De 36 e Internationale Natuurkunde Olympiade Salamanca, -Spanje Theorie-toets dinsdag 5 juli 2005 duur: 5 uur. Lees dit eerst!

Transcriptie

1 Lees dit eest! De 36 e Intenationale Natuukunde Olympiade Salamanca, -Spanje Theoie-toets dinsdag 5 juli 5 duu: 5 uu 1. Voo de theoetische toets is 5 uu beschikbaa.. Beschijf uitsluitend de vookant van het papie. 3. Maak elke opgave op een nieuw blad. 4. Behalve de blanco bladen waa je op mag schijven, is e een antwoodblad waaop de antwooden moeten woden samengevat. Geef numeieke esultaten wee met een veantwood aantal significante cijfes. 5. Op de blanco bladen mag je uiteaad alles schijven waavan je denkt dat het belangijk is voo het oplossen van het vaagstuk. Gebuik echte zoveel mogelijk vegelijkingen, numeieke waaden, tekeningen en gafieken. Gebuik dus zo weinig mogelijk tekst. 6. Bovenaan elk blad moet je het land (County Code) en je studentnumme (Student Code) invullen. Vul vede in: het numme van de opgave (Question Numbe); het paginanumme (Page Numbe) en het totaal aantal blanco bladen (Total Numbe of Pages) dat je hebt gebuikt en dat nagekeken moet woden. Notee ook aan het begin van elk blad het numme en het ondedeel van de vaag waamee je bezig bent. Zet een kuis doo alle andee bescheven bladen die niet nagekeken hoeven te woden. Neem deze bladen ook niet op in de nummeing van de bladen. 7. Leg aan het eind alle bladen in de juiste volgode: pe vaagstuk eest het antwoodblad, daana de bescheven bladen die nagekeken moeten woden en dan de bladen die niet nagekeken hoeven te woden. Ongebuikte bladen en de opgaven Stop de bladen in de daavoo bestemde enveloppe. Laat alles op je tafel achte. Je mag geen enkel blad meenemen.

2 Th 1 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 EEN SATELLIET MET NOODLOTTIGE AFLOOP De meeste baancoecties bij uimtevaatuigen bestaan uit aanpassingen van de snelheid in de ichting van de baan, zoals vesnellingen om hogee banen te beeiken of vetagingen om te beginnen met een teugkee in de atmosfee. In dit vaagstuk bestudeen we echte de baanvaiaties als de motokacht in adiële ichting wodt uitgeoefend. De volgende getalwaaden zijn gegeven: Staal van de aade 6 R T 6,37 1 m, Vesnelling tgv de zwaatekacht op het aadoppevlak: g 9,81m/s, De lengte van een sideische dag is: T 4,h. We beschouwen een geostationaie 1 satelliet met massa m die een cikelvomige baan met staal uitvoet, gelegen in het equatoiale vlak. foto: ESA Vaag (.3 pt) Beeken de numeieke waade van. 1. (.3+.1 pt) Duk de snelheid v van de satelliet uit als een functie van g, numeieke waade. R T, en en beeken z n 1.3 (.4+.4 pt) Leid uitdukkingen voo het impulsmoment L en de totale mechanische enegie E als functie van v, m, g en R T. Als de satelliet eenmaal in zijn geostationaie cikelvomige baan beweegt, wodt vanaf het contolecentum op aade een fout gemaakt doo de moto nogmaals te ontsteken. Daadoo teedt een impulsveandeing in de ichting van de aade op als gevolg waavan de satelliet een ongewenste snelheidsveandeing Δ v kijgt (zie figuu F-1). Deze stoot wodt gekaakteiseed doo de paamete β Δ v / v. De tijdsduu dat de moto wekt, is vewaaloosbaa klein ten opzichte van de omlooptijd van de satelliet, waadoo we deze veandeing als instantaan kunnen beschouwen. Vaag Veondestel β < 1. v Δ v F-1 m.1 (.4+.5 pt) Duk de paametes van de nieuwe baan, het semi-latus-ectum l (halve kote as van de ellipsbaan) en de excenticiteit ε uit als functie van en β.. (1. pt) Beeken de hoek α tussen de lange as van de nieuwe baan en de plaatsvecto van z n positie toen de moto pe ongeluk ontstoken wed..3 (1.+. pt) Leid de fomule af voo de kotste afstand min en de langste afstand max tot het middelpunt van de aade als functie van en β en bepaal hun numeieke waaden voo β 1/ 4..4 (.5+. pt) Bepaal de omlooptijd T van de nieuwe baan als een functie van T en β en beeken de numeieke waade van T voo β 1/ 4. 1 Zijn omlooptijd is T. Zie de hint. Th 1 Page 1 of 3

