} is rechtsdraaiend en orthonormaal. Een tweede basis { r ε 1. r r r

Transcriptie

1 Tentamen mehania voo BMT (8W) dinsdag /6/5 9u-u Dit tentamen bestaat uit delen. Deel (opgave t/m 4) is een hekansing van het e deeltentamen en is faultatief voo diegenen die aan het e deeltentamen hebben meegedaan. Deel B (opg 5 t/m 8) is het e deeltentamen en moet doo iedeeen gemaakt woden. Voo het ijfe van deel telt het hoogste van de ijfes vekegen uit het e deeltentamen en de hie geboden hekansing. Voo het geheel (deel en B) is 3 uu beshikbaa, vij te vedelen ove beide delen. U wodt ehte vezoht voo deel en deel B gesheiden antwoodbladen te gebuiken. Deel : Hekansing deeltentamen. De basis { e, e, e 3 } is ehtsdaaiend en othonomaal. Een tweede basis { ε, ε, ε3 } wodt gedefinieed als: ε = 4e + 3e, ε = 3e 4e, ε = ε ε. 3 egeven zijn vede twee vetoen: a = e + e en b = ε + 3ε. 3 a) Bewijs dat de basis { ε, ε, ε3 } een buikbae basis is. Is deze basis othogonaal? Is ze othonomaal? b) Beeken: ab. en a b ) Bepaal een uitdukking voo a t.o.v. de basis { ε, ε, ε3 } d) Beeken de esultaatveto na inwendig vemenigvuldigen van het dyadishe podut ( ee ee ) met a. De basis { e, e, e 3 } is ehtsdaaiend en othonomaal. Op een objet wekt bij punt een kaht = e, bij punt B een kaht B = 4e e3 en bij punt C een moment M = e+ e3. Het objet zit bij punt D volledig sta vebonden aan de vaste weeld. egeven zijn vede de positievetoen van alle punten: x = e + 4e, 3 x B = 4e, 3 x C = e + e + e en 3 x D = 4e + e. 3 a) Beeken de eatiekaht bij D wekend op het objet b) beeken het eatiemoment bij D wekend op het objet D B e 3 e e B C M 3. Een zwemme met gewiht staat op het uiteinde van een duikplank met lengte l. Zijn massamiddelpunt bevindt zih net boven het uiteinde van de plank bij C. Bij is de plank ondesteund middels een shanie, bij B middels een oloplegging. Het gewiht van de plank mag vewaaloosd woden. a) Maak een vij-lihaamsdiagam van de plank en beeken de eatiekahten bij en bij B. /4l x B l C Om de kahten en momenten in de plank te beekenen wodt e een 'fitieve snede' doo de plank gemaakt. b) Maak een vij-lihaamsdiagam van het linkedeel van de plank na een fitieve snede tussen en B en beeken de kahten en momenten in de dwasdoosnede als funtie van de oödinaat x. ) Maak een vij-lihaamsdiagam van het ehtedeel van de plank na een fitieve snede tussen B en C en beeken de kahten en momenten in de dwasdoosnede als funtie van de oödinaat x. Zie ahtezijde voo opgave 4!

2 4. Een staande pesoon tekt met een kaht aan een touw. De weklijn van deze tekkaht loopt doo punt S. Op het bovenlihaam wekt vede een gewihtskaht die aangijpt in punt M. egeven is de positie van punt O: x O = 3e + 3e, de positie van punt M: x M = 4e + 5e, de positie van punt S: x S = 5e + 7e 3 4 en de kahten = ( e e ) en = e 5 5. a) Beeken het esulteende moment van de kahten en om punt O. b) Hoe veandet dit moment als de pesoon in dezelfde ihting zou duwen i.p.v. tekken? Welke duwkaht esulteet in een nul-moment bij O? S M O H

