WISKUNDE EN FYSICA (DEEL 1) / STATICA

Transcriptie

1 HOGERE ZEEVAARTSCHOOL ANTWERPEN ACULTEIT WETENSCHAPPEN VAKGROEP TOEGEPASTE EN EXACTE WETENSCHAPPEN WISKUNDE EN YSICA (DEEL 1) / STATICA CARINE REYNAERTS HZS-OE5-NW143 EERSTE BACHELOR NAUTISCHE WETENSCHAPPEN VERSIE 4.0 OKTOBER 2015

2

3 i Statica HZS-OE5-NW143 C. Renaets i Inhoudstafel 1. Inleiding Mechanica? Algemeen De klassieke mechanica De mechanica van (on)vevombae lichamen Doelstellingen De oganisatie van de lessen Ove evaluatie Nuttige basisvaadigheden Algemene basisvaadigheden Wiskundige basisvaadigheden Kachten Wat zijn kachten en welk effect hebben ze? Kachten zijn vectoiële gootheden Sooten kachten De dede wet van Newton of actie - eactie wet Equivalente kachtenstelsels De univesele gavitatiewet van Newton Het mechanisme van de statische (doge) wijving Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Statica van puntmassa s De eeste wet van Newton of taagheidswet Het vij lichaam diagam en de sstematische aanpak van evenwichtspoblemen van een puntmassa De statische (doge) wijving De doge wijvingswet van Coulomb Bepaling van de statische wijvingscoëfficiënt Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Oefeningen i.v.m. vectoen en de statica van puntmassa s Statica van onvevombae lichamen Kachten op stae lichamen Vaststelling Het begip kachtmoment Koppels van kachten Het begip equivalente kachtenstelsels De bepaling van een zo eenvoudig mogelijk kachtenstelsel De momentstelling van Vaignon De veplaatsingsstelling Enkele paktische toepassingen van de stelling van Vaignon De esulteende kacht van twee paallelle kachten De esulteende kacht van twee antipaallelle kachten met veschillende gootte De aanpak van evenwichtspoblemen voo stae lichamen Evenwicht van vlakke kachtenstelsels De algemene evenwichtsvoowaaden in 2D Bijzondee gevallen Evenwicht van 3D-kachtenstelsels De algemene evenwichtsvoowaaden in 3D...34

4 ii Statica HZS-OE5-NW143 C. Renaets Bijzondee gevallen Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Oefeningen i.v.m. de statica van stae lichamen Inleiding tot de stektelee Inwendige belastingen De snedemethode Nomaalkachten en dwaskachten Wingende momenten en buigende momenten Spanning Vevoming Rek De afschuifhoek Catesiaanse vevoming- en spanningcomponenten Het veband tussen spanning en vevoming Het spanning-ek diagam Dwascontactie Het schuifspanning-hoekvevoming diagam Lineai elastische vevomingen de wet van Hooke Buiging, knik en tosie Buiging Knik Tosie Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Oefeningen i.v.m. de inleiding tot de stektelee Bijlagen...63 Vectoalgeba en goniometie een geheugensteuntje...64 Het ontbinden van vectoen...64 Het optellen van vectoen...64 Vectopoducten...65 Eenheidsvecto met zelfde ichting en zin als een vecto V...65 Goniometie...65 Sjabloon voo een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen voo puntmassa s...67 Sjabloon voo een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen voo stae lichamen...69

5 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 1 1. Inleiding In dit hoofdstuk kom je mee te weten ove de plaats van het ondedeel statica binnen de algemene mechanica, welke ondewepen wel en welke niet aan bod komen in algemene mechanica, welke doelstellingen beoogd woden, de wijze waaop de lessen geoganiseed woden, de wijze waaop je zal geëvalueed woden, en welke basisvaadigheden nuttig zullen blijken.

6 2 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 1.1 Mechanica? Algemeen In een cusus algemene mechanica bestudee je de bewegingstoestand van voowepen, met andee wooden je gaat na of ze al dan niet bewegen en desgevallend hoe. Voots bekijk je of e veandeing opteedt in hun bewegingstoestand en zo ja, waaom. De beschijving van de bewegingstoestand op zich vomt het ondewep van de kinematica. In de dnamica woden veandeingen in bewegingstoestand veklaad en voospeld. De statica handelt ove de voowaaden waaonde de bewegingstoestand niet wijzigt in de tijd, de evenwichtsvoowaaden De klassieke mechanica In de eeste helft van de twintigste eeuw kwamen een aantal wetenschappes, van wie Einstein ongetwijfeld de bekendste is, tot het besluit dat de snelheid waamee een massa beweegt de lichtsnelheid in vacuüm (ca ms -1 ) niet kan oveteffen en dat voowepen zich veemd beginnen te gedagen naamate ze deze limietsnelheid nadeen. Veemd betekent dat dit gedag niet kan voospeld, noch veklaad woden op gond van de zogenaamde klassieke mechanica, waavan Isaac Newton één van de belangijkste gondlegges is en die daaom ook wel Newtoniaanse mechanica wodt genoemd. De klassieke mechanica bleek eveneens tekot te schieten als het gaat om de studie van het gedag van (sub)atomaie deeltjes. Daavoo moet je gebuik maken van een nieuwe theoie, de kwantummechanica die omsteeks dezelfde peiode vom begon te kijgen als de elativistische mechanica van Einstein. In deze opleiding bepeken we ons tot de studie van macoscopische voowepen, die aan alledaagse snelheden bewegen, met andee wooden tot situaties die m.b.v. de klassieke mechanica kunnen bestudeed woden. Tenzij epliciet andes vemeld, wodt de klassieke mechanica in het vevolg kotweg mechanica genoemd De mechanica van (on)vevombae lichamen In (toegepaste) wetenschappen wodt steeds gewekt met modellen. De wekelijkheid is zo comple dat het niet mogelijk is om ze in al haa facetten te beschijven, en ook niet elevant touwens. Daaom ga je steeds weken met veeenvoudigde voostellingen van de veschijnselen die je bestudeet De mechanica van puntmassa s In eeste instantie gaan we geen ekening houden met de afmetingen noch de vom van de bestudeede voowepen, of lichamen zoals ze in de mechanica gewoonlijk genoemd woden. We laten ze als het wae ineenschompelen tot één wiskundig punt waain de hele massa van het voowep samengebald wodt gedacht. m

7 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De mechanica van stelsels puntmassa s Dit kan uitgebeid woden tot de studie van de gezamenlijke bewegingstoestand van een stelsel puntmassa s De mechanica van stae lichamen Vevolgens laten we de veeenvoudiging tot puntmassa s vallen en gaan we wel ekening houden met de afmetingen en de vom van de bestudeede lichamen. We beschouwen ze echte als onvevombaa en noemen ze stae lichamen. Ook dat is vanzelfspekend slechts een benadeing van de ealiteit, die echte zal volstaan voo een bede waaie van toepassingen De mechanica als basis voo de stektelee Daanaast zullen we uitgaande van het ondedeel statica van de mechanica de fundamentele begippen nomaalspanning en schuifspanning uit de stektelee definiëen. In de paktijk zijn lichamen niet pefect sta, maa in mee of mindee mate vevombaa. Spanningen in een lichaam veoozaken bijgevolg vevomingen en mogelijks zelfs beuk. 1.2 Doelstellingen Vooeest moet je pobeen fundamenteel inzicht te veweven in de bestudeede mechanische wetmatigheden. Dit vomt geen doel op zich maa staat in functie van het volgende objectief. De volgende en cuciale stap is dat je de vewoven inzichten kan toepassen op concete vaagstukken! Oefenen en nog eens oefenen is dus de boodschap! Ook dit is wee geen doel op zich, maa eede een tussenstap. Uiteindelijk is het de bedoeling dat je de vaadigheden die je in de cusus algemene mechanica hebt vewoven, kan toepassen in technische specialisatievakken en vevolgens in je beoepsactiviteiten. 1.3 De oganisatie van de lessen In de eeste bachelo bestudee je de statica. De veantwoodelijke voo de theoie en de labo s van statica heet Caine Renaets. Statica in combinatie met Vectoekening 1 maakt deel uit van Wiskunde en sica 1. In de tweede bachelo bestudee je kinematica en vooal dnamica. De veantwoodelijke voo de theoie en de labo s van kinematica/dnamica heet Deide Luck. Dnamica maakt net als Vectoekening 2 deel uit van Wiskunde en sica 2.

8 4 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De theoie van Vectoekening 1 & 2 wodt gedoceed doo Pete Bueken, de ebij hoende labo s woden vezogd doo Diane Aets, Deide Luck en Caine Renaets. 1.4 Ove evaluatie In oveeenstemming met de doelstellingen wodt e je op het eamen niet gevaagd om de theoie slaafs te epoduceen, maa om aan te tonen dat je e inzicht in hebt vewoven. Dat betekent dat je op het eamen oefeningen moet oplossen, waabij je tevens een theoetische motivatie dient te geven voo de gebuikte oplossingsmethode. 1.5 Nuttige basisvaadigheden Algemene basisvaadigheden Eg buikbaa in zowat alle vakgebieden is een goede methodiek bij het oplossen van vaagstukken. Dit houdt vooeest in dat je duidelijk inziet wat e pecies gevaagd wodt en ove welke gegevens je beschikt om het gevaagde te bepalen. Dan moet je ook in staat zijn om uit de theoie de juiste vebanden te halen tussen onbekende en bekende gootheden en om deze zodanig te combineen dat je e de onbekenden uit kan oplossen. Zoals in alle wetenschappelijke en technische disciplines is een nauwgezet en consequent gebuik van SI-eenheden ook in mechanica een absolute veeiste Wiskundige basisvaadigheden Wiskunde is een fomele taal waain fsische veschijnselen op een nauwkeuige en bondige manie kunnen bescheven woden. Voldoende paate kennis evan is dan ook een must zodat je je kunt concenteen op het eigenlijke mechanisch pobleem! Algeba en vectoalgeba Je moet de basisegels van de algeba goed onde de knie hebben, andes gezegd je moet kunnen ekenen - jijzelf en niet zozee je ekenmachine. Als je niet zo gauw mee weet hoe je viekantsvegelijkingen of stelsels van lineaie vegelijkingen oplost, fis dan maa snel je geheugen op. Zoals je al gauw zal meken spelen in de mechanica niet alleen getallen (scalaien) een ol, maa ook en vooal vectoen. Je kennis van de vectoalgeba is dus net zo belangijk als die van de gewone algeba Goniometie en diehoeksmeetkunde Je kijgt vaak te maken met goniometische functies (sinus, cosinus, tangens) en met echthoekige diehoeken (sinus-, cosinus- en tangensegel, stelling van Pthagoas).

