REKEN JE RIJK. Verbeterde versie 0.8. P. v. Mouche

Transcriptie

1 REKEN JE RIJK 2002 Vebetede vesie 0.8 c P. v. Mouche

2 Dit typoscipt gaat ove ente en aanvewante zaken. Het is vij elementai van aad. Uiteaad houd ik me aanbevolen voo op- en aanmekingen die kunnen leiden tot een vedee vebeteing van het typoscipt. 1

3 1 Rente In heel wat landen in de eële weeld kan men geld tegen ente op een bank zetten. Dat betekent dat men voo een bepaalde tijdsduu geld uitleent aan een institutie die men met bank betiteld. Na het vestijken van die tijdsduu ontvangt men dan niet alleen het oosponkelijke bedag maa ook nog een exta bedag, de zogenaamde ente, 1 teug. 2 E zijn veschillende sooten van enten. Contacten, opgesteld doo de bank, leggen pecies vast hoe een en ande geegeld is. Het ondestaande bespeekt slechts die eenvoudige contacten (die slechts globaal met bankpaktijken oveeenkomen): simpele ente, samengestelde ente en continue ente. De fundamentele notie, die alles bepaalt, zal daabij de zogenaamde entevoet (pe tijdspanne) zijn. Deze zullen we aanduiden met. Deze is een getal gote of gelijk aan 0 en veelal geldt ook nog 1. Het is gebuikelijk in pocenten uit te dukken. Dat betekent het volgende: komt oveeen met 100%. Vaak wodt voo de met de entevoet geassocieede tijdspanne één jaa gekozen. 3 Simpele ente: als men een bedag m voo M tijdspannen uitleent tegen een entevoet pe tijspanne, dan ontvangt men na vestijking van de M tijdspannen het bedag m(1 + M). Samengestelde ente: als men een bedag m voo M jaen uitleent tegen een entevoet pe tijdspanne, dan ontvangt men na vestijking van de M tijdspannen het bedag m(1 + ) M. Continue ente: als men een geldbedag m voo M jaen uitleent tegen een entevoet pe tijspanne, dan ontvangt men na vestijking van de tijdspanne de m tijdspannen het bedag me M. We zien: de simpele ente is gelijk aan mm, de samengestelde is m((1 + ) M 1) en de continue is m(e M 1). Opgave 1 Laat zien dat continue ente tenminste evenveel oplevet als samengestelde ente en dat samengestelde ente tenminste evenveel oplevet als simpele ente. Opgave 2 Vegelijk de ente vekegen doo een geldbedag van 1000 gulden voo twee jaa op een bank te zetten tegen simpele ente met een entevoet van 4% pe jaa 4 en tegen samengestelde ente met een entevoet van 4% pe 4 maanden. Bekijken we de bovenstaande contacten nu nade. Het contact van simpele ente vetoont in de vom zoals hieboven gepesenteed een mankement. Om dat te zien, beschouwen we eens de buuvouw van Pietje Puk die een positief geldbedag m tegen simpele ente uit kan zetten met een positieve entevoet. Stel zij gaat pecies één jaa met dat bedag aan de slag. Dat levet haa een bedag Y 1 := m(1 + ) op. Als zij het bedag m voo een half jaa op bank zou zetten, ontvangt zij aan het einde van die tijdspanne een bedag m(1 + 2 ). Dit bedag zet zij nu wee voo een half jaa uit tegen ente. 5 Dat levet dan Y 2 := m(1 + 2 )(1 + 2 ) = m(1 + 2 )2. Men ziet meteen dat Y 2 > Y 1. De buuvouw van Pietje Puk, homo economicus zijnde, is daamee uiteaad 1 Synoniem: inteest. 