan de knikke tekt Dat is conta-intuïtief, immes je ziet de knikke naa de aade toe vallen en niet omgekeed 6

10 Opgave 0 Hoe komt het dat de knikke naa de aade toe beweegt en niet omgekeed? De kleine bol tekt even had aan de gote bol als andesom Je kunt dit op de volgende manie begijpen Beschouw de gote bol als 10 kleine bollen aaneengeklonted Als de kacht tussen twee kleine bollen (elk behoende tot één van de twee lichamen) F is, dan oefent de gote bol een kacht op de kleine bol uit van totaal 10F Maa de kleine bol oefent op elk van de 10 bollen waauit de gote bol bestaat een kacht F uit In totaal dus ook 10F Opgave 1 Een gewicht hangt aan een vee Het geheel is in ust Leg uit dat dit een illustatie van de dede wet van Newton is 7

11 V Gavitatie Hoe vede een massa zich van de aade bevindt, hoe zwakke zij doo de aade wodt aangetokken Op het aadoppevlak is de zwaatekachtsvesnelling g 1 = 9,8 m/s ; dat is op afstand 1 = 6371 km van het middelpunt van de aade (Het middelpunt van) de maan bevindt zich op afstand = km van het middelpunt van de aade De zwaatekachtsvesnelling g die de maan van de aade ondevindt is dus veel kleine dan 9,8 m/s We gaan ondezoeken wat het veband is tussen g 1 en g in elatie tot 1 en 1 Opgave De maan daait in 7,3 dagen om de aade a Beeken de snelheid van de maan in m/s De wet van Huygens luidt: a = b Beeken die in m/s c Ga na dat ongevee geldt: v Hiemee kan de waade van g woden beekend g 1 = g 1 Kennelijk is de zwaatekachtsvesnelling omgekeed evenedig met het kwadaat van de afstand Bovendien is de zwaatekacht evenedig met de massa's m 1 en m, in dit geval van achteeenvolgens aade en maan Gavitatiewet van Newton m1 m De gavitatiekacht die een massa m ondevindt van een massa m 1 is G, waabij de ondelinge afstand is van de massa's (pecieze: van de middelpunten van de massa's) De gebuikte eenheden zijn: gavitatiekacht in N (=newton) massa in kg afstand in m G is de zogenaamde gavitatieconstante 6,67 * Nm kg - De gavitatiewet is univeseel: hij geldt op elke plaats in het heelal en op elk moment Bovendien geldt de wet op elke schaal: in de micoweeld tussen atomen, op aade en ook in de macoweeld tussen hemellichamen 8

12 Opgave 3 Twee pakken melk van elk 1 kg bevinden zich op 1 m van elkaa a Hoe goot is hun ondelinge aantekkingskacht 1 N is (ongevee) de kacht waamee de aade aan een pak melk van 1 kg tekt b Hoe zwaa is de aade? Als je een pak melk in je hand houdt, mek je het gewicht: de kacht waamee de aade aan het pak tekt In vaag a heb je beekend dat twee pakken melk op afstand 1 mete elkaa zéé zwak aantekken Geen wonde dat je daa in de paktijk niets van mekt Opgave 4 Als je twee bollen, een van 1 kg en een van kg, van een toen laat vallen, zullen ze gelijktijdig op de gond aiveen Leg uit dat dit in oveeenstemming is met de Gavitatiewet en de tweede wet van Newton De gavitatiewet is niet alleen van toepassing op kleine voowepen, maa ook op gigantische dingen zoals hemellichamen De aantekking tussen kleine massa's is vewaaloosbaa klein Doo de aantekking tussen gote massa's is ons zonnestelsel stabiel: de aade wodt in een vaste baan om de zon gehouden, de maan in een vaste baan om de aade Als je een bal van een hoogte loslaat, valt hij naa het aadoppevlak Althans, dat nemen we waa Volgens de gavitatietheoie van Newton zou de aade ook naa de bal toe bewegen Dit gebeut ook wel, maa in zee geinge mate Dit komt omdat de massa van de aade vele malen gote is dan de massa van de bal Opgave 5 Hoe vehoudt zich de vesnelling die de bal van de aade kijgt tot de vesnelling die de aade van de bal kijgt? Opgave 6 De massa van de aade is 5, kg, de staal van de aade is 6371 km De maan is veel lichte en kleine: haa massa is 7,35 10 kg, en haa staal is 1740 km De zwaatekacht op de maan is dan ook veel kleine dan op aade Hoeveel kee zo klein? Het was Newtons gote inzicht dat het vallen van een appel naa de gond (als zijn steel van een tak beekt) en het feit dat de maan niet van de aade wegvliegt, dezelfde oozaak hebben Namelijk de gavitatiekacht Dit inzicht zou Newton (volgens de legende) gekegen hebben tewijl hij onde een boom lag, waauit een appel viel (1666) Zie bijvoobeeld van_de_appel_en_de_maan Si Isaac Newton

