Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 15 mei uur

Transcriptie

1 Eamen VW 07 tijdvak maandag 5 mei uu wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 5 vagen. Voo dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voo elk vaagnumme staat hoeveel punten met een goed antwood behaald kunnen woden. Als bij een vaag een veklaing, uitleg of beekening veeist is, woden aan het antwood meestal geen punten toegekend als deze veklaing, uitleg of beekening ontbeekt. Geef niet mee antwooden (edenen, voobeelden e.d.) dan e woden gevaagd. Als e bijvoobeeld twee edenen woden gevaagd en je geeft mee dan twee edenen, dan woden alleen de eeste twee in de beoodeling meegeteld. VW-05-f-7--o

2 Fomules Goniometie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos( t) cos ( t) sin ( t) cos ( t) sin ( t) VW-05-f-7--o / 0 lees vede

3 Rakende gafieken? 5p De functies f en g zijn gegeven doo: f ( ) ln( ) en g ( ) e Ga na met eacte beekening of de gafieken van f en g elkaa aken. Bewegen ove een lijn Gegeven is lijn k met vegelijking. p deze lijn ligt het punt P. Vecto P wodt om de oospong ove 90 linksom gedaaid. Zo ontstaat vecto P'. Vecto PQ heeft dezelfde ichting en dezelfde lengte als P'. Zie de figuu. figuu m Q P' k P Wannee het punt P ove lijn k beweegt, zal het punt Q ove een lijn m bewegen. In de figuu is m gestippeld weegegeven. Stel een vegelijking van lijn m op. VW-05-f-7--o / 0 lees vede

4 Een dede cikel Gegeven zijn de cikels c en c. Cikel c heeft middelpunt staal. Cikel c heeft middelpunt M (6,0) en staal 6. M (,0 ) en Voo elke positieve waade van is e één cikel c met middelpunt M en staal zó dat geldt: M ligt boven de -as; c aakt aan cikel c én aan cikel c. In figuu is de situatie getekend voo en in figuu voo. Vede is in beide figuen diehoek MMM getekend. 4 figuu figuu 4 c c M M 6 M M 6 M M c c c c De gootte van MMM is afhankelijk van : voo elke waade van geldt: cos( MM M) p Bewijs de juistheid van deze fomule. Als onbegensd toeneemt, nadet de gootte van MMM tot een limiet. 4 Beeken eact deze limiet in gaden. VW-05-f-7--o 4 / 0 lees vede

5 E is één waade van waavoo c niet alleen aakt aan c en c, maa ook aan de -as. In figuu is deze situatie weegegeven, waabij cikel c voo een deel is getekend. Cikel c aakt de -as in punt P. figuu M c P c M M 6 c 6p 5 Beeken eact de waade van in deze situatie. VW-05-f-7--o 5 / 0 lees vede

6 Een achtbaan De baan van een punt P wodt gegeven doo de volgende bewegingsvegelijkingen: () t cos() t sin() t met t in seconden en en in mete. t () cos() t Als t loopt van 0 tot, dooloopt P de baan pecies één kee. In figuu is deze baan weegegeven. ok is te zien waa P zich bevindt op t 0 en in welke ichting P zich dan beweegt. figuu figuu P A B 5p 5p 6 Beeken met behulp van diffeentiëen de maimale snelheid van het punt P in mete pe seconde. Rond je antwood af op één decimaal. Voo 0t zijn e vie tijdstippen waaop de -coödinaat en de -coödinaat van P aan elkaa gelijk zijn. p deze tijdstippen bevindt P zich achteeenvolgens in de punten A,, B en. Zie figuu. 7 Beeken eact hoeveel seconden de beweging van A naa B duut. Een punt Q maakt dezelfde beweging als P, maa Q loopt vóó op P. seconden De bewegingsvegelijkingen van Q zijn dan: t () cos( t) sin(( t)) t () cos( t) Als t en als t, vallen P en Q samen. p alle andee tijdstippen is e spake van een lijnstuk PQ. 8 Bewijs dat de helling van lijnstuk PQ onafhankelijk van t is. VW-05-f-7--o 6 / 0 lees vede