2 Dat een bank ente geeft, heeft weinig met liefdadigheid te maken, maa des te mee met het feit dat een bank met dat geld voo haa inteessante dingen kan doen. In dat veband meken we nog op dat in de islamitische dat wat andes ligt. Rente is namelijk in de Islam volgens de peciezen niet toegestaan omdat het volgens de Koan immoeel is om geld te vedienen zonde dat daabij abeid tegenove staat. Maa in de meeste islamitische landen is het heffen van ente toch toegestaan, zij het dat e enkele pincipiële banken zijn die zich aan die egel houden. 3 Met één jaa bedoelt men dan bijvoobeeld de tijdspanne tussen een bepaalde datum en diezelfde datum een jaa late (die e niet altijd zal zijn als het om 29 febuai gaat). Ove dit soot van fijnheden zullen we vede niet moeilijk gaan doen. 4 D.w.z. = 0, 04 pe jaa. 5 Op dezelfde bank, of om niet op te vallen op een andee. 2

4 in haa nopjes. Dit spelletje kan zij zelfs n maal hehalen. In het algemeen kijgt ze voo n maal geduende een tijdspanne van 1/n jaa geld op de bank te zetten Y n := m(1 + n )n. Het is niet moeilijk te laten zien dat des gote n des te gote Y n is, dus Y 4 > Y 3 > Y 3 > Y 2 > Y 1. (1) Theoeten woden nu velokt doo het volgende gedachte-expeiment: de buuvouw kan zo vaak zij wil en zou kunnen willen geld van de bank halen en e wee op zetten. Dat betekent als het wae dat zij Y := lim n Y n kan ontvangen. Gebuikmakend van de bekende wiskundige fomule e x = lim n (1 + x n )1/n vinden we voo deze limiet Y = me. Het is een wiskundig bekend esultaat dat e x > (1 + x n )1/n voo alle x > 0 en n. Dat levet Y > Y n. (2) Dit gedachte-expeiment veklaat ook de naam van continue ente waa men voo n op uit komt. In de paktijk schijven banken, om een en ande te ondevangen, ente doogaans uit op bepaalde tijdstippen (bijvoobeeld 31 decembe), eventueel tussentijds en hanteen veschillende entevoeten voo veschillende tijdsspannen dat men geld uitleent en voo mogelijkheden van opnemen. Zowel in het geval van samengestelde ente als in het geval van continue ente heeft de homo economicus niets mee aan het boven bescheven spelletje. Opgave 3 Laat zien waaom dat zo is. Opgave 4 Na hoeveel jaa is een bedag van 5000 gulden dat men uitleent tegen een samengestelde entevoet van 10% pe jaa vedubbeld? Laat zien dat T = ln 2/ ln(1+) de algemene fomule voo de vedubbeltijd bij een samengestelde entevoet is. ln 2 0, 7 en de benadeingsfomule ln(1 + x) x voo kleine x leveen voo de vedubbeltijdfomule uit Opgave 4 voo kleine samengestelde entevoeten (de voo de paktijk nuttig om te onthouden fomule) T 0, 7. (3) En indien we in pocenten uitdukken dan wodt deze fomule T 70. In onze eële weeld ligt nomalite in de buut van 5%. Volgens (3) bedaagt de vedubbeltijd dan 14 jaa; met de coecte fomule vinden we daaentegen 14, 20.. jaa. In de est van dit typoscipt zullen we met ente steeds samengestelde ente bedoelen. 2 Inflatie Om te beoodelen of het zich loont om geld voo een bepaalde tijdspanne op een bank te zetten, is het onde andee van belang te weten hoe het met de inflatie zit. 6 Inflatie is een maco-economisch begip. Om het pecies te definiëen valt nog niet mee. De discussie ove de juiste methode om 6 Een van de andee factoen is het feit dat de oveheid ente nomalite belast en dat de ente (ove langee tijdsspannen) onzeke is. 3

