Inclusie en Exclusie groep 1

Transcriptie

1 Inclusie en Exclusie goep 1 Tainingsweek 8 13 juni 2009 Venndiagammen Als voo elementen in een vezameling twee veschillende eigenschappen een ol spelen, dan kun je voo deze vezameling een Venndiagam tekenen. Dat bestaat uit twee deels ovelappende cikels. De elementen kunnen elke eigenschap wel of niet hebben. Je hebt dus 2 2 = 4 gebieden (het buitengebied meegeekend). Gaat het om die veschillende eigenschappen, dan bestaat het Venndiagam uit die deels ovelappende cikels met 2 3 = 8 gebieden, bijvoobeeld het gebied wel eigenschap A, niet eigenschap B en wel eigenschap C. Deze deelvezameling noteen we nomalite als A B C of A C\B. Opgave 1 Teken een Venndiagam bestaande uit die ovelappende cikels. Geef hiein aan de volgende vie gebieden: (a) (A C)\B (b) A (C\B) (c) (A C)\B (d) A (C\B) Opgave 2 Op een conges bevinden zich 350 deelnemes. De voetalen zijn Nedelands, Engels en Fans. E zijn 150 congesganges die Nedelands speken. Die speken ook allemaal Engels. In totaal zijn e 305 mensen die Engels speken en 157 die Fans speken. E zijn 125 deelnemes die maa één taal speken. Hoeveel congesganges speken die talen? Opgave 3 Op een popconcet zijn 1000 mensen afgekomen, waaonde 600 vouwen. Het blijkt dat 520 pesonen met de auto zijn gekomen, waaonde 300 vouwen. Tevens blijkt dat 270 mannen na afloop een CD hebben gekocht, net als 350 vouwen. E zijn 400 pesonen die én met de auto zijn gekomen én een CD kopen, waaonde 250 vouwen. Hoeveel mannen kwamen niet met de auto en kochten ook geen CD na afloop? 1

2 Opgave 4 We bekijken telefoonnummes van zeven cijfes: d 1, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6 en d 7 in deze volgode. We noemen zo n telefoonnumme gedenkwaadig als het ijtje (d 1, d 2, d 3 ) gelijk is aan het ijtje (d 4, d 5, d 6 ) of aan het ijtje (d 5, d 6, d 7 ) (of allebei). Elk van de d i kan een van de cijfes 0 t/m 9 zijn. Hoeveel veschillende gedenkwaadige telefoonnummes zijn e? Opgave 5 (a) Hoeveel anagammen heeft het 10-lettewood WINTERWEER? (Een anagam is bijv. WINTERWREE.) (b) In hoeveel van die anagammen komt de combinatie RW niet voo? Opgave 6 Met A bedoelen we het aantal elementen in een eindige vezameling A. (a) Bewijs de somegel voo het aantal elementen van twee (wellicht ovelappende) vezamelingen: A B = A + B A B. (1) (b) Idem voo die vezamelingen: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. (2) (c) Kun je zelf een genealisatie bedenken voo vie vezamelingen? Tegen welk pobleem lopen we aan als we hiebij ook een Venndiagam willen tekenen? Je hebt deze somegels bij bovenstaande opgaven al dan niet expliciet gebuikt. De genealisatie hievan heet het pincipe van inclusie en exclusie (PIE). 2

3 Pincipe van Inclusie en Exclusie Stelling (PIE) Laat gegeven zijn een vezameling Ω en n eindige deelvezamelingen A 1 Ω, A 2 Ω,..., A n Ω. (Veel boeken schijven A 1 Ω, etc.) Schijven we A i voo het aantal elementen in A i, dan geldt A 1 A n = A i A i A j + A i A j A k +( 1) n+1 A 1 A n, (3) i i<j i<j<k waabij de indices in bijvoobeeld i<j<k A i A j A k lopen ove alle ( n 3) dietallen (i, j, k) met 1 i < j < k n. Bewijs In het linkelid staat het aantal elementen van A 1 A n. Elk element van A 1 A n wodt hie dus één kee meegeteld. We gaan nu pe element bewijzen dat dat echts ook zo is. Zij x een willekeuig element van A 1 A n. Noem het aantal vezamelingen A i waa x element van is. Omdat x zeke in één van de A i zit, geldt 1. Rechts wodt x in de i A i maa liefst van de n kee geteld. In i<j A i A j wodt hij ( ( 2) van de n ) 2 temen geteld. In i<j<k A i A j A k juist wee ( 3) kee. Wegens de alteneende tekens wodt x echts dus ( ) 1 ( ) + 2 ( )... 3 kee geteld. Nu weten we (wegens 1) dat 0 = 0 = (( 1)+1) = ( ( 0) ( 1) + ( 2) 3) +..., dus bovenstaande uitdukking is gelijk aan ( 0) oftewel aan 1. Rechts wodt x dus ook één kee meegeteld. Omdat elk element zowel links als echts één kee wodt meegeteld en e vede geen andee dingen woden geteld, staat echts ook het totaal aantal elementen van A 1 A n. Een opmeking ove de notatie. Hoewel het duidelijk is wat e met uitdukking (3) wodt bedoeld, klopt de notatie fomeel niet helemaal. Aan de hand van de stippeltjes moeten we zelf bedenken hoe de algemene tem in het echtelid euit ziet. En als we op deze weg zouden vede gaan, zouden we na i, j, k,... misschien wel bij het einde van het alfabet komen, of ege nog, bij de n, die al bezet is. We kunnen dit oplossen met subindices (die het echte misschien wel wat minde leesbaa maken): A 1 A n = n ( 1) l+1 A i1 A i2 A il. (3 ) l=1 1 i 1 <i 2 <...<i l n 3