3 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 Vaag (.5 pt) Beeken de kleinste waade van de paamete β esc die nodig is om de satelliet uit het zwaatekachtsveld van de aade te laten ontsnappen.. 3. (1. pt) Bepaal in dit geval bij de nieuwe baan de kleinste afstand van de satelliet tot het centum van de aade, min als functie van. v Vaag 4 Veondestel β > βesc. 4.1 (1. pt) Leid de eindsnelheid in het oneindige v af als functie van v en β. Δ v φ 4. (1. pt) Leid een uitdukking af voo de botsingspaamete b (wodt bepaald doo de ichting van v ) als functie van en β. (Zie Figuu F- ). b 4.3 (1.+. pt) Leid de hoek φ af als functie van β. Beeken de numeieke F- v waade van φ voo het geval dat 3 β β esc. HINT Onde invloed van centale kachten die omgekeed evenedig zijn met het kwadaat van de afstand volgen de massa s banen die ellipsen, paabolen of hypebolen kunnen zijn. Als geldt dat m << M dan valt de massa M samen met één van de bandpunten. Als we de oospong in dit bandpunt nemen, dan kan de algemene vegelijking voo deze banen in poolcoödinaten gescheven woden als (zie Figuu F-3) ( θ ) l 1 ε cosθ M θ m waabij l een positieve constante is, die de semi-latus-ectum (de halve kote as) genoemd wodt en ε de excenticiteit is van de baan. Uitgedukt in de behouden gootheden geldt: F-3 L l en GM m ε 1 + E L 3 G M m 1/ Waabij G de gavitatieconstante is, L het impulsmoment van de massa in de baan ten opzichte van de oospong is en E de totale mechanische enegie is, waabij de potentiële enegie nul is in het oneindige. We hebben de volgende mogelijkheden: i) Als ε < 1, dan is de baan een ellips (een cikel voo ε ). ii) Als ε 1, dan is de baan een paabool. iii) Als ε > 1, dan is de baan een hypebool. Th 1 Page of 3

4 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES Th 1 ANTWOORDBLAD Vaag Basisfomules en uitgangspunten Fomules Numeieke esultaten Puntenvedeling v v L.4 E.4.1 l ε.4.5. α 1..3 max max 1. min min.4 T T β esc.5 3. min v b φ φ 1. Th 1 Page 3 of 3