5 consumentenpijsstijgingen te beekenen woedt al vele decennia. Het staat aan de basis van een indukwekkende hoeveelheid beleidsbeslissingen. Gofweg beteft inflatie de (peiodieke) pecentuele stijging van consumentenpijzen. Wij intoduceen inflatie hie als volgt in de context van een consument die slechts één goed kan kopen. De koopkacht van een geldbedag m is de hoeveelheid van het goed dat de consument voo dat bedag kan kopen. Als p de pijs van het goed is, dan is de koopkacht van m dus gelijk aan m p. Stel nu dat de pijs van het goed in het begin van de tijdspanne p is en p aan het einde evan. Dan heet de elatieve pijsveandeing, i.e. het getal π = (p p)/p de inflatievoet (ove de tijdspanne). E geldt blijkbaa p = (1 + π)p. Indien π > 0 speekt men van inflatie en indien π < 0 speekt men van deflatie. E geldt Indien de entevoet ove de tijdspanne is, dan is de eële entevoet ρ (ove de tijdspanne) gedefinieed als de elatieve koopkachtsveandeing van een geldbedag uitgezet tegen ente. 1 + ρ = (1 + )/(1 + π). (4) (Mek op dat de gootte van het geldbedag e blijkbaa niet toe doet.) Opgave 5 Toon deze fomule aan. In de eële weeld is het nomalite zo dat men met een zelfde hoeveelheid geld doogaans steeds minde kan kopen in de toekomst omdat de pijzen van goedeen de neiging hebben te stijgen. Inflatie is dus het nomale veschijnsel. Uit de wiskunde weten we dat 1 + x 1 x voo kleine x. Daauit haalt men voo kleine π de in de paktijk veel gehanteede fomule ρ π. Opgave 6 Een klant koopt een bankstel in een waenhuis. De nomale pijs is 5000 gulden. Maa nu is e vanwege een eclame aanbieding een koting van 5%. Vede had de klant sowieso al altijd een koting van 10%. De vekope geeft daaom een totale koting van 15%. Deed hij daaaan juist? Zo nee, hoeveel guldens (en in wiens voodeel) veekende hij zich? 3 Toekomstige en huidige waade Beschouw een economisch subject dat e zeke van is in het begin van elk van een gegeven aantal T van opeenvolgende tijdsspannen van gelijke lengte, vede peioden te noemen, een geldbedag te ontvangen. 7 We nummeen deze peioden successievelijk met t = 0, 1,..., T 1 en denken ons het begin van peiode 0 oveeen te laten komen met het huidige tijdstip. 8 Laat m t de geldbedagen in kwestie zijn. We laten hie negatieve bedagen ook toe. Het economisch subject ontvangt dan geen geld, maa moet betalen. De ij van geldbedagen m = (m 0, m 1,..., m T 1 ) noemt men een (discete) geldstoom (te lengte T ). Wat, denkt u, zou dit economisch subject lieve hebben: elk de bedagen m t in (het begin van 9 ) peiode t, of al die bedagen ineens in peiode 0? Wellicht het 7 Menige eële-weeld-intepetatie kan alleen maa zinvol zijn in het geval van niet al te gote tijdsspannen en in afwezigheid van onzekeheid. Men denke daabij onde andee aan de (nog steeds geldige) uitspaak Mensch bedenk dat ge steven zult.. 8 Natuulijk staat het vij ook met bijvoobeeld t = 1, 2,..., T te nummeen. 9 In het vevolg laten we de toevoeging het begin van vaak weg. 4

