Inclusie en Exclusie groep 2

Transcriptie

1 Inclusie en Exclusie goep Tainingsweek 8 3 juni 009 Venndiagammen Als voo elementen in een vezameling twee veschillende eigenschappen een ol spelen, dan kun je voo deze vezameling een Venndiagam tekenen. Dat bestaat uit twee deels ovelappende cikels. De elementen kunnen elke eigenschap wel of niet hebben. Je hebt dus = 4 gebieden het buitengebied meegeekend). Gaat het om die veschillende eigenschappen, dan bestaat het Venndiagam uit die deels ovelappende cikels met 3 = 8 gebieden, bijvoobeeld het gebied wel eigenschap A, niet eigenschap B en wel eigenschap C. Deze deelvezameling noteen we nomalite als A B C of A C\B. Opgave Op een popconcet zijn 000 mensen afgekomen, waaonde 600 vouwen. Het blijkt dat 50 pesonen met de auto zijn gekomen, waaonde 300 vouwen. Tevens blijkt dat 70 mannen na afloop een CD hebben gekocht, net als 350 vouwen. E zijn 400 pesonen die én met de auto zijn gekomen én een CD kopen, waaonde 50 vouwen. Hoeveel mannen kwamen niet met de auto en kochten ook geen CD na afloop? Opgave a) Hoeveel anagammen heeft het 0-lettewood WINTERWEER? Een anagam is bijv. WINTERWREE.) b) In hoeveel van die anagammen komt de combinatie RW niet voo? Opgave 3 Met A bedoelen we het aantal elementen in een eindige vezameling A. a) Bewijs de somegel voo het aantal elementen van twee wellicht ovelappende) vezamelingen: A B = A + B A B. ) b) Idem voo die vezamelingen: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. ) c) Kun je zelf een genealisatie bedenken voo vie vezamelingen? Tegen welk pobleem lopen we aan als we hiebij ook een Venndiagam willen tekenen? Je hebt deze somegels bij bovenstaande opgaven al dan niet expliciet gebuikt. De genealisatie hievan heet het pincipe van inclusie en exclusie PIE).

2 Pincipe van Inclusie en Exclusie Stelling PIE) Laat gegeven zijn een vezameling Ω en n eindige deelvezamelingen A Ω, A Ω,..., A n Ω. Veel boeken schijven A Ω, etc.) Schijven we A i voo het aantal elementen in A i, dan geldt A A n = A i A i A j + A i A j A k + ) n+ A A n, 3) i i<j i<j<k waabij de indices in bijvoobeeld i<j<k A i A j A k lopen ove alle n 3) dietallen i, j, k) met i < j < k n. Bewijs In het linkelid staat het aantal elementen van A A n. Elk element van A A n wodt hie dus één kee meegeteld. We gaan nu pe element bewijzen dat dat echts ook zo is. Zij x een willekeuig element van A A n. Noem het aantal vezamelingen A i waa x element van is. Omdat x zeke in één van de A i zit, geldt. Rechts wodt x in de i A i maa liefst van de n kee geteld. In i<j A i A j wodt hij ) van de n ) temen geteld. In i<j<k A i A j A k juist wee 3) kee. Wegens de alteneende tekens wodt x echts dus ) ) + )... 3 kee geteld. Nu weten we wegens ) dat 0 = 0 = )+) = 0) ) + ) 3) +..., dus bovenstaande uitdukking is gelijk aan 0) oftewel aan. Rechts wodt x dus ook één kee meegeteld. Omdat elk element zowel links als echts één kee wodt meegeteld en e vede geen andee dingen woden geteld, staat echts ook het totaal aantal elementen van A A n. Een opmeking ove de notatie. Hoewel het duidelijk is wat e met uitdukking 3) wodt bedoeld, klopt de notatie fomeel niet helemaal. Aan de hand van de stippeltjes moeten we zelf bedenken hoe de algemene tem in het echtelid euit ziet. En als we op deze weg zouden vede gaan, zouden we na i, j, k,... misschien wel bij het einde van het alfabet komen, of ege nog, bij de n, die al bezet is. We kunnen dit oplossen met subindices die het echte misschien wel wat minde leesbaa maken): A A n = n ) l+ A i A i A il. 3 ) l= i <i <...<i l n

