Kun je me de kortste weg vertellen?

Transcriptie

1 Kun je me de kotste weg vetellen?

2

3 Inhoudsopgave 1 Gafen Wat is een gaaf? Opgaven Kotste bomen Het 'Geedy' lgoitme Voobeeld van het 'Geedy' lgoitme ewijs van het 'Geedy' lgoitme Opgaven lgoitme van Pim-Dijksta Voobeeld van het lgoitme van Pim-Dijksta Opgaven Kotste paden Een algoitme om een kotste pad te vinden Voobeeld van een kotste pad Opgaven Kotste outes Handelseiziges Voobeelden van het handelseizigespobleem Moeilijkheden van het handelseizigespobleem lgoitmes voo het benadeen van het optimum voo het handelseizigespobleem Het beste-buu-algoitme Het invoegingsalgotime Uitwisselingsalgoitmen Opgaven Gemengde Opgaven 36 1

4

5 Combinatoische Optimaliseing 28 novembe Gafen Dit boekje is een beweking van de masteclass combinatoische optimaliseing: "Kun je me de kotste weg vetellen?" gegeven op 5 maat 1999 doo Pof.d.J.K. Lensta in samenweking met D.i. C. Hukens. 1.1 Wat is een gaaf? Een gaaf is een tekening die alleen bestaat uit punten en vebindingslijnen. De vebindingslijnen noemen we kanten. (ndee benamingen die je wel eens tegenkomt zijn knooppunten en wegen.) Een kant vebindt twee punten en een kant tussen de punten i en j geven we aan met ij. Soms heeft een kant een ichting en loopt van i naa j. Dit schijven we als i! j. In guu 1 zie je een ongeichte gaaf een geichte gaaf en een gemengde gaaf. Een geichte gaaf is een gaaf met pijlen in de kanten. Deze pijlen geven een veband tussen de (knoop)punten aan b.v. 'Wie is de afstammeling van wie?' of 'Wie heeft gewonnen van wie?' Een gemengde gaaf is een combinatie van een geichte en een ongeichte gaaf. ongeicht geicht gemengd Figuu 1: Gafen Met gafen kun je allelei situaties beschijven. Het gaat dan om situaties waain e tussen objecten voogesteld doo de punten paasgewijze elaties bestaan voogesteld doo de kanten. In guu 2 zie je bijvoobeeld een gaaf waavan de punten twaalf landen in West-Euopa zijn. Een kant ij geeft aan dat de landen i en j aan elkaa genzen. In guu 3 zie je een geichte gaaf die de afstamming van een pesoon P tot in het dede voogeslacht uitbeeldt. Een 2

6 kant i! j geeft hie aan dat j een kind is van i. DK NL IRL G D L CH F E I P Figuu 2: Genzen in West-Euopa Wilhelmina X Heinich Juliana X enad eatix X Claus Iene X Calos Magiet X Piete Chistina X Joge Willem-lexande Johan-Fiso Constantijn Calos Magaita Caolina Mauits X Mailene enad Piete-Chistiaan Flois enado Nicolas Juliana Figuu 3: Stamboom Een gaaf die een bepaalde situatie beschijft noemen we een model van die situatie. In een model neem je alleen de gegevens van een situatie op die belangijk zijn voo het pobleem dat je wilt oplossen. Vagen die je bijvoobeeld met gafen kunt oplossen zijn: ls de punten van de gaaf plaatsen zijn en de kanten zijn wegen tussen die plaatsen (1) hoe vind je dan een kotste netwek dat alle plaatsen met elkaa vebindt? (2) hoe vind je dan een kotste weg tussen twee gegeven plaatsen? 3

7 (3) hoe vind je een kotste oute die langs alle plaatsen gaat? Je zult zien dat je als je deze vagen kunt beantwooden ook poblemen kunt oplossen die op het eeste gezicht niets met wegennetweken te maken hebben. Je kunt namelijk veel andee poblemen voostellen als een wegennetwek. Deze kun je dan ook wee met behulp van een gaaf pobeen op te lossen. Het is zelfs zo dat veschillende situaties tot hetzelfde model kunnen leiden. 1.2 Opgaven 1. Vezin zelf 3 voobeelden van situaties die je als gaaf kunt weegeven en teken die gafen. 2. Kun je situaties vezinnen die tot hetzelfde model leiden als de gafen die je bij 1. hebt getekent? 3. Een gaaf heet volledig als elk punt in de gaaf vebonden is met alle andee punten in de gaaf. Hieonde zie je de volledige gaaf met 4 punten. (a) Teken de volledige gaaf met 6 punten. (b) Hoeveel kanten heeft een volledige gaaf met n punten? 4. Hieonde zie je twee gelijke gafen. C D D Twee gafen zijn gelijk als ze dezelfde (knoop)punten hebben en als tussen dezelfde punten evenveel kanten lopen die indien we het ove een geichte C 4

8 gaaf hebben dezelfde ichting hebben. Welke van de volgende gafen komen met elkaa oveeen? ` C C ` C H H H C C D E 5