6 laatste, want dat economisch subject kan dan de geldbedagen op de bank zetten tegen ente zodat hij met het tweede altenatief mee geld kan maken. In dat veband woden nu de begippen van toekomstige waade en huidige waade ingevoed. Niks belet ons daabij soms ook geldstomen m = (m 0, m 1, m 2,...) te lengte T = toe te laten. 10 (Dat doen we omdat sommige economische modellen deze situatie beschouwen.) De toekomstige waade van een geldstoom is pe definitie het bedag dat de geldstoom oplevet aan het einde van de tijdspanne doo de geldbedagen diect bij ontvangst op de bank tegen (samengestelde) ente te zetten. We duiden dat bedag aan met TW. De huidige waade 11 van een geldstoom is gelijk aan het geldbedag dat men in het begin van de tijdspanne op de bank moet zetten om aan het einde van de tijdspanne een bedag te gootte van de TW van die geldstoom op te leveen. We duiden dat bedag aan met HW. Men zou ook kunnen zeggen: dat de huidige waade HW van een geldstoom gelijk is aan het bedag dat men in het begin van de tijdspanne voo die geldstoom maximaal ove zou hebben om die geldstoom dan te ontvangen. We gaan nu fomules voo de huidige en toekomstige waade van een geldstoom (m 0, m 1,...) te lengte T bij een (tijdonafhankelijke) entevoet (ove de tijdspanne van de peiode) geven. Het is nu edelijk naïef zoiets te denken als dat de toekomstige waade van die geldstoom zou zijn. Wel coect is: NW := m 0 + m m T 1 T 1 TW = m 0 (1 + ) T + m 1 (1 + ) T m T 1 (1 + ) 1 = m t (1 + ) T t ; HW = m 0 + m m T 1 (1 + ) T 1 = T 1 m t (1 + ) t.12 Indedaad, als men het bedag m t in het begin van peiode t op de bank zet, staat het aan het einde van de tijdspanne T t peioden op de bank hetgeen dan een bijdage m t (1 + ) T t oplevet. De som van al deze bijdagen geeft pecies bovenstaande fomule voo TW. Omdat de geldstoom (x, 0, 0,...) te lengte T een toekomstige waade gelijk aan x(1 + ) T heeft, volgt nu uit de definitie van HW dat TW = (1 + ) T HW, (5) waauit de gegeven fomule voo HW. Ten duidelijkste, als alle m t 0, dan HW NW TW. Het getal noemt men nog disconteingsfacto. δ := 1/(1 + ) 10 Wel zal in contexten van oneindig veel peioden het pettig zijn als < 1 in veband met het vemijden van divegentiepoblemen. 11 Synoniem: contante waade. 12 Indien T =, zijn dit soot van uitdukkingen te intepeteen als limiet. 5

7 Voo de beekening van TW en HW in het belangijke geval dat alle m t gelijk zijn aan m is de 13 fomule voo de meetkundige eeks van belang. 14 We vinden daamee voo > 0 de volgende fomules: 15 { m(1 + 1 HW = ) indien T =, (6) m 1+ TW = m(1 + ) (1 + )T 1 Opgave 7 Leidt fomules (6) en (7) af. (1 (1 + ) T ) indien T eindig is. indien T eindig is. (7) Opgave 8 Beeken de toekomstige en huidige waade van de volgende geldstomen: a. (10, 3, 5, 6, 9, 7) bij = 1/10; b. (5, 5,...) (te lengte ) bij = 3/100; c. (10, 10,..., 10) (te lengte 25) bij willekeuige ; d. ( 10, 3, 5) bij = 1/10. Uit de fomules voo TW en HW volgt: De toekomstige waade van een geldstoom van niet-negatieve bedagen is een stikt stijgende functie van de entevoet en zijn huidige waade is een stikt dalende functie daavan. De enigszins abstacte noties van toekomstige en huidige waade vinden, zoals al uit sommige opgaven hieboven mocht blijken, hun toepassing in allelei beekeningetjes aan financiële eëleweeld-pobleempjes die een apat deelgebied in de economie vomen: de financiële wiskunde. Een actuais is een specialist op dit gebied. Vooal fomule (7) is inteessant, omdat zij bijvoobeeld weegeeft hoeveel geld men heeft als men voo T jaa een bedag te gootte m op de bank tegen ente uitleent met een entevoet. Dus bijvoobeeld, als men detig jaa lang een bedag te gootte van 1000 gulden op de bank zet tegen een entevoet van 5% pe jaa, dan heeft men