5 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 Th BEPALING VAN ABSOLUTE EENHEDEN VAN ELEKTRISCHE GROOTHEDEN Doo de technologische en wetenschappelijke ontwikkelingen tijdens de negentiende eeuw was het heel belangijk om univeseel aanvaade standaadwaaden voo elektische gootheden te bezitten. Men dacht dat nieuwe absolute eenheden enkel gebaseed moesten zijn op de standaadwaaden van lengte, massa en tijd, zoals die weden vastgelegd na de Fanse Revolutie. Een goot gedeelte van het expeimenteel wek wed veicht van 1861 tot 191. Z ω Bepaling van de standaadwaade van de ohm volgens Kelvin Een gesloten cikelvomige spoel met N windingen, staal a en totale weestand R, wodt geoteed ond een veticale as met een constante hoeksnelheid ω in een hoizontaal magnetisch veld B B i 1. (.5+1. pt) Beeken de inductiespanning ε in de spoel en het gemiddeld vemogen 1 P nodig om de spoel in beweging te houden. Vewaaloos de zelfinductie van de spoel. B X θ F-1 Een kleine magneetnaald wodt geplaatst in het centum van de spoel (zie figuu F-1). De naald kan langzaam daaien ond de z-as in een hoizontal vlak maa kan de snelle otatie van de spoel niet volgen.. (. pt) In een stationaie toestand zal de magneetnaald in een ichting staan die een kleine hoek θ met B maakt. Beeken de weestand R van de spoel als functie van θ en de andee paametes van het systeem. Lod Kelvin gebuikte deze methode ond 186 om de eenheidswaade van de ohm te bepalen. Om de otatie van de spoel te vemijden heeft Loenz een altenatieve methode aangeaden welke vede ontwikkeld wed doo Lod Rayleigh en Ms. Sidgwick. In het volgende deel zal deze methode aan bod komen. Bepaling van de standaadwaade van de ohm volgens Rayleigh en Sidgwick De expeimentele opstelling wodt getoond in figuu F-. Deze opstelling bestaat uit twee identieke metalen schijven D en D met staal b, bevestigd op een geleidende as SS. Een moto doet het geheel daaien met een constante hoeksnelheid ω, die kan woden aangepast om de waade van R te bepalen. Twee identieke spoelen C en C (met staal a en elk met N windingen), bevinden zich ond de schijven. De spoelen zijn zo geschakeld dat de ichting van de ω S C 4 3 D R I F- G C' 1 D' S' 1 T X in een peiodiek systeem met peiode T is X X () t dt T Je kunt een of mee van de volgende integalen nodig hebben: 1 De gemiddelde waade X van de gootheid () t π π π sin x dx cos x dx sin x cos x dx, sin x dx cos x dx π, en π π n 1 n x dx x + n Th Page 1 of 4

6 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 stoom doo de spoelen tegengesteld is. Het appaaat wed gebuikt om de waade van de weestand R te bepalen. 3. (. pt) Stel dat de stoomstekte I doo de spoelen C en C een homogeen magnetisch veld B opwekt ond D en D met een waade die gelijk is aan de waade van het veld in het centum van de spoel. Beeken de inductiespanning tussen de punten 1 en 4 op de anden van de schijven. (a << b en vewaaloos de wedezijdse invloed van de spoelen). De schijven zijn vebonden doo sleepcontacten met de schakeling in de punten 1 en 4. De galvanomete G meet de stoomstekte in de schakeling (.5 pt) De weestand R wodt bepaald wannee de galvanomete G nul aanwijst. Stel een fomule op voo R als functie van de paametes van het systeem. Bepaling van de standaadwaade van de ampèe. Als we een stoom doo twee geleides laten gaan en we meten de kacht tussen de geleides kunnen we de absolute standaadwaade van de ampèe bepalen. De stoombalans wed ontwikkeld doo Lod Kelvin in 188. De opstelling bestaat uit zes identieke spoelen C 1,...,C 6 (met één winding en staal a) in seie geschakeld. De figuu F-3 toont de vaste spoelen C 1, C 3, C 4 en C 6 die zich bevinden in twee hoizontale vlakken op een afstand h van elkaa. De spoelen C en C 5 zijn bevestigd aan een balans met amen met lengte d. Deze spoelen zijn in de evenwichtspositie op eenzelfde afstand van beide hoizontale vlakken. De stoomstekte I gaat op zo n manie doo de veschillende spoelen dat de magnetische kacht op C opwaats is en op C 5 neewaats is. Als e een stoom doo de schakeling stoomt e is een voowep met massa m (op een afstand x van het daaipunt O) veeist om de balans in de evenwichtspositie zoals eede bescheven te houden. d d m x O G l I F C 1 C 6 F h F-3 F C C 5 F h C 3 C 4 5. ( 1. pt) Beeken de kacht F op C ten gevolge van de magnetische wisselweking met C 1. Voo de eenvoud veondestellen we dat de kacht pe lengte-eenheid gelijk is aan de kacht tussen twee lange echte stoomvoeende daden. 6. (1. pt) De stoomstekte I wodt bepaald met de balans in evenwicht. Stel een fomule op voo I als van functie van de fysische paametes van het systeem. De afmetingen van het appaaat zijn zodanig dat de wedezijdse effecten tussen de spoelen aan de linkekant en de spoelen aan de echtekant kunnen woden vewaaloosd. Th Page of 4