9 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De echte en de kegelsneden Je kennis in veband met echten, cikels en paabolen opfissen, wept vast zijn vuchten af bij het maken van oefeningen, in het bijzonde oefeningen van kinematica/dnamica uncties, afgeleiden en integalen In het gedeelte kinematica/dnamica moet je niet alleen het functioneel veband tussen de coödinaten van een deeltje dat een bepaalde baan volgt, kunnen hanteen, je moet bijvoobeeld ook de positie, snelheid of vesnelling evan in functie van de tijd kunnen bepalen. Met andee wooden: je zal je asenaal vaadigheden in veband met analse van functies, en niet het minst de egels voo integeen en voo diffeentiëen moeten bovenhalen. s t

10 6 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Samenvatting In algemene mechanica bestudee je of, hoe en waaom macoscopische voowepen in nomale omstandigheden bewegen. In het gedeelte statica bestudee je de voowaaden waaonde de bewegingstoestand van een voowep niet wijzigt, met andee wooden de evenwichtsvoowaaden. Uitgaande van de evenwichtsvoowaaden kom je tot de basisbegippen van de stektelee, de nomaalspanning en de schuifspanning. Tenslotte bestudee je de edoo veoozaakte vevomingen. De naduk ligt hoofdzakelijk op het toepassen van de theoie. Veel oefeningen maken is dus de boodschap! De lessen mechanica zijn bedoeld als ondesteuning voo vootgezette technische cusussen. Op zijn beut doet mechanica wee beoep op je algemene vaadigheid in het oplossen van poblemen en op je paate wiskundige kennis.

11 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 7 2. Kachten In dit hoofdstuk lee je wat kachten zijn en welke sooten e ondescheiden woden, de dede wet van Newton of actie - eactie wet intepeteen, wat equivalente kachtenstelsels zijn, het begip esulteende kacht, kotweg esultante, kennen, ekening houden met twee belangijke kachten, de gavitatiekacht en de statische doge wijvingskacht.

12 8 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 2.1 Wat zijn kachten en welk effect hebben ze? Kachten zijn een voostelling van de wisselweking tussen lichamen en hun omgeving. Het openen van de paachute emt de val van het lichaam af. Naamate de windkacht toeneemt, vesnelt het zeilschip des te mee. Onde invloed van kachtweking kan een lichaam vesneld of afgeemd woden. Daaove kom je mee te weten in de lessen Dnamica. Onde invloed van haa gewicht heeft de eddingsboei de neiging te vallen, maa dankzij de bevestiging blijft ze aan de wand hangen. Een jogge wodt gehinded doo tegenwind. Als hij net voldoende kacht ontwikkelt om e zich tegen te vezetten, slaagt hij ein om een constant tempo aan te houden. Als e meedee kachten op een lichaam weken, is het mogelijk dat ze tegengestelde effecten teweeg pobeen te bengen zodat e finaal geen netto effect opteedt. Dat zijn dan wee de soot situaties die je bestudeet in de lessen Statica. Kachten gaan gepaad met zogenaamde eactiekachten. Deze situatie kan je op twee gelijkwaadige manieen beschijven, die elk één aspect evan weegeven. Je zou kunnen zeggen dat het vliegdekschip de last van de vliegtuigen daagt. Je kunt echte even goed zeggen dat de vliegtuigen doo het vliegdekschip woden gedagen.

13 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 9 In eeste instantie bestudee je voonamelijk deze uitwendige effecten van kachtweking. Kachten wekken ook inwendige spanningen op in een lichaam, waadoo het kan vevomen. Dit aspect komt aan bod in stektelee en de toepassingen evan, bijvoobeeld in scheepsbouw. Deze cusus Statica geeft een inleiding tot deze inwendige effecten van kachten.

14 10 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 2.2 Kachten zijn vectoiële gootheden Kachtweking houdt die aspecten in. Een eeste is de gootte van de kacht. 1 Een tweede is de ichting volgens de welke de kacht wodt uitgeoefend. Ten slotte is e nog de zin van de kachtweking. Met andee wooden kachten zijn vectoiële gootheden. 1 De De SI-eenheid van kacht is de Newton, afgekot N (1 N = 1 kgms -2 ).

15 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets Sooten kachten Sommige vomen van kachtweking teden op wannee lichamen in fsisch contact met elkaa zijn. Degelijke kachten noem je contactkachten. Andee vomen van kachtweking veeisen geen fsisch contact tussen lichamen. Bij degelijke kachtweking op afstand is spake van een zogenaamd kachtveld. In deze cusus behandelen we vooal uitwendige effecten van kachten. Maa hij bevat ook een inleiding tot de inwendige effecten die doo deze kachten woden opgewekt. Zoals je vooheen al vastgesteld hebt in het voobeeld van het vliegdekschip en de vliegtuigen, gaan aangelegde kachten gepaad met eactiekachten. 2 Kachten woden in de mechanica woden veelal voogesteld als geconcenteed in één enkel punt. Het zijn zogenaamde puntkachten. Het gewicht van een lichaam stel je voo als een veticaal neewaats geichte puntkacht die aangijpt in het zogenaamde massamiddelpunt van het lichaam. Zoals je vooheen al vastgesteld hebt in het voobeeld van het vliegdekschip en de vliegtuigen, ontstaan e eactiekachten op de aanwezigheid van aangelegde kachten. Achte deze puntkachten schuilt in wekelijkheid eigenlijk kachtweking die vedeeld is langs een lijn of zelfs ove een oppevlak of volume. 3 In feite is elk bouwsteentje van een lichaam ondehevig aan de zwaatekacht en is het gewicht vedeeld ove het hele lichaam. 2 Welke kacht de aangelegde kacht is en welke de eactiekacht hangt af van uit welk standpunt je de situatie bekijkt. Het zijn elatieve begippen. 3 Een degelijke kachtvedeling kan net als een disceet kachtenssteem vectoieel samengesteld woden tot één equivalente (punt)kacht, de zogenaamde esultante.

16

17 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De dede wet van Newton of actie - eactie wet De kacht AB die een puntmassa A uitoefent op een puntmassa B en de kacht BA die de puntmassa B uitoefent op puntmassa A zijn even goot, maa tegengesteld geicht. De twee kachten vomen een zogenaamd actie - eactie paa. Mek op dat deze 2 kachten elk op een andee massa aangijpen! A B BA s AB = BA 2.5 Equivalente kachtenstelsels Op een lichaam wekt doogaans niet één enkele kacht, maa meedee een zogenaamd kachtenstelsel of kachtenssteem. AB Twee kachtenstelsels woden equivalent of gelijkwaadig genoemd als ze hetzelfde uitwendig effect hebben op een gegeven onvevombaa lichaam. Bijvoobeeld Een paa niet getainde pesonen slagen e gezamenlijk in om een zelfde hefkacht op te bengen als één evaen gewichtheffe. Voo kachtenstelsels op puntmassa s, die onvemijdelijk bestaan uit kachten die allen in hetzelfde punt aangijpen, houdt equivalentie simpelweg in dat de vectosom van beide kachtenstelsels identiek is. Het meest eenvoudige kachtenstelsel bestaat vanzelfspekend uit slechts één enkele kacht. Het meest eenvoudige equivalente kachtenstelsel voo een gegeven kachtenstelsel bestaat uit één enkele kacht gelijk aan de vectosom 4 van alle kachten van dit stelsel. Deze esulteende kacht (kotweg esultante) van een kachtenstelsel is één denkbeeldige kacht die equivalent is met dit kachtenstelsel. 4 In appendi bij de cusus Statica vind je een geheugensteuntje i.v.m. vectoalgeba.

18 14 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 2.6 De univesele gavitatiewet van Newton Behalve de die basiswetten 5 voo de klassieke mechanica, heeft Newton ook de gavitatiewisselweking tussen massa s bestudeed. De ondelinge gavitatiekacht uitgeoefend doo twee puntmassa s is een aantekkende kacht, geicht langs hun vebindingslijn en waavan de gootte evenedig is met het poduct van beide massa s en omgekeed evenedig met hun ondelinge afstand. De evenedigheidsconstante G wodt de algemene gavitatieconstante genoemd en is gelijk aan 6, m 3 kg -1 s -2. m m 1 2 G = G 1 2 m 1 G 1 m 2 G Mek op dat G en - G een voobeeld zijn van een actie eactie paa. De gootte van de gavitatiekacht die doo de massa m A van de aade op een massa m in de buut van het aadoppevlak wodt uitgeoefend, en die we bete kennen als het gewicht, heleidt zich tot de vetouwde uitdukking: m = G m G m = ( 2 A A A G A 2 ) m = g m met A de gemiddelde aadstaal en g = 9,81 ms ms -2, de valvesnelling. De gewichtsvecto is veticaal neewaats geoiënteed. Opdacht Bepaal de ode van gootte van de gavitatiewisselweking tussen alledaagse voowepen, bijvoobeeld twee massa s van 50 kg die zich op 1 m van elkaa bevinden. Vegelijk het esultaat met de gootte van het gewicht van de massa s. 5 Eede in dit hoofdstuk leede je al de dede wet van Newton of actie eactie wet kennen. In het tweede hoofdstuk van deze cusus kijg je te maken met de fundamentele eeste wet van Newton. Ove de belangijke tweede wet van Newton kom je alles te weten in de cusus Dnamica.