9 2 Kotste bomen Hoe vind je een kotste wegennetwek dat alle plaatsen met elkaa vebindt? Vebinden wil zeggen dat je vanuit elk punt iede ande punt(eventueel via andee punten) kunt beeiken. ls voobeeld nemen we een pobleem met detien plaatsen: mstedam en de twaalf Nedelandse povinciehoofdsteden. Een mogelijk netwek zie je in guu 4. L G H L Z DH U D M M Figuu 4: Een wegennetwek in Nedeland Hoe bepaal je nu het kotste netwek? We maken hievoo een model waabij we een ongeichte gaaf gebuiken. De steden stellen we als punten voo en de wegen tussen die steden als kanten. De afstanden tussen twee steden i en j noemen we dan c ij. Kant ij heeft dus een lengte c ij. Voobeeld ls i = mstedam en j = Den Haag dan is c ij de afstand tussen mstedam en Den Haag. Ook als we het ove andesootige poblemen hebben b.v. leeftijdsveschillen hebben we het nog steeds ove lengte c ij. We nemen aan dat c ij 0voo alle ij: de lengtes zijn niet-negatief. Een eeks kanten ij jk kl lm ::: die op elkaa aansluiten noemen we een pad. Een gesloten pad waavan het beginpunt en het eindpunt samenvallen 6

10 heet een cicuit. Voobeeld ls i = mstedam j = Den Haag k = Utecht en l = Lelystad dan is ij; jk; kl; li het cicuit mstedam-den Haag-Utecht-Lelystad-mstedam. Je kunt meedee cicuits binnen een gaaf hebben. Een netwek dat alle punten met elkaa vebindt en geen cicuits bevat heet een boom. In een boom is e tussen elk tweetal punten pecies een pad. En een boom op 13 punten bestaat uit 12 kanten. Het netwek waa je naa op zoek bent bevat natuulijk geen cicuits. Vaag: Waaom kan zo'n netwek geen cicuits hebben? 2.1 Het 'Geedy' lgoitme Je zoekt dus naa een boom die zo is opgebouwd dat als je alle lengtes van zijn kanten bij elkaa optelt je een zo klein mogelijk getal kijgt. We noemen dit een kotste boom. Hievoo bestaat een algoitme. (Een algoitme is een soot ecept van hoe je iets moet doen). Dit algoitme ziet e als volgt uit: 1. Kies een willekeuig punt i in je gaaf als begin van je netwek. 2. ls je netwek nog niet alle punten bevat bepaal dan twee punten k en j met j in het netwek en k niet waavoo c jk minimaal is. Voeg de kant kj aan het netwek toe. ls e meede mogelijkheden zijn dan kies je e een willekeuig. Dit algoitme noemen we het 'Geedy' lgoitme. 7

11 2.1.1 Voobeeld van het 'Geedy' lgoitme. E H 2 HHHH 6 H H D C Stap 1. Kies het "willekeuige punt". Stap 2. De kant E heeft de kleinste lengte. Deze kant moet je dus toevoegen. E 2 Stap 3. Vevolgens pakken we dekant met de op een na kleinste lengte. We hebben e twee namelijk C of CE met lengte 4. Kies bijvoobeeld CE. E 2 4 C 8

12 Stap 4. Nu kunnen we C niet mee in onze boom opnemen want dat zou een cicuit opleveen. De daaopvolgende kant met de kleinste lengte is C met lengte 5. E C Stap 5. Hiena zouden de kanten en E in aanmeking komen maa deze leveen ook beide een cicuit dus kiezen we kant DE met lengte 7. Hiemee hebben we een kotste opspannende boom geceeed met lengte E D Opmeking: ls we bij de tweede Stap C hadden genomen in plaats van CE dan hadden we een andee kotste opspannende boom gekegen maa de lengte is dan nog steeds 18. ls je dit algoitme op de steden van Nedeland toepast dan kijg je de oplossing die je hieonde ziet. C 9

13 L G H L Z DH U D M M Figuu 5: Kotste wegennetwek in Nedeland 2.2 ewijs van het 'Geedy' lgoitme Geeft dit algoitme dat het "Geedy" lgoitme genoemd wodt nu echt de kotste boom? Ja en dit kunnen we ook laten zien. Laten we nog eens bij stap (1) beginnen. Stap 1 is het kiezen van een punt i. Dit punt zit zeke in de kotste boom want alle punten van de gaaf moeten in de kotste boom zitten. Nu kies ik een punt j uit de gaaf dat de kotste afstand heeft tot punt i van alle punten in de gaaf. De boom bestaande uit die twee punten is de kotst mogelijke boom tussen die twee punten binnen onze gaaf. Vevolgens kiezen we een punt k dat de kotste afstand heeft tot punt i of punt j van alle punten in de gaaf uitgezonded i en j natuulijk want die zitten al in je boom. Na toevoegen van punt k met de bijbehoende kotste kant is de boom die uit die punten bestaat nog steeds de kotste boom tussen die die punten. Zo kunnen we vede gaan totdat we alle punten hebben gehad. De enige voowaade waa je aan moet houden is dat je geen cicuits mag maken.(zie voobeeld ) Stel eens dat je kijkt naa het stukje boom dat in stap 2 van je algoitme af is. Dit is een netwek op een gedeelte van alle punten in de gaaf (een deelvezameling van de vezameling van alle punten in je gaaf). In het voobeeld zijn dit de punten en E met kant E. Dit netwek zit ook in een kotste boom op je hele gaaf. We kiezen nu op gond van het algoitme de twee punten C en E; C zit nog niet in je netwek E wel. Veondestel nu eens dat de kant CE niet in je kotste boom zit. Dan moet C via een ande pad met je netwek vebonden zijn. In dit pad zit een kant bijvoobeeld met in je netwek 10