uiteindelijk 1000 (1 + 0, 05) 1, = 69760, 7.. gulden. Opgave 9 Los de volgende vagen op doo deze eest te hefomuleen in temen van HW of TW. a. Beeken het bedag dat voo 3 jaa uitgezet tegen een ente van 4% pe jaa, 7740 gulden oplevet. b. Hoeveel zou men 300 jaa geleden op de bank hebben moeten zetten tegen een entevoet van 5 pocent pe jaa om nu een bedag van 10 miljoen gulden te hebben? Opgave 10 a. Stel U zet een bedag A voo T jaa op de bank uit tegen een entevoet waabij U e aan het eind van elk jaa een constant bedag a, van opneemt. Laat zien dat aan het einde van jaa T 1 e een bedag D T := (1 + ) T (A a ) + a. op de bank staat. b. Bepaal a zodanig dat D T = 0. c. Stel U leent een bedag A tegen een entevoet dat U in T jaa wilt aflossen doo middel van een vast bedag a pe jaa. Bepaal een fomule voo (de zogenaamde annuïteit) a. d. Bepaal een fomule voo de ente die U in jaa t betaalt. 13 voo elke economist veplicht bekende 14 Te heinneing: n xt = 1 xn+1 als x < 1, waauit 1 x xt = 1 als x < x Voo = 0 is een en ande tiviaal. Deze fomules leet U natuulijk niet van buiten, maa U leidt ze af als U ze nodig hebt. 6

8 Opgave 11 Pietje Puk is uit (ethisch) pincipiële edenen tegen inkomensveschillen. Zijn buuman, de hee du Flo, die daa totaal andes ove denkt, stelt voo om eens twee pesonen te bekijken die op dezelfde dag geboen woden en waavan de een hoogleaa en de ande fabieksabeide wodt en voo hen de huidige waade van hun geldstomen te bekijken die ze in de loop van hun leven ontvangen. Hij stelt: de huidige waade HW h voo de hoogleaa en HW a voo de fabieksabeide veschillen niet zoveel van elkaa en daaom zijn die inkomensveschillen in ode. Om vlug een idee te kijgen of dit agument hout snijdt, beschouwt Pietje Puk de volgende eenvoudige situatie: een hoogleaa die vanaf zijn 38ste tot en met zijn 65ste vejaadag gulden pe jaa vedient en een fabieksabeide die vanaf zijn 16e tot en met zijn 65ste vejaadag gulden pe jaa vedient. (Uiteaad: De fabieksabeide begint veel eede met vedienen dan de hoogleaa, maa wel flink wat minde.) Voo de entevoet neemt hij 10%. De inkomensstoom van de hoogleaa is dus (0,... 0, 10 5, ) (38 maal een 0 en 27 maal een 10 5 ) en die van de fabieksabeide is (0,... 0, 25000,..., 25000) (16 maal een 0 en 49 maal een 25000). a. Bepaal HW a /HW h. b. In hoevee is het antwood bij a afhankelijk van het feit dat men vanaf de geboote begint te ekenen? c. Is e iets op tegen om in plaats van de huidige waade de toekomstige waade te bekijken? d. Beantwood a in geval van een entevoet van 5% en 1%. e. We gaan nu de beekeningen hehalen doo nu alle specifieke getallen algemeen te houden. Deze getallen zijn: het jaa l a waaop de abeide gaat vedienen, het jaa l h ( l a ) waaop de hoogleaa gaat vedienen, het jaa L ( l h ) waaop beiden ophouden met weken, het jaasalais m h van de hoogleaa, het jaasalais m a van de abeide, de entevoet. Leidt de volgende fomule af: HW a = m a (1 + ) l h l a 1 (1 + ) la L HW h m h 1 (1 + ) l h L. f. Intepetee de fomule in e. Tenslotte een gemeen aadigheidje: Opgave 12 Moet men mee of minde dan π cent een schikkeljaa lang pe seconde ontvangen om na dat jaa een miljoen gulden in totaal te hebben ontvangen? (Antwood gaag binnen tien seconden.) 