19 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Het mechanisme van de statische (doge) wijving Om het fenomeen van de doge 6 wijving te begijpen, kan je het volgende model gebuiken. Oppevlakken die macoscopisch misschien wel platte vlakken lijken te zijn, blijken als je ze onde de loep neemt, steeds in meedee of mindee mate putten en bulten te vetonen. Als je een kacht uitoefent om te tachten deze oppevlakken ten opzichte van elkaa in beweging te pobeen bengen, blijven de oppevlakken in eeste instantie als het wae in elkaa haken met hun oneffenheden: e ontstaat een tegenwekende doge wijvingskacht. m Als je hade gaat duwen (of tekken) haken de oneffenheden zich aanvankelijk nog mee in elkaa, de wijvingskacht neemt evenedig toe. Maa als je de kacht voldoende opvoet, schieten de oppevlakken als het wae toch los en beginnen ze ten opzichte van elkaa te bewegen, waabij ze evenwel nog met hun gootste oneffenheden tegen elkaa aan botsen. E blijft ook bij beweging in zekee mate een tegenwekende kinetische doge wijvingskacht bestaan, waaove je mee veneemt in het deel Dnamica. Hoe steke de oppevlakken tegen elkaa aangedukt zijn (m.a.w. hoe gote de nomaalkacht) hoe diepe de uitsteeksels van het ene oppevlak in de uitdiepingen van het andee geduwd woden en hoe steke de doge wijvingseffecten. In het volgende hoofdstuk bestudee je de doge wijvingswet van Coulomb die een kwantitatieve voostelling geeft van deze kwalitatieve edeneing. 6 Indien ove wijving zonde mee wodt gespoken, wodt in de egel doge wijving bedoeld, met andee wooden wijving tussen vaste voowepen. Indien het gaat om wijving met of tussen fluïda (vloeistoffen of gassen) speekt men van viskeuze wijving. Mee daaove lee je in de cusus Hdomechanica.

20 16 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 2.8 Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Pobee het antwood te fomuleen op de volgende vagen: 1 Wat zijn kachten en welke effecten hebben ze? 2 Leg uit waaom kachten vectoiële gootheden zijn. 3 Bespeek de dede wet van Newton of actie eactie wet. 4 Wannee noem je kachtensstemen equivalent, in het algemeen en specifiek in het geval van puntmassa s? 5 Definiee de esulteende kacht of esultante van een kachtenssteem en leg uit hoe ze wodt bepaald. 6 Bespeek de gavitatiewet van Newton. 7 Leg het mechanisme van de doge wijving uit.

21 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Statica van puntmassa s In dit hoofdstuk lee je de betekenis van de eeste wet van Newton of taagheidswet inschatten, het vijlichaam diagam opstellen voo een puntmassa, evenwichtspoblemen voo puntmassa s op een sstematische manie aanpakken, deze sstematische aanpak toepassen op het geval van statische doge wijving, het begip statische wijvingscoëfficiënt kennen. m Vesion 1.0 Novembe 2012

22 18 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 3.1 De eeste wet van Newton of taagheidswet Indien de esulteende kacht op een puntmassa gelijk is aan de nulvecto, dan is de puntmassa in evenwicht: haa bewegingstoestand veandet niet. Met andee wooden ofwel is en blijft ze in ust, ofwel beweegt ze met een constante snelheidsvecto wat eop neekomt dat ze een eenpaig echtlijnige beweging (ERB) uitvoet. De eeste wet van Newton betekent eigenlijk lichamen niet spontaan hun bewegingstoestand wijzigen, maa enkel wannee uitwendige invloeden hen daatoe dwingen, ze zijn als het wae wat aan de kant en daaom staat deze wet ook wel als de taagheidswet of inetiewet. dat slome bekend De evenwichtsvoowaade voo een puntmassa luidt dus heel eenvoudig dat de esulteende kacht die e op aangijpt gelijk moet zijn aan de nulvecto. v = 0 Deze vectoiële vegelijking stemt in het algemeen oveeen met 3 scalaie. z = 0 N = 0 N = 0 N Opgelet! Uit de dede wet van Newton mag je niet besluiten dat alle puntmassa s in evenwicht zouden zijn, omdat kachten in ondeling tegengestelde paen lijken op te teden waavan de vectosom nul oplevet. Je mag de twee kachten die samen een actie - eactie paa vomen immes helemaal niet zomaa samenstellen tot een esultante, want deze twee kachten gijpen niet aan op één en dezelfde puntmassa! Het vij lichaam diagam en de sstematische aanpak van evenwichtspoblemen van een puntmassa Om de esultante van de kachten die op een lichaam weken te kunnen bepalen, moet je eest duidelijk aflijnen wat het lichaam is en wat de omgeving. Vevolgens ga je het lichaam vevangen doo een puntmassa en abstactie maken van de concete details van de omgevingselementen. Dat doe je doo hun wisselweking met het bestudeede lichaam voo te stellen doo kachtvectoen. Dat wodt het opstellen van het vijlichaam diagam genoemd. Tenslotte duk je de evenwichtsvegelijkingen uit ten opzichte van een goedgekozen assenstelsel. 7 Althans niet zolang je de beweging van afzondelijke puntmassa s bestudeet. In de cusus Dnamica bestudee je ook stelsels van puntmassa s.

23 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De statische (doge) wijving De doge wijvingswet van Coulomb Beschouw om de gedachten te vestigen een puntmassa m die aanvankelijk in ust is boven op een ondesteunend lichaam en waaop je vevolgens een tek- of duwkacht gaat uitoefenen zoals aangegeven in ondestaande figuu. m P Het vijlichaam diagam voo deze puntmassa ziet e als volgt uit: met N f f : de nomale eactiekacht N m G = m g : de tangentiële doge wijvingskacht, in een zin tegenovegesteld aan de zin waain de puntmassa uiteindelijk zou neigen in beweging te komen P Je voet de gootte P van de tek- of duwkacht geleidelijk op. Zolang deze elatief geing is, wodt ze gecompenseed doo de weestandskacht als gevolg van de in elkaa gijpende oneffenheden van de twee contactoppevlakken en ontstaat e geen beweging. Aan deze statische doge wijvingstoestand komt echte een einde wannee P een limiet, de maimale statische doge wijving, oveschijdt. f f, ma geen beweging statische doge wijving beweging kinetische doge wijving (zie deel Dnamica ) f = P met f,ma = f s N (f s = statische doge wijvingscoëfficiënt 8 ) P De gootte van de maimale statische doge wijvingskacht is echt evenedig met de gootte van de nomaalkacht tussen de oppevlakken. De evenedigheidsfacto wodt de statische (doge) wijvingscoëfficiënt genoemd, en is afhankelijk van zowel de mateiaaleigenschappen als de oppevlaktetoestand van elk van de twee contactoppevlakken. 8 Soms wodt voo wijvingscoëfficiënten i.p.v. het smbool f (van het Engelse wood voo wijving, fiction of het anse wood, fottement) het Giekse smbool µ gebuikt.

24 20 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets Bepaling van de statische wijvingscoëfficiënt Ondestaande figuu stelt het vij lichaam diagam voo van een puntmassa op een hellend vlak, met hellingshoek θ ten opzichte van de hoizontale. Ze is in evenwicht onde invloed van de kachten die e op weken: de nomale ondesteuningskacht, de statische doge wijving en de zwaatekacht (het gewicht m g ). Het gewicht ontbind je in een degelijke situatie in de egel in een component evenwijdig met de helling en een component loodecht op de helling. Eenvoudige diehoeksmeetkunde 9 leet je dat de espectievelijke goottes van die componenten m g sinθ en m g cosθ zijn. N f m.g.sinθ θ θ m.g.cosθ Dit is een vlak pobleem. Een mogelijke logische keuze voo een assenstelsel is de -as evenwijdig met de helling (dus met de wijvingskacht) en de -as loodecht op de helling (dus evenwijdig met de nomaalkacht). De scalaie evenwichtsvoowaaden luiden in dat geval N = m g cosθ en f = m g sinθ. Stel je nu voo dat je de hellingshoek beetje bij beetje vegoot, dan wodt de component van het gewicht evenwijdig met de helling ook stelselmatig gote. Dat betekent dat de statische wijvingskacht in dezelfde mate moet toenemen om het evenwicht te blijven gaandeen. De uiteste situatie waain daaaan kan voldaan woden, is als de statische doge wijving haa maimale waade beeikt f,ma = f = f m g cosθ. s N s ma In combinatie met de evenwichtsvoowaade volgens de helling leidt dit tot f s m g cosθ ma = m g sinθ ma waauit volgt f s = tanθ ma met andee wooden, de statische wijvingscoëfficiënt is gelijk aan de tangens van de gootste hellingshoek waabij de massa op het hellend vlak kan blijven liggen. 9 In appendi bij de cusus Statica vind je bij wijze van geheugensteuntje een ovezicht van de belangijkste fomules uit de vectoekening en de goniometie.

25 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Pobee het antwood te fomuleen op de volgende vagen: 8 Bespeek de eeste wet van Newton (taagheidswet). 9 Leg uit hoe je evenwichtspoblemen van een puntmassa sstematisch aanpakt. 10 Pas deze sstematische aanpak toe op statische wijving. 11 Leg uit hoe je de waade van een statische wijvingscoëfficiënt kan bepalen.