14 en niet waavan we zeke weten dat c c CE andes konden we E en C niet zo kiezen in stap 2 dus mogen we c doo c CE vevangen. E C Figuu 6: Waaom de boom niet kote kan 2.3 Opgaven 1. Teken alle veschillende kotste bomen bij voobeeld In de volgende tabel zie je de afstanden (in mijlen) tussen zes plaatsen in Ieland. Teken een gaaf en gebuik het "Geedy" lgoitme om een kotste boom te vinden die deze plaatsen vebindt. thlone Dublin Galway Limeick Sligo Wexfod thlone Dublin Galway Limeick Sligo Wexfod Een inbaakalam is weegegeven in de vom van een gaaf waavan de kanten gemaakt zijn van zee kostbaa kopedaad. Elke kant heeft een veschillende waade (=lengte). Het alam gaat af als de gaaf niet vebonden is. Een inbeke wil zoveel mogelijk van het kostbae kopedaad stelen. Welke kanten moet hij weghalen om een maximale buit binnen te kijgen? 4. Laat zien hoe je het "Geedy" lgoitme moet aanpassen om een langste opspannende boom te ceeen. 11

15 5. Maak bij de volgende tabellen een gaaf en zoek hiebij een kotste en een langste opspannende boom. elijn Londen Madid Moscou Paijs Rome elijn Londen Madid Moscou Paijs Rome bed. Edinb. F.W. Glasg. Inv. Peth bedeen Edinbugh Fot William Glasgow Inveness Peth lgoitme van Pim-Dijksta Het 'Geedy' lgoitme is makkelijk met de hand toe te passen als je een kleine gaaf hebt. Om het doo een compute te laten doen is echte moeilijke. Je wilt steeds de kanten odenen op aopende lengte en je moet steeds kijken of e geen cicuit ontstaat. Doo een kleine aanpassing in het "Geedy" lgoitme is dit op te lossen. Het algoitme dat dan oveblijft is bete bekend als het "lgoitme van Pim-Dijksta" en loopt als volgt: 1. Je maakt eest een tabel van alle kanten tussen de knopen in je gaaf. 2. Neem nu een willekeuige knoop in je gaaf. Deze komt in de boom die je wilt ceeen. Stel je kiest. 3. Vewijde nu ij uit je tabel en zoek in kolom de kleinste waade op. 4. Kijk welke knoop bij deze kleinste waade hoot. Stel dat is knoop C. 5. Voeg dan kant C aan je boom toe. 6. Vewijde ij C uit je tabel en zoek nu inde kolommen en C naa de kleinste waade. 7. Hehaal nu vanaf stap 4 waabij je steeds bij een kolom mee naa de kleinste waade moet zoeken. 8. ls je geen ijen mee ove hebt in je tabel heb je een kotste boom gevonden. 12

16 2.4.1 Voobeeld van het lgoitme van Pim-Dijksta E H 2 HHHH 6 H H D C Stap 1. ij de gaaf in de bovenstaande guu hoot de volgende tabel: C D E C D E Stap 2. Kies om je boom mee te beginnen. Stap 3. Ik moet nu dus ij uit de tabel vewijdeen en de kleinste waade in kolom opzoeken. 13

17 C D E C D E Stap 4 en 5. Uit de tabel blijkt nu dat C de kant ismet de kleinste lengte dus voeg je kant C en knoop C aan je boom toe. 5 Stap 6. Nu moet je ij C uit de tabel halen en de kleinste waade in kolom of kolom C opzoeken. C C D E D E Stap 7 C en CE zijn de volgende kanten met de kleinste lengte waadoo je boom gote kan woden. Kies daa eentje van C. De boom wodt uitgebeid met kant C en knoop. 14

18 4 5 Stap 8. Rij haal je uit de tabel en de kleinste waade die je vindt onde de kolommen C en is die in ij E nl.: 2. C C D E D E Stap 9. Vegoot je boom met kant E en knoop E en haal ij E uit je tabel. E C C D E D

19 Stap 10. In de kolommen C en E vind je nu onde E de kleinste waade. De laatste kant die je aan mijn boom plakt is dus kant EDwaamee je dan tegelijk als laatste knoop D toevoegt. lle knopen van de oiginele gaaf komen voo in de boom en dit is een kotste opspannende boom van de gaaf. E 2 7 D 4 5 C N..: E zit nog een addetje onde het gas. De boom bestaat uit kanten van de oosponkelijke gaaf. Dat wil zeggen: je mag alleen wegen aanleggen die gegeven plaatsen dus wekelijke punten uit je gaaf met elkaa vebinden. ls de plaatsen nu eens liggen op de hoeken van een gelijkzijdige diehoek dan bestaat de boom uit twee van de die zijden. Maa het is voodelige een nieuwe plaats te ceeen in het middelpunt van de diehoek en die met de die gegeven plaatsen te vebinden. Doo punten toe te voegen kun je ook de boom in guu 5 nog ink vebeteen. Je zoekt dan naa een kotste Steine-boom. Hieonde zie je de Steinde-boom bij een gelijkzijdige diehoek. T 1 T 1 T T T 1 T 1 T 1 TT T T T T T T x x x 2.5 Opgaven 1. Los opgaven 2 t/m 5 uit 2.3 op met behulp van het "lgoitme van Pim- Dijksta". 2. epaal de lengte van de Steine-boom in het voobeeld van de gelijkzijdige diehoek. 16