3 Voobeeldopgave Hoeveel positieve gehele getallen van tot en met 00 zijn deelbaa doo 6 of 5? Uitweking Neem voo A de zesvouden in {,..., 00}; dat zijn e 00 = 6 4 = Neem voo B de 5-vouden in {,..., 00}; dat zijn e 00 0 = 6 = 6. De getallen 5 5 in A B zijn de veelvouden van kvg6, 5) = 30; dat zijn e 00 0 = 3 = 3. We concludeen dat A B = A + B A B = = 9. Opgave 4 Zij Ω de vezameling van positieve gehele getallen bestaande uit die cijfes abc zodat a, b, c {,,..., 9} en a, b, c alledie veschillend zijn. Dus 489 Ω, maa 33 Ω en 507 Ω.) Bepaal het aantal elementen in Ω dat voldoet aan a 3, b 5 en c 7. Opgave 5 Een 5-digit tenai getal is een getal abcde waabij a, b, c, d, e {0,, }. Dus 00000, 000, 0, 00 etc. zijn 5-digit tenaie getallen. Hoeveel 5-digit tenaie getallen zijn e, waain de cijfe 0, en alledie minstens een kee vookomen? Opgave 6 Hoeveel gehele getallen van tot en met 0 zijn niet deelbaa doo 5, 7 of 9? Opgave 7 Op hoeveel manieen kunnen twee wiskundigen W, W, die natuukundigen N, N, N 3 en vie scheikundigen S, S, S 3, S 4 in een ij staan, zodanig dat niet alle wiskundigen, alle natuukundigen of alle scheikundigen een blok vomen. W S 3 S N N 3 W N S S 4 is dus toegestaan, maa S S 4 N N W W N 3 S 3 S en S 4 S 3 W N 3 N N W S S niet.) Je hoeft het antwood niet vede uit te ekenen.) Opgave 8 Hoeveel positieve deles hebben 5400 en 8000 samen? Oftewel: hoeveel positieve gehele getallen zijn dele van 5400 of van 8000 of van allebei)? Opgave 9 We bekijken de kotste outes via oostelijnen in een 8 4 ooste, dus van het punt 0, 0) naa het punt 8, 4). Noem l i het lijnstukje dat + i, i) vebindt met + i, i). Beeken het aantal kotste outes van 0, 0) naa 8, 4) dat niet gebuik maakt van l, noch van l en noch van l 3. 3

4 Opgave 0 Bepaal het aantal geheeltallige oplossingen van x + y + z = onde de voowaaden dat 0 x 4, 0 y 5 en 0 z 6. Opgave Laat m en n twee positieve gehele getallen zijn. a) Hoeveel functies zijn e van {,,..., n} naa {,,..., m}? b) Hoeveel injectieve functies zijn e van {,,..., n} naa {,,..., m}? c) Hoeveel functies f zijn e van {,,..., n} naa {,,..., m} zodanig dat fx) voo alle x {,,..., n}? d) Hoeveel sujectieve functies zijn e van {,,..., n} naa {,,..., m}? Opgave Een goep van n vienden gaat lootjes tekken voo Sinteklaas. Wat is de kans dat niemand zichzelf tekt? Opgave 3 Eule s φ-functie is voo een positief geheel getal n als volgt gedefinieed: φn) is het aantal positieve gehele getallen n die elatief piem zijn met n. Bewijs dat φn) = n m k= pi ), waabij p, p,..., p m de veschillende piemfactoen zijn die in n vookomen. Opgave 4 We hebben de volgende fomules gezien: A B = A + B A B ; ) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C ; ) A A n = A i A i A j + A i A j A k + ) n+ A A n. 3) i i<j i<j<k a) Leid ) af uit ). b) Geef een altenatief bewijs van 3) doo gebuik te maken van inductie naa n. 4