26 22 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets 3.5 Oefeningen i.v.m. vectoen en de statica van puntmassa s Geef een stapsgewijze theoetische motivatie voo de wekwijze die je gebuikt om de vagen te beantwooden. Gebuik bijvoobeeld het sjabloon voo een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen. Voo oefeningen vooafgegaan doo dit icoon heb je de beekeningen kunnen voobeeiden doo het maken van de oefeningen wiskunde eveneens gemekt met dit icoon. Oef1. Bepaal de esultante van de kachten 1, 2 en 3 die op eenzelfde puntmassa aangijpen en waavan je weet dat 1, = 6 N, 1, = - 1 N, 2 = 10 N en de kacht is geicht zoals de vecto met beginpunt P 1 (1,2) en eindpunt P 2 (5,5), 3 = 6 2 N en de kacht maakt een hoek van 3π/4 ad met de -as. (antwood: = 8 N en = 11 N) Oef2. Een schaalmodel van een schip wodt volgens de lengteichting van een testbassin (-as) aan een constante snelheid vootgetokken doo 2 schaalmodellen van sleepbootjes. Het eeste bootje oefent een tekkacht met gootte 1 = 3 kn uit onde een hoek van 60 met de dwasichting van het bassin (-as). De weestandskacht op het schaalmodel heeft een gootte van 6 kn. Bepaal de gootte 2 van de tekkacht van de tweede slepe en haa hoek β met de vaasnelheid. (antwood: 2 = 3718 N en β = 23,8 ) Oef3. De esultante van de ondestaande kachten heeft een gootte van 160N en is geoiënteed volgens de -as. De eeste kacht heeft componenten 1, = 20 N, 1, = 40 N. De dede kacht heeft een gootte 3 = 100 N en is geoiënteed zoals aangegeven in de figuu. Bepaal de gootte 2 van de tweede kacht en de hoek φ die ze maakt met de -as. (antwood: 2 = 60 2 N en φ = 45 ) φ 2 Oef4. Een toeist vaagt de weg naa een monument. Om e te geaken, moet hij eest 200 m echtdoo gaan in een staat die een hoek van π/6 ad maakt met het nooden en een hoek van π/3 ad maakt met het oosten. Daana moet hij nog 100 m noodwaats gaan en vevolgens 500 m naa het westen. Tenslotte moet hij nog 150 m stijgen om de top van het monument te beeiken. Bepaal zijn veplaatsingsvecto, de gootte daavan en de afstand die doo de toeist wed afgelegd. (kies de -as van west naa oost, de -as van zuid naa nood en de z-as veticaal opwaats) (antwood: 400 m i m j m k, 507 m, 950 m)

27 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 23 Oef5. Een lamp is opgehangen aan het gemeenschappelijk uiteinde B van 2 even lange kabels AB en BC met vewaaloosbaa gewicht en waavan de andee uiteinden A en C op dezelfde hoogte bevestigd zijn aan twee tegenove elkaa liggende wanden. De afstand tussen de wanden bedaagt 5 m en het punt B bevindt zich 2 m onde de hoizontale lijn AC. Het gewicht van de lamp heeft een gootte van 75 N. Bepaal de goottes T 1 en T 2 van de tekkachten die de kabels uitoefenen op de lamp. (antwood: T 1 = T 2 = 60 N) Oef6. Een homogene viekante plaat met een zijde van 2,4 m en een gewicht van 18 kn wodt doo middel van die kabels in een hoizontale positie gehouden. Twee evan zijn espectievelijk bevestigd aan nabuige hoeken van de plaat en de dede aan het midden van de ovestaande zijde. De die kabels komen samen in een ophangpunt dat zich 2,4 m boven het midden van de plaat bevindt. Bepaal de gootte van de spankacht in elk van de die kabels. (antwood: T 1 = T 2 = 5511 N, T 3 = 10062N) Oef7. Een massa van 40 kg bevindt zich in ust op een hoizontale vloe. De gootste hoizontale kacht die e op uitgeoefend kan woden zonde dat ze in beweging komt, is gelijk aan de helft van de gootte van haa gewicht. Bepaal de statische wijvingscoëfficiënt met de vloe. (antwood: f s = 0,5) Oef8. Een massa met een gewicht van 1 kn bevindt zich in ust op een hellend vlak met hellingshoek 15. E wodt een schuin opwaatse tekkacht op uitgeoefend onde een hoek van 20 met de helling. De statische wijvingscoëfficiënt met de helling f s = 0,30. Bepaal de gootte van de statische wijvingskacht indien de gootte T van de tekkacht 200 N bedaagt. Vegelijk het gevonden esultaat met de gootst mogelijke statische wijvingskacht. (antwood: f = 71 N < f, ma = 269 N) Oef9. Heneem de massa uit oefening 8. Wat is de gootste waade die T kan hebben zonde dat de massa de helling wodt opgetokken? (antwood: T ma = 526 N) Oef10. Heneem de massa uit oefening 8. Wat is de kleinste waade die T kan hebben zonde dat de massa de helling gaat afschuiven? Kan je dit esultaat veklaen? (antwood: T min = 0 N)

28 24 Statica HZS-OE5-NW143 - C. Renaets Oef11. Een massa bevindt zich in ust op een hoizontale vloe. De gootte van haa gewicht is 600 N en de statische wijvingscoëfficiënt met de vloe f s = 3/2. Bepaal de gootte T 1 van de tekkacht en de gootte T 2 van de duwkacht waavoo de massa op het punt staat om in beweging te komen. Kan je die esultaten veklaen? T 1 T 2 massa massa (antwood: T 1 = 400 N en T 2 = 1200 N) Oef12. Een kat met een massa van 800 kg staat op het dek van een schip. Het is met een touw vastgesjod aan het kasteel zoals getoond in de linke tekening. Het touw kan geen spankacht boven 500 N vedagen zonde te beken. De statische wijvingscoëfficiënt f s = 0,15. Blijft het kat staan als het schip 10 ovehelt zoals getoond in de echte tekening? Waaom of waaom niet? kasteel kasteel kat touw β = 60 kat touw β = 60 θ = 10 (antwood: nee, want tan(10 ) > f s of met andee wooden de helling is te stek in vehouding tot de wijving en bovendien bedaagt de veeiste spankacht bijna 550 N)Pobee het antwood te fomuleen op de volgende vagen:

29 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Statica van onvevombae lichamen In dit hoofdstuk lee je dat wannee je een sta lichaam niet als een puntmassa benadet, het niet lange evident is dat alle kachten die eop weken in één en hetzelfde punt aangijpen, het begip kachtmoment kennen, wat een koppel van kachten is en hoe het equivalent kachtmoment evan te beekenen, voo een sta lichaam invulling geven aan het begip equivalent kachtenssteem, de momentstelling van Vaignon kennen die toelaat om vespeide kachten te educeen tot één esulteende kacht en één esulteend kachtmoment, de veplaatsingsstelling toepassen die je leet dat je kachten behalve langs hun weklijn ook evenwijdig aan zichzelf kan veplaatsen en hoe je daavoo een zogenaamd veplaatsingskoppel in ekening moet bengen, doo toepassing van de stelling van Vaignon de esultante bepalen van paallelle en antipaallelle kachten, waavan de weklijnen niet samenvallen, het vijlichaam diagam opstellen voo een sta lichaam, met het oog op een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen, wat in het algemeen de nodige en voldoende voowaaden zijn voo het evenwicht van een sta lichaam, hoe deze voowaaden zich veeenvoudigen, in een aantal specifieke situaties.

30 26 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 3.1 Kachten op stae lichamen Vaststelling Tot dusve heb je de bestudeede lichamen steeds benaded als puntmassa s, d.w.z. heb je abstactie gemaakt van hun vom en afmetingen en hun volledige massa in gedachten geconcenteed in één enkel punt, het zogenaamde massamiddelpunt. Dit eenvoudige model vomt niet alleen een adequate beschijving voo heel wat situaties, maa bovendien kan de mechanica van stae lichamen voo een belangijk gedeelte teuggebacht woden tot de mechanica van puntmassa s. Vemits je in wat volgt objecten niet lange zal benadeen als één enkel stoffelijk punt, ben je e niet lange van vezeked dat alle kachten in een zelfde punt aangijpen. In sommige situaties gebeut het toevallig wel eens dat alle weklijnen van de aangijpende kachten een gemeenschappelijk snijpunt hebben. Aangezien kachten op stae lichamen als glijvectoen mogen behandeld woden, belet niets je om alle kachten langs hun weklijn te veschuiven tot in dat snijpunt en ze daa vectoieel op te tellen tot een esulteende kacht zoals bij puntmassa s. Voo niet-samenlopende kachtsstemen zal je andee methodes moeten aanwenden Het begip kachtmoment θ (,,z) M ( ) = O O θ Het kachtmoment van een kacht om een punt O is het vectopoduct van de plaatsvecto van het aangijpingspunt van de kacht t.o.v. het punt O met de kachtvecto. Voo de die kaakteistieken van deze vecto geldt: gootte 10 : M 0 = sin θ = = (met de zogenaamde am) ichting : loodecht op het vlak opgespannen doo en zin : bepaald doo de echtehandegel (kukentekkeegel) Het kachtmoment vetegenwoodigt de hefboomweking van een kacht. Voostellingswijze van momenten: De SI-eenheid voo de gootte van een kachtmoment is Nm (1 Nm = 1 kgm²s -2 ).