20 3. Hieonde zie je een gaaf op vie punten met daanaast de ovestap naa de bijbehoende Steine-boom. epaal de positie van de punten. 17

21 3 Kotste paden E bestaat ook een algoitme waamee je het kotste pad tussen twee plaatsen kunt vinden. Dat algoitme is vij ingewikkeld en moet je alleen gebuiken bij gote gafen. Het kotste pad in de linkegaaf tussen en is E dat zie je zo. Maa een kotste pad tussen S en T in de echtegaaf is niet zomaa te zien H H HH C E D S PPZ H 1 P? 4 Z PPPq P PPP HHHHHj H ZZZ~ H Z9 3 ZZU 7 Z R 3 C D Voodat we het algoitme fomuleen passen we het eest toe met de echtegaaf als voobeeld. T 3.1 Een algoitme om een kotste pad te vinden In het hieondestaande netwek zoeken we het koste pad van S naa T. Om niet in de wa te aken doo alle getalletjes die in je gaaf komen te staan stop je alle gegevens die je vezakelt tijdens het zoeken naa het kotste pad in een tabel. 7 6 S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # # \ 1 # \ 6# \ # D S noemen we punt 1. De lengte tot nu toe geef je aan met L(1). L(1) is dus 0. De eeste ij in je tabel geeft je de naam van de knoop of knopen die net een lengte hebben gekegen. De eeste ij in je tabel wodt in dit geval dus ij S. knopen S C D T S

22 Nu kijk je naa knopen die je via een kant vanuit S kunt beeiken. In dit geval zijn dat ; ; C en D. Deze kijgen nu elk een mek een voolopige bovengens van S naa die punten M() =7M() =4M(C) =9enM(D) = S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 9 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D is de knoop met het kleinste mek. kijgt nu L() = 4 en de tweede ij in je tabel wodt ij. Vevolgens kijk je naa de knopen die diect vanuit beeikbaa zijn ( en C). De meken van deze knopen woden nu aangepast M() =5enM(C) =7.Dit vewek je gelijk in je nieuwe tabel S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D knopen S C D T S heeft nu het kleinste mek dus L() =5.Dan kijk je naa de knopen diect beeikbaa vanuit. Dit is alleen T. T kijgt M(T )=5+6=11. 19

23 5 7 6 S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 11 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D knopen S C D T S C en D hebben nog geen lengte. Ze hebben beide hetzelfde mek en e zijn geen knopen met een kleine mek. De lengte van C en D wodt dus 7 en de volgende ij in je tabel wodt ij C; D. De enige diect beeikbae knoop vanuit deze punten is knoop T. Vanuit C wodt het mek van T gelijk aan 10 en vanuit D wodt het mek van T gelijk aan 11. We mogen het mek van T dus aanpassen M(T ) = 10. Je hebt nu gevonden: S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 10 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D 20

24 knopen S C D T S CD T 10 Het kotste pad tussen S en T is SCT. Hieonde vatten we het algoitme nog eens samen. Het beginpunt van de gaaf waain je een kotste pad zoekt noemen we punt 1. Dit punt ligt vast. Vede heeft elk punt i in de gaaf een mek M(i) de voolopige bovengens van een kotste pad van 1 naa i. M(i) wodt in elke stap die we maken aangepast. Het punt i kijgt een lengte L(i) als we op een gegeven moment bij punt i vanuit 1 zijn en M(i) kan niet mee kleine woden gemaakt. M(i) wodt dan L(i) dus: 1. We geven het beginpunt 1 een lengte L(1) = 0 en zeggen j = 1. lle andee punten i kijgen een mek M(i) =1. Het punt j is op dit moment het laatste punt dat een lengte heeft gekegen n.l We kijken naa alle punten k die nog geen lengte hebben. ls e een kant jk bestaat waabij M(k) >L(j)+c jk dan veandeen we M(k) in L(j)+c jk. 3. Nu kiezen we uit alle punten k dat punt k dat het kleinste mek M(k ) heeft en zeggen L(k )=M(k )enj = k dus j is wee het laatste punt dat een lengte heeft gekegen. Zolang e nog punten ove zijn zonde lengte hehalen we het algoitme vanaf punt 2. ls je tijdens het toepassen van het algoitme evoo kiest om alle gegevens die je vezamelt in een tabel te stoppen doe je nog het volgende: 1. oven elke kolom zet je de naam van een van de knopen in je gaaf. 2. Vevolgens geef je de eeste ij de naam van een knoop of knopen die net een lengte hebben gekegen. 3. Zet die lengte in de gelijknamige kolom en omcikel deze. 4. Om de ijen af te maken bekijk je de knopen die diect vanuit de net toegevoegde knoop beeikt kunnen woden en zetten daa de bijbehoende meken bij. In ij k onde kolom j moet dus M(k) =L(j)+c jk komen te staan. 5. Nu zoek je in de net gemaakte ij naa de kleinste waade die geen lengte is. De knoop die boven de kolom staat waain deze waade vookomt is 21