13 m1m G is de gootte van de kacht die massa m 1 uitoefent op massa m op afstand van elkaa m 1m De kacht zelf is de vecto -G 3 1, waabij 1 de vecto is met beginpunt m 1 en eindpunt m Opgave 7 a Langs welke lijn is de kacht geicht? b Wat betekent het minteken? c Leg uit dat e in de noeme de dedemacht van staat Opgave 8 De staal van de aade is 6371 km Op welke hoogte boven het aadoppevlak is de zwaatekachtvesnelling 4,9 (de helft van de waade op het aadoppevlak)? Opmeking 1 De gavitatiekacht is evenedig met De exponent is geen fysische natuuconstante (zoals de lichtsnelheid c, de elektische lading van een elekton e of de gavitatieconstante G, die expeimenteel zijn bepaald) De exponent heeft namelijk diect te maken met het feit dat we in een 3-dimensionale uimte leven (Hadden we in een 4-dimensionale uimte geleefd, dan zou de exponent 3 geweest zijn De exponent is altijd 1 minde dan de dimensie van de uimte) Dit betekent het volgende Bekijk een puntmassa in het midden van een bolschil Van de bolschil nemen we een "kapje"", waaop een folie massa is aangebacht Het enige veschil tussen de situaties links en echts is de afmeting: echts zijn de afmetingen kee zo goot als links Maa het folie is bij beide even dik De gavitatiekacht die de puntmassa van een mm van het folie ondevindt is echts dus 1 1 = kee zo goot als links Maa de oppevlakte van het kapje echts is 4 kee zo goot als 4 links (*) Dus is de totale gavitatiekacht die de puntmassa echts ondevindt pecies gelijk aan links Als de exponent niet pecies was geweest, zouden de gavitatiekachten links en echts ook niet pecies gelijk zijn geweest (*) Als van een figuu de afmetingen f kee zo goot woden gemaakt, wodt de oppevlakte f kee zo goot en de inhoud f 3 kee zo goot 30

14 Opgave 9 Hoe zit het als de afmetingen echts 3 kee zo goot zijn als links? 1 Dat de gavitatiekacht dus evenedig is met leiden we op nog een andee manie af Hij volgt uit de dede wet van Keple, tezamen met de wet van Huygens (zie bladzijde 6) De dede wet van Keple zegt dat het kwadaat van de omloopstijd van een planeet evenedig is met de dedemacht van de staal van de baan: T ~ 3 De wet van Huygens zegt dat de zwaatekacht die de aade op de maan uitoefent gelijk is aan: v m (Andes zou de maan op de aade vallen of uit zijn baan schieten) Opgave 30 π a Leg uit dat v = T 1 b Leidt uit a en de dede wet van Keple af dat zwaatekacht evenedig is met De gavitatieconstante G wed doo Heny Cavendish als eeste gemeten toen hij de massa van de aade bepaalde met loden kogels in een tosiebalans Cavendish vond een waade van 6, m 3 s - kg -1 Inmiddels is de gavitatieconstante op vele veschillende manieen gemeten Toch blijft de zwaatekachtsconstante een van de minst nauwkeuig bepaalde fysische gootheden, met maa die nauwkeuige cijfes Si Heny Cavendish, ) 31