3 Deel B: Deeltentamen 5) In een stek veeenvoudigd model wodt het been als een onde- en bovenbeensegment gemodelleed die kunnen oteen om de knie bij K. Bij het kniegewiht wodt een daaishijf met adius R gemodelleed waaove de pees van de bovenbeenspie paallel aan het ondebeen naa een aanhehtingspunt P loopt. Het gewiht van het ondebeen segment bedaagt en gijpt aan in het midden van het segment op een afstand /l van de knie. Bekend is dat voo de kaht-velenging elatie van de pees = λ l λ s en voo die van de spie: s = s. λ a) Maak een vij-lihaamsdiagam van het ondebeen met alle daaop wekende kahten. b) Beeken de kaht in de pees die nodig is om het ondebeen in deze stand te houden. ) Hoe goot is de velenging λ p van de pees uitgedukt in p en? d) Hoe goot is de velenging van de spie ten opzihte van de ontspannen toestand (λ s ) uitgedukt in s, en λ? geldt: p p( p ) spie R K α P 6) Beshouw de getekende vee-dempe onfiguatie.,ε η a) Shets het veloop van de ek als funtie van de tijd als e een kaht wodt voogesheven als gegeven in nevenstaande figuu. t * b) Shets het veloop van de kaht als funtie van de tijd als e een eksnelheid wodt voogesheven als gegeven in nevenstaande figuu. ε& ε& ) eef in de situatie bij b) een uitdukking voo de kaht juist na het aanbengen van de belasting op t= en voo t>t * t * Zie ahtezijde voo opgaven 7 en 8!

4 7) Twee ilindishe staven met dezelfde dwasdoosnede, lengte l dihtheid ρ en elastiiteitsmodulus E zitten aan elkaa gelijmd en hangen aan het plafond. Ten gevolge van het zwaatekahtveld van de aade zullen de staven iets velengen. De vesnelling van de zwaatekaht bedaagt g. a) eef een uitdukking voo de vedeelde belasting q b) Maak een vij-lihaamsdiagam van de bovenste staaf en teken alle daaop wekende kahten. Hoe goot zijn de kahten die bij de uiteinden van deze staaf weken? ) Beeken de zakkingen u en u bij de uiteinden van de staven. g x u ρ, E, l, q ρ, E, l, q 8) Tijdens een dottebehandeling wodt een vaatwand doo het opblazen van een ingebahte ballon wijde gemaakt. Op een bepaald moment tijdens het opblazen is de inwendige duk p i = MPa en is de inwendige diamete van het vat met 5% toegenomen. In het volgende mag e vanuit gegaan woden dat de lengte van de ballon en van het deel van het vat dat in ontat met de ballon is onstant blijven. Vede is bekend dat de vaatwand een stijfheid E= 8 MPa en een dwasontatieoëffiiënt v=/3 heeft. e 3 u p i e e e R i a) Beeken de ek in omteksihting aan de binnenzijde van de vaatwand b) Beeken de ek in de e ihting bij punt aan de binnenzijde van de vaatwand ) Beeken de spanning in omteksihting bij punt

5 a ε ε. ε3 = 5 ; wel othogonaal, niet othonomaal b ab=., a b = 75e+ 5e + e3 a = ( ε+ ε ) 5 ( ee ee ).( e + e ) = e e d) a D = 3e+ e3 M = e 3e e D 3 3 a b B =3, B = 4 M D D Tussen en B: D =3, M D =-3x D M D C Tussen B en C: D =, M D =-(l-x) M = 4 + e M O = 4 e 4. ls = ( e e) a) O ( ) 3 b) Bij duwen geldt: ( ) 3 is het moment bij O nul.

6 5 a) H V 6 l sinα b) = R ) λ p = + p d) λs = λ + s a) ε b) t* t* ) Op t=: = η & ε en op t>t * geldt: = & ε t * 7 a) q= ρg b) ρgl q ρgl ) 3ρgl u =, E u 4ρ gl = E 8 a) π ( R) ε omtek = = π R b) ε xx = 3 ) σ yy = 4 MPa