25 de naam van je volgende ij. Dit kunnen ook meedee knopen zijn als e twee gelijke kleinste waaden in je ondezochte ij vookomen. Dan zet je gewoon twee namen voo je volgende ij. 6. Hehaal vanaf 2 totdat je in je eindknoop van het pad dat je zoekt bent gekomen Voobeeld van een kotste pad. Kotste paden heb je niet alleen bij wegennetweken. De tekst die je nu leest is gemaakt met het tekstvewekingspogamma LTEX. Om een alinea in egels in te delen gebuikt LTEXeen kotste pad algoitme zie guu 7. De punten in je gaaf woden dan de plaatsen in de zin waa kan woden afgeboken. ls de tekst tussen twee punten i en j op een egel past dan hebben we daa een kant ij. Hoe vevelende de afbeking des te gote is de lengte c ij van deze kant. Het kotste pad dat LTEXvindt geeft een alinea-indeling met het gootste leesgemak. 0 De 3 ze 1 tekst 1 kan 1 op 1 de 2 tig 1 plaat 2 sen 1 wo 2 den 1 af 2 ge 3 bo 3 ken. 0 Som 3 mi 3 ge 1 af 2 be- 3 kin 3 gen 1 zijn 1 le 3 lij 3 ke 1 dan 1 an 3 de 3 e. 1 Figuu 7: Het kotste pad geeft de mooiste alinea 3.2 Opgaven 1. Maak van de volgende tabel een geichte gaaf. Zet de juiste lengtes bij de kanten en zoek een kotste pad tussen S en T. 22

26 S C D E T S C D E T Een bedijf heeft 5 vestigingen in 5 veschillende steden: C D en E. De eiskosten tussen deze steden zie je in ondestaande tabel. Wat is de goedkoopste oute tussen elk tweetal steden? C D E C D E Maak van de volgende tabel een gaaf en zoek dan vanuit S de kotste oute naa elk ande punt in de gaaf. S C D E F T S C D E F T Kun je met behulp van de tabel in opgave 3 ook een langste oute vinden? 5. 1 ewijs met volledige inductie (zie bijlage) dat je op de bescheven manie indedaad een kotste pad vindt. 1 Deze opgave is vij pittig en kan desgewenst woden ovegeslagen. 23

27 4 Kotste outes 4.1 Handelseiziges Een handelseizige moet vanuit zijn woonplaats een aantal andee steden bezoeken.'s vonds wil hij wee zo voeg mogelijk thuis zijn dus moet hij een zo kot mogelijke oute langs die steden zien te vinden. Hieonde zie je oute van een handelseizige langs de povinciehoofdsteden schematisch weegegeven. L G H L Z DH U D M M Figuu 8: Kotste oute doo 13 Nedelandse steden Dit pobleem kun je natuulijk als een gaaf voostellen. De steden (ook de woonplaats van de handelseizige) zijn punten. De wegen tussen de steden zijn de kanten die een lengte c ij hebben die gelijk is aan het aantal kilometes dat je moet ijden tussen twee steden i en j. De vaag wodt dan een cicuit te bepalen waain je pecies een kee langs iede punt gaat zodat de totale lengte dus alle lengtes bij elkaa opgeteld zo klein mogelijk is. Een cicuit dat elk punt van een gaaf pecies eenmaal bezoekt heet een Hamiltoncicuit. ij het handelseizigespobleem zoeken we in een gaaf met lengtes op de kanten naa een kotste Hamiltoncicuit. Hie vol- Het handelseizigespobleem kun je in allelei situaties toepassen. gen een aantal voobeelden: Voobeelden van het handelseizigespobleem. 1. De handelseizige woont in New Yok en moet elke plaats in de V.S. van meika met tenminste 500 inwones bezoeken. Hij mag niet vewachten 24

28 dat hij dezelfde avond wee thuis is: zijn pobleem heeft steden. Het is het gootste pobleem van dit soot waavoo een kotste oute bekend is. Je ziet hem in guu 9. Figuu 9: Kotste oute doo plaatsen in meika 25

29 2. ls Van Gend & Loos pakjes ondbengt gebeut dat vanuit een centaal depot en met mee dan een auto. De planne bepaald eest welke wagen naa welk ades gaat en lost dan voo elke wagen een handelseizigespobleem op; zie guu 10. In wekelijkheid heb je nog met een heleboel andee factoen te maken: een chaueu mag maximaal acht uu weken een klant in een voetgangesgebied moet voo tien uu 's mogens woden beleved de auto staat in een le enz. L G H L Z DH U D M M Figuu 10: Routeing van die wagens 3. Een compute bevat vaak echthoekige platen waaop allelei ondedelen zijn gemonteed. ij de fabicage van zo'n plaat bezoekt een appaaat de talloze montagepuntjes op de plaat om e een duppeltje lijm te deponeen of e met een lasestaal een gaatje in te schieten. Omdat e veel platen moeten woden behandeld moet het appaaat telkens naa het punt van uitgang teugkeen. Of het nu om lijm of om een lasestaal gaat het appaaat voet een handelseizigesoute uit met de montagepuntjes als steden. Degelijke gote poblemen komen in de paktijk vaak voo. In guu 11 zie je een kotste oute voo een pobleem met 3038 montagepunten. 26