31 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 27 In een echthoekig, echtshandig assenkuis kunnen de componenten van een kachtmoment steeds beekend woden aan de hand van volgende deteminantfomule : = i j k z z = (. z. ).i + (z. z. ).j + (. z. ).k Koppels van kachten Een stel antipaallelle kachten waavan de weklijnen niet samenvallen maa die wel dezelfde gootte hebben, vomen een zogenaamd koppel van kachten. De vectosom van een degelijk koppel van kachten is duidelijk gelijk aan de nulvecto. E gaat duidelijk geen netto kachtweking uit van een degelijk koppel. Het blijkt zich daaentegen wel te manifesteen als een globaal kachtmoment, dat bovendien nog onafhankelijk blijkt te zijn van het punt O waaom het beekend wodt. Het is inheent aan het koppel vebonden en wodt het moment van het koppel (of kotweg koppel) genoemd. O M0( ) + M0() = 1 ( ) + 2 = 1 + (1 + = ,1 = 2 /1 = (a + 2,1,// ) = a + 0 = a 2,1 ) De loodechte afstand a tussen de weklijnen is de zogenaamde am van het koppel van kachten en bepaalt samen met de gemeenschappelijke gootte van de kachten de gootte van het moment van het koppel. a 1 2 2,1,// 2,1 2,1, = a moment M O met gootte a. en in tegenwijzezin (onafhankelijk van een otatiepunt O)

32 28 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets a moment M O met gootte a. en in wijzezin (onafhankelijk van een otatiepunt O) Equivalente koppels van kachten zijn koppels met dezelfde momentvecto Het begip equivalente kachtenstelsels Henemen we de definitie van equivalente kachtenstelsels. Twee kachtenstelsels woden equivalent of gelijkwaadig genoemd als ze hetzelfde uitwendig effect hebben op een gegeven onvevombaa lichaam. Opdat kachtenstelsels volledig equivalent zouden zijn, moeten ze niet enkel hetzelfde esulteende effect teweegbengen qua kachtweking, maa ook wat het opgewekte esulteend moment beteft. Hiena volgen twee methodes om een kachtenssteem te vevangen doo een zo eenvoudig mogelijk equivalent ssteem. 3.2 De bepaling van een zo eenvoudig mogelijk kachtenstelsel De momentstelling van Vaignon Beschouw een sta lichaam ondewopen aan een eeks puntkachten i, waavan de vectosom veschillend is van de nulvecto. De stelling van Vaignon stelt dat deze eeks kachten equivalent is met een esulteende kacht R gelijk aan deze vectosom en aangijpend in een punt met plaatsvecto zodanig dat het kachtmoment van deze esultante omheen een willekeuig punt O gelijk is aan de vectosom van de kachtmomenten van de individuele kachten om hetzelfde punt O. M O ( ) = R R = M O ( i ) = MO( i ) = i i i Kot samengevat stelt de stelling van Vaignon dat het moment van de esulteende kacht gelijk is aan het esulteend moment. i i

33 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De veplaatsingsstelling O O M ( ) = O O Dat kachten glijvectoen zijn, m.a.w. dat je ze langs hun weklijn mag veschuiven, wist je al. Uit bovenstaande figuen blijkt dat je een kacht ook evenwijdig aan zichzelf kan veplaatsen naa een aangijpingspunt O buiten haa weklijn, mits invoeing van een zogenaamd veplaatsingsmoment. Dit is niet andes dan het moment van de kacht in haa oosponkelijk aangijpingspunt om het nieuwe aangijpingspunt O. Doo deze veplaatsingsstelling toe te passen voo alle kachten die op een sta lichaam weken, kan je dit stel heleiden tot hoogstens één kacht en één kachtmoment, met name de vectosom van alle kachten en van alle veplaatsingsmomenten. 3.3 Enkele paktische toepassingen van de stelling van Vaignon De esulteende kacht van twee paallelle kachten Beschouw twee evenwijdige en gelijkgeichte kachten, met dezelfde ichting en zin. A C B 1 R 2 Doo toepassing van de stelling van Vaignon kan men kan aantonen dat deze kachten kunnen samengesteld woden tot een esulteende kacht, met dezelfde

34 30 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets ichting en zin, waavan de gootte gelijk is aan de som van de goottes van beide kachten en waavan de weklijn ligt tussen deze van de 2 samenstellende kachten. R = R 1 2 = = AB BC AC

35 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De esulteende kacht van twee antipaallelle kachten met veschillende gootte Beschouw twee evenwijdige en tegengesteld geichte kachten, met andee wooden antipaallelle kachten, met veschillende gootte B A C 2 R Doo toepassing van de stelling van Vaignon kan men aantonen dat deze twee kachten kunnen samengesteld woden tot een esulteende kacht, met dezelfde ichting, met dezelfde zin als de gootste van de 2 kachten, waavan de gootte gelijk is aan de absolute waade van het veschil van de goottes van beide kachten en waavan de weklijn ligt buiten het inteval afgebakend doo deze van de 2 samenstellende kachten, met name aan de kant van de gootste van deze 2 kachten. R = 1 2 R 1 2 = = AB BC AC 11 Een stel antipaallelle kachten waavan de weklijnen niet samenvallen maa die wel dezelfde gootte hebben, vomen een zogenaamd koppel van kachten en dit geval wed hoge al behandeld. De vectosom van een degelijk koppel van kachten is duidelijk gelijk aan de nulvecto. E gaat bijgevolg geen netto kachtweking uit van een degelijk koppel. Het blijkt zich daaentegen wel te manifesteen als een globaal kachtmoment, dat bovendien nog onafhankelijk blijkt te zijn van het punt O waaom het beekend wodt. Het is inheent aan het koppel vebonden en wodt het moment van het koppel (of kotweg koppel) genoemd.

36 32 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 3.4 De aanpak van evenwichtspoblemen voo stae lichamen Vooeest is het onontbeelijk om ondubbelzinnig voo jezelf uit te maken van welk lichaam je het evenwicht bestudeet. Het lichaam stel je voo doo zijn uiteste begenzing. Alles behalve het bestudeede lichaam wodt dan omgeving en vevang je doo gepaste kachten en/of kachtmomenten, m.a.w. je constueet het zogenaamde vijlichaam diagam. 12 Voo zove dit bij de pobleemstelling niet opgelegd wodt, maak je een zinvolle keuze voo het assenstelsel. Als oospong O kies je bij vookeu een geschikt punt om de kachtmomenten t.o.v. te beekenen. Je duidt ook alle elevante afmetingen aan. Tenslotte schijf je de nodige en voldoende voowaaden voo evenwicht (tanslatie- en otatie-evenwicht 13 ) uit, m.a.w. totale kacht en totaal kachtmoment t.o.v. het punt O (of een ande goedgekozen punt) beiden gelijk aan de nulvecto. 12 Vegeet niet indien nodig de gavitatieweking van de aade in ekening te bengen doo het aanbengen van het gewicht van het lichaam. 13 In de cusus Dnamica lee je hoe een esulteende kacht het tanslatie evenwicht vestoot, met andee wooden een vesnelling teweegbengt, en hoe op zijn beut een esulteend kachtmoment het otatie evenwicht vestoot, met andee wooden een hoekvesnelling teweegbengt.

37 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 33 v = 0 M = 0 0 Deze twee vectoiële vegelijkingen stemmen in het algemeen oveeen met 6 scalaie. z M M M z = 0 N = 0 N = 0 N = = = M M M,koppels,koppels z,koppels ( z (z ( z ) = 0 Nm ) = 0 Nm z ) = 0 Nm 3.5 Evenwicht van vlakke kachtenstelsels De algemene evenwichtsvoowaaden in 2D Bij vlakke kachtenstelsels ligt het voo de hand om één coödinaatvlak (bvb. het vlak) te laten samenvallen met het kachtenvlak. Vemits alle z-componenten van de kachten en alle - en -componenten van de kachtmomenten dan identisch nul zijn, zijn de coespondeende scalaie evenwichtsvegelijkingen tiviaal voldaan en heleiden de evenwichtsvoowaaden zich in het algemeenste 2-dimensionale pobleem tot 2 scalaie kachtevenwichtsvegelijkingen en 1 scalaie momentevenwichtsvegelijking. M z = 0 N = 0 N = M z,koppels + ( ) = 0 Nm Bijzondee gevallen colineaie kachten: 1 evenwichtsvegelijking = 0 N (i.h.b. betekent dit voo 2 colineaie kachten even goot en tegengesteld van zin zijn) O

38 34 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets samenlopende kachten: 2 evenwichtsvegelijkingen = 0 N = 0 N O (gafisch betekent dit dat als je de kachten kop aan staat tekent, je een gesloten veelhoek bekomt) evenwijdige kachten: 2 evenwichtsvegelijkingen M z = 0 N = ( ) = 0 Nm O 3.6 Evenwicht van 3D-kachtenstelsels De algemene evenwichtsvoowaaden in 3D In het algemeenste uimtelijke evenwichtspobleem heb je de volledige set van 6 scalaie evenwichtsvegelijkingen nodig. z M M M z = 0 N = 0 N = 0 N = = = M M M,koppels,koppels z,koppels ( z (z ( z ) = 0 Nm ) = 0 Nm z ) = 0 Nm Bijzondee gevallen samenlopende kachten: 3 evenwichtsvegelijkingen z = 0 N z = 0 N = 0 N O

39 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 35 kachten die samenlopen op een echte: 5 evenwichtsvegelijkingen 0 Nm ) ( M 0 Nm ) (z M 0 N 0 N 0 N z z z = = = = = = = evenwijdige kachten: 3 evenwichtsvegelijkingen 0 Nm ) ( M 0 Nm ) (z M 0 N z = = = = = O z O z

40 36 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 3.7 Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Pobee het antwood te fomuleen op de volgende vagen: 1 Definiee het begip kachtmoment. 2 Wat is een koppel van kachten? 3 Wat is het moment van een koppel van kachten? 4 Bespeek het begip equivalent kachtenstelsel, voo een onvevombaa lichaam. 5 Bespeek de stelling van Vaignon. 6 Bespeek de veplaatsingsstelling. 7 Wat kan je besluiten uit de toepassing van de stelling van Vaignon op het geval van paallelle kachten? 8 Wat kan je besluiten uit de toepassing van de stelling van Vaignon op het geval van antipaallelle kachten, met een veschillende gootte? 9 Bespeek de sstematische aanpak van evenwichtspoblemen voo onvevombae lichamen. 10 Leg uit waaom de evenwichtsvoowaaden zich in het algemeenste 2- dimensionale (vlakke) pobleem heleiden tot 2 scalaie kachtevenwichtsvegelijkingen en 1 scalaie momentevenwichtsvegelijking.