4 Investeingspojecten De huidige waade wodt in de paktijk gebuikt om investeingspojecten (i.e. investeingen in machines, gebouwen, olieplatfoms, et cetea) te beoodelen. 16 Bekijken we dat wat nade. Een investeingspoject met een looptijd T is pe definitie een eindige geldstoom (m 0, m 1,..., m T ) te lengte T + 1 waabij m 0 < 0 is. De intepetatie zij: doo m 0 te investeen in peiode 0 (de benodigde aanvangsinvesteing ) ontvangt men in elke peiode t = 1,..., T (een netto bate ) m t. Opgave 13 Een bedijf moet kiezen tussen de volgende die investeingspojecten met een looptijd van 5 jaa bij een entevoet van 10%: A = ( 1000, 300, 400, 400, 500, 500); B = ( 1000, 200, 300, 400, 600, 800); C = ( 1000, 500, 400, 300, 300, 200). 16 Veel studenten in de bedijfseconomie woden daamee opgevoed. Echte conceet toepassen van deze notie in de paktijk te beoodeling van investeingspojecten leidt (vanwege onzekeheden) veelal tot heel vekeede uitkomsten. De eden dat dat toch gebeut is dat het toepassen van een coecte investeingsegel gebuikt maakt van geavanceede wiskundige technieken zoals Ito-calculus en dynamisch pogammeen. 7

9 Welk deze pojecten wodt gekozen als het bedijf kiest voo het poject met de hoogste huidige waade? De intene entevoet van een investeingspoject (m 0, m 1,..., m T ) is gedefinieed als de entevoet α waabij de huidige waadige van het poject nul is. Natuulijk geldt de volgende fomule: T m t (1 + α) t = 0. Het kan bewekelijk zijn de α middels deze fomule te bepalen; een ekenmachientje of computepogamma kan in dat veband handig zijn. Evan uitgaande dat een investeingspoject gefinancied wodt met geleend geld, zal een economisch subject slechts investeingspojecten aannemen waavoo de intene entevoet α gote of gelijk aan de entevoet is. Immes de huidige waade van een investeingspoject is een dalende functie van, tewijl die bij = α pecies gelijk aan nul is. Opgave 14 Bepaal de intene entevoeten van de investeingspojecten in Opgave 13. Het is natuulijk zich af te vagen of het citeium van de gootste huidige waade voo investeingspojecten (zoals in Opgave 13) hetzelfde is als het citeium van de hoogste intene entevoet? Het (misschien veassende) antwood is nee zoals Opgaven 13 en 14 aantonen. Opgave 15 Iemand koopt voo fl 5839,- een stuk papie dat na 20 jaen ingewisseld kan woden voo fl 20928,-. De belastingdienst geeft van het aankoopbedag de helft teug. Tegen welke ente zou men 20 jaa lang een bedag van fl 2919,50 moeten uitzetten om na die jaen een bedag van fl 20928,- te hebben? Opgave 16 Iemand stelt U de volgende vaag: ik zog evoo dat Uw nabestaanden na 300 jaa 100 miljoen gulden ontvangen als U mij nu een bedag van X gulden geeft; wat is Uw maximale X? 8

10 5 Oplossingen Oplossing 1 De bekende wiskundige ongelijkheden e x 1 + x en (1 + x) α 1 + αx impliceen me M L m(1 + ) M L m(1 + M L ). 4 4 Oplossing 2 Simpele: 1000(1 + 2 ) = 1080 gulden. Samengestelde: 1000( )24/4 = 1265, 31.. gulden. Oplossing 3 Y 1 = me, Y 2 = (me /2 )e /2 = me,..., Y n = m(e /n )e /n e /n = me. Oplossing = 1, 1 M 5000, waauit M = 7, 27.. jaa. Algemene fomule vindt men uit oplossen van 2m = (1 + ) T m. Oplossing 5 De koopkacht van m was m p ρ = ( m(1+) m )/ m. Daauit volgt (4). p p p m(1+) en wodt na uitlening. De elatieve veandeing is dus p Oplossing 6 Nee: de klant moet nu = 4250 gulden betalen, maa zou vanwege de eclame = 4750 gulden moeten betalen ove welk hij bedag nog 10% koting kijgt, dus zou hij 100 uiteindelijk = 4275 gulden moeten betalen. De vekope veekende zich dus 25 guldens 100 in het voodeel van de klant. Oplossing 7 HW = T 1 m = m T 1 (1+) t ( 1 en indien T eindig is, is dit gelijk aan m 1 ( 1 1+ )T TW = T 1 m(1 + )T t = m(1 + ) T T 1 ( 1 1+ )t. Indien T =, is dit gelijk aan m = m 1+ (1 (1 + ) T ). 