7 Een geboken functie De functie f is gegeven doo: figuu f( ) De lijn k met vegelijking snijdt de gafiek van f in twee punten, A en B. Zie figuu. De coödinaten van punt A zijn (, ). f f B k A 9 Beeken eact de coödinaten van punt B. 5p Het vlakdeel V wodt ingesloten doo de gafiek van f, de -as, de -as en de lijn k. In figuu is dit vlakdeel gijs gemaakt. V wodt gewenteld om de -as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam. 0 Beeken eact de inhoud van dit omwentelingslichaam. figuu f V f B k A De gafiek van f wodt a eenheden naa boven veschoven. Zo ontstaat de gafiek van een functie g. De waade van a kan zowel positief als negatief zijn. De functie g heeft een invese functie. De gafiek van de invese functie van g heeft één veticale asmptoot. ok de gafiek van g heeft een veticale asmptoot. Gegeven is, dat de afstand tussen deze twee veticale asmptoten gelijk is aan 4. Beeken eact de mogelijke waaden van a. VW-05-f-7--o 7 / 0 lees vede

8 Bandweendheid van een deu De (lucht)tempeatuu tijdens een bepaald soot natuulijke band kan woden bescheven met het volgende model: ln ( ) 6ln( ) 9 nat ( ) e t t T t Hiein is T nat de tempeatuu in C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de band. De bijbehoende gafiek is weegegeven in figuu. figuu natuulijke band tempeatuu (ºC) T nat tijd (minuten) 5p In de figuu is te zien dat de tempeatuu bij deze natuulijke band een maimum beeikt. Beeken eact deze maimale tempeatuu. Deuen woden getest op hun bandweendheid doo ze in een laboatoium aan een band bloot te stellen. De tempeatuu tijdens zo n laboatoiumband veloopt andes dan bij de natuulijke band, namelijk volgens de fomule: T ( t ) 0 45 log(8 t ) lab Hiein is T lab de tempeatuu in C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de band. De bijbehoende gafiek is weegegeven in figuu. figuu laboatoiumband tempeatuu (ºC) 800 T lab ºC (0,69; 00) tijd (minuten) VW-05-f-7--o 8 / 0 lees vede

9 Tempeatuen onde de 00 C leveen geen blijvende schade aan de deu op. Pas vanaf een tempeatuu van 00 C heeft een deu onde de band te lijden. Het tijdstip t waaop deze tempeatuu bij de laboatoiumband wodt beeikt, is afgeond op twee decimalen 0,69. Zie figuu. Beeken algebaïsch het tijdstip t waaop de tempeatuu bij de laboatoiumband de waade 00 C beeikt. Rond je antwood af op die decimalen. In de est van deze opgave bekijken we een deu die wodt blootgesteld aan een laboatoiumband. Deze deu blijkt pecies 0 minuten stand te houden. Men vaagt zich af hoe beekend kan woden of zo n deu tijdens de natuulijke band óók 0 minuten standhoudt. In figuu is het vlakdeel gijs gemaakt dat wodt ingesloten doo de gafiek van T lab, de hoizontale lijn met vegelijking T 00 en de veticale lijn met vegelijking t 0. figuu laboatoiumband tempeatuu (ºC) 800 T lab ºC (0,69; 00) tijd (minuten) De Ameikaan Simon Ingbe deed in 98 de volgende veondestelling: De deu bezwijkt tijdens de natuulijke band op dát tijdstip t b, waavoo geldt dat de oppevlakte tussen de gafiek van T nat, de hoizontale lijn met vegelijking T 00 en de veticale lijn met vegelijking t tb gelijk is aan de oppevlakte van het gijze vlakdeel in figuu. 7p 4 ndezoek of volgens de veondestelling van Ingbe de deu tijdens de natuulijke band minstens 0 minuten standhoudt. Let op: de laatste vaag van dit eamen staat op de volgende pagina. VW-05-f-7--o 9 / 0 lees vede

10 Pefoatie Voo elke waade van p, met p 0, is de functie f p gegeven doo: 6p p 6 fp( ) ( )( ) E is één waade van p waavoo de gafiek van f p een pefoatie heeft. 5 Beeken eact de coödinaten van die pefoatie. einde VW-05-f-7--o 0 / 0 lees vede