41 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oefeningen i.v.m. de statica van stae lichamen Geef een stapsgewijze theoetische motivatie voo de wekwijze die je gebuikt om de vagen te beantwooden. Gebuik bijvoobeeld het sjabloon voo een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen. Voo oefeningen vooafgegaan doo dit icoon heb je de beekeningen kunnen voobeeiden doo het maken van de oefeningen wiskunde eveneens gemekt met dit icoon. Oef1. De wind en de stoming van het wate oefenen kachten uit op een bootje zoals aangegeven in ondestaande figuu. De espectieve goottes wind en cuent evan bedagen 600 N en 1200 N. Het bootje wodt doo touwen op zijn plaats gehouden. Bepaal de goottes T 1 en T 2 van de spankachten in deze touwen en de afstand d 1. wind qua d 2 = ¼ m boat cuent opes d 1 qua (antwood: 600 N, T 2 = 1200 N et d 1 = ½ m) Oef2. Het massamiddelpunt van een 6 m lang bootje met massa 50 kg bevindt zich op een hoizontale afstand van 3,5 m ten opzichte van de voosteven. De gootte Achimedes van de opwaatse stuwkacht van het wate op het bootje bedaagt 2400 N, en de positie van haa weklijn is op 3,854 m ten opzichte van de voosteven. Voots is e nog ballast aanwezig van 20 kg, 40 kg en 50 kg esp. op een hoizontale afstand van 1 m, 3 m en 5 m ten opzichte van de voosteven., Bepaal de massa m van de stuuman van het bootje en de hoizontale afstand d van zijn massamiddelpunt ten opzichte van de voosteven, indien je weet dat het bootje in evenwicht is. (Je mag voo de valvesnelling g de afgeonde waade 10 ms -2 gebuiken (kg) (m) (antwood: m = 80 kg en d = 4,5 m) Achimedes

42 38 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oef3. Een vlakke, T-vomige, hoizontale plaat met massa m = (4/9,81) kg en massamiddelpunt cg ( cg = (3A+b)/4, cg = z cg = 0 m) is vast vebonden aan een veticale wand. Deze plaat wodt ondewopen aan 2 puntlasten zoals aangegeven in ondestaande figuu. Veplaats alle kachten die op de plaat weken naa het punt O. Bepaal de eactiekachten en of -momenten die de vebinding moet uitoefenen om de plaat in evenwicht te houden. 1 = 2 N z 1 z O cg B = 2 m O cg 2 A = 1 m bovenaanzicht 2 = 1 N b = 0,4 m zijaanzicht (antwood: z = 5 N, M = 3 Nm en M = - 4 Nm) Oef4. De loopplank van een schip heeft een gewicht G = m. g van 2000 N (CG = massamiddelpunt van de loopplank). Bepaal de gootte T van de spankacht in de kabel die veeist is om de loopplank net van de kade te tillen en de eacties in schaniepunt A. (antwood: T = 1949 N, A,ho = 975 N en CG A A,ve = 312 N) CG 2 Oef5. Een leeg platfom heeft een gewicht G 1 van 250 N (CG 1 massamiddelpunt van het lege platfom). Hoe goot is het tegengewicht in B als je weet dat het platfom net op het punt staat om te kippen indien e zich een pesoon en zijn geeedschap in bevinden met een gewicht G 2 van 800 N (CG 2 massamiddelpunt van pesoon en geeedschap samen)? (antwood: G B = 193 N) CG 1

43 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 39 Oef6. Op de giek AB weken kachten met espectievelijke goottes 1 = 800 N en 2 = 350 N zoals aangegeven in de figuu. Bepaal de spankacht T in de kabel BC en de eactie uitgeoefend doo de schanie A die veeist zijn voo het evenwicht van AB. (antwood: T = 782 N, A,ho = 626 N en A,ve = 681 N) Oef7. Het massamiddelpunt van de kaan (met uitzondeing van de giek) bevindt zich in het punt G 1 en de gootte van het gewicht van de kaan (met uitzondeing van de giek) W 1 bedaagt 600 kn. Het massamiddelpunt van de giek bevindt zich in het punt G 2 en de gootte W 2 van het gewicht van de giek bedaagt 150 kn. Bepaal de nomale eactiekachten die doo de (hoizontale) ondegond op de kaan woden uitgeoefend in de punten A en B, indien de hoek θ tussen de giek en de hoizontale 30 bedaagt en de gootte van de last W = 80 kn. Bepaal de kleinste hoek θ die de giek met de hoizontale kan maken zonde dat de kaan kantelt indien de gootte van de last W = 200 kn. (antwood: NA = 204 kn, NB = 626 kn θ = 26,6 )

44 40 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oef8. De kaan in ondestaande figuu wodt op haa plaatsgehouden doo een bevestiging A, die zowel een hoizontale eactiekacht als een veticale eactiekacht kan uitoefenen, en een bevestiging B, die enkel een hoizontale eactiekacht kan uitoefenen. Bepaal de eactiekachten die doo de bevestigingen A en B op de kaan uitgeoefend woden indien de gootte van de veticale last W = 8 kn. (het eigen gewicht van de kaan is vewaaloosbaa) Bepaal de maimale waade die de last W kan hebben, als moet voldaan woden aan de veeiste dat de gootte A van de eactiekacht uitgeoefend doo de vebinding A niet mee dan 18,745 kn bedaagt. (antwood: A,ve = 8 kn, A,ho = 6,667 kn, B = 6,667 kn W ma = 14,4 kn) B 5 m 6 m W Oef9. Een pesoon met een gewicht van 600 N gaat op een afstand d zitten van de and van een homogene tafel met een gewicht van 300 N. Bepaal de nomale eactiekachten die doo de (hoizontale) ondegond op de tafel woden uitgeoefend in de punten A en B, indien de afstand d 0,40 m bedaagt. Bepaal de kleinste afstand tot de and, d min, waaop de pesoon kan gaan zitten zonde dat de tafel kantelt? A d 0,5 m 1,2 m 0,5 m A B (antwood: A = 100 N veticaal opwaats, B = 800 N veticaal opwaats, d min = 0,2m)

45 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 41 Oef10. Een abeide staat op het platfom aan het uiteinde van een hoogteweke. De goottes G 1 en G 2 van de gewichten van de homogene delen AC en CD van de telescopische am AD bedagen espectievelijk 294 N en 178 N. Het gewicht van de pesoon en het platfom samen heeft een gootte G 3 van 1335 N en het gijpt aan in het schaniepunt D. Het geheel van de telescopische am, platfom en hoogteweke is in evenwicht in de aangegeven posities. Het wodt ondesteund doo de stang BE (schanieend in B en E) en is in A schanieend bevestigd aan een veticale kolom. AC = 1,50 m CD = 1,26 m AB = 0,50 m D C A E B Bepaal de kacht die de stang BE uitoefent op het geheel. Bepaal de kacht die het schanie A uitoefent op het geheel. (antwood: BE = 12,526 kn // EB, A,ho = 6263 N naa links N, A,ve = 9041 N neewaats)

46 42 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 5. Inleiding tot de stektelee In dit hoofdstuk lee je dat de evenwichtsvoowaaden kunnen toegepast woden om de basisbegippen van de stektelee te definiëen, de begippen inwendige kacht en inwendig moment kennen, de begippen nomaalspanning en schuifspanning kennen, de begippen elatieve ek en afschuifhoek kennen, de mechanische eigenschappen van mateialen evalueen en toepassen om een veband te leggen tussen de spanningen en de vevomingen, de veschijnselen buiging, knik en tosie kennen.

47 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Inwendige belastingen Het uitgangspunt voo het bepalen van de inwendige belastingen die veoozaakt woden doo uitwendige belastingen, zijn de evenwichts-vegelijkingen l l l = 0 M = 0 l De snedemethode Beschouw een lichaam dat ondewopen is aan een aantal uitwendige belastingen. Het kan daabij zowel gaan om belastingen die geconcenteed zijn in één punt of vedeeld langs een lijn, ove een oppevlak of een volume. Om de inwendige kachten en/of momenten in het lichaam te bepalen, snijden we het in gedachten doomidden met een vlak en beschouwen één van de delen die links of echts van het snedevlak oveblijven. Het deel dat weggesneden is, moet in het vije lichaam diagam van het oveblijvende deel vetegenwoodigd woden doo zodanige kachten/momenten (de inwendige kachten/momenten) dat in combinatie met de uitwendige kachten/momenten aan de evenwichtsvegelijkingen voldaan blijft. inwendige kacht inwendig moment De inwendige kacht en het inwendige moment geven de esulteende weking wee van de inwendige kachtenvedeling, spanning genoemd, die in feite op de doosnede wekt Nomaalkachten en dwaskachten Het is gebuikelijk om de inwendige kacht te ontbinden in een component loodecht op het snedevlak, de nomaalkacht N, en een component in het snedevlak, de dwaskacht D v.

48 44 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets dwaskacht D v nomaalkacht N Wingende momenten en buigende momenten buigend moment M wingend moment of tosie T Het is evenzee gebuikelijk om het inwendige moment te ontbinden in een component loodecht op het snedevlak, het wingende moment of tosie T, en een component in het snedevlak, het buigende moment M. 5.2 Spanning De nomaalspanning σ wodt gedefinieed als de dichtheid van nomaalkacht, met andee wooden de nomaalkacht pe eenheid van oppevlakte N σ = lim A 0 A. Indien de nomaalkacht buitenwaats geicht is, speken we van een tekspanning. In het tegenovegestelde geval van een dukspanning. De schuifspanning τ wodt gedefinieed als de dichtheid van dwaskacht, met andee wooden de dwaskacht pe eenheid van oppevlakte D τ = lim A 0 A. De SI-eenheid van nomaal- en schuifspanning is Nm -2 of Pa. Voo paktische toepassingen valt deze eenheid klein uit en woden e veelvouden van gebuikt, 10 6 Pa = MPa of 10 9 Pa = GPa. 5.3 Vevoming De inwendige spanningen die gepaad gaan met de belasting van een lichaam veoozaken vevomingen. Beschouw lijnstuk AB met lengte s in een aanvankelijk onvevomd lichaam. Na vevoming van het lichaam zal dit lijnstuk in het algemeen veanded zijn in een boog A B met booglengte s. Beschouw tevens een tweede lijnstuk AC volgens een ichting 2 die in het aanvankelijk onvevomde lichaam loodecht staat op de ichting 1 van AB. Na vevoming van het lichaam zal het lijnstuk AC in het algemeen eveneens veanded zijn in een boog, A C.