30 Figuu 11: Kotste oute doo 3038 montagepunten 4. Is het mogelijk met een paad alle 64 velden van het schaakbod te bezoeken en na 64 zetten op het beginpunt teug te zijn? Dit is een handelseizigespobleem met de velden van het schaakbod als steden. De afstand tussen twee steden is het aantal paadenspongen dat nodig is om van het ene veld naa het andee te komen. De vaag is of e een oute van lengte 64 is. Het antwood is ja; zie guu 12. Figuu 12: Route van een paad ove het schaakbod 27

31 5. Je gaat je kame opnieuw behangen. Je hebt behang uitgezocht met een hoizontaal patoon en je wilt dat het patoon ove de hele beedte van de muu dooloopt. Twee stukken behang die naast elkaa woden geplakt moeten dus nauwkeuig op elkaa aansluiten. Je wilt de stukken behang nu zodanig uit de ol knippen dat e zo weinig mogelijk vespilling opteedt. De vespilling bestaat uit de stukken behang die je afknipt maa na aoop kunt weggooien. In dit geval zijn de stukken behang die je wilt opplakken de steden. ls je eest stuk i afknipt en dan stuk j dan is de lengte van het stuk behang tussen i en j de afstand c ij van i naa j; zie guu 13. Dit handelseizigespobleem is niet helemaal hetzelfde als de andee voobeelden. In de eeste plaats hoeft de afstand van i naa j niet gelijk te zijn aan die van j naa i. Tot nu toewas dit steeds wel het geval. In de tweede plaats zoek je niet naa een kotste (gesloten) Hamiltoncicuit maa naa een kotste (open) Hamiltonpad. eide poblemen lijken heel veel op elkaa. ls je het cicuit-pobleem kunt oplossen kun je het pad-pobleem ook aan. Dan laat je immes gewoon de laatste kant weg. Figuu 13: Het behangen van je kame 28

32 Opmeking Om de voobeelden en de opgaven wat eenvoudige te maken nemen we die dingen aan: 1. Het handelseizigespobleem is een pobleem dat wodt bescheven met een volledige gaaf. M.a.w. tussen elk tweetal steden is e een kant. 2. De afstanden zijn symmetisch dus c ij = c ji voo elk tweetal steden i; j. We kunnen voo het pobleem dus een model maken met een ongeichte gaaf. ij de beschijving van het pobleem hebben we deze veondestelling eigenlijk al gemaakt. Voobeelden 1 t/m 5 voldoen aan deze veondestelling voobeeld 6 niet. 3. De afstanden voldoen aan de diehoeksongelijkheid dat wil zeggen: c ik c ij + c jk voo elk dietal steden i; j; k. In wooden: ls je omijdt schiet je e niets mee op; je legt dan altijd een even lange of langee afstand af dan de echtsteekse afstand tussen je twee gekozen steden. Vaag: Veondestellingen (2) en (3) betekenen dat c ij 0voo alle ij. De lengtes van de kanten zijn niet-negatief. Kun je dat bewijzen? 4.2 Moeilijkheden van het handelseizigespobleem Het handelseizigespobleem kom je zoals je gezien hebt oveal tegen: op de weg in de fabiek en thuis. Het is kenmekend voo de poblemen die we inde combinatoische optimaliseing tegenkomen: 1. E woden discete keuzes gemaakt. (Disceet betekent dat je 'ja' of 'nee' kiest of '0' of '1' 'zwat' of 'wit' e zitten geen gijswaaden tussen. Het pobleem is niet continu.) Een kant komt wel of niet in een oute voo. 2. Het pobleem is makkelijk te omschijven. Iedeeen kan het begijpen. 3. Maa het pobleem is heel lastig optimaal op te lossen. Nu kun je natuulijk zeggen: "Hoezo lastig op te lossen?" Veel wiskundigen vinden het juist een heel gemakkelijk pobleem. Zij zeggen: "Hoe goot het aantal steden ook is het aantal mogelijke outes is eindig. Elke oute heeft een lengte en onde een eindig aantal outes die elk een lengte hebben is e een kotste." Wat ze zeggen is natuulijk juist; het laat in iede geval zien dat e een kotste oute bestaat. Maa het pobleem is die kotste oute te vinden ofwel: het pobleem is een algoitme te bedenken waamee je voo een gegeven pobleem in edelijke tijd een kotste oute vindt. Je zou alle outes een voo een kunnen bekijken maa dit duut veel te lang als je veel steden hebt. 29