4 Voobeeldopgave Hoeveel positieve gehele getallen van 1 tot en met 100 zijn deelbaa doo 6 of 15? Uitweking Neem voo A de zesvouden in {1,..., 100}; dat zijn e 100 = 16 4 = Neem voo B de 15-vouden in {1,..., 100}; dat zijn e = 6 = 6. De getallen in A B zijn de veelvouden van kvg(6, 15) = 30; dat zijn e = 3 = 3. We concludeen dat A B = A + B A B = = 19. Opgave 7 Hoeveel gehele getallen van 1 tot en met 1000 zijn deelbaa doo 3 of 5? Opgave 8 Zij Ω de vezameling van positieve gehele getallen bestaande uit die cijfes abc zodat a, b, c {1, 2,..., 9} en a, b, c alledie veschillend zijn. (Dus 489 Ω, maa 313 Ω en 507 Ω.) Bepaal het aantal elementen in Ω dat voldoet aan a 3, b 5 en c 7. Opgave 9 Hoeveel positieve gehele getallen niet gote dan 2001 zijn een veelvoud van 3 of 4 maa geen veelvoud van 5? Opgave 10 Een 5-digit tenai getal is een getal abcde waabij a, b, c, d, e {0, 1, 2}. Dus 00000, 01001, 21022, etc. zijn 5-digit tenaie getallen. Hoeveel 5-digit tenaie getallen zijn e, waain de cijfe 0, 1 en 2 alledie minstens een kee vookomen? Opgave 11 Hoeveel gehele getallen van 1 tot en met 210 zijn niet deelbaa doo 5, 7 of 9? Opgave 12 Op hoeveel manieen kunnen twee wiskundigen W 1, W 2, die natuukundigen N 1, N 2, N 3 en vie scheikundigen S 1, S 2, S 3, S 4 in een ij staan, zodanig dat niet alle wiskundigen, alle natuukundigen of alle scheikundigen een blok vomen. (W 1 S 3 S 2 N 1 N 3 W 2 N 2 S 1 S 4 is dus toegestaan, maa S 1 S 4 N 1 N 2 W 2 W 1 N 3 S 3 S 2 en S 4 S 3 W 1 N 3 N 1 N 2 W 2 S 1 S 2 niet.) (Je hoeft het antwood niet vede uit te ekenen.) Opgave 13 Hoeveel piemgetallen zijn e tussen de 2 en de 100? Opgave 14 Hoeveel positieve deles hebben 5400 en samen? Oftewel: hoeveel positieve gehele getallen zijn dele van 5400 of van (of van allebei)? 4

5 Opgave 15 We bekijken de kotste outes via oostelijnen in een 8 4 ooste, dus van het punt (0, 0) naa het punt (8, 4). Noem l i het lijnstukje dat (1 + i, i) vebindt met (2 + i, i). Beeken het aantal kotste outes van (0, 0) naa (8, 4) dat niet gebuik maakt van l 1, noch van l 2 en noch van l 3. Opgave 16 Tussen de schuu en een boom maken we een vlaggenlijn van oanje, witte en blauwe vlaggen. We hebben plaats voo twintig vlaggen en we willen dat iedee kleu tenminste een kee vookomt. Hoeveel mogelijkheden zijn e? (Je hoeft het antwood niet vede uit te ekenen.) Opgave 17 Bepaal het aantal geheeltallige oplossingen van x + y + z = 12 onde de voowaaden dat 0 x 4, 0 y 5 en 0 z 6. Opgave 18 We moeten zeven veschillende objecten vedelen ove die dozen. Bepaal het aantal manieen waaop dit kan (a) als e vede geen bepekingen zijn; (b) als geen enkele doos na afloop leeg mag zijn. Opgave 19 Op de begane gond stappen 8 pesonen in een lift. Ze stappen uit op de eeste tot en met de viede vedieping; op elke etage tenminste één. Bepaal met behulp van inclusie/exclusie op hoeveel veschillende manieen dat kan, als geen ekening wodt gehouden met de volgode van uitstappen op een etage, maa wel met welke pesoon of pesonen op die etage uitstappen. (Je hoeft het antwood niet vede uit te ekenen.) 5

6 Exta opgaven Opgave 20 Laat m en n twee positieve gehele getallen zijn. (a) Hoeveel functies zijn e van {1, 2,..., n} naa {1, 2,..., m}? (b) Hoeveel injectieve functies zijn e van {1, 2,..., n} naa {1, 2,..., m}? (c) Hoeveel functies f zijn e van {1, 2,..., n} naa {1, 2,..., m} zodanig dat f(x) 1 voo alle x {1, 2,..., n}? (d) Hoeveel sujectieve functies zijn e van {1, 2,..., n} naa {1, 2,..., m}? Opgave 21 Een goep van n 2 vienden gaat lootjes tekken voo Sinteklaas. Wat is de kans dat niemand zichzelf tekt? Opgave 22 Eule s φ-functie is voo een positief geheel getal n als volgt gedefinieed: φ(n) is het aantal positieve gehele getallen n die elatief piem zijn met n. Bewijs dat φ(n) = n m k=1 (1 1pi ), waabij p 1, p 2,..., p m de veschillende piemfactoen zijn die in n vookomen. Opgave 23 We hebben de volgende fomules gezien: A B = A + B A B ; (1) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C ; (2) A 1 A n = A i A i A j + A i A j A k +( 1) n+1 A 1 A n. (3) i i<j i<j<k (a) Leid (2) af uit (1). (b) Geef een altenatief bewijs van (3) doo gebuik te maken van inductie naa n. 6