49 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets C A B s C A s B Rek De elatieve velenging of vekoting van een lijnstuk wodt de (gemiddelde) ek genoemd s' s ε =. s De afschuifhoek 2 C π/2 B s A 1 C A π γ 2 B s De aaklijnen aan de bogen A B en A C vomen in het algemeen geen hoek van π/2 adialen, maa een hoek gegeven doo π γ 2 waain de afwijking van de echte hoek, γ, de (gemiddelde) afschuifhoek wodt genoemd. De (gemiddelde) afschuifhoek kan zowel positief als negatief zijn. 5.4 Catesiaanse vevoming- en spanningcomponenten Beschouwen we een balkje dat we bekomen doo het lichaam te snijden met vlakken evenwijdig aan de die coödinaatvlakken van een echthoekig echtshandig assenkuis. Als de afmetingen, en z van het aanvankelijke balkje voldoende klein zijn, neemt dit na vevoming de vom aan van een paallellepipedum met afmetingen ( 1+ ε ), ( 1+ ε ) en ( 1+ ε z ) zen hoeken tussen de ibben π/2 γ, π/2 γ z, π/2 - γ z.

50 46 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets z z π 2 γ z π/2 π/2 π/2 ( 1+ εz ) z π 2 γ z ( 1+ ε ) π 2 γ z ( 1+ ε ) De vevomingtoestand wodt bescheven doo 6 paametes: de ek in 3 ichtingen en 3 afschuifhoeken. Voo de zijvlakken van het balkje die espectievelijk de -, - en z-as als nomaal hebben, noteen we de nomaalspanningen als σ, σ en σ z. De schuifspanningen woden telkens ontbonden in 2 componenten volgens de twee coödinaatichtingen evenwijdig met een zijvlakje. Voo de zijvlakken van het balkje die espectievelijk de -, - en z-as als nomaal hebben, noteen we de componenten van de schuifspanningen als τ en τ z, τ en τ z, en tenslotte τ z en τ z. Uitgaande van de evenwichtsvegelijkingen voo het balkje kan men aantonen dat τ z = τz, τz = τz en τ = τ. De spanningstoestand in een punt wodt dus gekenmekt doo zes onafhankelijke spanningscomponenten, die nomaalspanningen σ, σ, σ z en die schuifspanningen τ, τ z, τ z.

51 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Het veband tussen spanning en vevoming Het spanning-ek diagam In een spanning-ek diagam is de (gemiddelde) nomaalspanning ten opzichte van de elatieve ek ε = L Lo van een teststaaf. σ = P A uitgezet o σ (MPa) tek - of dukstekte σ t σ b σ e σ fl σ pop e l a s t i s c h vloeien vesteviging insnoeing beuk Tot punt B (elasticiteitsgens) zijn de vevomingen van het mateiaal elastisch, na het wegnemen van de belasting keet het mateiaal teug tot zijn oosponkelijke toestand. Tot punt A zijn ε en σ echt evenedig met elkaa, het mateiaal gedaagt zich lineai elastisch. Van A tot B gedaagt het zich niet-lineai elastisch. Eenmaal daa voobij begint het mateiaal plastisch te vevomen, met andee wooden e ontstaan vevomingen die na het wegnemen van de belasting niet mee volledig teug zullen vedwijnen. Bij een constante, of zelfs lichtjes afgenomen (C) nomaalspanning blijft het mateiaal vede vevomen. Dit veschijnsel wodt vloeien (pefect plastisch gedag) genoemd. Het vloeigebied is ovedeven goot getekend. Vanaf het punt D teedt vesteviging van het mateiaal op tot een maimale stekte wodt beeikt (punt E). Daana teedt insnoeing van het midden van de staaf op tot hij finaal beekt (punt ). ε

52 48 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets De nomaalspanningshaaden die met de punten A, B, C, E en oveeenstemmen, kijgen volgende smbolen en benamingen: σ pop : popotionaliteitsgens σ e : elasticiteitsgens σ fl : vloeigens σ t : tekstekte (dukstekte) σ b : beukgens 14. De waaden van σ pop, σ e en σ fl liggen meestal dicht bij elkaa en vaak wodt daavoo één en dezelfde waade gebuikt Dwascontactie P P Een staaf die aan een aiale belasting wodt ondewopen zal niet alleen in de lengteichting uitekken of vekoten, maa simultaan zullen de dwasafmetingen vekleinen of vegoten. De vehouding tussen de goottes van de elatieve ek in de dwasichting en de elatieve ek in de aiale ichting wodt de dwascontactiecoëfficiënt of coëfficiënt van Poisson ν genoemd = ε tansv. ν en de waade evan ligt tussen 0 en 0,5. ε a Het schuifspanning-hoekvevoming diagam In dit diagam is de schuifspanning τ uitgezet ten opzichte van de hoekvevoming γ. Het ziet e gelijkaadig uit als een spanning-ek diagam. 14 De spanningswaaden in het diagam zijn nominale spanningen vemits ze beekend woden op basis van de oppevlakte van de onvevomde dwasdoosnede. De wekelijk optedende spanningen zijn bij gotee vevoming gote dan de nominale waaden omdat de effectieve oppevlakte van de dwasdoosnede afneemt, in eeste instantie tengevolge van het opteden van dwascontactie zoals vedeop wodt bespoken. In de dwasdoosnede te hoogte van het ingesnoede midden van de teststaaf loopt de nomaalspanning zelfs nog hoge op.

53 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Lineai elastische vevomingen de wet van Hooke Lineai elastische vevomingen van een mateiaal woden bescheven doo de wet van Hooke ε ε ε z σ = E σ = E σ z = E ν (σ E ν (σ E ν (σ E + σ + σ + σ z z ) ) ) γ γ γ z z = = = τ G τ z G τ z G waabij volgend veband geldt tussen de elasticiteitsmodulus van Young, E, de glijmodulus, G, en de dwascontactiecoëfficiënt of coëfficiënt van Poisson, ν, G E 2 (1+ν ) =. De elasticiteitsmodulus E is in een spanning-ek diagam teug te vinden als de ichtingscoëfficiënt van het lineaie gedeelte. Op analoge wijze is de glijmodulus G in een schuifspanning-hoekvevoming diagam teug te vinden.

54 50 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 5.6 Buiging, knik en tosie Buiging Balken - slanke constuctie-elementen met in één ichting een veel gotee afmeting dan in de twee dwasichtingen, en die loodecht op hun lengteas belast woden - buigen. q() Onde invloed van degelijke belastingen ontstaan inwendige dwaskachten en buigmomenten. D D M M De gelij ke inwendige buigende momenten stellen het esulteende effect voo van een niet homogene vedeling van nomaalspanningen ove een dwasdoosnede van een balk. Eén gedeelte van de doosnede is op duk belast en het andee op tek, waadoo een komvomige buiging ontstaat. Tussenin bevindt zich een gedeelte van de balk dat noch op duk, noch op tek belast is en bijgevolg geen ek ondevindt, de zogenaamde neutale vezel (de vebindingslijn van de zwaatepunten van de dwasdoosneden). σ neutale vezel σ

55 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 51 We voeen het smbool µ in om de dwase veplaatsing van punten op de lengteas van de balk tengevolge van de buiging voo te stellen. De gafische voostelling van het veloop van µ in functie van wodt de elastische lijn genoemd. µ elastische lijn lengteas Het functievooschift voo de elastische lijn, met andee wooden een fomule die de doobuiging van de balk weegeeft, kan in pincipe uitgaande van het veloop van de buigmomenten, M(), afgeleid woden doo het oplossen van volgende vegelijking 2 d µ M() =. 2 d E I waain E I de buigstijfheid of buigweestand wodt genoemd. Die buigweestand is de combinatie van een eigenschap van het mateiaal waauit de balk vevaadigd is, met name de elastisticiteitsmodulus van Young, en een geometische eigenschap van de dwasdoosnede van de balk, met name het taagheidsmoment I van de dwasdoosnede om de neutale lijn. In de cusus wiskunde lee je zowel taagheidsmomenten beekenen als degelijke zogenaamde tweede ode diffeentiaalvegelijking oplossen. Voobeelden: buiging van een scheepsomp SAGGING HOGGING Buiging (E: fleion) van de scheepsomp, evenals toepassingen aan bood van de hiena behandelde fenomenen knik (E: buckling) en tosie (E: tosion) komen ook vede aan bod in de lessen scheepsbouw (E: ship s constuction).

56 52 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Knik Kolommen - slanke constuctie-elementen met in één ichting een veel gotee afmeting dan in de twee dwasichtingen, en die volgens hun lengteas belast woden - kunnen zijdelings buigen, met andee wooden ondehevig zijn aan knik. P P cit L Om knik te veoozaken moet de last P een minimale waade oveteffen P cit = π 2 L E I 2 eff die de Eulese kniklast of kitieke kniklast wodt genoemd. oplegging schanieend aan beide uiteinden ingeklemd aan beide uiteinden ingeklemd aan één uiteinde, vij aan het andee uiteinde ingeklemd aan één uiteinde, schanieend aan het andee uiteinde L eff L L 2 2 L 0,7 L Mek op dat hoe gote E I, hoe gote de veeiste last om knik te veoozaken. Deze uitdukking vomt dus als het wae de weestand tegen knik. Het is wee de combinatie van een eigenschap van het mateiaal waauit de kolom vevaadigd is, met name de elastisticiteitsmodulus van Young, en een geometische eigenschap van de dwasdoosnede van de balk, met name het kleinste hoofdtaagheidsmoment 15 I van de dwasdoosnede. 15 Zoals eede gezegd, lee je in de cusus wiskunde mee ove taagheidsmomenten.

57 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Tosie Men zegt dat een constuctie-elementen met in één ichting een veel gotee afmeting dan in de twee dwasichtingen op tosie belast is, indien aan de uiteinden evan tegengestelde wingmomenten woden uitgeoefend. T T φ Een degelijke wingend moment veoozaakt niet unifom vedeelde schuifspanningen in de dwasdoosneden en tacht het element, bijvoobeeld een as, om zijn lengteas te vedaaien. τ ma De tosiehoek φ voo een as met lengte L kan bepaald wooden aan de hand van volgende fomule T L φ = G I p waain G I de weestand tegen tosie wodt genoemd, met I p p het zogenaamd polai taagheidsmoment 16 van de dwasdoosnede omheen de hatlijn van de as, en G de glijmodulus van het mateiaal waauit ze vevaadigd is. Bemek opnieuw de gelijkenis op met de buigweestand E I. 16 Ook hieove lee je mee in de lessen wiskunde.

