Beantwoord de vragen bij Verkennen. Denk aan de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus!

Transcriptie

1 1 Vectoen in 2D Vekennen MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectomeetkunde Vectoen in 2D Inleiding Vekennen Beantwood de vagen bij Vekennen. Denk aan de goniometische vehoudingen sinus en cosinus! Uitleg MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectomeetkunde Vectoen in 2D Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. De vecto in de applet heeft een lengte van 1 en een ichtingshoek van α = 30. a) Beeken zelf de x-component en de y-component van deze vecto. b) Hoe goot zijn de componenten van een vecto met lengte 10 en een ichtingshoek van 30? c) Geef de vecto in de applet een ichtingshoek van 110. Je kunt de beide componenten aflezen uit de figuu. Contolee deze getallen doo een beekening. d) Hoe goot zijn de componenten van een vecto met een ichtingshoek van 110 en een lengte van 10? e) Oefen het beekenen van componenten van vectoen. Neem niet alleen vectoen met lengte 1, hoewel je alleen die in de applet kunt instellen. Opgave 2 Bekijk de Uitleg, pagina 2. Van een vliegtuig zijn de snelheden op bepaalde momenten gegeven. Je wilt de veplaatsingen beekenen. a) Stel in de applet de juiste veplaatsingen in. Leg uit waa de getallen 1 3 en 5 6 vandaan komen. b) Beeken de componenten van 1 3 v uu 1 en van 5 6 v uu 2. c) Leid uit de antwooden bij b) de componenten van de totale veplaatsing af. d) Welke lengte en welke ichtingshoek heeft? e) Beeken hoeveel km hetzelfde vliegtuig zich naa het Oosten en het Nooden heeft veplaatst als het eest 30 minuten met 240 km/h onde 60 t.o.v. het Oosten en vevolgens 40 minuten met een snelheid van 210 km/h en een koeshoek van 330 t.o.v. het Oosten vliegt. STICHTING MATH4ALL 01 MRT

2 Opgave 3 Een loie is een kaetje dat op ails loopt. Twee pesonen tekken de loie met dezelfde kacht van 8 N elk aan een touw, zie figuu. a) Met welke kacht tekken beide pesonen samen aan het kaetje in de ichting van de ails? Maak zowel een tekening als een beekening. b) Beantwood dezelfde vaag als de éne pesoon tekt met een kacht van 8 N en de andee met een kacht van 6 N. De hoeken blijven gelijk. Opgave 4 Zowel in opgave 2 als in opgave 3 heb je vectoen opgeteld. In het éne geval heb je daatoe de vectoen staat aan kop gelegd, in het andee geval heb je een paallellogamconstuctie gebuikt. Welke van beide methodes heb je bij welke opgave gebuikt en waaom? Theoie en Voobeelden MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectomeetkunde Vectoen in 2D Theoie Bekijk eest de Theoie. Bekijk vevolgens de Voobeelden, de volgende opgaven gaan daaove. Opgave 5 In Voobeeld 1 ga je na, dat twee vectoen waavan begin- en eindpunt gegeven zijn, even lang zijn. a) Loop zelf de beekeningen nauwkeuig na. b) Gegeven zijn in een catesisch assenstelsel de punten A( 2,1), B(1,6), C(28,12) en D(31,17). Beeken AB en CD en de ichtingshoeken van AB en CD. Laat daamee zien dat beide vectoen gelijk zijn. Opgave 6 In Voobeeld 2 beeken je de kentallen van een vecto waavan lengte en ichting bekend zijn. Beeken de kentallen van de volgende vectoen: Geef waa mogelijk exacte uitkomsten, andes benadeingen in twee decimalen nauwkeuig. a) v u = 3 en α = 135 b) v u = 5 en α = 210 c) v u = 4 en α = 320 d) v u = 2 en α = 270 e) v u = 3 en α = 115 f) v u = 1 en α = 193 STICHTING MATH4ALL 01 MRT

3 Opgave 7 Gegeven is telkens een vecto v u doo zijn kentallen. Beeken de lengte en de ichtingshoek van deze vecto. a) v u 2 = c) v u 0 = 4 15 b) v u 20 = d) v u 15 = 40 1 Opgave 8 In Voobeeld 3 zie je hoe je vectoen kunt optellen en aftekken en vemenigvuldigen met een getal doo de staat aan kop methode te gebuiken. u u a) Maak met de applet de vecto a + b en bepaal de bijbehoende kentallen b) Maak de vecto 2a u en bepaal de kentallen evan. u u c) Maak de vecto 2a + 1,5b en bepaal de kentallen evan. u d) Maak de vecto 2b en bepaal zijn kentallen. u u u u e) Ook voo vectoen geldt: a b = a + ( b). Gebuik dit om de veschilvecto van a u en b u te tekenen en zijn kentallen te bepalen. Opgave 9 In Voobeeld 4 zie je hoe het optellen, aftekken en vemenigvuldigen met een getal van vectoen gebeut met een paallellogamconstuctie. Oefen ook hiemee; gebuik eventueel de vectoen uit opgave 8. Veweken Opgave 10 Gegeven zijn de vectoen: u 12 u 15 6 u 0 u a =, b =, c =, d =, e = en f = a) Beeken van elk van deze vectoen de lengte en de ichtingshoek. b) Bepaal de kentallen van de vectoen: v uu 1 = a u + b u v uu 2 = a u + 0,5 c v uu 3 = f e u 3 d u v uu 4 = d u + e u a u Opgave 11 Rondvlucht Een ondvlucht van een vliegtuig wodt bepaald doo vie koesvectoen. De piloot vliegt eest 60 km met een koes van 30, vevolgens 100 km met een koes van 125 en daana 50 km met een koes van 190. Alle koesen zijn hoeken die met de klok mee zijn gemeten t.o.v. het Nooden. a) Maak een tekening op schaal 1: van deze ondvlucht. STICHTING MATH4ALL 01 MRT