1+ )T (1+) )t = m(1 + ) T 1 ( = m(1+ 1 ) = m(1 + ) (1+)T 1. Oplossing 8 a. HW = = 31, Volgens (5), TW = (1 + ) 6 HW = 1,1 1,1 2 1,1 3 1,1 4 1,1 5 56, b. HW = TW =. 3 c. Volgens (6), HW = (1 (1 + ) 25 ), TW = (1 + ) 25 HW = ((1 + )25 1). d. HW = 3, 14.., TW = 4, 18.. Oplossing 9 a. Hefomuleing: bepaal het geldbedag m zó dat de geldstoom (m, 0, 0) bij = 4/100 een toekomstige waade van 7740 gulden heeft. Op te lossen 7740 = m 1, 04 3, waauit m = 6880, 83.. gulden. b. Hefomuleing: bepaal het geldbedag m zó dat de geldstoom (m, 0, 0,...) (te lengte 300) bij = 5/100 een toekomstige waade van 10 7 heeft. Op te lossen 10 7 = m 1, , waauit m = 4, gulden. Oplossing 10 a. Op t = 1 (i.e. aan het einde van peiode 0) is het bedag dat nog op de bank staat D 1 = A(1+) a. Op t = 2 is het D 2 = D 1(1+) a = A(1 + ) 2 a(1+(1+)). Et cetea. Op t = T is het bedag D T = A(1 + ) T a(1+(1+)+ +(1 + ) T 1 ) = A(1 + ) T a 1 (1+)T (= (1 + 1 (1+) )T (A a )+ a ). A b. D T gelijk aan nul stellende vindt men uit a dat a =. 1 (1+) T c. Dat is abstact gezien hetzelfde als het voige ondedeel. De intepetatie van D t is de schuld die men in peiode t heeft. Dus wee is a = A. 1 (1+) T d. Met D 0 = A bedoelt men daamee het bedag D t 1, hetgeen volgens a gelijk is aan a (1 + ) t 1 (a A). Oplossing 11 a. Voo de hoogleaa geldt HW h = ,1 t t=38 = ,1 t = 1, ,1 t ( )27 = 27165, 14.. gulden. Voo de fabieksabeide geldt HW 1 10 a = , = 1, ,1 t b. Niet afhankelijk daavan. c. Nee, vanwege fomule (5) ,1 t t=16 = 1,1 t 1 ( )49 = 59287, 21.. gulden. Daauit HW 1 a/hw 10 h = 2, d. HW a/hw h = 0, 90.. en HW a/hw h = 0, e. HW h = L 1 m h m t=l h = h (1 (1 + ) lh L ). Net zo HW (1+) t (1+) l h 1 a = (1 (1 + ) la L ). Daauit volgt de gewenste fomule. m a (1+) la 1 9

11 f. Bij hele hoge entevoet, zal de HW van de hoogleaa, die late dan de fabieksabeide begint te vedienen, ongevee gelijk aan nul zijn, tewijl die van de fabieksabeide vanwege zijn inkomsten in de eeste peiode vij aanzienlijk kan zijn. Bij hele lage entevoet doet een veschijnsel van omgekeede aad zich voo. Als L l a en L l h goot zijn, kijgen we HW HWa ma h m h (1 + ) l h l a. De voowaade m HW a = HW h komt dan in benadeing nee op a = m (1+) la h. (1+) l h Oplossing 12 3, cent. 17 Oplossing 13 De huidige waaden zijn espectievelijk 555, 79.., 636, 82.., 339, Dus poject B. Oplossing 14 Respectievelijk 28, 0..%, 27, 4..%, 24, 8..%. Oplossing 15 Deze vaag komt nee op de vaag bij welke ente de TW van de geldstoom ( , 0, 0,..., 0) te lengte 20 gelijk is aan Oplossen van (1 + )20 = geeft = 10, 34..%. Oplossing 16 E is iets voo te zeggen om voo die X de huidige waade van de geldstoom (0,..., 0, 10 8 ) te lengte 300 te nemen. Deze is ongevee 1 cent indien = 8% (hetgeen zo ongevee de gemiddelde ente ove langee temijnen is). 17 In gove benadeing, en dat is gappig, π = 3, cent. 10