7 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 Stel dat de massa van de balans (zonde de massa m en de opgehangen delen) gelijk is aan M. G is het zwaatepunt en l is de afstand tussen O en G. 7. (. pt) De balans blijft in stabiel evenwicht bij kleine veandeingen δz in de hoogte van C en - δz van C 5. Beeken de maximumwaade van δz max waavoo de balans teugkeet naa de evenwichtspositie als ze losgelaten wodt. Veondestel dat de centa van de spoelen bij benadeing op één lijn blijven. Gebuik de volgende benadeingen: β + β of 1 ± β 1 ± β 1 β voo β << 1, en sinθ tanθ voo kleine θ. Th Page 3 of 4

8 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES TH ANTWOORDBLAD Vaag Basisfomules en uitgangspunten Fomules Puntenvedeling ε 1 P 1.5 R. 3 ε. 4 R,5 5 F 1. 6 I 1. 7 δ z max. Th Page 4 of 4

9 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 Th 3 NEUTRONEN IN VELD VAN DE ZWAARTEKRACHT In de bekende klassieke weeld is een volkomen elastisch stuiteende bal op het aadoppevlak een mooi voobeeld van een eeuwig duende beweging. De bal blijft bewegen tussen twee uitesten: hij komt niet beneden het aadoppevlak noch boven het keepunt. Alleen luchtwijving of onelastische botsingen kunnen de beweging stoppen, maa dat laten we vede buiten beschouwing. Een goep fysici van het Laue-Langevin instituut in Genoble hebben in een appot gescheven ove het gedag van neutonen in het zwaatekachtsveld van de aade. In het expeiment bewegen neutonen naa echts tewijl ze onde de invloed van de zwaatekacht naa beneden vallen op een hoizonaal kistallijn oppevlak dat als spiegel voo neutonen wekt. Daana stuiteen ze elastisch op naa de oosponkelijke hoogte. Dit stuiteen hehaalt zich vele malen. De opstelling is in figuu F-1 schematisch weegegeven. Het bestaat uit de opening C, de neutonenspiegel M (op hoogte z ), de neutonenabsobe A (op hoogte z H en lengte L) en de neutonendetecto D. De neutonenbundel vliegt met een constante hoizontale snelheidscomponent v x van C naa D doo de uimte tussen A en M. Alle neutonen die het vlak A aken woden geabsobeed en vedwijnen uit het expeiment. Degenen die het oppevlak M aken woden elastisch teuggekaatst. De detecto D telt de tansmissie N(H); dit is het aantal neutonen dat D pe tijdseenheid beeikt. A L W g M D Z X A M v z z v x H D F-1 De neutonen komen de uimte tussen A en M (met lengte L) binnen met een veticale snelheidscomponent v z die veschillende positieve en negatieve waaden kan hebben. 1. (1,5 pt) Beeken met de klassieke mechanica de waaden die de veticale snelheid v z (z) van de neutonen, die binnengekomen op een hoogte z de detecto D beeiken. Neem aan dat L veel gote is dan elke andee afmeting van het systeem.. (1,5 pt) Beeken met de klassieke mechanica de minimale lengte L c van de uimte tussen A en M zodat neutonen met een veticale snelheidscomponent die buiten het snelheidsinteval gevonden in 1 vallen, ongeacht de waade van z, woden geabsobeed doo A. Neem v x 1 m s -1 en H 5 µm. De tansmissie van de neutonen N(H) wodt gemeten bij D. We vewachten dat dit monotoon (gelijkmatig) toeneemt met H. 3. (,5 pt) Beeken de klassieke tansmissie N c (H), evan uitgaande dat de neutonen de uimte tusen A en M binnenkomen op hoogte z met veticale snelheid v z, waabij alle waaden van v z en z even waaschijnlijk zijn. Geef het antwood als functie van ρ, dat is het constante aantal neutonen dat pe tijdseenheid, pe eenheid van veticale snelheid en pe eenheid van hoogte de uimte tussen A en M binnenkomen met veticale snelheid v z en op hoogte z. Th 3 Page 1 of 3