4 b) Kies een geschikt assenstelsel en zet elk van de bescheven koesvectoen om in een vecto met kentallen. Wek in gehele km nauwkeuig c) Beeken de kentallen van de viede koesvecto (die het vliegtuig teug bengt naa het vliegveld vanwaa het is vetokken). d) Beeken met behulp van de kentallen hoe ve het vliegtuig na de dede koesvecto van het vliegveld af is. Opgave 12 Plaatsvectoen Lijnstuk AB is gegeven doo de punten A(1,2) en B(7,4) in een catesisch assenstelsel Oxy. uuu a) Bepaal de kentallen van vecto AB. b) Vectoen die vanuit de oospong O de plaats van een punt bepalen noem je plaatsvectoen. Wat zijn de plaatsvectoen van de punten A en B? uuu c) Hoe kun je vecto AB beekenen uit de plaatsvectoen van de punten A en B? d) M is het midden van lijnstuk AB. Bepaal de kentallen van de plaatsvecto OM uuuu. e) Als in het algemeen A(a 1,a 2 ) en B(b 1,b 2 ) zijn gegeven, wat is dan de plaatsvecto van het midden M van AB? Opgave 13 Hellend vlak Op een hellend vlak ligt een houten blokje met een massa van m = 0,5 kg. Wannee de hellingshoek α van het vlak 20 is, staat het blokje op het punt om naa beneden te glijden. De kachten die op het blokje weken zie je in de tekening. De zwaatekacht heeft een gootte van: F z = m g Hiein is g 9,81 m/s 2 de zwaatekacht vesnelling. De gootte van een kacht is in N (newton). Hoe goot is de wijvingskacht? Testen Opgave 14 Gegeven zijn de vectoen a u = 4 en b u = 2 5. a) Beeken de lengte van beide vectoen in twee decimalen nauwkeuig. b) Beeken de ichtingshoek van beide vectoen in gaden nauwkeuig. c) Beeken de kentallen van de vectoen a u + b u en 1 2 a u b u. d) Beeken de kentallen van de vecto c zo, dat a u + b u + c = 0 0. STICHTING MATH4ALL 01 MRT

5 Opgave 15 Noodlanding Een piloot vetekt met zijn spotvliegtuig van vliegveld T en vliegt 3 uu met een constante snelheid van 140 km/h een koes 30 ten opzichte van het Nooden (met de klok mee gemeten). Daana veandet hij zijn koes in 170 en de snelheid in 120 km/h. Na 1,5 uu moet hij een noodlanding maken. Ove de adio geeft hij aan de vekeesleiding van vliegveld T doo waa hij is geland en dat hij enstig gewond is geaakt. Onmiddellijk wodt een helikopte gestuud. Beeken hoeveel km noodelijk en hoeveel km oostelijk van T de noodlanding heeft plaatsgevonden. Antwooden 1a) Zie applet. b) v x = 5 3 en v y = 5 c) Zie applet. d) v x 3,42 en v y 9,40 e) - 2a) Omekenen van snelheid naa veplaatsing b) uu 5 = c) x 157 km en y 21 km d) lengte 158 en ichtingshoek 7,5 e) 181 km Oost en 34 km Nood 3a) Ongevee 15,0 N b) Ongevee 13,2 N 4. Bij opg.2 de staat aan kop methode, bij opg.4 de paallellogammethode 5a) - uuu uuu b) AB = CD = 34 Beide ichtingshoeken zijn ongevee 59. 6a) v x = en v y = b) v x = en v y = 2,5 c) v x 3,06 en v y 2,57 d) v x = 0 en v y = 2 e) v x 1,27 en v y 2,72 f) v x 0,97 en v y 0,22 7a) v = 20 en ϕ 117 b) v = en ϕ = 243 c) v = 15 en ϕ 270 d) v = 4 en ϕ 14 8a) Zie Voobeeld 3. STICHTING MATH4ALL 01 MRT

6 2 6,5 6 2 b) 2 a = c) 2 a +1,5 b = d) 2 b = e) a b = 4 2, a) a = 13, b = 514, c = 10, d = 5, e = 13, f = 794 ichtingshoeken: 23, 131, 127, 270, 0, 63 uu b) v = 3 uu 1 22, v = 9 uu 2 9, v = 0 uu 3 10, v = a,b,c) De viede koesvecto heeft kentallen v x 55 en v x 103 als je een assenstelsel kiest met x-as van Z naa N en de y-as van O naa W. d) 117 km uuu 6 uuu 1 uuu 7 12a) AB = b) OA = en OB = 4 uuu uuu uuu c) AB = OB OA uuu 4 uuu 0,5a + 0,5b d) OM = 1 1 d) OM = 3 0,5a + 0,5b ,68 N 14a) a 4,47; b 5,39 b) De ichtingshoek van a is ongevee 153, die van b ongevee c) a + b = en 0,5 a b = d) c = km naa het Oosten en 186 km naa het Nooden. STICHTING MATH4ALL 01 MRT