5 Toepassingen ecusie Sommige poblemen kunnen we oplossen doo het opstellen van een geschikte ecuente betekking. Vaak is die ecuente betekking al genoeg om het pobleem op te lossen; je kan dan immes de eeste temen van de ij gewoon met de hand uitekenen. Soms echte is het ook nodig de algemene angnummefomule te vinden. Definitie: een 0-ijtje is een niet-leeg ijtje dat bestaat uit de cijfes 0 en, zoals 0000 of of 0. Voobeeld: Zij a n het aantal 0-ijtjes van lengte n waain geen twee opeenvolgende enen vookomen. Beeken a, a, a 3 en a 4. Stel dan een ecuente betekking op voo a n en los deze op. Oplossing: We zien dat a = de coecte ijtjes zijn 0 en ), a = 3 00, 0 en 0), a 3 = 5 000, 00, 00 en 00, 0) en a 4 = , 000, 000, 000, 00 en 000, 00, 00). We analyseen nu een coect ijtje van lengte n +. Als dat met een 0 begint, dan is de est een coect ijtje van lengte n +. Als het echte met een begint, moet vevolgens een 0 komen en is de est een coect ijtje van lengte n. We concludeen dat a n+ a n+ + a n. Omgekeed leidt elke coect ijtje van lengte n + met een 0 evoo en elk coect ijtje van lengte n met 0 evoo tot steeds wee een ande coect ijtje van lengte n +, dus a n+ + a n a n+. De eindconclusie is dat a n+ = a n+ + a n. Met de beginvoowaaden a = en a = 3 ligt de ij dus vast. We kunnen ook een stapje teug gaan, en zeggen dat de ij vastligt met de beginvoowaaden a 0 = a a = en a = ; dat zal staks het ekenen gemakkelijke blijken te maken. De bijbehoende kaakteistieke vegelijking λ λ = 0 heeft oplossingen λ = ± 5, zeg λ = + 5 en λ = 5. Oplossingen zijn dus van de vom a n = A λ n + A λ n. Nu! moet a 0 = A + A = dus A = A, en a = A λ +A λ = A +A + A A 5 = +A! 5 =. = A + A Dus na enig ekenen) blijkt dat A = en bijgevolg A = 3 Conclusie: a n = + ) 3 + ) n ) 3 ) n Reken maa na dat deze fomule daadwekelijk a 4 = 8 geeft, hoe onwaaschijnlijk dat misschien ook lijkt doo al die wotels. Op gond van de ecusie weten we dat toch echt a n geheel moet zijn voo alle n. Nu kun je dat ook wel aan de fomule zien; wek dan in gedachten de n-de machten uit met het binomium van Newton en maak ondescheid tussen de temen die wel 5 bevatten en de temen die een geheel getal zijn zoals 5 ). 5

6 Opgave 5 a) Zij b n het aantal 0-ijtjes van lengte n waain geen twee opeenvolgende nullen vookomen. Beeken b, b, b 3 en b 4. Stel dan een ecuente betekking op voo b n en los deze op. b) Zij c n het aantal 0-ijtjes van lengte n waain geen twee opeenvolgende nullen, enen of tweeën vookomen. Beeken c, c, c 3 en c 4. Stel dan een ecuente betekking op voo c n en los deze op. Opgave 6 Het getal 4 is op 5 manieen te schijven als de som van een aantal tjes en tjes, waabij de volgode e toe doet: 4 = ; 4 = + + ; 4 = + + ; 4 = + + ; 4 = +. a) Op hoeveel manieen is 0 te schijven als som van een aantal tjes en tjes? b) Op hoeveel manie is 0 te schijven als som van een aantal tjes, tjes en 3 tjes? Opgave 7 Noem bn) het aantal manieen waaop je n kunt schijven als som van tweemachten, waabij de volgode e niet toe doet. Dus bijvoobeeld b4) = 4, want 4 = = + = = ; dat zijn vie manieen. Stel een ecuente betekking op voo bn) en beeken b6). Opgave 8 Op hoeveel manieen kan een n-tegelpaadje bestaat woden met een n-tal -tegels? Een -tegel is hetzelfde als een -tegel.) Opgave 9 De som van de eeste n natuulijk getallen heet een diehoeksgetal: t n = n = nn + ). Schijf S n = t + t t n voo de som van de eeste n diehoeksgetallen. a) Stel een ecuente betekking op voo S n en los deze op. b) Ga na dat S n een binomiaalcoëfficient is en intepetee het esultaat in de diehoek van Pascal. Opgave 0 Zij e n het aantal 03-ijtjes van lengte n waain de 0 en de niet naast elkaa vookomen. Beeken e, e en e 3 en vind een diecte fomule voo e n. Opgave Definiee een ij a n n ) doo de volgende ecusie: a d = n. Beeken a t/m a 5. Bewijs dan dat n a n voo alle n. d n 6