10 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 De expeimentele esultaten die de Genoble goep kegen, N(H) kloppen niet met de klassieke voospellingen hieboven, in plaats daavan laten ze zien dat de waade van N(H) stek toeneemt als bepaalde kitische hoogten H 1, H, woden ovescheden. (figuu F- toont een schets). Andes gezegd, het expeiment toont aan dat de veticale beweging van de op de spiegel kaatsende neutonen gequantiseed is. In de wooden die Boh en Sommefeld gebuikten om tot de enegieniveaus van het watestofatoom te komen kun je dit schijven als: H 1 H De actie S van de neutonen in veticale ichting is een geheel aantal keen de constante van Planck h. S wodt daabij gegeven doo: F- H S pz ( z) dz nh, n 1,, 3... (Boh-Sommefeld quantisatievoowaade) waabij p z de veticale component is van de klassieke impuls (bewegingshoeveelheid) en waabij de integaal een gehele botsingscyclus omvat. Alleen neutonen met deze waaden van S woden in de uimte tussen A en M toegelaten. 4. (,5 pt) Beeken de kitische hoogten H n en de enegieniveaus E n (hoend bij de veticale beweging) met toepassing van de Boh-Sommefeld quantisatievoowaade. Geef het numeieke esultaat van H 1 in µm en van E 1 in ev. Tijdens de vlucht doo de lange uimte tussen A en M veandet de oosponkelijke unifome vedeling ρ van de neutonen bij het binnenkomst in een stapsgewijze vedeling die bij D wodt gedetecteed (zie figuu F-). Voo de eenvoud gaan we in het vevolg uit van een lange uimte tussen A en M met H < H. Klassiek gespoken zijn alle neutonen met een enegie uit het inteval zoals in vaag 1 gevonden toegestaan. Quantummechanisch zijn alleen neutonen met enegieniveau E 1 toegestaan. In oveeenstemming met de tijd-enegie onzekeheidselatie van Heisenbeg, is voo dit hevedelen een minimale vluchttijd nodig. Steke nog, de onzekeheid van de veticale bewegingsenegie zal vij goot zijn als de hoogte van de uimte tussen A en M klein is. Dit fenomeen geeft aanleiding tot een vebeding van de enegieniveaus. 5. (, pt) Maak een schatting van de minimale vluchtduu t q en de minimale lengte L q van de uimte tussen A en M die nodig is om de eeste schepe vehoging van het aantal neutonen in D te zien. Neem v x 1 m s -1. Gegevens: Constante van Planck Lichtsnelheid in vacuum Elementaie lading Massa van een neuton Valvesnelling op aade h -34 6,63 1 J s c 8-1 3, 1 m s e -19 1,6 1 C M -7 1,67 1 kg g - 9,81 ms Indien nodig, gebuik de uitdukking: ( 1 x) 1 dx ( ) 1 / x 3 / 3 Th 3 Page of 3

11 36 th Intenational Physics Olympiad. Salamanca (España) 5 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES Th 3 ANTWOORDBLAD Vaag Basisfomules en uitgangspunten Fomules Numeieke esultaten Puntenvedeling 1 v z (z) 1.5 L c L c N c (H).5 4 H n E n H 1 E 1 μm ev.5 5 t q L q t q L q. Th 3 Page 3 of 3