58 54 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 5.7 Leidaad bij het samenvatten van dit hoofdstuk Pobee het antwood te fomuleen op de volgende vagen: 1 Bespeek de snedemethode. 2 Wat zijn nomaalkacht en dwaskacht? 3 Definiee de begippen nomaalspanning en schuifspanning. 4 Definiee de ek ε. 5 Wat betekent dwascontactie? 6 Hoe kan je de modulus van Young bepalen aan de hand van een spanning-ek diagam? 7 Wat betekent plastische vevoming? 8 Wat betekenen de tekstekte(dukstekte) en de beukgens van een mateiaal? 9 Indien een lichaam volgens één ichting ondehevig is aan een nomaalspanning σ a., die voldoende klein is om lineai elastische vevoming te veoozaken, hoe beekenen je de ek ε a. volgens die ichting en de ek ε tansv. volgens een dwasichting?

59 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oefeningen i.v.m. de inleiding tot de stektelee Geef een stapsgewijze theoetische motivatie voo de wekwijze die je gebuikt om de vagen te beantwooden. Gebuik bijvoobeeld het sjabloon voo een sstematische aanpak van evenwichtspoblemen. Oef1. Bepaal de gemiddelde nomaalspanning in een dwasdoosnede in E en in een dwasdoosnede in. Het gedeelte AB is een holle cilinde met binnendiamete d i = 20 mm en buitendiamete d u = 28 mm. Het gedeelte CD is een massieve cilinde met diamete d = 12 mm. 4 kn A 6 kn B E C D 8 kn (antwood: 13,3 MPa, duk, 70,7 MPa tek) 6 kn Oef2. Bepaalde de gemiddelde nomaalspanning in een dwasdoosnede van ondestaande massieve staaf. Zijn diamete bedaagt 35,7 mm en zijn lengte 6 m. 50 kn Beeken ook de lengte veandeing van deze staaf. Hij is vevaadigd uit een mateiaal met ondestaand spanning-ek diagam (waavan een gedeelte is weegegeven). Als je weet dat de coëfficiënt van Poisson of dwascontactiecoëfficiënt ν, van het mateiaal 0,32 bedaagt, beeken ook de veandeing in diamete van de staaf. σ (MPa) mm, -0,003 mm) , ,0001 0,00015 ε (ant woo d: 49,9 5 MPa tek, 1,5

60 56 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oef3. Op een poefstaaf met diamete d o = 12 mm zijn twee makeingen aangebacht op een afstand L o = 50 mm van elkaa. Als men kachten uitoefent d op de poefstaaf, zoals aangegeven in de figuu, meet men een afstand L = 49,97854 mm tussen de makeingen. 5 kn 5 kn De poefstaaf wed vevaadigd uit één L van de mateialen waavan je de eigenschappen in bijlage hebt gekegen. Welk mateiaal? Wat is de diamete d van de belaste poefstaaf? (antwood: bons C86100, 12,00175 mm) Oef4. Twee aan elkaa vebonden stangen uit constuctiestaal A36, met een lengte L 0 van 3 m en een diamete d 0 van 46,25 mm, zijn aan één uiteinde (B) schanieend met elkaa vebonden. Aan hun andee uiteinden (A esp. C) zijn ze schanieend vebonden met eenzelfde hoizontale plaat. Ze maken aanvankelijk een hoek van 45 met de hoizontale. A 3 m 45 B 3 m C P = 475 kn a. Bepaal de nomaalspanning in de stangen als e een veticale kacht van 475 kn wodt uitgeoefend in B. b. Hoeveel daalt het vebindingspunt B? c. Bepaal de veandeing in diamete van de stangen in die omstandigheden. (antwood: a) 200 MPa b) 4,24 mm c) 14,8 µm) Oef5. De HZS-zonneboot De Willem (gewicht 2,5 kn) wodt zoals aangegeven in de figuu opgehangen aan 2 veticale kabels. Beide kabels zijn vevaadigd uit kopelegeing C83400 en hebben een diamete d o = 12 mm. Kabel 1 heeft een lengte L o,1 = 4m. Kabel 2 heeft een lengte L o,2 = 2m. Welke kabel ondegaat de gootste lengteveandeing? Hoeveel mm bedaagt de veandeing in diamete van kabel 1? kabel 1 kabel 2 De Willem (antwood: 1, - 0, mm) 3,9 m 2,1m 2,5 kn

61 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 57 Oef6. Een onvevombae balk met een vewaaloosbaa gewicht is aan zijn ene uiteinde (B) schanieend vebonden aan een veticale wand. Aan het andee uiteinde (C) is hij bevestigd aan een kabel die op zijn beut bevestigd is aan de wand (D). In onbelaste toestand hangt de balk hoizontaal. De kabel heeft een lengte L o en een diamete d o van 7,98 mm. Hij is vevaadigd uit een mateiaal met coëfficiënt van Poisson ν = 0,34 en ondestaand spanning ek diagam. Wannee de balk belast wodt, ontstaat in de kabel een spankacht T van 2 kn. Bepaal de lengte L van de kabel en de hoek θ die de balk maakt met de hoizontale. Bepaal eveneens de veandeing in diamete van de kabel. D D 3 m B C B 4 m C θ σ (MPa) ,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014 0,0016 ε (antwood: L = 5,001 m, θ = 0,023869, d = - 5, mm) Oef7. In onbelaste toestand is het onvevombaa platfom ABC hoizontaal. In onvevomde toestand hebben de kabels EC en DB een lengte L = 2m. Onde invloed van het gewicht G van een eddingssloep kantelt het platfom ten opzichte van het punt A naa beneden. Het punt halvewege B en C zakt 7,5 mm naa beneden. Beeken de elatieve ek van elk van de kabels. E D 1,5 m 1,5 m 1 m E D 1,5 m 1,5 m 1 m C B A C G B A (antwood: : ε DB = 0,0015, ε EC = 0,0060)

62 58 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets Oef8. Een homogeen geladen containe met een gewicht van 240 kn is doo middel van 2 kabels opgehangen aan een containekaan (U tpe gant cane). De lengte L o van elk van de kabels bedaagt 5 m. De diamete d o van de kabels bedaagt 3,09 cm. a. Bepaal hoe het gewicht van de containe zich vedeelt ove de ondesteuningen A en B van de kaan. b. Bepaal de gootte van de tekkachten die doo de kabels woden uitgeoefend op de containe. c. De kabels zijn vevaadigd uit constuctiestaal A36. Bepaal de lengteveandeing en veandeing in diamete van de kabels. (antwood: a) A = 144 kn, B = 96 kn b) T 1 = T 2 = 150 kn c) L = 5 mm, d = -9,9 µm) 8 m 12 m 6 m A B

63 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets 59 Oef9. Het aan bood gaan van een life boat gebeut niet in de positie waain die op het schip gepakeed is. Doo middel van een winch en kabels die falls woden genoemd, wodt hij neegelaten tot een niveau waaop kan ingestapt woden, het embakation level, tewijl hij mede doo middel van een tweede kabel, de ticing pendant, hoizontaal veplaatst wodt tot e contact ontstaat met de scheepsomp. Eenmaal in positie wodt hij bevestigd doo middel van de bowsing tackle die e een hoizontale tekkacht op uitoefent. Tenslotte wodt de ticing pendant losgekoppeld. Beschouw een homogene lifeboat met een gewicht van 25 kn. De scheepsomp en de omp van de lifeboat mogen als glad beschouwd woden. a. Bepaal de kachten die doo de falls, doo de bowsing tackle en doo de scheepsomp op de lifeboat woden uitgeoefend. Geef daabij een stapsgewijze theoetische motivatie voo de wekwijze die je gebuikt. b. De falls zijn vevaadigd uit oestvij staal en in onbelaste toestand hebben ze een diamete d o van 14 mm. Beeken de lengteveandeing van een deel van deze kabel dat in onbelaste toestand een lengte van 1,5 m heeft. Bepaal ook de veandeing in diamete van deze kabel. Detailtekening: falls 83 bowsing tackle 0,500 m 0,400 m 1,000 m (antwood: a) bowsing tackle 3837 N, omp 767 N, falls N b) L = 1,3 mm, d = -3,2 µm)

64 60 Statica HZS-OE5-NW143- C. Renaets positioneing bevestigen

65 Statica HZS-OE5-NW143 C. Renaets 61 Oef10. Tijdens het laden/lossen van een o-o schip wodt de boegdeu doo 2 telescopische stangen in de gewenste positie omhooggehouden. Vanwege de smmetie van het pobleem mag je het pobleem veeenvoudigd voostellen in het veticaal smmetievlak van de boegdeu zoals weegegeven in ondestaande figuu. boegdeu A A telescopische stangen d t = 3 m d 1 = 5 m d 2 = 2 m θ t = 80 θ b = 35 CG = zwaatepunt van de boegdeu hoizontale d 2 CG θ b d 1 Veticale d t 2 t θ b 2 telescopische stangen 2 schanieen A θ t hoizontale a. Bepaal de kacht die elk van de 2 schanieen A uitoefent op de boegdeu en de gootte t van de kacht die elk van de telescopische stangen uitoefent op de boegdeu met gewicht 220 kn. b. De telescopische stangen zijn vevaadigd uit constuctiestaal A36 en in onbelaste toestand hebben ze een diamete van 10 cm. Bepaal de lengteveandeing van een deel van zo n stang dat in onbelaste toestand 1,5 m lang is, en bepaal de veandeing in diamete evan. (antwood: a) A,ho = 56,05 kn, A,ve = 207,89 kn t = 322,79 kn b) l = -0,308 mm d = 6,576 µm))