33 Vaag: Hoeveel outes heb je bij 13 steden? ls je de bovenstaande vaag hebt kunnen beantwooden weet je dat e bij 60 steden al mee outes bestaan dan e atomen in het heelal zijn. Toch woden tegenwoodig veel gotee handelseizigespoblemen snel optimaal opgelost uiteaad zonde ze allemaal te bekijken. Wat vestaan we onde snel oplossen? Een algoitme wodt snel genoemd als bij n steden het aantal stappen van de beekening evenedig is met n of n 2 of n- tot-de-een-of-andee constante macht. Een aantal stappen dat evenedig is met 2 n n n of n! is taag. lgemeen gespoken noemen we een polynomiale ekentijd edelijk (uit te dukken in een n-de gaads functie waabij n een constante is) maa alles wat exponentieel of ege is niet. lgoitmes voo het vinden van kotste bomen en kotste paden zijn snel maa voo het handelseizigepobleem bestaat geen snel algoitme dat altijd de snelste oute vindt. Tenminste: tot nu toe heeft niemand zo'n algoitme kunnen vinden. Dit betekent dat e keuzes moeten woden gemaakt. ls je echt de kotste oute wilt vinden dan zal dit tijd kosten. ls je die tijd niet hebt weet je dat je een oute vindt die niet pe se de kotste hoeft te zijn. 4.3 lgoitmes voo het benadeen van het optimum voo het handelseizigespobleem Het beste-buu-algoitme Een eenvoudig en snelle egel voo het vinden van een oute wekt als volgt: 1. We beginnen in een willekeuige stad. 2. ls je nog niet in alle steden bent geweest dan ga je naa de dichtstbijzijnde nog niet bezochte stad. 3. ls alle steden zijn bezocht ga dan vanuit de stad waa je bent naa het beginpunt. 30

34 D C Kies punt Voeg toe C D C D wodt toegevoegd C wodt toegevoegd Figuu 14: este-buu-oute vanuit mstedam In guu 14 zie je hoe dit algoitme het pobleem uit voobeeld 1 heeft opgelost. Het esultaat is helemaal niet optimaal. Een beste-buu-algoitme is meestal matig tot slecht Het invoegingsalgotime Het beste-buu-algoitme constueet een oute doo aan een pad telkens een kant toe te voegen. Het invoegingsalgoitme maakt een oute doo aan een gedeeltelijke oute waa niet alle steden in zitten steeds een stad toe te voegen. Dit wekt op de volgende manie: 1. egin met een gedeeltelijke oute bestaande uit een willekeuig gekozen stad. 2. ls deze willekeuig gekozen gedeeltelijke oute nog niet uit alle steden 31

35 bestaat kies dan twee steden k en j met j wel in de oute en k niet zodanig dat c jk minimaal is. 3. ls i een buu van j in de oute is vevang dan de kant ij in de oute doo ik en kj. D C Kies punt Voeg en oute toe C D C D wodt toegevoegd de kanten D en D vevangen C wodt toegevoegd de kanten C encd vevangen D Deze methode lost het pobleem uit voobeeld 1 optimaal op (zie guu 14 plaatjes 1-13). Het invoegingsalgoitme geeft ove het algemeen een bete esultaat dan het beste-buu-algoitme. E kan nog steeds een goot veschil met het optimum zijn maa dit veschil blijft begensd: de oute die je met het invoegingsalgoitme vindt is gegaandeed kote dan twee kee de kotste oute. 32

36 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Figuu 15: Het invoegingsalgoitme in actie 33

37 4.3.3 Uitwisselingsalgoitmen Het beste-buu-algoitme en het invoegingsalgoitme constueen stapsgewijs een oute. Uitwisselingsalgoitmen gaan uit van een volledige oute en pobeen die stapsgewijs te vebeteen. Dit gaat meestal via het uitwisselen van kanten. Je kunt natuulijk zoveel kanten uitwisselen als je zelf zou willen een twee of mee. We hebben het dan ove 1-uitwisseling 2-uitwisseling etc. Een t- uitwisseling is dus een uitwisseling waabij t kanten van een oute vevangen woden doo t andee kanten zodanig dat e wee een oute ontstaat. Figuu 15 laat een 2-uitwisseling en een 3-uitwisseling zien. ls de nieuwe oute kote is dan de oude is e een vebeteing beeikt en begint het poces van voen af aan. Dat gaat doo totdat de oute doo een t-uitwisseling niet vede kan woden vebeted. We noemen de oute dan t-optimaal. (a) 2-Uitwisseling (b) 3-Uitwisseling Figuu 16: t-uitwisselingen In tegenstelling tot de constuctieve algoitmen zijn uitwisselingsalgotimen niet snel. ovendien kunnen de esultaten net als bij het beste-buu-algoitme behoolijk slecht zijn maa dit is dan wel het egst denkbae geval. In wekelijkheid valt het met de ekentijd en de pestaties eg mee en woden deze algoitmen vaak gebuikt. 34

38 4.4 Opgaven 1. Pobee eens een voobeeld van het beste-buu-algoitme te maken waavoo het nog slechte gaat dan in guu Leg uit waaom de oute die je met het invoegingsalgoitme vindt kote is dan twee kee de kotste oute. 3. epaal in ondestaande gaaf met alle bespoken algoitmes de kotste oute tussen CDEF N.. De kanten E C C E en CF zijn om de gaaf ovezichtelijk te houden niet getekend. Zij hebben alle lengte E F. J 4 D ````````` JJ 5 5 J 2 3 JJ 1 C Vezin zelf een leuke toepassing bij het handelseizigepobleem. 35

39 5 Gemengde Opgaven 1. Een dansschool heeft als egel dat je je als een stel moet aanmelden d.w.z.: een jongen en een meisje moeten zich samen aanmelden. Iedeeen heeft dan een danspatne. We maken hievan een voostelling met een gaaf waain de punten links de meisjes en de punten echts de jongens voostellen. ls een jongen en een meisje mogelijke patnes zijn dan geven we dit aan met een kant tussen de beteende punten. In guu 17 zie je twee mogelijke situaties. In die situaties zijn e pe pesoon ongevee die mogelijke danspatnes. Zoek voo beide situaties een vedeling in twaalf stellen. ngel ntoon ngel ntoon ea enhad ea enhad Caie Co Caie Co Dois Dik Dois Dik Eva Edwad Eva Edwad Fances Fank Fances Fank Gwen Gead Gwen Gead Hennie Haie Hennie Haie Ingid Ivo Ingid Ivo Jeanette Jeoen Jeanette Jeoen Keetje Kees Keetje Kees Laua Lambet Laua Lambet Figuu 17: Poblemen ond de dansles 2. In de paagaaf ove kotste paden staat in guu 7 een stukje tekst waain de mogelijke afbekingen zijn aangegeven en hoeveel elke afbeking kost. Plaats deze tekst op een bladzijde waaop maa 15 tekens naast elkaa kunnen staan. 36

40 3. In guu 18 zie je de zogenaamde Petesen-gaaf. Heeft de Petesengaaf een Hamiltoncicuit? Figuu 18: Petesen-gaaf 4. Het statenplan in guu 19 heeft 32 punten. lle kanten hebben een lengte 1. De afstand tussen twee punten is de lengte van het kotste pad etussen. Hoe lang is de kotste oute langs deze 32 punten? Laat zien dat de beste-buu-algoitme een oute zou kunnen vinden (doo af en toe een slechte keus te maken wannee mee dan een ades het dichtstbij ligt) die tweemaal zolang is als de kotste. Figuu 19: Statenplan voo 32 adessen 37

41 IJLGE Volledige inductie Volledige inductie is een manie om te bewijzen dat een algoitme een fomule een patoon voo elk positief geheel getal waa is. Hoe het wekt kun je zien in het volgende voobeeld: We tellen steeds opvolgende oneven getallen beginnend bij 1 bij elkaa op dus: 1+3 =4 = =9 = =16 = =25 = =36 =6 2 Het lijkt eop dat de optelling van n opvolgende oneven getallen beginnend bij 1 steeds n 2 oplevet. Je denkt natuulijk dat dit altijd zo doogaat maa hoe kun je dat bewijzen? We kijken eest wat we pecies willen laten zien. Dat is in dit geval: :::+(2n 1) = n 2 Dit is een beweing en we noemen deze beweing even P (n). Met volledige inductie gaan we nu laten zien dat P (n) waa is voo alle mogelijke n. Dit gaat niet doo maa willekeuig een heel goot getal in te vullen. E is namelijk altijd een mogelijkheid dat het voo een nog gote getal niet mee geldt en het is natuulijk onmogelijk om alle getallen te contoleen. Eigenlijk hebben we maa twee dingen nodig. Eest moeten we laten zien dat P (n) waa is voo n =1 (dat wil zeggen P (1) is waa) en dan willen we laten zien dat als P (n) waa is voo een willekeuige n dat dan automatisch P (n + 1) ook waa is. Je kunt je dit misschien voostellen als een soot domino-eect. ls een dominosteen valt dan valt de volgende ook en die daana ook en die daana enzovoots. Dus als we de alleeeste steen omgooien (als P (1) waa is) dan valt de hele ij dominostenen (P (n) is dan waa voo alle n) omdat elke steen doo zijn voogange zal woden omgetikt en zelf wee zijn opvolge omgooit. Dus in ons geval kijken we eest of geldt: 1=1 2 Dit is natuulijk auw. Laten we nu eens aannemen dan P (n) waa is voo een willekeuige n. Dus neem aan dat: :::+(2n 1) = n 2 Het volgende oneven getal na (2n 1) is (2n + 1). We tellen dit bij allebei de kanten van het gelijkteken in onze beweing op: 38

42 :::+(2n 1)+(2n +1)=n 2 +(2n +1) We weten dat (n +1) 2 = n 2 +2n + 1 dus wodt het voogaande nu: :::+(2n 1)+(2n +1)=(n +1) 2 en dat is pecies P (n + 1). We hebben dus laten zien dat als P (n) waa is voo een willekeuige n dan is ook P (n +1)waa. We hadden n willekeuig gekozen en daaom mogen we nu ook elk geheel getal dat we kunnen bedenken invullen. ls ik n = 1 neem dan is P (1) waa dat was duidelijk. Je ziet uit het voogaande dat dan P (2) ook waa is. Maa als P (2) waa is dan is ook P (3) waa enz. De beweing zal altijd gelden dus hebben we met behulp van volledige inductie kunnen vaststellen dat P (n) indedaad voo alle positieve gehele getallen n waa is. 39